Topologie (Form) des Universums für Anfänger II

[Pippen]

1. Kann sich die ART und moderne Kosmologie im Prinzip den Raum ohne darin enthaltene Materie vorstellen/beschreiben, sozusagen als ungekrümmten "reinen" Raum?

Ja, daraus folgt:

2. Wäre dieser Raum dann unendlich, d.h. unendliches "Volumen"?

Ja, daraus folgt:

3. Wenn ein solcher Raum unendlich ist, dann kann es nicht sein, dass er durch die Hinzunahme der Materie und ihre Gravitation zu einem endlichen "Volumen gekrümmt" wird oder sonst ein endliches "Volumen" hat. Eine unendliche 2-Fläche kann auch nicht zu einer endlichen Kugel gekrümmt werden, sondern wenn, dann wäre die Kugel hinsichtlich ihres Volumens ebenfalls unendlich. Das zeigt, dass das Universum als unendlich groß gedacht werden muss und zwar schon ab Geltung der Raumzeitgesetze, d.h. ab der Planck-Zeit. Die geometrische Form des Universums ist dann irrelevant, weil nicht beschreibbar.

Was haltet ihr davon? Wo liegt ein Fehler?

p.s. Ich bin Laie, also bitte habt Verständnis, wenn ich sehr weit daneben liege *g*.

[tomS]

Ein paar Anmerkungen und Präzisierungen, die aber nichts an deinem generellen Argument ändern:

Zunächst mal muss man zwei Klassen von Lösungen der ART unterscheiden: zum einen handelt es sich beim absolut leeren Raum ohne Materie und Strahlung (Dichte ρ=0) um den deSitter- bzw. Anti-deSitter Raum, je nach Vorzeichen der (nichtverschwindenden) kosmologischen Konstanten Λ. Diese Räume sind nicht flach, sie haben eine nichtverschwindende Krümmung R.
Bei verschwindender kosmologischer Konstante Λ ergibt sich außerdem die Vakuumlösung eines materiefreien Friedmann-Robertson-Walker Universums, nämlich der flache Minkowski-Raum.

Frage: kann der Minkowski-Raum sowohl als Grenzfall des Friedmann-Robertson-Walker Universums mit verschwindender Materiedichte als auch als Grenzfall eines deSitter Universums mit verschwindender kosmologischen Konstante betrachtet werden?

Ein flacher Raum mit verschwindender Krümmung R=0 wäre das das Friedmann-Universum mit k=0 , das zwar ohne kosmologische Konstante, dagegen mit Materie (mit exakt der kritischen Dichte ρ = ρ[down]c[/down]) daherkommt

Symbolisch:

Λ = 0: FRW-Universum → (ρ = 0) → flacher Minkowski-Raum (R = 0)
Λ = 0: FRW-Universum → (R = 0) → flaches FRW-Universum (ρ = ρ[down]c[/down] > 0; R=0)

ρ = 0: deSitter-Universum (Λ > 0; R > 0) → (Λ = 0) → flacher Minkowski-Raum (R = 0)

Tatsächlich ist es so, dass die kosmologischen Lösungen der ART in topologische Sektoren zerfallen. Hier eine anschauliche Erklärung, um was es sich dabei handelt. Stell dir vor u hast eine Ebene, auf der die Schlingen (geschlossene Kurven aufmalst oder durch einen Haushaltsgummi darstellest. Stell dir weiter vor die Ebene wird an einer Stelle von einem unendlich langen Draht oder Rohr durchstoßen. Nun kannst du für jede Schlinge zählen, wie oft sie dieses Rohr umwindet; außerdem kannst du auf der Schlinge eine Richtung (einen Pfeil) vorgeben und positive und negative Windungen um das Rohr unterscheiden. Du bekommst eine sogenannte Windungszahl n ... -2, -1, 0, +1, +2, ...
Die Windungszahl ist eine topologische Invariante; kleine Deformationen d.h. Verformungen der Schlinge ändern sie nicht. Generell kannst du zwei Schlingen mit unterschiedlicher Windungszahl nicht durch Deformation in der Ebene ineinander überführen; dies verhindert das unendlich lange Rohr.

Genau so verhält es sich mit Lösungen in der ART. Verschiedene Deformationen eines topologischen Sektors sind möglich (ein paar Sterne hier dazu; dort eine Galaxie weg ...) ändert nichts an der Gesamttopologie; insbs. kann die Dynamik der ART innerhalb eines Sektors die Lösung deformieren (Expansion, Kontraktion), aber eben nicht den jeweiligen Sektor verlassen. Die Topologie eines vierdimensionalen Universums hat übrigens eine viel größere Vielfalt wesentlich kompliziertere topologicher Invarianten als eine derart einfache Krümmunsgzahl!

Insofern hast du recht, dass die Dynamik der ART und der Materie verschiedene Lösungen der ART ineinader umwandelt, aber nur, solange sie im selben topologischen Sektor liegen. Die Expansion des Universums entspräche einer Vergrößerung der Schlinge, jedoch ohne Änderung der Windungszahl.

Nun zu deinem - leider doch vorliegenden - Denkfehler:

Es ist ja nicht so, dass die Materie (später) sozusagen in ein bereits existierendes Universum (das zu einem bestimmten topologischen Sektor gehört) hineingepflanzt wird und die Topologie der Lösung ändert. Statt dessen sind Materie und andere Arten von Energie (Strahlung) bereits seit Beginn vorhanden, das heißt die Topologie wird gemeinsam mit der "Energieinhalt" (mathematisch) festgelegt. Danach sind Änderungen der Materie-und Strahlungszusammensetzung (sowie Umwandlungen), Änderung der geometrischen Details (Ausdehnung) und Wechselwirkungen zwischen der Dynamik der Materie sowie der der Geomerie möglich - aber immer unter Respektierung des jeweiligen topologischen Sektors.

Dann noch ein spekulativer Ausblick:

Wir gehen im Rahmen der Quantengravitation ja davon aus, dass der glatte Raum wie ihn die ART zur Beschreibung nutzt, letztlich durch eine (mathematisch noch nicht endgültig fassbare) "körnige" bzw. diskrete Struktur ersetzt werden muss, die erst für "große" Universen als glatt erscheint ("groß" meintt hier "groß ggü. der Plancklänge", ist also doch noch recht klein :-). D.h. der Raum so wie wir ihn kennen ist ein Näherunsgkonstrukt (so wie die glatte Wasseroberfläche eine Näherung für die atomare Struktur darstellt). Im Zuge der "Emergenz" der glatten Raumes aus einer unterlagerten diskreten Struktur "entsteht" auch die Topologie und Geometrie (die Spinnetzwerke der LQG tragen noch gar keine Topologie!) Und dabei wäre es nun schon möglich, dass es auch Quantenfluktuationen gibt, die neben der (kleinräumigen) Geometrie die (globale) "Topologie" ändern.

[tomS]

Ich habe den Titel des Themas geändert, da wir eine ähnliche Diskussion hier schon mal hatten und so der Bezug sichtbar wird; siehe hier viewtopic.php?f=3&t=1436

[Pippen]

Nun zu deinem - leider doch vorliegenden - Denkfehler:

Es ist ja nicht so, dass die Materie (später) sozusagen in ein bereits existierendes Universum (das zu einem bestimmten topologischen Sektor gehört) hineingepflanzt wird und die Topologie der Lösung ändert. Statt dessen sind Materie und andere Arten von Energie (Strahlung) bereits seit Beginn vorhanden, das heißt die Topologie wird gemeinsam mit der "Energieinhalt" (mathematisch) festgelegt. Danach sind Änderungen der Materie-und Strahlungszusammensetzung (sowie Umwandlungen), Änderung der geometrischen Details (Ausdehnung) und Wechselwirkungen zwischen der Dynamik der Materie sowie der der Geomerie möglich - aber immer unter Respektierung des jeweiligen topologischen Sektors.

Das stimmt, aber dann müßte die Phyik den Raum notwendig mit der darin enthaltenen Materie definieren. Tut sie das? Wenn ja, dann kommt man natürlich und zu Recht nicht zu meinem Ergebnis. Auf der anderen Seite bin ich mir nicht sicher, wie die Physik den "Raum" überhaupt definiert. Man spricht zwar vom "Minkowski-Raum" usw. aber wie definiert man ganz allgemein "Raum" bzw. Raumzeit"? Ich als Laie würde zB definieren: Der Raum ist eine Menge, in der alle Elemente durch ein vorher festgelegtes Inertialsystem durch die Koordinaten "Höhe, Breite, Tiefe, Zeit" bezeichnet werden können. Damit wäre auch das für Laien oft unvorstellbare Problem beseitigt, dass und wie sich "Räume krümmen oder ausdehnen" können, denn es wird klar, dass dieser Raum eine rein math. Festlegung ist, der keine ontologische Bedeutung iSv "Behältnis" Bedeutung zukommt, der also nix mit der Realität zu tun haben muss, so dass die dortigen "Krümmungen" einfach nur schlechte Übersetzungen eines rein math. Phänomens sind, dass eigentlich gar nicht mit einer "Krümmung" zu tun hat.

Wie also definiert die Physik bzw. die ART/Kosmologie einen ihrer fundamentalsten Begriffe? Ich finde, man kann da als Laie eine ganz klare Definition ohne viel Formelhickack verlangen, oder?

[tomS]

Das stimmt, aber dann müßte die Phyik den Raum notwendig mit der darin enthaltenen Materie definieren. Tut sie das?

Ja, das tut sie; Raum und Materie existieren gemeinsam; Materie sagt dem Raum, wie er sich krümmen soll, der Raum (die Krümmung) wiederum sagen der Materie, wie sie sich bewegen soll. Beides ist untrennbar miteinander verbunden. Insbs. kann die Materie ja nicht ohne Raum existieren (wohingegen leerer Raum nach der ART möglich wäre).

Auf der anderen Seite bin ich mir nicht sicher, wie die Physik den "Raum" überhaupt definiert. Man spricht zwar vom "Minkowski-Raum" usw. aber wie definiert man ganz allgemein "Raum" bzw. Raumzeit"?

Der Raum wird mathematisch als sogenannte Mannigfatigkeit definiert. Im wesentlichen handelt es sich dabei um die mehrdimensionale Verallgemeinerung einer Fläche. Lokal kann man dabei immer flache, ungekrümmte Flächen als Tangenten an Punkte die Mannigfaltigkeit anlegen (und dort auch ein Koordinatensystem einführen). Du siehst also, dass der Raum (oder auch die Raumzeit) mathematisch so ziemlich dem entspricht, was du auch aus deiner Anschauung kennst.

Damit wäre auch das für Laien oft unvorstellbare Problem beseitigt, dass und wie sich "Räume krümmen oder ausdehnen" können, denn es wird klar, dass dieser Raum eine rein math. Festlegung ist, der keine ontologische Bedeutung iSv "Behältnis" Bedeutung zukommt, der also nix mit der Realität zu tun haben muss, so dass die dortigen "Krümmungen" einfach nur schlechte Übersetzungen eines rein math. Phänomens sind, dass eigentlich gar nicht mit einer "Krümmung" zu tun hat.

Auch das kann man sich in ein oder zwei Dimensionen wieder veranschaulichen. Dazu stelle man sich eine Kugel vor, die man an eine gekrümmte Fläche anschmiege. Die Krümmung entspricht dann im wesentlichen dem Radius der Kugel (besser gesagt dem Inversen des Radius). Man benötigt nun leider nicht eine sondern mehrerer Zahlen, um das in höherdimensionalen Räumen zu beschreiben, aber das Konzept bleibt das gleiche. Es handelt sich also um "gute" Übersetzungen.

Man kann sich gekrümmte Mannigfaltigkeiten (Bsp.: zweidimensionale Fläche) immer als eingebettet in höherdimensionale, flache Räume (Bsp.: dreidimensionaler Raum) vorstellen (Einbetungssatz von Nash), allerdings ist das nicht notwendig.Die Mathematik (Differentialgeometrie) kann eine Mannigfaltigkeit beschreiben, ohne einen einbettenden Raum zu Hilfe nehmen zu müssen; das ist mathematischer Ballast, der aber eben eine leichtere Veranschaulichung ermöglicht.

Zusammenfassend: hier sind Mathematik und deren Veranschaulichung gar nicht so weit voneinander weg. Insbs. Gauß hat die Mathematik gekrümmter Räume anhand anschaulicher Beriffe entwickelt. Erst später wurden dann abstraktere Begriffe eingeführt (die man leider auch in der ART benötigt), aber die Basis ist weiterhin das Konzept gekrümmter Flächen.

[Pippen]

Der Raum wird mathematisch als sogenannte Mannigfatigkeit definiert. Im wesentlichen handelt es sich dabei um die mehrdimensionale Verallgemeinerung einer Fläche. Lokal kann man dabei immer flache, ungekrümmte Flächen als Tangenten an Punkte die Mannigfaltigkeit anlegen (und dort auch ein Koordinatensystem einführen). Du siehst also, dass der Raum (oder auch die Raumzeit) mathematisch so ziemlich dem entspricht, was du auch aus deiner Anschauung kennst.

1. Was bedeutet "mehdimensionale Verallgemeinerung einer Fläche"? Wie definiert man math. "Fläche" In meiner Anschauung sind Flächen unendlich hoch und breit, es sei denn ich definiere willkürlich entsprechende Grenzen, zB die A4-Größe.

2. Nochmal meine Variante: "Der Raum ist eine Menge, in der alle Elemente durch ein vorher festgelegtes Inertialsystem durch die Koordinaten "Höhe, Breite, Tiefe, Zeit" bezeichnet werden können." Was gäbe es hieran auszusetzen?

3. Irgendwo habe ich mal gelesen, dass der Physiker mit Raumkrümmung keine echte Raumkrümmung meint, sondern lediglich, dass zB das virtuelle Raster eines Koordinatensystems nicht gleichmäßig verteilt ist, sondern sich einige Punkte atypisch nahe beieinander befinden.

[tomS]

1. Was bedeutet "mehdimensionale Verallgemeinerung einer Fläche"? Wie definiert man math. "Fläche" In meiner Anschauung sind Flächen unendlich hoch und breit

Genau; mit zwei Koordinaten hast du eine Fläche, mit drei den Raum - und es gibt mathematisch keinen Grund, bei drei aufzuhören; dass du (lokal) ein Koordinatensystem einführen kannst, ist genau die Eigenschaft einer Manigfaltigkeit

2. Nochmal meine Variante: "Der Raum ist eine Menge, in der alle Elemente durch ein vorher festgelegtes Inertialsystem durch die Koordinaten "Höhe, Breite, Tiefe, Zeit" bezeichnet werden können." Was gäbe es hieran auszusetzen?

Nichts! Du beschränkst dich auf drei Dimensionen (musst du i.A. nicht) und du forderst den Begriff eines Inertialsystems; das ist bereits eztwas sehr spezielles, die Mathematiker sprechen in dem Fall von einer pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit.

3. Irgendwo habe ich mal gelesen, dass der Physiker mit Raumkrümmung keine echte Raumkrümmung meint, sondern lediglich, dass zB das virtuelle Raster eines Koordinatensystems nicht gleichmäßig verteilt ist, sondern sich einige Punkte atypisch nahe beieinander befinden.

Das stimmt nicht; insbs.kann man Krümmung sogar dann definieren, wenn gar kein Koordinatensystem bekannt ist; du siehst einer Kugelfläche an, dass sie gekrümmt ist, ohne Längen- und Breitengrade einzuzeichnen. Du siehst sogar, dass sie überall gleich gekrümmt ist, obwohl das Koordinatensystem am Pol und am Äquator unterschiedlich aussieht; d.h. Koordinatensysteme sind nur Hilfskonstrukte.

[Pippen]

Das stimmt nicht; insbs.kann man Krümmung sogar dann definieren, wenn gar kein Koordinatensystem bekannt ist; du siehst einer Kugelfläche an, dass sie gekrümmt ist, ohne Längen- und Breitengrade einzuzeichnen. Du siehst sogar, dass sie überall gleich gekrümmt ist, obwohl das Koordinatensystem am Pol und am Äquator unterschiedlich aussieht; d.h. Koordinatensysteme sind nur Hilfskonstrukte.

1. Hm...ich hab da natürlich wenig Ahnung, aber wie definiert man eine RAUMKrümmung OHNE dazugehöriges Koordinatensystem? Das Bsp. mit der Kugel scheint mir nicht zu passen, denn da krümmt sich ein Körper IM Raum, nicht der Raum selbst (und selbst dann kann man eine Krümmung nur über ein Koordinatensystem definieren, zur Not über unser "internes", was wir allg. als Sehen bezeichnen).

2. Wenn Raum und Materie schon definitorisch eine Einheit bilden, dann müßte das Universum immer und notwendig und selbst OHNE die Annahme einer Raumkrümmung ein geschlossenes System sein, ähnlich einer Kugel oder eines Zylinders oder eines Quaders, stimmts?

3. Wie will der Physiker unterscheiden zwischen einem krummen Schlauch, der in einem eukild. Raum liegt und einem krummen Schlauch, der krumm ist, weil der Raum sich da krümmt? Oder: Wenn sich eine Auto vom Ort X entfernt...wieso spricht da niemand von Raumausdehnung, bei expandierenden Galaxien aber schon.

[tomS]

OK, ich geb's zu, ich muss da einiges erklären.

Zunäöchst mal ist es so, dass die vollständige Information der Krümmung im sogenannten Krümmungstensor steckt; dieser benötigt zu seiner Definition zunächst tatsächlich ein Koordinatensystem. Allerdings kann man daraus sogenannte Krümmungsinvarianten ableiten (der Radius der sich an eine Fläche anschmiegenden Kugel ist einer davon), die ohne Koordinatensystem auskommen.

Dein wesentliches Problem scheint zu sein, dass du zwischen der Krümmung als intrinsischer Eigenschaft und Krümmung aufgrund einer Einbettung unterscheidest. Der Mathematiker tut dies i.A., allerdings benötigen wir leider dieses irreführende Bild der Einbettung, um uns überhaupt etwas anschaulich vorstellen zu können. D.h. die Kugel, eingebettet im 3-dim. Raum ist tatsächlich gekrümmt; man kann dies mathematisch auch beschreiben, ohne den einbettenden 3-dim. Raum zu Hilfe zu nehmen, allerdings kann man sich das eben leider nicht mehr vorstellen.

In meinem Beispiel geht es zunächst um die Krümmung einer 2-dim. Kugelfläche, eingebettet in den 3-dim. flachen Raum. Wie gesagt, mathematisch kann man auch eine 2-dim. Kugelfläche ohne einbettenden Raum beschreiben. Eine Verallgemeinerung wäre dann eine "3-dim. Kugefläche" eingebettet in einen 4-dim. flachen Raum; wiederum könnte der einbettende Raum entfallen. Die Raumzeit wäre dann eine "4-dim. Fläche", eingebettet in einen höherdiemensionalen flachen Raum (5-dim.reicht i.A. nicht aus, nur für Spezialfälle); die Geometrie der Raumzeit ist nicht die einer 4-dim. Kugelfläche, da sich die Zeitdimension anders verhält. Eine große Klasse von Raumzeiten kann man aber mathematisch durch das "direkte Produkt" einer "3-dim. gekrümmten Fläche" mit einer Linie (der Zeit) beschreiben; drei wesentliche Fälle wären dann, dass es sich bei der "3-dim. Fläche" um eine Kugel, eine Ebene bzw. eine Sattelfläche handelt; nur der erste Fall entspricht einem geschlossenen Universum; der zweite entspricht einem flachen Universum.

Das "direkte Produkt" kann man sich teilw. recht einfach vorstellen; z.B. ist das direkte Produkt einer 1-dim. Kreislinie mit einer Linie (der Zeit) eine Zylindermantelfläche. Das "direkte Produkt" einer 2-dim. Kugelfläche mit einer Linie kann man sich leider nicht mehr veranschaulichen.

[deltaxp]

Pippen, das problem ist, das der mensch unfähig ist, sich sowas vorzustellen, kein mensch kann das, weil unser erfahrungshorizont auf dem sich unser gehirn geicht hat nunmal eine dreidimensionale ebene welt ist.

deswegen bedürfen wir entweder analogien, wie die einbettung von mannigfaltigkeiten in höherdimensionalen räumen oder wir nutzen andere mittel um einen sachverhalt darzulegen, der jenseits unser bildlichen vorstellung liegt: nämlich abstraktionen. das können begriffe sein, mathematische symbole, graphiken. gottseidank können wir das und damit kommten wir gut weiter. irgendwann, wenn man sich ständig damit beschäftigt, lernt man damit umzugehen und zu arbeiten.

zum beispiel kugeloberfläche. ne Kugeloberfläche bleibt immer ne kugeloberfläche, egal was für ein koordinatensystem man benutzt. man kann kartesische koordinaten benutzen, x,y,z mit der einschränkung, x^2+y^2+z^2=R^2, man kann polar koordianten benutzen, azimutalwinke, horizontalwinkel, fester radius (2 unabhängige grössen, also 2d), ich kann auch kreuzweise ringe draufmalen. egal was, es bleibt immer ne kugeloberfläche und es gibt eigenschaften, die unabhängig von der wahl des koordinatensystem sind, wie hier der Krümmungsradius R. egal in welchen koordinatensystem man den ausrechnet, es kommt immer R raus, R ist also eine beschreibende Invariante. und diese eigenschaft kann man auch berechnen, OHNE dass man ein grösseren ebenen raum braucht, indem die kugeloberfläche liegt.

als beispiel führt man dafür gerne immer die 2d-weltler an, plartte wanzen, die nur auf der kugeloberfläche existieren. nur die hat physikalische realität (ob ich das jetzt mathematisch in ein höheren ebene raum einbette oder nicht ist dann nur von akademischen interesse, da alles was passiert in dieser welt NUR auf der kugeloberfläche abläuft, es gibt kein ausserhalb der oberfläche.

im nahen umfeld betrachtet, sieht die kugeloberfläche für die platte wanze auch wie ne ebene 2d-flaeche aus. wenn sie nen kleines dreieck malt, kommt da alls innenwinkelsumme 180 raus. jetze fängt sie an zu laufen, millionen von jahren, die 2d-wanzen werden uralt, und da bemerkt sie irgendwann, nanu, hier war ich schon mal. dat is ja schräg, ich mal mal grössere dreiecke, und sie wird feststellen das die innenwinkelsumme grösser als 180 wird, ses gibt auch dreiecke mit 3 rechen winkeln (äquator-pol). aus diesen eigenschaften stellt sie schliesslich fest, das seine welt gekrümmt sein muss, sonst geht das nicht, jetze rechnet sie ne weile rum und bekommt mittles mathematik ne beschreibung raus, mit der man diese gekrümmte welt beschreiben kann, sie kann auch zeigen, dass man 3 dimensionen einens ebene raumes bräuchte, um die welt dort reinzupacken, allerdings hat ihre welt nur 2 dimensionen, keine 2d-wanze kann sich vorstellen, was 3 dimensionen sein sollen. sonen 2d-wanzen gehirn kann sich das einfach nicht vorstellen, weil seine welt nunmal nur 2d ist und er in ihr lebt, was anderes gibt es ncht.

die wanze versucht sich mit einer analogie verständlich zu machen und baut nen sgeraden trich in seine welt. so sagt er, dass kennt ihr, vor und zurück, wenn ich den lang male geht es immer soweiter. nun baut sie nen kreis, und die wanzen gehen rum und kommen am anfang wieder an, ahhh, sie begreifen, krummer strich auf ner flachen 2d-welt. ja sagt die wanze, aber ich brauche die 2d welt nicht um diese eigenschaften zu beschreiben, und unsere welt ist auch krumm, und es gibt nur unsere beiden dimensionen nichts weiter, auch wenn ich was grösseres finden könnte um sie mathematisch dort reinzulegen, das ist irrelevant, weil unser natur nur in diesen beiden dimensionen abläuft.

[Pippen]

Ich möchte noch einmal 2 Punkte herausstellen:

1. Wir haben verabredet, dass die Physik den Raum so definiert, dass darin die Materie notwendig enthalten ist, d.h. Raum ohne Materie und Materie ohne Raum ist nicht definiert. Daraus folgere ich: Dort wo es keine Materie gibt, gibt es auch keinen Raum. Daraus folgere ich weiter: Die Grenze des Universums ist zugleich die Grenze seiner Materie, weil diese zugleich die Grenze des Raumes bildet. Wir können uns das Universum zB als Körper - nehmen wir eine Kugel - mit einem Volumeninhalt vorstellen. Die Grenze der Kugel (die der Kugel ihre Form gibt) wäre dort, wo die letzte Stücke der Materie "herumfliegen". Dort würde die Kugel enden, dort würde daher das ganze Universum enden. Ich halte diese Klarstellung für wichtig, denn häufig hört man die Frage nach der Grenze des U. und was dahinter ist. Ich möchte diese Frage klar beantworten können. ME heißt die Antwort: Die Grenze des U. ist dort, wo Teilchen, die direkt oder indirekt auf dem Urknall beruhen keine Nachfolgeteilchen haben,d.h. Teilchen die ihnen - je nach Raumdefinition - nachfolgen. Dort enden Raum, Materie und Zeit. Ein weiterer Bereich ist nicht definiert. Kann man das so sagen bzw. wie lautet die wirklich korrekte Antwort?

2. Ich frage mich immer wieder, wie eine Raumkrümmung bewiesen werden kann, weil ich glaube, dass nur dann das Modell der Raunmkrümmung langfristig Erfolg haben wird. Die Krux für euch Physiker ist nämlich, dass Raumkrümmung eine reine Definition einer wie auch immer gearteten Mannigfaltigkeit ist, die man ganz leicht auch anders definieren könnte. Nur wurd bereits gesagt, dass zB 2D-Wesen auf einer sehr großen Kugel selbst herausfinden können, dass ihr Lebensraum keine flache 2D-Fläche ist. Sie müßten nur ein Dreieck auf der Kugel aufzeichnen können, dass groß genug ist, zB indem Generationen von diesen 2D Wesen mit schwarzer Farbe bewaffnet eine exakte Gerade zeichnen, andere eine exakte Gerade, die diese schneidet und wieder andere eine dritte schneidende Gerade...und das alles in großen Dimensionen und viola, man könnte durch die Innenwinkelsumme des so gezeichneten Dreieck größer 180° aufzeigen, dass die Fläche nicht flach sein kann. Soweit so gut. Aber wir haben keine solche Fläche, wo wir ein Dreieck aufmalen können. Alle Dreiecke, die wir zeichnen könnten (zB durch weit entfernte Sterne als Eckpunkte) hätten notwendig 180°, es geht mE gar nicht anders. ME kann man damit die Raumkrümmung nie beweisen, weil uns im Gegensatz zu den 2D Wesen eine Grundlage zum Aufmalen des Dreiecks fehlt. Das hieße aber, dass wir zur Beschreibung unseres U. ein Modell anwenden, dass total falsch sein kann und wir werden es nie wissen.

[deltaxp]

zum punkt 1 pippen:

ich bin zwar theoretisch nicht so bewandert wie tom und tensor und so, aber a bisserl kann ich auch so dazu schreiben:

materie kann ohne raum nicht existieren: richtig
raum kann ohne materie nicht exsitieren: leider nicht richtig:

die gleichung der allgemein relativitätstheorie erlauben lösungen ohne materie: im prinzip lauten die gleichungen so:

Geometrie der Raumzeit = Verteilung der Materie+Energie

das ganze ist ein gleichungssystem von 10 unabhängigen gleichungen (4 (3raum+1zeit)+3+2+1=10)
und dabei stellt sich folgendes raus:

setzen wir Materie+Energie=0 steht dort

Geometrie der Raumzeit = 0,

aber heisst das jetzt das die raumzeit =0 ist? (einzige lösung für t=x=y=z=0, das wäre keine raumzeit)? nein! weil das ist ein gleichungssystem von 10 gleichungen ist

Gleichung1(x,y,z,t)=0
Gleichung2(x,y,z,t)=0
...
Gleichung10(x,y,z,t)=0.

und diese Gleichungen haben sehr wohl Lösungen, sogenannte vakuum-lösung, soweit ich weiss ist zum beispiel die sogenannten de-sitter und anti-de-sitter lösung eine ganz oihne materie, der witz ist, dass der sogar der gekrümmt ist im allgemeinen!

das solche vakuum-lösungen oder auch homogene lösungen existieren ist nichts besonderes. ganz einfaches beispiel
x-y=0
hat als lösung y=x, eine spezielle wäre x=0,y=0 (das wäre keine raumzeit) aber die gesamte gerade y=x ist die lösung

ja sogar ein schwarzes loch ist eine lösung ohne materie-verteilung! denn die gesamte materie wird in einen massepunkt gesteckt und schwarzschild berechnete eine lösung überall, ausser für den punkt wo die masse ist, das heisst, überall da wo die lösungen existieren ist keine materie.

Umgedreht geht es nicht, da Materie und Energie verteilung im raum definiert sind. das nennt man dort energie Impuls tensor , wobei , für die 4 koordinaten t,x,y,z stehen.

zum punkt 2: oh ja, man hat solch ein dreieck gefunden!!
in der tat hat man die krümmung unseres sichtbaren universums mittlerweile auch messen können: nämlich durch analyse der verteilung der winzigen fluktuationen in der kosmischen hintergrundstrahlung! man weiss nämlich wie gross maximal die klumpen nur sein konnten, als die strahlung von der materie entkoppelte so nach knapp 3.8*10^5 jahren. da nichts rascher als das licht laufen konnte. Im prinzip liefen damals durch das plasma hat schallwellen hin und her mit etwa 0.6c, bis zur rekonmbinationen, ab dann wars kein plasma mehr,

heute nach 13.8*10^9 jahren sehen wir die projektion dieser letzten dichteschwankungen des plasmas kurz vor der rekombination in den kleinen temperaturfluktuationen der stark rotverschobenen kosmischen hintergrundstrahlung und wir kennen die wellendehnung 1+z=3000K/2.7K~1100. in einem flachen universum, wo die lichtsrahlen gerade laufen kommt man für damit einen ersten peak für die plasmaschall-wellenlänge in den fluktuationen von

, wenn man berücksichtigt dass die plasmaschallgeschwindigkeit

in einem positiv gekrümmten universum konvergieren die strahlen, das heisst der grad erscheint grösser , im negativ gekrümmten kleiner. im ersten fall erscheinen uns klumpen grösser, wie a bisserl mit ner lupe, im zweiten fall kleiner. man hat gefunden dass der erste peak der inhomogenitäten genau bei einem grad liegt! wir leben also in einem flachen universum zumindest in dem uns überschaubaren bereich! das heisst man konnte ses mittlerweile direkt messen!

(indirekt über energiedichte auch, da kommt auch drauf 5% baryonische materie, 25% dunkle mateie, 70% dunkle energie (falls dat so is, gibs ja mittlerweile versuche die alternativ zu erklären) macht genau die kritische dichte die für ein flaches universum benötigt wird).

wenn du was dazu nachlesen willst auf verstehbaren niveau
http://meaulnes.legler.org/Artikel/Urkn ... puren.html
oder ein sehr schöner gut verstehbarer und sehr unterhaltsamer vortrag von lawrence krauss, falls du englisch kannst
http://www.youtube.com/watch?v=7ImvlS8PLIo&NR=1

für mehr details zb:
http://www.physik.uni-regensburg.de/for ... en/CMB.pdf
oder
http://www.stud.uni-karlsruhe.de/~uyauk/detlef/cmb.pdf

ich hoffe das stimmt alles so ungefähr, ansonsten bitte korrigieren

[tomS]

1. Wir haben verabredet, dass die Physik den Raum so definiert, dass darin die Materie notwendig enthalten ist, d.h. Raum ohne Materie und Materie ohne Raum ist nicht definiert.

Siehe dazu auch den Beitrag von deltaxp; leerer Raum kann gemäß der ART sehr wohl existieren. Er existiert ja auch insofern, als es durchaus große Raumbereiche ohne (nennenswerte) Materie gibt.

... dass Raumkrümmung eine reine Definition ... ist, die man ganz leicht auch anders definieren könnte. ...
ME kann man damit die Raumkrümmung nie beweisen, weil uns im Gegensatz zu den 2D Wesen eine Grundlage zum Aufmalen des Dreiecks fehlt.

Nein, man kann das nicht so leicht anders definieren; die (Gaußsche) Krümmung hat ganz bestimmte geometrische Eigenschaften und ist insbs. in "anschaulicher Weise" abgeleitet. Dazu müsstest du dir aber mal eine Einleitung zur Differentialgeometrie anschauen.
Die Grundlage zum Aufmalen ist kein Hinderungsgrund, man könnte z.B. ein aus Laserstrahlen bestehendes Dreieck benutzen. [Es gibt auch andere Messmethoden, z.B. kann man einen Vektorpfeil entlang einer geschlossenen Kurve herumtragen, wobei der Pfeil immer denselben Winkel mit der Kurve einschließt. Nach einem vollständigen Umlauf zeigt eine Verdrehung des herumgetragenen Pfeils ggü. seiner ursprünglichen Orientiertung eine nichtverschwindende Krümmung an. Die Kurve kann dabei beliebig sein, ein Dreieck ist nicht vorgeschrieben]. Dass das praktisch nicht geht, weil die Raumkrümmung eben zu klein ist bzw die Kurven zu groß werden, um sie im Labormaßstab zu untersuchen, stört dich dabei hoffentlich nicht.

Letztlich ist es fpür die Richtigkjeit einer physikalischen Theorie gar nicht notwendig, dass eine bestimmte Größe (hier: die Krümmung) eine anschauliche Bedeutung hat. I.A. beinhalten alle Theorien sehr viele unanschauliche bzw. nicht direkt messbare Größen. Wichtig ist nur, dass das, was gemäß einer Theorie messbar ist, auch richtig vorhergesagt wird. Die nicht messbaren Größen dienen als Hilfsmittel und die Theorie sollte damit "sparsam" umgehen (ART: Metrik, Energie-Impusldichte, Einsteingleichungen => Dynamik des Sonnensystems / von Galaxien, Kosmologie, ...; insofern kommt die ART mit wenig Input aus und ist eine recht effizienzte Theorie, selbst wenn die Krümmung unanschaulich bleibt)

[Pippen]

zum punkt 1 pippen:

materie kann ohne raum nicht existieren: richtig
raum kann ohne materie nicht exsitieren: leider nicht richtig:

Jetzt bin ich gleich mal wieder etwas verwirrt . Also ist der Raum doch unabhängig von der Materie, ja? Das Problem: Dann müßte doch das U. räumlich in jedem Falle unendlich sein, denn in der Geometrie sind doch Räume unendlich erweiterbar und damit eben unendlich. Wieso sagt dann aber die Kosmologie im Prinzip: Das Universum hat ein Volumen und das Volumen, d.h. das ganze U. mitsamt Materie & Raum, endet an der Volumengrenze? Es müßte dann doch heißen: Die Materie ist nicht unendlich im Raum verteilt (vgl. Urknalltheorie), aber der Raum, der ist unendlich. Da scheint mir doch Raum & Materie doch aneinander gekoppelt, oder?

[tomS]

Die Materie ist an den Raum gekoppelt; nicht jedoch der Raum an die Materie.

Raum ohne Materie kann - bei Existenz einer geeigneten kosmologischen Konstante (umgekehrtes Vorzeichen!) auch endlich sein. Raum muss sich eben nicht unendlich ausdehnen.

Du musst unterscheiden zwischen den generellen Eigenschaften einer Mannigfaltigkeit (endlich / unendlich, ohne / mit Rand, ...) und der konkreten Realisierung aufgrund der Dynamik der ART.

[Pippen]

zum punkt 2: oh ja, man hat solch ein dreieck gefunden!!
in der tat hat man die krümmung unseres sichtbaren universums mittlerweile auch messen können: nämlich durch analyse der verteilung der winzigen fluktuationen in der kosmischen hintergrundstrahlung! man weiss nämlich wie gross maximal die klumpen nur sein konnten, als die strahlung von der materie entkoppelte so nach knapp 3.8*10^5 jahren. da nichts rascher als das licht laufen konnte. Im prinzip liefen damals durch das plasma hat schallwellen hin und her mit etwa 0.6c, bis zur rekonmbinationen, ab dann wars kein plasma mehr,

heute nach 13.8*10^9 jahren sehen wir die projektion dieser letzten dichteschwankungen des plasmas kurz vor der rekombination in den kleinen temperaturfluktuationen der stark rotverschobenen kosmischen hintergrundstrahlung und wir kennen die wellendehnung 1+z=3000K/2.7K~1100. in einem flachen universum, wo die lichtsrahlen gerade laufen kommt man für damit einen ersten peak für die plasmaschall-wellenlänge in den fluktuationen von

, wenn man berücksichtigt dass die plasmaschallgeschwindigkeit

in einem positiv gekrümmten universum konvergieren die strahlen, das heisst der grad erscheint grösser , im negativ gekrümmten kleiner. im ersten fall erscheinen uns klumpen grösser, wie a bisserl mit ner lupe, im zweiten fall kleiner. man hat gefunden dass der erste peak der inhomogenitäten genau bei einem grad liegt! wir leben also in einem flachen universum zumindest in dem uns überschaubaren bereich! das heisst man konnte ses mittlerweile direkt messen!

D.h. vorläufig gilt: Wir leben in einem räumlich unendlich ausgedehnten Universum?

würde damit folgende Theorie (die ich habe) noch möglich sein? Dass, was wir als Universum bezeichnen ist seinerseits nichts anderes als ein kleiner Teil eines Multiversums, in dem es viele Universen gibt (so wie es viele Galaxien in unserem Universum gibt). Alles spielt sich in EINEM Raum (vierdim. Raumzeit) ab, nur das die Distanzen zwischen einzelnen Universen nochmals so groß sind, dass weder von dort Licht noch sonst irgendwelche Graviwellen zu uns gelangen. Interessanterweise stellt sich auch da das Olbersche Paradoxon wieder: Wenn es unendlich viele und unendlich viele alte Universen gibt, dann müßte das Licht von dort irgendwie ja sichtbar sein oder unseres zumindest aufheizen. Meine Idee: Licht ermüdet bei supergroßen Distanzen wie zB 100 Mrd. LJ, d.h. wird irgendwann so rotverschoben, dass es praktisch wirkungslos und für uns unwahrnehmbar ist. Das ist natürlich alles sehr spekulativ, aber es "rettet" in gewisser Weise die steady state Theorie . Es bliebe dann auch irgendwo der Traum, dass irgendwann mal ein Mensch an die sprichwörtliche Grenze unseres Universums kommen könnte und dann einfach weiterfliegt.

[tomS]

Schwierige Frage. Die zu Beginn ihrer Entstehung kompakten und gekrümmten Universen können durch die Inflation aufgebläht und abgeflacht werden, aber einen Topologieänderung (und eine solche benötigen wir, wenn ein neues Universum, das aus einer lokal beschränken Fluktuation hervorgeht, eine unenedliche Ausdehung erreichen soll) ist m.W.n. im Rahmen der ART nicht möglich. Ich denke aber, dass generell sogar noch radikalere Möglichkeiten existieren, evtl. kann sich ein neu entstandenes Universum vollständig ablösen.

Das sind m.E. eine Fragen, die eine Theorie der Quantengravitation beantworten muss. Solange diese nicht existiert, kann man das nicht wirklich beantworten.

[deltaxp]

da ist erstmal die frage, was ist unser universum. bezeichnen wir mal das als unser universum, welches durch "unseren" urknall hervorgegangen ist vor 13.7 milliarden jahren. die letzten galaxien, deren licht wir sehen, sind heute wohl so 45 milliarden lichtjare entfernt (universum hat sich ausgedeht, seit der zeit wo sie das licht abstrahlten). wenn man die inflationstheorie annimmt, und es spricht einiges dafür dass es sowas gegeben haben muss, welcher mechanismus auch immer dahintersteckte ist das universum aber viel viel grösser, wir sind nur nen kleiner patch darauf, aber der rest ist hinterm ereignishorizont verschwunden, alles licht was von dort ausgestrahlt wurde kann uns nicht erreichen. und heizt und deshalb nicht aus, weil die raumausdehnung dieser entfernten gebiete schneller erfolgt als die lichtgeschwindigkeit. wenn du das als ermüdung bezeichnest okay, aber da steckt kein anderer prozess dahinter als die ausdehnung des raumes ansich. wenn er wieder kontrahiert wirds auch wärmer.

das ist unser universum, die ausdehnung des universums, endlichkeit der lichtgeschwindigkeit und das endliche zeitalter lösen das olbersche paradoxon auf.

jetzt zum multiversum. hier muss man verschiedene scenarien betrachten. das ist zunächst mal allessamt graue theorie. es gibt keinerlei experimentelle hinweise auf sowas , na gut vielleicht der dark flow, aber falls der sichexperimentell manifestiert kann er von einem teil unseres universums im sinne obiger definition hervorgerufen sein und nicht notwendigerweise eines anderen.

die qm-multiversen theorie betrachten wir hier mal nicht. es geht um die kosmischen multiversen.

vilenkin (war das glaub ich) hat die inflationsmodelle auf der basis von inflatonfeldern mal näher untersucht und er kam da zu einem recht interessanten ergebnis. wenn man die inflation erst einmal annimmt, folgt dass sie ewig erfolgt, sie hatte einen anfang, aber kein ende, die universen sind sozusagen inseln stabiler vakuumzustände in ein sich mit wahnsinniger geschwindigkeit expandierenden höher energetischen vakuum, wie blasen im kochenden wasser, nur mit dem unterschied, dass sich das wasser rasend schnell ausdehnt^, halt inflationär mit zigfacher lichgeschwindigkeit, also vielschneller als die universen-blasen in diesem vakuum sich ebenfalls ausdehnen. das heisst, dass diese universen, jeder seienn eigenen urknall, wenn man das lokale ende der inflatiion, alos das entstehen einer stabilenvakuuminsel als urknall dann bezeichnet,
allesamt durch ereignishorizonte voneinander getrennt sind und sich nie ins gehege kommen. daher tritt auch hier kein olberschesches paradoxon auf.

dann gibbet noch die multiversuntheorie der stringtheorie, wo nen universum auf ausgedehnten branen leben und die branen im sogenannten bulkraum hängen, die durchaus sehr nahe sein können (randall-lundrum modell bsp). da die physik sich nur auf der brane abspielt buis auf die gravitaion, sehen wir deshalb die anderen brane unversen nicht, da licht auch auf der jeweiligen brane bleibt (wie alle anderen wechselwirkung ausser gravi auch). wir mussen von denen ergon nicht durch einen ereignishorizont getrennt sein, wir wechselwirken einfach nciht mit denen.

was passiert wenn 2 von diesen branen zusammenknallen, so gibts ne theorie, kann das nen urknall auslösen (eien brane dehnt sich dan inflationär aus glaub ich). im rahmen der stringtheoretischen vakuumlandschaft gibt es dabei rund 10^500 mglichkeiten lokal stabiler vakua , jedes mit seineneigenen naturgesetzen. ergo wärte es demnach so, dass die verschiedenen brane-unversen auch vollkommen verschiedenen anturgesetze haben. wenn sich 2 stabie vakua universen mit unterschiedlichen naturgestzen aus verschieden branen kreuzen, falls das geht, möcht ich lieber nicht dabei sein. ein universum wird dem anderen seine naturgesetze aufzwingen, welches von beiden da gewinnt, hängt glaub ich von der grösse ab.

zu diesen multiversen-modellen können dir tom,tensor winfried sicherlich deutlich mehr und fundiertere antworten geben als ich

[tomS]

Ich halte das inflatiönar bedingte Multiversum für recht realistisch; zum einen ist unser eigenes Universum dann wesentlich größer als der ggw. Sichtbarkeitshorizont (das ist sozusagen unsere Blase), zum zweiten ist unser Universum dann eingebettet in ein Multiversum, in dem aus Vakuumfluktuationen immer neue Universen entstehen. Spätestens dann wird die Topologie des Universums bzw. des Multiversums natürlich schwierig zu betrachten sein.

Die Stringtheorie kann dazu m.E. gar keine Angaben machen, da sie zumeist in einem (von 10[up]500[/up] oder mehr) flachen Vakuumzustand formuliert wird; Übergänge zwischen diesen Zuständen kann die Theorie heute m.W.n. nicht beschreiben, unterschiedliche Geometrien und Topologien auch nur jeweils bezogen auf einen einzigen Vakuumzustand, der eben meist als flach angenommen wird.

Generell denke ich, dass die Quantengravitation uns sagt, dass wir es letztlich mit einem diskreten Gebilde zu tun haben, aus dem eine topologische, glatte Mannigfaltigkeit nur in einer Näherung hervorgeht; so wie eine Wasseroberfläche eigtl. aus Molekülen bzw. Atomen besteht, zwischen denen es auch kein Wasser gibt. Dann wären Begriffe wie Topologie, Mannigfaltigkeit und Dimension sowieso nur näherungsweise anwendbar.

[tomS]

Ich habe schonmal über eine erstaunliche Eigenschaft des vierdimensionalen Raumes R[up]4[/up] geschrieben. Ich möchte nochmal darauf zurückkomen, da dieser R[up]4[/up] in der ART Verwendet wird, die wiederum unser Universum beschreibt. Die zentrale Frage, die mich interessiert ist, warum vier Dimensionen? Dafür habe ich folgende Idee:

Man betrachtet sogenannte differenzierbare Mannigfaltigkeiten, also "glatte" Flächen sowie ihre höherdimensionalen Verallgemeinerungen. Für jede derartige Mannigfaltigkeit gilt, dass man sogenannte "Karten" definieren kann, die einen Teil der Mannigfaltigkeit überdecken müssen; die Summe von Karten, die die gesamte Mannigfaltigkeit überdeckt, heißt "Atlas". Jede Karte für eine Mannigfaltigkeit der Dimension d kann man nun glatt in den R[up]d[/up] abbilden. Liegt ein Punkt auf mehreren Karten (überdecken sich also zwei Karten in einem bestimmten Bereich), so ist die Abbildung zwischen den Karten ebenfalls glatt. Man darf sich das ruhig anhand der Erdoberfläche, Landkarten und einem Weltatlas vorstellen!

Wäre die Erde flach, so würde eine Karte reichen, da es sich aber um (näherunsgweise) eine Kugel handelt, benötigt man mindestens zwei Karten, da sonst (z.B. an den Polen) die Glattheit nicht garantiert werden kann. Außerdem kann man sich natürlich auch verschiedene Atlanten vorstellen (z.B. darf jeder einen Pol in seinem Wohnort definieren, wenn er möchte).

Nun unterscheiden wir die Mannigfaltigkeiten erstens aufgrund ihrere Topologie, und zweitens bzgl. ihrer Differenzierbarkeit. Für ersteres benötigt man die Karten nicht unbedingt, für letzteres schon, da man in den jeweiligen Karten die Differentialrechnung "im Flachen R[up]d[/up]" durchführen kann. Man kann in eine Atlas auch mehr Karten reinpacken, als man benötigt (in einem Weltatlas sind üblicherweise mehr als zwei Karten vorhanden). Die Gesanmtheit aller miteinander verträglicher Karten (bzw. Atlanten) definiert eine sogenannte Differenzierbarkeitsstruktur.

Nun ist es bei der Erde offensichtlich kein Problem, beliebig viele Karten mit jeweiligen Koordinatensystemen zusammenzufassen, jeweils lokale Differentialrechnung zu betreiben und die Ergebnisse entsprechend umzurechnen. Man dachte also, dass es auf der Kugeloberfläche keine unverträglichen Atlanten geben könnte und dass nur eine Differenzierbarkeitsstruktur existiert. Das stimmt auch - bis einschließlich Dimension 6! Ab der Dimension 7 gibt es tatsächlich (endlich viele) verschiedene Differenzierbarkeitsstrukturen! Auf anderen Mannigfaltigkeiten verhält sich das genauso: in höheren Dimensionen existieren plötzlich verschiedene Differenzierbarkeitsstrukturen, teilweise sogar abzählbar unendlich viele).

Nun betrachten wir den Fall R[up]d[/up] und dabei insbs R[up]4[/up] sowie andere nicht-kompakte (= "unendliche") Mannigfaltigkeiten der Dimension 4. Erstaunlicherweise gibt es dafür überabzählbar viele verschiedene Differenzierbarkeitsstrukturen!

Betrachten wir nun eine 4-dim. Raumzeit, eine Lösung der ART. Es handelt sich um eine topologische Mannigfaltigkeit. Das oben gesagte bedeutet nun, dass es neben der einen Lösung der ART noch unendlich viele weitere, durch nicht-Standard Differenzierbarkeitsstrukturen definierte Mannigfaltigkeiten gibt. Die kann man im Rahmen der ART aber nicht betrachten, da sie a) topologisch identisch sind, aber b) die ART sich eben nur mit genau einer Differenzierbarkeitsstruktur des R[up]4[/up] bzw. der M[up]4[/up] befasst.

Nun zu meiner Idee: Nehmen wir an, eine umfassende Theorie der Quantengravitation ist nicht definiert auf einer Mannigfaltigkeit mit einer Differenzierbarkeitsstruktur, sondern über allen Mannigfaltigkeiten beliebiger Dimension und aller Differenzierbarkeitsstrukturen. Wir führen nun ein Maß D[X] ein, um alle diese verschiedenen Differenzierbarkeitsstrukturen zu zählen. Ich schreibe das mal symbolisch als



Dabei zählt D[dim] über die DImensionen, D[M] über alle topologischen Mannigfaltigkeiten je Dimension und D[D] über alle Differenzierbarkeitsstrukturen je Mannigfaltigkeit. Das kann man dann umschreiben zu



Dabei zählt d die Dimension, m numeriert die Mannigfaltigkeit, und [D] zählt weiter die Differenzierbarkeitsstrukturen.

Nun muss man eine Fallunterscheidung machen. Es gibt den Fall der endlich vielen bzw. abzählbar viele Differenzierbarkeitsstrukturen sowie den Fall der überabzählbar vielen Differenzierbarkeitsstrukturen. Erstere schreibe ich als



letztere als



Damit gilt



Der letzte Term entspricht einem Integral über alle Differenzierbarkeitsstrukturen des R[up]4[/up].

Mein Argument lautet nun wie folgt: wenn man für eine beliebige Differenzierbarkeitsstruktur D ein endliches Wirkungsintegral S[D] definieren kann, das eine Quantengravitationstheorie ggf. plus Materiefelder beschreibt, dann gilt



d.h. aus rein statistischen Gründen trägt nur der Anteil bei, der die überabzählbar vielen Beiträge des R[up]4[/up] erfasst; alle anderen Beiträge sind vernachlässigbar.

Meine These lautet zusammengefasst:
Unter der Annahme,
1) dass man Quantengravitation + Quantenfeldtheorien auf beliebigen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten betreiben kann,
2) dass diese Theorien von der jeweiligen Differenzierbarkeitsstruktur abhängen,
3) sowie dass man je Dimension, Mannigfaltigkeit und Differenzierbarkeitsstruktur eine endliche Wirkung S[D] definieren kann
dominiert der Beitrag der nicht-kompakten 4-Mannigfaltigekiten; d.h. dass unter diesen Annahmen erklärbar wird, wieso wir in vier Raumzeit-Dimensionen leben: einfach aufgrund der Tatsache, dass alles andere statistisch betrachtet die Wahrscheinlichkeit Null hat!

[Pippen]

Die zu Beginn ihrer Entstehung kompakten und gekrümmten Universen können durch die Inflation aufgebläht und abgeflacht werden, aber einen Topologieänderung (und eine solche benötigen wir, wenn ein neues Universum, das aus einer lokal beschränken Fluktuation hervorgeht, eine unenedliche Ausdehung erreichen soll) ist m.W.n. im Rahmen der ART nicht möglich.

Das ist interessant. Ich habe nämlich gelesen, dass wegen der bisher nicht messbaren Krümmung vorläufig!!! von einem flachen, d.h. euklidischen und damit unendlich großen, Universum ausgegangen wird. Und das widerspricht der ART?

Deine Überlegung klingt natürlich auch nachvollziehbar. Am Anfang war das Universum wesentlich kleiner und damit dichter, d.h. die Gravitation war auch stärker und da Gravitation dem Raum krümmt könnte das U. am Anfang in der Tat gekrümmt gewesen sein...aber wie passt dazu die o.g. Meldung? Dann müßte ja klar sein, dass unser U. gekrümmt ist, nur das noch der Beweis fehlt.

Noch etwas zur Inflation/Raumausdehnung. Das scheint mir ein recht spekulatives Gebilde zu sein. Der Raum, den wir betrachen, ist unser Anschauungsraum, definiert durch vier Mannigfaltigkeiten (Höhe, Breite, Tiefe, Zeit), d.h. Raumausdehnung heißt nichts anderes, als dass zB plötzlich der Abstand der Koordinate X zur Koordinate Y nicht mehr 2 LJ, sondern 4 LJ sein soll, d.h. die Koordinaten werden letzten Endes einfach umbenannt. Sowas ist eigentlich unzulässig. Das ist so als habe ich in der Schule eine Strecke AB in 4cm Länge zu zeichnen, ich zeichne sie nur 2cm, und um mich zu retten, benenne ich einfach die Koordinaten um, so dass sie pro forma 4cm lang wird. Diese Raumausdehung ist eine gefährliche Sache, weil sie evtl. die schlichte Tatsache verdeckt, dass Lichtteilchen weder konstant schnell noch unendlich lange "umherwandern". Kann man die Raumausdehnung denn noch irgendwie in einem Quervergleich plausibel machen? So in etwa, wie man den Urknall ja neben der Rotverschiebung auch noch mit CMB und chem. Evolution "querbeweisen" kann.

[tomS]

Was du mit Koordinatenumbennung meinst ist tatsächloich nichts anderes; bei der Inflation geht es tatsächlich um die Ausdehnung physikalischer Abstände. Ja, man könnte das auch anders erklären (variable Lichtgeschwindigkeit ist dabei ein Stichwort), aber bisher kann keine alternative Theorie alle bekannten Fakten ähnlich gut erklären wie das kosmologische Standardmodell.

Nochmal zur Topologie: Sowohl ein flaches, als auch ein positiv oder negativ gekrümmtes Universum sind mit der ART verträglich. Speziell unser flaches Universum ist ein Spezialfall der gut verstandenen FRW-Modelle; auch die beschleunigte Expansion, eine Erweiterung des deSitter-Modells, ist mit der ART verträglich. Mir ging es darum festzuhalten, dass die ART jedoch keine Topologieänderungen beschreiben kann. Im Falle der "eternal inflation" entstünde aus einer kleinen Raumzeitfluktuation, d.h. von einem lokal begrenzten (kompakten) Bereich ausgehend, ein neues Universum, das aber, wenn keine Topologieänderung auftreten soll, mit dem vorher "Mutteruniversum" verbunden und damit räumlich beschränkt (kompakt) bleibt. Wenn sich nun daraus ein offenes (flaches oder negativ gekrümmtest) nicht-kompaktes Universum entwickeln sollte, dann würde dies einer Topologieänderung entsprechen, und diese ist im Rahmen der ART nicht zulässig.

[Pippen]

Sowohl ein flaches, als auch ein positiv oder negativ gekrümmtes Universum sind mit der ART verträglich.

Das verstehe ich irgendwie nicht, vielleicht kannst du das nochmal erläutern.

1. Wir wissen, dass große Massen den Raum um sich abschließend krümmen. So kann man vom Mittelpunkt eines SL gesehen nicht mehr "hinaus", d.h. der Raum krümmt sich dort analog der Kugel abschließend (komischerweise kann man von außen rein, was dann eigentlich nicht gehen dürfte, aber das ist eine andere Frage, die vielleicht als sidekick beantwortet werden kann).

2. Zum Zeitpunkt des Urknalls war die Masse des Universums, die sich seitdem ja nicht geändert hat (Energieerhaltung) auf sehr kleinem Raum konzentriert (hohe Massedichte), d.h. die Gravitation dieser "Ursuppe" muss um ein vielfaches höher gewesen sein als die jedes SL.

3. Daraus folgt i.V.m. Punkt 1, dass das Universum am Anfang ein abschließend gekrümmter Raum gewesen sein muss. (mit abschließend gekrümmt meine ich, dass der Raum analog einer Kugel gewesen war, d.h. endlich im Volumen...den Fachbegriff habe ich grad nicht parat).

4. Daraus folgt wiederum, dass das Universum niemals flach sein kann. Denn auch wenn die Inflation die Krümmung des Raumes noch so sehr abflachte, es kann niemals eine Nullkrümmung erreicht werden (Grenzwertberechnung, die ich noch aus der Schule kenne und nach der man nie 0 oder 1 erreicht).

Wie klingt das? Wo ist der Denkfehler?

[tomS]

Ich sehe dein Missverständnis (auch ohne Inflatio o.ä.). Es ist keineswegs so, dass ein heute offenen (z.B. flaches oder negativ gekrümmest Universum) zu Beginn endlich (kompakt) gewesen sein muss. Das kann man aber nur mathematisch begreifen. Das Univesrum kann durch aus immer (also auch zum Urknall) offen gewesen sein; der Urknall fand dann "überall" statt, d.h. das gesmate Universum entsprach einer Singularität. Man benötigt also keine Topologieänderung von früher auf heute.

[seeker]

Ich möchte noch einmal zu folgendem Punkt zurückkommen:

zum punkt 1 pippen:

materie kann ohne raum nicht existieren: richtig
raum kann ohne materie nicht exsitieren: leider nicht richtig:

Das mag aus Sicht der ART so sein - aber ich glaube wir sollten diesem Punkt noch etwas näher (mithilfe der QM) beleuchten:

Es stellt sich hier nämlich die Frage:

Was ist leerer Raum?

Die QM sagt uns hier doch aber, dass ein leerer Raum nicht existiert?
Er enthält immer zumindest die Nullpunktenergie bzw. die virtuellen Teilchen ...und es gilt ja auch nach Einstein die Äquivalenz von Energie und Materie.

Ich denke, demzufolge wäre dann die obige Aussage, dass Raum ohne Materie/Energie existieren könne zu relativieren.

Grüße
seeker