Lookback Time, Partikelhorizont (die Rechnungen)

[Timm]

Der Punkt steht für die Ableitung nach der Zeit, der Hubble Parameter ist zeitabhängig. Entsprechend ist ä die zweite Ableitung des Skalenfaktors nach der Zeit.

[positronium]

Leider verstehe ich nicht so recht, was Du meinst - mag daran liegen, dass ich mich damit fast noch gar nicht befasst habe.
Es gilt doch nach http://de.wikipedia.org/wiki/Skalenfaktor:

Und nach http://de.wikipedia.org/wiki/Friedmann-Gleichungen ist:

Und für a'[t] ergibt sich (mit Computerhilfe) einfach:

Das kann man doch direkt plotten.

[positronium]

Mir ist der Punkt nur als Zeitableitung bekannt.
Wenn

dann ist

Wie das bei den von Dir erwähnten anderen Modellen genau ist, weiss ich nicht. - Die Ableitung nach der Zeit muss aber eine solche bleiben.
Vielleicht verstehe ich das Problem aber nicht... Ich kenne das nur so, dass H zeitabhängig ist - der Hubbleparameter ist ja nur zeitabhängig.

[positronium]

Hmm. Kann es sein, dass wir aneinander vorbeireden?
An dem Punkt über dem H ist doch nichts besonderes. Der ist einfach die Zeitableitung. Es gilt:

(Letztere beiden sind Mathematica-Syntax)

[positronium]

Nein. H ist der zeitabhängige Hubbleparameter, und damit ist die momentane Veränderung von H. Analog dazu ist ä die zweite Zeitableitung von a.

[positronium]

Ok, aber was ausser könnte diese zeitliche Änderung von sein?

Ich vermute, Wikipedia hat Dich verwirrt.
Es geht um eine rein mathematische Sache.

Ich meine, die zeitliche Ableitung von erhält man ja, indem man mit multipliziert, ...

Es gilt:

Wenn man H mit a multipliziert, erhält man natürlich

Aber das nur, weil die zeitliche Ableitung von a bereits in H enthalten ist. Das hat nichts damit zu tun, wie man eine Ableitung errechnet!

...aber mit was multipliziere ich um zu erhalten ?

Das ist keine Multiplikation, sondern die Ableitung (http://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung), also die Veränderung eines Funktionswertes f(x) bei infinitesimaler Veränderung von x.

[positronium]

Die Berechnung von á und ä ist richtig.

[positronium]

Dazu kann ich leider nichts beitragen - wie gesagt: in dem Physikbereich bin ich noch praktisch bei Null.

Mit diesem hier ist Mathematica leider überfordert (das läuft schon in die eine Richtung nicht unter 340000sek CPU Zeit, ...

Jetzt weiss ich nicht, wie fit Du in Mathematica bist... Hast Du schon versucht, mit Assumptions zu arbeiten? Damit kann man oft eine enorme Geschwindigkeitssteigerung erreichen. Hier würde ich als erstes alle Variablen als Real deklarieren, und auch Wertebereiche festlegen. Bei der Formel weiss ich nicht, welche Bezeichner Konstanten sind, und was in den Variablen steht. Eventuell liesse sich da noch manches heraus holen.
Übrigens kommt mir die Schreibweise ein wenig "seltsam" vor, also, zumindest ich hatte öfter Probleme, wenn ich Variablen mit Indizes geschrieben habe. (Auch das Hochkomma ist mir ein bisschen suspekt.) Deshalb mache ich das jetzt grundsätzlich nicht mehr. Bist Du Dir sicher, dass das so geht?

[positronium]

Achso, wegen Latex, OK. Da bastel ich auch immer ein wenig herum, damit man es hier vernünftig lesen kann, obwohl die Ausgabe von Mathematica mit "Copy As->LaTeX" eigentlich passen sollte... Naja.

Alternativ zu Solve könntest Du es ja noch mit Reduce versuchen. Solve gibt ja sogar manchmal aus, dass einige Lösungen fehlen könnten.

[positronium]

Das sieht nicht gut aus. Falls es eine Lösung gibt, muss irgend etwas an den Formeln bzw. Deiner Herleitung nicht stimmen, habe aber nicht versucht, das nachzuvollziehen.

Zu Deinem Notebook: In der dritten Zelle steht das Semikolon im Bruch, müsste aber danach kommen. Es dürfte auch besser sein, wenn Du alle Konstanten als Integer, nicht als Real eingibst. Ich bin mir nicht ganz sicher, denke aber, dass mit Gleitkommawerten immer numerisch integriert wird.

Auf jeden Fall komme ich so, wenn ich das Problem stückchenweise abarbeite, recht schnell zu dem Ergebnis (Zahlen hier mit N in Gleitkommawerte umgerechnet):
0. == -1.46937*10^17 + (2.42954*10^-9 (-1.01225*10^52 a^(5/2) +
4.66437*10^77 Sqrt[9.32873*10^77 + a^3] +
a^3 Sqrt[9.32873*10^77 + a^3] -
4.5051*10^116 Hypergeometric2F1[-0.833333, 0.5,
0.166667, -1.07196*10^-78 a^3]))/((-1.29598*10^26 +
a) a Sqrt[9.32873*10^77 + a^3])

Das ist natürlich eine recht unschöne Formel, die auch Reduce nicht auflösen kann. Aber man sucht ja eine Nullstelle, also kann man das auch gleich mal plotten. Hier für a von 0 bis a0:

plot.png (6.15 KiB) 16559 mal betrachtet

Aber das ist schon das Problem: Die Nullstelle kommt für ein a, das kleiner als der Startwert der Integration ist.
Es gibt also keine Lösung, bei der a > a0 ist.
Mit FindRoot erhalte ich a=6.1933*10^25.

[positronium]

Aber trotz allen Korrekturen krieg ich immer noch kein Ergebnis, ...

Das ist auch richtig so, nur vermute ich, dass Solve in dem Fall auch dann kein Ergebnis brächte, wenn es eines gäbe. Ich habe ein Ergebnis bekommen, weil ich die ConditionalExpression mit der Assumption a>a0 entfernt habe. Ich dürfte also in das Ergebnis kein a < a0 einsetzen.

...kannst du mit deine Inputform als Code posten?

Hab's gerade noch etwas gekürzt. - Warum einfach, wenn's auch kompliziert geht...
g=FullSimplify[(\!\(
\*SubsuperscriptBox[\(\[Integral]\), \(a0\), \(a\)]\(
\*FractionBox[\(H0\), \(\((1 + Z)\) Hf\)] \[DifferentialD]A\)\)) 1/(HF(a-a0))-1/(3H0)];

ga0=Simplify[g,a>a0];

Plot[ga0,{a,0,a0}]

"Plot[g,{a,0,a0}]" würde wegen der ConditionalExpression mit a>a0 natürlich kein Ergebnis bringen.

FindRoot[ga0,{a,a0/2}]

t nach a kann ich auch plotten, und mit ContourPlot auch die Achsen tauschen, aber nicht als Ableitung von t, so daß auch H nach t geplottet werden kann! Nachdem ich alles auf Brüche umgestellt und den Strichpunkt neu gesetzt habe, heisst es nach wie vor: Out[3]:={} (:

Hier hat man wieder das Problem, diese komplizierte Formel lösen zu müssen. Übergibt man diese an ExpandAll, sieht man, dass a, a², a[up]5/2[/up] und a³ auftritt. Ich weiss nicht, ob man so ein Polynom lösen kann.

Versucht habe ich gerade, das direkt abzuleiten, also

Ist so etwas möglich?

[positronium]

Eingeben kann man so etwas mit Nest oder NestWhile. Aber das ist natürlich sehr rechenaufwendig.

[positronium]

Eine Lösung indem man diese Gleichung umstellt, wird man vermutlich nicht finden können, denke ich.
Was willst Du denn damit machen? - Vielleicht tun's ja auch nicht exakte Lösungen?

Man hat ja nach der neuen Formel zuerst (numerisch) das:
2.0991*10^16 (-7.+(2.58048*10^6 (-1.56771*10^21+1.213*10^8 Sqrt[a] Hypergeometric2F1[-0.5,0.166667,1.16667,-1.07196*10^-78 a^3]))/(Sqrt[1. +9.32873*10^77/a^3] (-1.29598*10^26+a)))

Trifft man jetzt die Annahme, dass a>>a0 ist, wäre es eine Möglichkeit, gleich einmal die Wurzel zu entfernen, weil a0³=2.1767*10^78. Für Werte von a, die wesentlich grösser als a0 sind, geht also der Bruch gegen Null, wodurch die Wurzel gegen 1 geht.
Ein weiterer Ansatzpunkt wäre, die Wurzel für ein bestimmtes a (=x) zu berechnen, womit man in der Umgebung zu diesem Wert von a gute Näherungen erhält. In diesem Zusammenhang könnte man die Funktion Hypergeometric2F1[] durch eine Exponentialreihe ersetzen, also Normal[Series[Hypergeometric2F1[],{a,x,n}]].
Wenn man das macht, erhält man Gleichungen, die lösbar, allerdings nicht schön sind. Lokal sind diese aber brauchbar.

Ein ganz anderer Weg wäre, t[a] für beliebige a, auch symbolisch, über den von Dir gewünschten Wertebereich von t zu berechnen. Dann hast Du eine Liste mit Wertepaaren {{a1,t1},{a2,t2}...}. Die kannst Du einfach umdrehen und per Interpolation[] eine interpolierende Funktion darauf erstellen - geht auch symbolisch. Eine solche Funktion ist recht schnell, von der Genauigkeit ok, und auch gut zum Integrieren geeignet.

Wenn Du lieber eine kompakte, schöne Formel vor Dir hättest, könntest Du evtl. in Anlehnung an obige Ergebnisse eine passend erscheinende konstruieren und per Fit[] oder FindFit[] an die Daten anpassen.

[belgariath]

Hier http://www.technologyreview.com/view/51 ... alculator/ (und in dem darin verlinkten arXiv-Artikel) findet man schöne Tabellen, die für die aktuelle Datenlage des LambdaCDM-Modells jeweils die zugehörigen Werte von Rotverschiebung, mitbewegter Entfernung, Weltalter,... verknüpft.
Schaut es euch an und hängt es euch über's Bett. Naja, vielleicht lieber über den Schreibtisch...

[gravi]

Super Link!
Besten Dank. Übers Bett hänge ich das aber nicht. Schreibtisch ist viel besser geeignet

Gruß
gravi

[positronium]

PS: Das Problem mit den Achsen umkehren (von t[a] auf a[t])per Interpolation konnte ich bisher aber leider nicht lösen, aber bei Wolfram wissen Sie auch nicht wie man sowas macht, nur zu meiner Entschuldigung.

Dem auf der Seite von Wolfram kann ich vermutlich nicht folgen. Dort stehen doch zwei einfache Funktionen, a=x^2 und b=x^3. Daraus folgt direkt a^(1/2)=b^(1/3) und damit a=b^(2/3) und b=a^(3/2). Das hat doch nichts mit Deinem Problem zu tun, weil ja Deine Funktion so kompliziert ist, dass das Umstellen nicht möglich erscheint.
Wie ich das mit der Interpolation meinte, ist ganz einfach: Es gilt y=f(x), und f[up]-1[/up](y)=x kann nicht gefunden werden. Interessiert man sich für den Wertebereich x {0..10}, kann man z.B. für f[up]-1[/up]=g schreiben: g=Interpolation[Table[{f[x],x},{x,0,10,1}]]. g[y] liefert dann x. Oder am Beispiel f(x)=x^2 das: Plot[Interpolation[Table[{x^2,x},{x,0,10,1}]][y],{y,0,100}]. Ich hab das jetzt nicht ausprobiert, aber das Ergebnis dürfte nicht von Plot[x^(1/2),{x,0,100}] zu unterscheiden sein.

[belgariath]

Würde mich ja gerne näher mit dem Thema beschäftigten, aber wie so oft fehlt die Zeit. Deswegen will ich mich darauf beschränken, zu fragen, wie du die Beschriftungen der einzelnen Graphen gemacht hast? Dass sie immer so am Graph entlang laufen ist sehr elegant. Geht das mit Mathematica?

[Timm]

Der Hubble Radius scheint sich dem Skalenfaktor a = 15 asymptotisch zu nähern. Wie das? Der Hubble Radius ist invers zum Hubble Parameter. Der nimmt während der Expansion des Universums ab und nähert sich asymptotisch dem Wert Null. Es sei denn, die das Universum expandiert irgendwann wieder exponentiell. Dann ist H bei > 0 konstant.

[belgariath]

Das sieht jetzt schon sehr ähnlich aus wie in dem Artikel http://adsabs.harvard.edu/abs/2004PASA...21...97D von Davis und Linewaver, nur noch ein bisschen schöner...

[wilfried]

Guten lieber Yukterez

ich habe Deine Beitragsserie gerade mal angesehen und möchte Dich bitten lieber ohne Mathematik auszukommen, denn offensichtlichhast Du einige gravierende Dinge der höheren Mathematik noch nicht so ganz verinnerlicht. Daher ist es schade, wenn eine Beitragsserie im Grunde dadurch keinen sachlich verwertbaren Inhalt besitzt.

Schau doch mal in unsere Beiträge und auch Hilfen zur Mathematik. Auch gibt es sehr gute Fachbücher, in denen die Ableitungen erläuter sind. Bitte verstehe meine Antwort richtig, denn ohne Wissen irgendwelche tollen Gleichungen niederzuschreiben und dieses dann noch interpretieren zu wollen, geht, wie Du wohl hier sleber feststelltes ziemlich in die Hose.

Netter Gruß

Wilfried

[wilfried]

Lieber Yukterez

ich habe die Beiträge gesehn, in denen Du offensichtlich nicht mit den Ableitungen anfangen konntest und das hat zu dieser Bemerkung geführt. Siehe z.B. hier:

Ich habe dazu eine Taylorreihe gefunden (Quelle, Seite 19):



aber was anderes:

wofür steht der Punkt auf dem in der Kosmologie? ist ja , und der Skalenfaktor, ich würde also vermuten, daß dann , aber hier wird über definiert, also - wie ist das zu verstehen?

An anderen Stellen ähnlich. Daher bin ich mir nicht so ganz sicher, ob dieser Beitrag wirklich ernst zu nehmen ist oder nicht. Schau mal, wenn Du selber sagst, das Punkt auf dem H für Dich ein Rätsel ist, dann gestatte mir zurück zu fragen. ob Dein Beitrag ernsthaft ist und Du diese Gleichungen selber aufgestellt hast.

Jemand, der solch einen Beitrag schreibt und mit diesen Gleichungen hantiert, den möchte ich ernst nehmen und das fällt mir eben auf Grund einiger der auszugsweise oben genannten Bemerkungen schwer. Ich hoffe, ich täsuche mich.

Bitte verstehe das richtig und ich möchte abschliessend auch sagen, dass solche Ausdrücke wie Scherzbold Wilfried, und Nicht wissend, ob ich über deinen Text lachen oder weinen soll, hier im Forum nicht zum Ton gehören.

Danke für Dein Verständnis

[seeker]

Lieber Yukterez,

ich denke, du hast viel Freude an Mathematik und speziell daran, am Computer physikalische Dinge nachzubilden, wo du offensichtlich auch einige Übung drin hast.
Wo du vermutlich noch lernst ist das physikalische Verständnis bzw. die konkrete Anwendung der Mathematik auf die Physik.
Hier scheinst du noch da und dort Lücken in den Grundlagen zu haben, die du vielleicht noch schließen willst - und dazu könntest du sicherlich auch Hilfe hier im Forum erhalten.
Vielleicht ist es das, worauf dich Wilfried hinweisen wollte: Evtl. machst du auf deinem Weg manchmal Schritt Nr.3, bevor du Schritt Nr.1 vollständig abgeschlossen hast?

Nix für ungut. Niemand will dir hier Böses.

Grüße
seeker

[wilfried]

Lieber Yukterez

schau mal: Du bist offensichtlich ein sehr guter Programmierer für solche Themenkreise und das ist Dein Metier. Das solltest Du vertiefen und genau da möchten wir Dich auch gerne im Forum "ausnutzen", und Dich bitten Dein Wissen einzubringen.
Aber meiner Einschätzung nach, gemessen an deinen Antworten in dieser Serie, bist Du kein Wissenscahftler, der in den mathematischen Feinheiten seine Schwerpunkte hat.

Daher mein Rat: bringe Dich ein mit Deiner hier durchaus überzeugenden Wissenstiefe und auch Freude der Visualisierung, die wir -ich wiederhole mich- liebend gerne auch ausnutzen möchten und werden. Visualisierung auf so ausgereiftem Niveau ist eine Lücke in unserem Forum und ich würde mich sehr freuen, wenn ich Dich dafür gewinnen könnte.

Siehe auch meinen Kommentar mit SCILAB in Deiner anderen Beitragsserie. Bald starten wir hier sogeannte Arbeitskreise. Die Forenmitglieder werden in den nächsten Tagen darüber informiert, was es damit auf sich hat. Dort beispielsweise können deine Fähigkeiten bestens aufgenommen werden.

Nur eines: mach Dich nicht selber kaputt, indem Du an Dinge traust, auf denen Du nicht so firm bist. Das wäre sehr schade. Wir hatten im Forum schon solche Fälle gehabt, die reichten sogar bis zum lächerlich machen. Gut auf diesem Wege bist Du gerade nicht, das wäre noch ein Stück bis dahin, aber ich versuche ja auch von vorneherein über meine Moderatorenfunktion hier ein wenig steuernd einzugreifen.

Sollte mein Ton Dich verletzt haben, so bitte ich natürlich auch um Entschuldigung. Ich möchte Dir jedoch einen Schubs in die richtige Richtung verpassen, damit Du mit Deinem Kompetenzen, Deinem Wissen hier ein ganz wertvolles und gefragtes Mitglied werden kannst.

Ich kann mir das für die Zukunft so vorstellen:

Einer von den sagen wir mehr theoretisch angehauchten Mitgliedern hat eine schöne Beitragsserie mit tollen Formeln geschrieben, ist aber nicht in der Lage seine Ergebnisse oder das was er gerne herüberbringen möchte zu visualisieren. Nun kommst Du auf den Plan:
Du verstehst, was er will (Deinen Geist sehe ich als sehr wach an, Du vermagst Zusammenhänge schnell zu erkennen und aufzuspüren, wo Du ansetzen kannst) und kannst somit verstehen, was denn an denkbarer Visualisierung machbar ist und in dieser Beitragsserie Dein Werk einbringen. Damit hätten wir hier im Forum erstmals eine völlig neue Art der Zusammenarbeit.

Habe ich dafür interessieren können, ist das ein guter Vorschlag?

natürlich darfst Du weiter Beiträge schreiben, Fragen ans Forum richten etc.

Netter Gruß und hoffentlich damit wieder "Luftbereinigung"

Wilfried

[wilfried]

Lieber Yukterez

Deine Antworten freuen mich und ich werde bald auf Dich zurückkommen. Dauert jedoch noch ein bischen, da wir erst mit der Organisation begonnen haben.

Netter Gruß

Wilfried