Dimensionalität und Topologie des Universums

[tomS]

So, nochmal zur globalen Flachheit der Kugel, bzw. warum diese topologisch verboten ist.

Man betrachtet dazu die sogenannte Euler-Charakteristik . Man erhält sie zunächst für einen Polyeder aus der Formel

Euler-Charakteristik = #Ecken - #Kanten + #Flächen

Zeichnet man nun ein Netz auf die Kugeloberfläche, das z.B. einem Tetraeder entspricht, so kann man den Satz wiederum anwenden (letzteres entspricht einer sogenannten Triangulierung, man denkt sicht die Kugeloberfläche aus Dreiecken zusammengesetzt). Einsetzen für den Tetraeder liefert

Euler-Charakteristik = 4 - 6 + 4 = 2

Für den Torus erhält man übrigens 0, d.h. man kann mittels dieser topologischen Invariante die beiden Topologien unterscheiden. Jeder andere Polyeder stat dem Tetraeder funktioniert übrigens genauso; jeder liefert die selbe Euler-Charakteristik, d.h. alle Polyeder sind topologisch identisch (als Graphen, d.h. wenn wir mal die Knicke an den Kanten und Ecken vergessen).

Eine alternative Darstellung für die Euler-Charakteristik folgt aus dem sogenannten Geschlecht (Genus) der Fläche.



Für die Kugel ist dieses Geschlecht, d.h. die Zahl der "Löcher" , d.h. man findet wiederum die Euler-Charakteristik

So, was hat das nun mit der Krümmung zu tun? Nach dem berühmten Satz von Gauss-Bonnet kann man die Euler-Charakteristik auch mittels des Integrals über die Gaussche Krümmung berechnen:



Globale Flachheit würde aber nun implizieren dass die Krümmung verschwindet, also und damit auch - was ein Widerspruch zum obigen Ergebnis wäre.

Damit ist (durch Widerspruch) bewiesen, dass eine topologische Mannigfaltigkeit mit positiver Euler-Charakteristik und somit insbs. die Sphäre S² keine global flache Geometrie erlaubt.

Wie sieht das nun beim Torus aus? Man erhält Euler-Charakteristik , d.h. hier ist eine global flache Geometrie erlaubt.

[tomS]

In n Dimensionen ist laut http://www.matheplanet.com/ ebenfalls der verallgemeinerte Torus die einzige Mögichkeit für eine global flache Geometrie eine kompakten (randlosen) Mannigfaltigkeit.

In zwei Dimensionen kann man meine Gitterkonstruktion leicht verallgemeinern. Man nimmt zwei (nicht parallele) Vektoren a und b und definiert damit die Gitterpunkte
r[down]mn[/down] = m a + n b. Die so mit Parallelogrammen überzogene Ebene kann man entlang der Kanten zu verallgemeinerten Tori (die von den gewählten Vektoren abhängen) verkleben. Diese Tori "erben" ihre Flachheit von der ursprünglichen Ebene.

Mathematisch handelt es sich dabei um eine Translationsgruppe G (hier definiert durch die Translationen entlang a und b. Man bezeichnet das Verkleben als Bildung der Quotientenmannigfaltigkeit R² / G. Genauso kann man nun in n Dimensionen eine Isometriegruppe G des R[up]n[/up] nutzen um die Quotientenmannigfaltigkeit M[up]n[/up](G) = R[up]n[/up] / G zu definieren.

Angeblich (mir verschließt sich die Mathematik) sind gemäß dem Satz von Cartan-Hadamard diese Mannigfaltigkeiten die einzigen mit global flacher Geometrie.

4.png