Auf der Oberfläche des Universums oder im Inneren?

[tomS]

1. Wenn wir uns vorstellen das Universum sei wie eine Kugeloberfläche auf der wir uns befinden, ...

2. Das Universum sei wieder Kugelförmig wir befinden uns aber im innern ...

Zu 1. Die Kugeloberfläche ist zunächst ein Modell, um in zwei Dimensionen zu veranschaulichen, wie unser dreidimensionales Universum aussieht. Kein Punkt und keine Richtung sind ausgezeichnet, Expansion ist anschaulich beschreibbar. Man muss bei diesem Modell aber immer hinzufügen, dass man sich den umgebenden Raum eigentlich wegdenken muss; er ist ein Artefakt dieses Modells und entspricht nicht der physikalischen Wirklichkeit. Anders formuliert: die Mathematiker sind (mittels der Differentialgeometrie) in der Lage, beliebige Mannigfaktigkeiten zu beschreiben, ohne auf den einbettenden Raum Bezug zu nehmen. Es ist sogar so, dass die Einbettung einer m-dimensionalen Mannigfaltigkeit M[up]m[/up] in einen höherdimensionalen Euklidschen oder Riemannschen Raum E[up]n[/up] bzw. R[up]n[/up] mit n>m wesentlich schwieriger zu formulieren ist, als die Mathematik ohne diese Einbettung (siehe z.B. Nash's embedding theorem). Demzufolge ist der höherdimensionale Raum unnatürlich, da a) physikalisch offensichtlich nicht nachweisbar und b) mathematisch komplizierter. (Anm.: i.A. ist n wesentlich größer als m!)

Natürlich kann man über höherdimensionale Räöume spekulieren - die String-bzw. M-Theorie tut dies zur Genüge - aber man muss wieder Vorsorge treffen, dass man dadurch nicht in Konflikt zu bekannten Naturgesetzen kommt. Insbs. muss man die Ausbreitung der Kräfte in dieser höheren Dimensionen "verhindern". Das bekannte Abstandsgesetz F ~ 1/r[up]2[/up] für die elektrische und die Gravitationskraft zeigen ziemlich eindeutig, dass wir eben in drei Dimensionen leben. In höheren Dimensionen D (mit D = 3+d) hätte man ein Abstandsgesetz wie F ~ 1/r[up]2+d[/up]. Die Stringtheorie erledigt dies
a) entweder mit kompaktifizierten Extradimensionen, d.h. der Durchmesser der zusätzlichen Dimensionen d ist so klein, dass sie quasi unsichtbar werden (man kann dann nicht mehr von einer Einbettung sprechen), oder
b) zwar mittels großen Extradimensionen, allerdings einer "verzerrenden Metrik" entlang der Richtung der Extradimensionen (warped extra dimensions), die dafür sorgt, dass die Kräfte wieder in bzw. nahe bei unseren drei Dimensionen "gefangen" bleiben.

Zu 2. Dieses Modell widerspricht einigen "natürlichen" Annahmen wie der Homogenität und Isotropie. Nicht alle Punkte und nicht alle Richtungen im Raum sind gleichberechtigt. Insbs. ist die Theorie auf dem Rand singulär, dort würde m.E. eine "zweite Theorie leben", die die Physik auf der Oberfläche beschreibt. Die Theorie wäre also insgs. deutlich komplizierter und somit weniger natürlich als die ohne Rand.

Wenn die Physiker von einem "Rand" sprechen, dann meinen sie häufig einen mathematischen Kunstgriff, wobei der Rand quasi ins Unendliche verlagert wird. Man kann z.B. eine ebene Fläche mit Berandung nehmen, diesen Rand "Unendlich" nennen, per Metrik dafür sorgen, dass der Rand unerreichbar wird, diesen Rand quasi als einen im Unendlichen liegenden Punkt auffassen, die Fläche entlang des Randes zusammenkleben (so dass man topologisch eine Kugel erhält), und schon ist man wieder bei dem o.g. Universum auf einer Kugeloberfläche.

Wie ein (im Endlichen erreichbarer) Rand aussehen würde, weiß ich nicht; ich denke nicht, dass das schon groß untersucht worden ist.

[seeker]

@Keeper:
Zunächst mal herzlich willkommen hier im Forum! Und: Es gibt keine absurden Fragen! Es gibt nur Leute, die sich trauen eine Frage zu stellen und Leute die das nicht tun.

Zu 1.:
Wenn du dir eine Kugeloberfläche vorstellst, dann hast du nur noch ein zweidimensionales Gebilde. Das macht man deshalb, weil sich der Mensch eine dreidimensionale Raum-Krümmung nicht mehr vorstellen kann - eine zweidimensionale Flächen-Krümmung aber schon. Du hast dir also eine Dimension weggedacht. In diesem Bild befindet sich aber dann das gesamte Universum incl. dir auf der zweidimensionalen Kugeloberfläche und ist daher selbst auch nur noch zweidimensional. Stell dir eine Ameise auf einer Sphäre/Kugeloberfläche vor und drück sie dir dann gedanklich völlig platt. Unsere Ameise kann die Kugeloberfläche nun nicht mehr verlassen, weil die 3. Dimension für sie schlicht nicht mehr existiert, sie ist nicht wahrnehmbar. Jede Bewegung wäre nur noch in zwei Dimensionen möglich. Egal wohin sie geht, sie bleibt auf der Oberfläche. Um die Oberfläche verlassen zu können, also in eine Richtung zu gehen, wo ihre Ausdehnung für sie exakt Null ist müsste sie sich mit Überlichtgeschwindigkeit (also gewissermaßen mehr als unendlich schnell) bewegen, was nicht möglich ist.
Toms Aussage, dass man diese zusätzliche Dimension mathematisch nicht einmal braucht, um eine Krümmung beschreiben zu können, ist sehr interessant und kommt noch hinzu. Vorstellen kann man sich das aber nicht mehr. Immerhin: Man muss daher akzeptieren, dass eine Kugel existieren kann, ohne dass ein Hyperraum existieren muss, in dem sich die Krümmung manifestiert.

Zu 2.:
Hier hast du dir keine Dimension weggedacht! Das musst du streng unterscheiden, sonst bekommst du Probleme...
Im 1. Bild gibt es kein Inneres bzw. du kannst es unmöglich erreichen.

Zurück zu 2.: Wir wissen, dass es so nicht ist. Aber nehmen wir mal an, es wäre so:

Hier müsste man zwei Fälle unterscheiden.

a) Das Universum ist statisch. Jetzt hätten wir ein klassisches Universum nach Newton (da wir das Universum hier nicht als Raumzeit annehmen). Es gäbe also keine Raumzeitkrümmung.

Hier bekommt man, wie du richtig erkannt hast, sofort logische Probleme. Das Universum müsste in Richtung Rand dunkler sein, wenn du nicht gerade genau in der Mitte bist. Außerdem könnte man den Rand wirklich erreichen und "dagegenstoßen". Die andere Option wäre, dass der Raum unendlich ausgedehnt ist, dann gibt es keinen Rand, vielleicht aber einen Bereich ohne Materie - oder auch nicht. Aber wie gesagt, wir wissen, dass es so nicht ist. Mit Newton kann man das Universum nicht erklären.

b) Das Universum dehnt sich aus -und zwar nach der ART. Hier darfst du die dreidimensionale Vorstellung eigentlich nicht mehr anwenden. Man muss raumzeitlich denken. Aber lassen wir die Zeit einfachheitshalber trotzdem mal weg.

1. Du kannst den Rand (wenn es ihn denn gäbe) niemals erreichen oder wahrnehmen, weil sich das Universum ausdehnt - und zwar in großer Entfernung (aus deiner Perspektive) schneller als das Licht. Da du selber nicht einmal Lichtgeschwindigkeit erreichen kannst, kommst du da nicht hinterher.

2. Nehmen wir das Bild einer Kugel mit dreidimensionaler Oberfläche in einem Vierdimensionalen Hyperraum. (Ich weiß, mathematisch unnötig, aber man kann sich das halt noch halbwegs vorstellen.) Also: Du stellst dir wieder das Bild von 1. vor und denkst die wieder eine Dimension dazu (man kann sich das nicht vorstellen aber denken). Jetzt hast du eine vierdimensionale Kugel mit dreidimensionaler Oberfläche, auf der sich das Universum (in dreidimensionaler Form) befindet. Nehmen wir noch an, du könntest dich unendlich schnell bewegen. Wenn du dich jetzt lange genug in eine Richtung bewegst, dann kommst du wieder am Ausgangspunkt an. Du hättest die Kugel umrundet. Also: Es ist hier keine Grenze vorhanden. (Ich weiß, das Bild hinkt ein wenig, weil eine unendliche Geschwindigkeit wieder u.a. den oben genannten Effekt hätte, aber es geht mir hier um ein anschauliches Bild und nicht um die Relativitätstheorie.) Die Folgerung ist, dass, das Universum in alle Richtungen immer in etwa gleich aussehen muss.

Man könnte das Ganze jetzt noch raumzeitlich betrachten, aber dann wird es wirklich kompliziert. Ich hoffe das reicht dir erstmal. (Und ich hoffe auch, dass mir die Experten hier jetzt nicht bescheinigen Blödsinn erzählt zu haben.)


Beste Grüße
seeker

[tomS]

2. Müsste man dann nicht mit sehr leistungstarken Teleskopen das Licht von Sternen doppelt sehen.

Nicht in einem einfachen Bild eines sich ausdehnenden Universums, da das Licht länger braucht, um einmal herumzulaufen, als das Universum lebt; bzw. weil sich das Universum ab einer bestimmten Entfernung von uns aus betrachtet "mit Überlichtgeschwindigkeit" ausdehnt (siehe dazu die Antwort auf die nächste Frage). Aber es gibt auch kompliziertere Formen (Topologien) als die Kugeloberfläche, z.B. eine Torusoberfläche, für die evtl. so ein Mehrfachbild möglich wäre; man beschäftigt sich tatsächlich mit derartigen Topologien, da es kein fundamentales Prinzip gibt, das sie von vorneherein ausschließt. Es gibt sogar Bestrebungen, Infos über die Topologie aus dem Muster der kosmischen Hintergrundstrahlung zu extrahieren.

3. Gibt es dann auch so eine Art Horizont für das Universum, wie z.B. auf der Erde man ja auch nicht Dinge sieht die hinter dem Horizont sind?

Ja! Nimmt man einmal das Bild des zweidimensionalen Universums = der Kugeloberfläche (Bollonoberfläche) und der Ameise, so kann man sich vorstellen, dass irgendjemand (die Dunkle Energie) den Ballon schneller aufblasen kann als die Ameise krabbeln kann. Wenn letztere die Lichtgeaschwindigkeit vorgibt, dann bläht sich das Universum gewissermaßen mit Überlichtgeschwindigkeit aus. Man betrachtet quasi Startpunkte der Ameise auf einem Kreis auf dem Ballon und berechnet, ob die Ameise jemals den Mittelpunkt des Kreises erreichen kann oder nicht.

Man kann tatsächlich aus der genauen Form der Expansion ableiten, ob es einen Horizont gibt. Je nach Form der Expansion können entfernte Bereiche hinter dem Horizont verschwinden oder hinter dem Horizont auftauchen (d.h. der Horizont kann sich entfernen oder er kann näher kommen). Das ist auch der Grund für die Idee der kosmischen Inflation: man sieht heute Bereiche des Universums, die aufgrund einer naiven Berechnung voneinander durch einen derartigen Horizont getrennt gewesen sein müssten, die aber dennoch bereits zum Zeitpunkt des heutigen Sichtbarwerdens im thermischen Gleichgewicht sind. D.h. sie müssen früher bereits einmal für einander sichtbar gewesen sein und ins thermische Gleichgewicht gekommen sein; erst danach wurden sie durch die inflationäre (exponentielle) Expansion durch einen Horizont voneinander getrennt, um nach dem Ende der inflationären Expansion wieder für einander sichtbar zu werden.

[seeker]

1. Gilt das auch für nach innen, also in das innere der Kugel?

Ich würde jetzt einfach mal salopp sagen: Ja!

Bedenke, dass das hier nur ein einfaches Bild ist, welches so aus einem besseren Verständnis heraus auch nicht mehr stimmig ist.
Der Punkt ist aber, dass du solche Bilder erstmal verdauen und setzen lassen musst, bevor du darüber hinausgehen kannst.

Das Kugelbild soll erstmal nur einen Zugang zum Thema Raumkrümmung liefern - nicht mehr und nicht weniger.
Es ist nämlich so, dass es dieses Innere und Äußere (wie Tom schon dargestellt hat) gar nicht geben muss -und dass es möglicherweise gar keine Kugel ist.

Beste Grüße
seeker

[tomS]

Die Zeiträume sind zu kurz. Du musst auch bedenken, dass das Licht vom Horizont extrem rotverschoben ankommt, d.h. dass bereits wesentlich vor dem theoretischen Horizont "die Lichter ausgehen".

[gravi]

Hallo keeper,

auch von mir noch ein herzliches Willkommen!

Ich möchte nur noch kurz erwähnen, dass bei der Sprache vom Horizont stets nur der Sichtbarkeitshorizont gemeint ist. Der ist völlig verschieden vom "Rand" des Universums, der mit Überlicht davon eilen dürfte. Das Universum ist ja viel größer als die Entfernung bis zum Sichtbarkeitshorizont vermuten lässt.

Die Kugelform des Kosmos ist die einfachst mögliche Topologie (warum sollte die Natur daher einen Trichter, einen Donut oder gar einen Fussball wählen...). Wir stellen uns die Oberfläche einer Kugel immer zweidimensional vor, was wir ja auch begreifen können, laufen wir auf einer solchen herum. Im Kosmos ist jedoch eine dreidimensionale Hyperfläche realisiert, da hört dann unser Vorstellungsvermögen leider auf. Dennoch kann man sich das All wie eine Kugel vorstellen: Du kannst auf einer solchen beliebig lang und in beliebige Richtungen laufen, nie wirst Du an eine Grenze stoßen. So gesehen ist das Universum zwar von endlicher Größe, aber es ist gleichzeitig auch grenzenlos. Wir können deshalb auch niemals zu einem "Rand" gelangen, um mal eben in einen anderen Kosmos oder einen Hyperraum zu sehen. Einmal abgesehen davon, dass es nicht zu schaffen wäre innerhalb der "Lebenszeit" des Universums diesen hypothetischen Rand zu erreichen. Lange vorher wird jede Materie vergangen sein...

Schönen Gruß
gravi

[tomS]

Anmerkung: Im Falle des Fußballs sind wir wieder bei einem dreidimensionalen Universum. Es geht also nicht um die Oberfläche des Fußballs, sondern um dessen Rauminhalt. Trotzdem hat dieses Universum keine Oberfläche = keinen Rand, weil man diese mittels eines Tricks beseitig (wie bei Donut, aber mit einer Raumdimension mehr). Man veklebt alle gegenüberliegenden Flächen miteinander. Man kann sich zwar das Verbiegen des Fußballs nicht mehr vorstellen, aber mathematisch ist das einwandfrei.

Stellt euch ein Computerspiel vor, wo ihr den BIldschirm nach rechts verlasst und von links wieder betretet. So wäre das mit dem Fußball (in 3D) und so kann man auch die Oberfläche des Donuts (2D) erzeugen.

[kostja]

Ich möchte ein (hoffentlich) anschauliches Beispiel bringen, warum man keinen "umgebenden" Raum braucht um das Universum zu beschreiben.

Stell Dir das Universum wieder analog (zu einer Ballonoberfläche) zur Erdoberfläche vor. Die Erdoberfläche befindet sich auf der Oberfläche der Erdkugel - logisch! - welche im All liegt. Aber wenn Du nur über die Erdoberfläche reden willst, nimmst Du einen Weltatlas und schaust Dir darin die Karten für die betreffenden Gebiete an. Mit so einem Atlas kannst Du alles über die Oberfläche aussagen. Man braucht keine dritte dimension um über die Oberfläche zu reden, dazu reicht schon ein zwei-dimensionaler Atlas.

Grüße
Konstantin

[tomS]

Wichtig dabei ist, dass der Artlas ein Koordinatensystem beinhaltet, denn nur so kann die Krümmung der Oberfläche in einem flachen Atlas dargestellt werden.

Interessant ist, dass die Differentialgeometrie mit exakt derartigen Atlanten (allerdings in einer mathematischen Sprache) arbeitet:
- ein Atlas enthält Karten, die in ihrer Gesamtheit die komplette Mannigfaltigkeit (hier: die Erdoberfläche) überdecken
- eine Karte enthält ein lokales Koordinatensystem, das man beliebig (der Einfachheit halber rechtwinklig) wählen kann
- wenn zwei Karten überlappen, gibt es eine Vorschrift, wie man die Koordinaten umrechnet
- lokal sieht eine Mannigfaltigfkeit immer wie ein flacher Raum aus (die Karten im Atlas sind ja ebenfalls flach)

[kostja]

- lokal sieht eine Mannigfaltigfkeit immer wie ein flacher Raum aus (die Karten im Atlas sind ja ebenfalls flach)

Das möchte ich verneinen oder zumindest relativieren. Krümmung ist abhängig vom Zusammenhang (bzw. von der Metrik, wenn wir Levi-Cevita Zusammenhänge, wie in der ART betrachten). Möchte man geometrische Größen von Objekten vergleichen, dann dürfen die Abbildungen die einen Vergleich vermitteln die Geometrie nicht ändern. Dies tun aber die Kartenabbildungen, es sei denn man erklärt sie zu Isometrien, in dem man auf den Karten entsprechende Metriken definiert. Dann sind aber die auf den Karten induzierten Zusammenhänge sicherlich nicht flach.

Man könnte aber noch hinufügen, dass es in jedem Punkt ein Koordinatensystem gibt, in dem die Metrik nur ganz wenig (in zweiter Ordnung) von der Minkowski-Metrik abweicht.

Liebe Grüße
Konstantin

[tomS]

- lokal sieht eine Mannigfaltigfkeit immer wie ein flacher Raum aus (die Karten im Atlas sind ja ebenfalls flach)

...

Man könnte aber noch hinufügen, dass es in jedem Punkt ein Koordinatensystem gibt, in dem die Metrik nur ganz wenig (in zweiter Ordnung) von der Minkowski-Metrik abweicht.

Genau so ist das zu verstehen. Eine Eigenschaft topologischer Mannigfaltigkeiten ist, dass sie lokal euklidisch sind sind, das heißt, jeder Punkt besitzt eine (infinitesimale) Umgebung, die homöomorph zu einer offenen Teilmenge des R[up]n[/up] ist.