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Dimensionalität und Topologie des Universums

Themen zur Kosmologie, Urknall, inflationärer Kosmologie, Expansion, Entwicklung und Zukunft des Universums
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Beitrag von tomS » 29. Dez 2008, 23:10

Hi Tensor,

freut mich, dass du da ähnlich denkst wie ich.
Bei zusätzlichen makroskopischen Dimensionen würden Gravitation und Elektromagnetismus mit zunehmender Entfernung schnell an Einfluss verlieren, nicht mehr zur 2. Potenz, sondern für jede Extradimension um eine Potenz mehr.
Richtig. Deswegen hätte ich genauer schreiben sollen: "warum gibt es genau vier makroskopische Extradimensionen".
Denkt man an das holografische Prinzip, so soll es sogar möglich sein, die Raumzeit sogar mit einer Dimension weniger abzubilden
Das holographische Prinzip ist ja bisher kein exaktes mathematisches Theorem, außer für einen bestimmten Grenzfall einer Stringtheorie auf einem (unphysikalsichen) Anti-Desitter Raum mit Topologie AdS(5) * X(5), wobei sich eben die duale konformre Feldtheorie CFT in vier Dimensionen ergibt. Für andere Topologien bzw,. gar andere Dimensionen gibt es m.W.n. keine wiklich brauchbaren Ergebnisse.
Die ART beschriebt die innere Krümmung und macht keine Aussagen zur Art der Topologie
Das stimmt so nicht ganz. Wenn man die globale Geometrie (Lösung der ART) kennt, dann kennt man natürlich auch die Topologie des Universums, d.h. jedes (z.B.) FRW-Universum liefert natürlich auch eine Topologie mit. Diese wird nur eben in der Literatur praktisch nie als solche erwähnt.
Die Frage nach der Topologie wird wohl mit einer noch genaueren Kartierung der kosmischen Hintergrundstrahlung beantwortet werden können
Das glaube ich nicht, dazu ist die Frage viel zu komplex. Ich bin mir nicht mal sicher, ob man prinzipiell aus dem exakten Spektrum einer Wellengleichung immer auf die Geometrie bzw. Topologie des "schwingenden Mediums" schließen kann. (Nimm an, die Obertonreihe einer Trommel sei bekannt: ist die Form der Trommel rekonstruierbar?)

In zwei Dimensionen ist die KLassifizierung der Topologien sowie der topologischen Invarianten von Flächen exakt bekannt. Es handelt sich im wesentlichen um die Zahl der Löcher bzw. Henkel sowie um die Zahl der Kreuzhauben (können aus einem Möbiusband konstruiert werden). In vier Dimensionen sind dagegen nicht mal alle topologischen Invarianten bekannt (es gibt das Geschlecht bzw. die Eulerzahl, die Homotopiegruppen, die Donaldson-Polynome u.v.a.m).

D.h. dass man heute keine vollständige Klassifizierung aller vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten kennt.

Man weiß also nicht mal genau, nach was man eigentlich suchen soll bzw. ob die Liste der Mannigfaltigkeiten, für die man Vergleiche mit der kosmischen Hintergrundstrahlung anstellt, überhaupt vollständig ist. (Evtl. gibt es ein Äquivalent zum Beweis der Geometrisierungsvermutung bzw. der Poincare-Vermutung.)
Gruß
Tom

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Beitrag von tomS » 30. Dez 2008, 10:01

Das verstehe ich nicht.

Natürlich hast du mehrere verschiedene Lösungen. Aber wenn du dich auf eine festlegst, dann hat diese Lösung auch eine eindeutig bestimmte Topologie. Einfaches Beispiel: wenn du im FRW-Universum k=0 wählst, dann hast du eine Topologie gemäß R*R³, wobei das einzelne R für die Zeitkoordinate und das R³ für den flachen euklidschen Raum steht.

Zwar dehnt sich das Universum aus, jedoch bleibt diese Topologie fest.

Mir ist übrigens aufgefallen, dass in bestimmten (physikalisch relevanten) Fällen die von mir genannten Probleme verschwinden. Man nimmt ja normalerwiese an, dass eine global gültige Zeit existiert (dass das Universum global hyperbolisch ist), was z.B. die Existenz geschlossener zeitartiger Kurven ausschließt (Gödel-Universum). Dann kann man die zunächst unbekannte Topologie der vierdimensionalen Raumzeit X(4) schreiben als R*X(3), wobei R wieder die globale Zeitkoordinate ist. Für geschlossene Drei-Mannigfaltigkeiten ohne Rand X(3) gibt es jedoch mit dem Beweis der Geometrisierungsvermutung eine vollständige Klassifizierung. Der Beweis wurde von Perelman publiziert und wird in der Literatur häufig nur für den Spezialfall der Poincare-Vermutung zitiert, ist jedoch umfassender:

http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrisi ... ltigkeiten
Gruß
Tom

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Beitrag von tomS » 30. Dez 2008, 14:26

Hi,

Ich sehe das immer noch etwas anders: Wenn man nur k=0 global festlegt, dann hast du recht.

Wenn man aber k=0 und zugleich die FRW-Metrik



global festlegt, dann geht man (zumindest implizit) davon aus, dass die Radialkoordinate r bis ins Unendliche ausgedehnt werden kann. Damit hat man aber eine dem R³ homöomorphe Topologie festgelegt.

Wenn man dies nicht möchte, dann muss man immer dazusagen, dass man zwar lokal die FRW-Metrik verwendet, nicht jedoch global, sondern statt dessen ein Torus-Universum erzwingt. In diesem ist die FRW-Metrik lokal natürlich zulässig, aber eben nicht global. Man kann den Torus durch mehrere Karten (Koordinatensysteme) überdecken und in jeder Karte die FRW-Metrik verwenden, man muss jedoch spezifizieren, wie man diese Karten zusammenfügt.

Man muss m.E. explizit hinzufügen, ob eine gewählte Metrik (die global gültig sein könnte, wie z.B. die FRW-Metrik) nur lokal gelten soll.

Die Verwirrung stammt m.E. daher, dass diese Annahmen bzw. Aussagen in der Standardliteratur bisher meist fehlen, da eben niemand explizizt über die Topologie nachgedacht hat bzw. diese immer implizit vorausgesetzt hat.

Gruß
Tom
Zuletzt geändert von tomS am 19. Mai 2009, 08:00, insgesamt 1-mal geändert.
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Beitrag von tomS » 30. Dez 2008, 21:38

Fast alles was du schreibst ist korrekt, ich habe jedoch an zwei Stellen Einwände:

Du schreibst:
Aus der Metrik lässt sich nicht in jedem Fall eine Topologie eindeutig festlegen
Ich sage: wenn die Metrik global definiert ist, dann ist auch die Topologie definiert. Das "global" ist wichtig. Würde es fehlen, dann hättest du recht.

Das muss auch so sein, denn mathematisch ist ein metrischer Raum ein Erweiterung eines topologischen Raumes, d.h. die Topologie ist Voraussetzung für die (globale) Existenz einer Metrik. Die Metrik ist nicht nur lokal definiert, sondern es muss festgelegt sein, wie man mit der Metrik den gesamten Raum global überdecken kann. Es ist einfach Schlamperei der Physiker, wenn das nicht der Fall ist.

Du schreibst:
Im Drei-Torus-Universum gilt die Robertson-Walker-Metrik global und nicht lokal
Das stimmt so nicht.

Ich führe als einfaches Beispiel den Unterschied zwischen dem R¹ (der eindimensionalen Linie) und dem S¹ (der eindimensionalen Kreislinie mit Länge L) an. Für den R¹ kannst du den Abstand d zweier Punkte X und Y als



definieren, wobei x und y geeignete Koordinaten sind.

Im Falle des S¹ musst du jedoch dafür Sorge tragen, dass deine Koordinaten innerhalb der selben Karte des S¹ liegen, d.h.



Außerdem gilt für die Metrik d



(auch dabei gibt es noch die Problematik der Differenzierbarkeit, aber das interessiert hier nicht)
Wenn du x und y nicht auf dieses Intervall [0,L [ beschränkst und nicht dafür Sorge trägst, dass für d immer der minimale Abstand entlang der Kreislinie genommen wird, dann bekommst du einfach falsche bzw. unsinnige Ergebnisse.

Was die ART nun normalerweise tut ist, dass sie statt dieser exakten Definition der Metrik immer nur die lokale Definition angibt. Das ist schlampig, denn dann kann man nicht mehr untersuchen, wo und warum eine Metrik ungültig wird. So ist es z.B. ein Unterschied, ob man am Schwarzschildhorizont einen "Rand der Raumzeit" diagnostiziert, oder lediglich eine Koordinatensingularität.

Für zwei benachbarte Punkte mit



führt die Definitionen für den R¹ natürlich auch auf das korrekte Ergebnis für den S¹ , denn es ist ja



Also gilt lokal



Aber global ist diese Beziehung falsch.

Insbs. kann man unterschiedliche Metriken finden, die mit ein und der selben Topologie verträglich sind. So ist z.B.



eine erlaubte Metrik (sie respektiert die Symmetrie d.h. die Periodizität des S¹), die jedoch von der o.g. Metrik abweicht. Lokal, d.h. für infinitesimale |x-y| stimmt sie jedoch mit der o.g. Metrik bis auf eine Skalenfaktor überein (Beweis durch Taylorentwicklung).

Im Falle des Artikels liegt wiederum dieselbe Schlamperei vor, denn es wird zwar darauf hingewiesen, dass die Krümmung k=0 (konstant) mit verschiedenen Topologien verträglich ist, dass dabei jedoch auch unterschiedliche Metriken eine Rolle spielen (wiederum global zu verstehen), wird irgendwie verschwiegen.

Für den Drei-Torus T³ ist übrigens leicht einzusehen, dass eben nicht global die FRW-Metrik gelten kann, denn dann müsste die Radialkoordinate r eben unendlich werden können. Der T³ ist jedoch das direkte Produkt von drei S¹, also T³ = S¹ * S¹ * S¹, womit die obige Betrachtung für die Periodizität sofort übertragbar ist.

Zusammenfassend: wir interpretieren den Begriff Metrik unterschiedlich: du sprichst vom lokalen Abstandsbegriff, ich meine den metrischen Raum mit einer globalen Struktur. Bzgl. der wesentlichen Aussagen des Artikels ist das jedoch irrelevant, denn dabei kommt es nur darauf an, dass eben die globale Konstanz der Krümmung (-1, 0, +1) keine eindeutige Topologie festlegt. Da stimme ich natürlich zu.

Gruß
Tom
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Gruß
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Beitrag von tomS » 31. Dez 2008, 20:26

Genau!

Man kann durch rein lokalen (theoretische oder experimentelle) Betrachtungen, die Topologie ableiten.

Wenn diese rein lokalen Betrachtungen global durchgeführt werden, kann man daraus topologsche Eigenschaften ableiten. Kennt man z.B. die Gaussche Krümmung in jedem Punkt, dann kann man durch ein geeignetes Integral das Geschlecht g einer 2-Mannigfaltigkeit bestimmen (Satz von Gauss-Bonnet).
Gruß
Tom

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Beitrag von tomS » 2. Jan 2009, 16:21

Den Satz von Gauss-Bonnet bin ich noch schuldig. Er lautet:



K ist die lokal definierte Krümmung und chi die sogenannte Euler-Charakteristik. Man definiert K, indem man für jeden Punkt der Mannigfaltigkeit einen "tangentialen Ellipsoiden" konstruiert. Die beiden für diesen Punkt gewonnenen Radien nennt man Hauptkrümmunsgradien, sie bezeichnen die Radien zweier Kreise, die sich an diesem Punkt an die Mannigfaltigkeit bestmöglich anschmiegen. Die Krümmung K ist dann einfach



Die Euler-CHarakteristik einer Fläche erhält man durch das Aufzeichnen eines beliebigen "Netzes" oder "Graphen" auf die Kugeloberfläche. In der Mathematik (Topologie) verwendet man häufig Dreiecksgitter, dann spricht man von Triangulation. Man zählt dann für dieses Gitter die Ecken (vertices) V, die Kanten (edges) E und die Flächen (faces) F). Die Euler-Charakteristik ist definiert als



Sie ist eine topologische Invariante der Mannigfaltigkeit, d.h. sie ist unabhängig von dem gewählten Netz.

Die Euler-Charakteristik kann man mit dem Geschlecht g einer Fläche in Verbindung setzen. g bezeichnet die Zahl der "Löcher" einer Fläche.



Es handelt sich dabei nicht um Löcher mit Rand, die man durch einfaches Ausschneiden oder -stanzen erhält, sondern eben um die Löcher, die nach geeignetem Verkleben aller derartigen Kanten verbleiben.

Das interessante ist nun, dass es die algebraische Topologie sowie die Differentialgeometrie erlauben, aus rein lokal definierten Größen (z.B. K) topologische Invarianten (z.B. chi, g) zu konstruieren; oder umgekehrt: die Topologie zwingt bestimmten lokalen Größen einige Eigenschaften auf.

Zwischenbemerkung

Man findet diesen Zusammenhang zwischen lokalen und globalen Größen häufig in der modernen Physik. So ist z.B. die Differenz der Zahl der rechts- bzw. linkshändigen Lösungen der Dirac-Gleichung eine topologische Invariante. Für diese Invariante gibt es ebenfalls eine Integralausdruck (wie oben mittels des Integranden K). Der darin vorkommende Integrand ist die sogenannte axiale Anomalie, diese beschreibt, die Nichterhaltung eines Axialvektorstroms (ähnlich dem elektrischen Strom). Dies ist ein reiner Quanteneffekt, klassisch sind axialer Strom und Ladung erhalten.

Dies führt zu vielfältigen physikalischen Effekten:
- Zerfall des neutralen Pions
- Masse des eta' Mesons
- Erzwingt, dass die Fermionen in einer geraden Anzahl an Familien vorliegen und dass die Familien vollständig sind
- Erzwingt, dass die Fermionenmassen zunächst exakt Null sind und durch einen dynamischen Mechanismus (Higgs) erzeugt werden

Die mathematische Grundlage ist das Atiyah-Singer-Indextheorem, m.E. eines der wichtigsten Ergebnisse der Mathematik des zwanzigsten Jahrhunderst.

Beispiele

Beispiele für g:
g(Kugel) = 0
g(Torus = Donut) = 1
g(Doppeltorus) = 2
g(Brezel) = 3

Beispiel Würfel:
Der Würfel ist topologisch der Kugel äquivalent:
g(Würfel) = g(Kugel) = 0
vertices V = 8,
edges E = 12,
faces F = 6,
V - E + F = 8 - 12 + 6 = 2

Dies gilt genauso für Tetraeder, Oktaeder, Prisma etc. Alle diese Körper (genauer: deren Oberfläche) haben



Man kann das ausprobieren. Man kann auch durch Einfügen oder Wegnehmen von Punkten des Netzes, Einsetzen von Dreiecken und Ausfsetzen von Tetraedern eine Idee des Beweises erhalten, warum es sich um eine Invariante handelt, die sich bei Änderung des Netzes nicht ändert.

Beispiel Kugel:
Im Falle der Kugel ist K = 1/r² = const. Man erhält aus dem Integral sofort



Dabei habe ich benutzt, dass das zweite Integral einfach die Oberfläche der Kugel ergibt.

Damit gilt



Beispiel Torus:
Es handelt sich um einen zusammengebogenen Zylinder; man sieht sofort, dass einer der beiden Krümmunsgradien unendlich ist, also ist



Man kann die Euler-Charakteristik auch leicht über ein entsprechendes Netz ableiten. Ausgangspunkt ist der Quader, den man zu einem Zylinder deformiert (dabei ändert sich die Topologie nicht), und schließlich zusammenbiegt. Beim Zusammenbiegen verklebt man zwei Endflächen, d.h. es entfallen diese zwei Flächen, vier Kanten und vier Eckpunkte unseres ursprünglichen Quaders:
V(Torus) = V(Würfel) - 4 = 8 - 4 = 4,
E(Torus) = E(Würfel) - 4 = 12 - 4 = 8,
F(Torus) = F(Würfel) - 2 = 6 - 2 = 4,
V - E + F = 4 - 8 + 4 = 0
Gruß
Tom

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Re: Dimensionalität und Topologie des Universums

Beitrag von tomS » 19. Mai 2009, 08:14

Hier eine Veröffentlichung, die auf Basis der WMAP-Daten bzw. der darin "fehlenden" großräumigen Fluktuationen den Schluss zieht, dass wir in einem Universum leben, dessen räumliche Topologie einer mehrfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeit entspricht. Dieses "mehrfach zusammenhängend" wäre ein wesentlicher Grund für die Unterdrückung der Fluktuationen. Das Argument lautet, dass es im Universum kein Objekt (also auch keine Fluktuation) geben kann, die selbst größer ist als das Universum.

Aus den vielen möglichen Topologien (z.B. Tori) wird gemäß dieses Papers der Poincaresche Dodekaeder favorisiert, da er aufgrund seiner Form diese Fluktuationen am stärksten unterdrückt.
Gruß
Tom

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Re: Dimensionalität und Topologie des Universums

Beitrag von gravi » 19. Mai 2009, 19:04

Dass es im All kein Objekt geben kann, das größer als es selbst ist, scheint leicht begreifbar :wink:

Aber fehlt hier nicht ein Link zu dieser Veröffentlichung? Würde gerne mehr darüber lesen.

Schönen Gruß
gravi
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Re: Dimensionalität und Topologie des Universums

Beitrag von tomS » 19. Mai 2009, 21:33

:-)

http://arxiv.org/abs/0905.2543
Does gravity prefer the Poincare dodecahedral space?
Boudewijn F. Roukema

The missing fluctuations problem in cosmic microwave background observations is naturally explained by well-proportioned small universe models. Among the well-proportioned models, the Poincare dodecahedral space is empirically favoured. Does gravity favour this space? The residual gravity effect is the residual acceleration induced by weak limit gravity from multiple topological images of a massive object on a nearby negligible mass test object. At the present epoch, the residual gravity effect is about a million times weaker in three of the well-proportioned spaces than in ill-proportioned spaces. However, in the Poincare space, the effect is 10,000 times weaker still, i.e. the Poincare space is about 10^{10} times "better balanced" than ill-proportioned spaces. Both observations and weak limit dynamics select the Poincare space to be special.
Gruß
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Re: Dimensionalität und Topologie des Universums

Beitrag von gravi » 20. Mai 2009, 19:32

@Tom:
Danke :wink:

Gruß
gravi
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Re: Dimensionalität und Topologie des Universums

Beitrag von tomS » 19. Feb 2010, 11:17

Hat sich eigentlich mal jemand überlegt, wie das Gravitationsgesetz aussieht, wenn der Raum mehrfach zusammenhängend ist? Man "sieht" ja eine Masse M theoretisch mehrfach: nehmen wir an, das Universum hätte einen gewissen Umfang L, dann würden wir eine Masse in einer Richtung zunächst im Abstand r sehen, außerdem noch im Abstand L-r in der anderen Richtung sowie natürlich auch "mehrfach" im Abstand L+r, 2L+r, 3L+r ... sowie 2L-r, 3L-r, ...

Nun habe ich zwar geschrieben, dass die Gravitationswirkung gar nicht "genügend Zeit hat", einmal um das Universum herumzulaufen, da dies länger dauert als das Universum existiert, aber in dem o.g. Artikel wird genau dieser Fall für Licht diskutiert. D.h. zwar könnte ich theoretisch für unser spezielles Universum recht haben, aber i.A. muss man den Fall sicher berücksichtigen.
Gruß
Tom

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Re: Dimensionalität und Topologie des Universums

Beitrag von gravi » 21. Feb 2010, 19:00

So ganz habe ich die Frage noch nicht verstanden.
Das Gravitationsgesetz ist ein Naturgesetz und sollte daher überall im Kosmos unverändert Gültigkeit haben.
Oder meinst Du, dass es im Falle des Dodekaeder- Universums angepasst werden müsste, die Gravitation sich auf großen Skalen anders verhält, als wir es bis jetzt in relativ kleinem Maßstab beobachten?
Das wäre dann schon gravierend...

Gruß
gravi
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Re: Dimensionalität und Topologie des Universums

Beitrag von tomS » 21. Feb 2010, 20:18

Das Coulomb- sowie das Newtonsche Potential hängen sowohl von der Dimension als auch von der genauen Topologie des Universums ab.

Das Coulomb- sowie das Newtonsche Potential folgen aus der Lösung einer Differentialgleichung; diese beschreibt im wesentlichen, wie eine punktförmige Ladung bzw. Masse auf eine andere Ladung bzw. Masse wirkt. Die Lösung dieser Differentialgleichung führt man üblicherweise im Impulsraum durch, d.h. man nutzt die Fouriertransformation. Dabei erhält man als Lösung den sogenannten Propagator, d.h. eine Art Rechenvorschrift, wie sich die Kraft ausbreitet. Im Impulsraum (bzw. im Raum der Wellenzahlvektoren k) lautet die Lösung für masselose Teilchen immer 1/|k|²; dabei ist |k| der Betrag des Wellenzahlvektors. Diese Eigenschaft ist unabhängig von der Anzahl der Dimension.

Daraus kann man nun das Potential berechnen; im wesentlichen ist dies die Rücktransformation in den Ortsraum. Dazu muss man ein D-dimensionales Integral lösen. Im Integral schreibt man dann

d[up]D[/up]k = do d|k|[up]D-1[/up] |k|

do bezeichnet die Integration über eine Kugeloberfläche, d|k| die Integration über den Radius |k| im Impulsraum. Hier kommt die Dimensionalität des Raumes ins Spiel. Führt man das Integral aus, so findet man in Dimensionen D=3, 4, ... das Verhalten des Potentials zu

V(r) ~ 1/|k|[up]D-2[/up]

und speziell für drei Dimensionen gilt das bekannte 1/r Verhalten. In zwei Dimensionen erhält man ein logarithmisches Verhalten, in einer Raumdimension D=1 dagegen ein lineares Potential |r|.

Man sieht also, dass das Potential etwas über die Dimensionalität des Raumes aussagt.

Nun haben wir in den obigen Integralen die Fouriertransformation genutzt. Diese verwendet die Wellenzahlvektoren k. Ist der Raum unendlich ausgedehnt, so sind alle Wellenzahlen k zugelassen. Haben wir es jedoch mit einem endlichen Raum zu tun, so wird das erlaubte Spektrum dieser Werte diskret. Im einfachsten Fall einer Dimension und eines Raumes der Länge L (d.h. eines Universums, das zu einem Kreis aufgewickelt ist) sind nur die Wellenzahlen zugelassen, die die Periodizität bzgl. L respektieren. Anstelle eines Fourierintegrals hat man es also mit einer Fourierreihe (ähnlich wie bei einer eingespannten Saite) zu tun. Im Falle einer Dimension führt dies zu einem Sägezahn-Potential.

Man kann dies auch so formulieren, dass das Potential V(r), dessen exakten Verlauf wir hier noch nicht kennen, die Eigenschaft hat, dass es periodisch in L sein muss, d.h.

V(r+L) = V(r)

oder allgemein für beliebiges, ganzzahliges n

V(r+nL) = V(r)

Dies besagt, dass man eine Ladung im Abstand r+nL genauso sieht, wie wenn sie den Abstand r hätte (denn nL bedeutet ja einfach, n mal um den Kreis der Länge L herumlaufen).

Man sieht also, dass das Potential auch etwas über die Topologie des Raumes bei fester Dimensionsanzahl aussagt.

Man kann in drei Dimensionen den einfachen Fall des Torus-Universums betrachten, wobei der Torus in jeder Richtung die Länge L hat, d.h.nach einer Entfernung L gelangt man wieder an den Ausgangspunkt. Die Rechnung ist dann relativ einfach, man ersetzt das dreidimensionale Fourierintegral durch eine Fourierreihe mit Periodizität L. Für Abstände r die viel kleiner sind als L sieht das Potential praktisch wie das 1/r Potential aus, für größere Abstände sieht man dann die Periodizität in r.

Nun habe ich hier aber mehrere Vereinfachungen vorgenommen:
- ich habe L als fest angenommen, d.h. ich habe kein dynamisches, expandierendes Universum betrachtet
- ich habe das Newtonsche Potential zugrundegelegt; man müsste aber natürlich streng genommen den Formalismus der ART anwenden
- ich habe den 3-Torus Torus diskutiert, der eine einfache Topologie hat und auf eine Fourierreihe führt; das Dodekaeder-Universum hat sicher ein komplizierteres Periodizitätsverhalten!

Ich werde dazu mal googeln ...
Gruß
Tom

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Re: Dimensionalität und Topologie des Universums

Beitrag von gravi » 22. Feb 2010, 19:17

Wie würde das dann für den Fall des Trichteruniversums aussehen? Ich vermute, ähnlich dem Torusmodell...?

Gruß
gravi
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Re: Dimensionalität und Topologie des Universums

Beitrag von tomS » 22. Feb 2010, 19:41

Meinst du mit "Trichteruniversum" das "Hornuniversum"?

Ich bin ehrlich, ich bin da ziemlich überfragt. Das Torusuniversum ist wenigstens noch überall glatt und geometrisch ziemlich trivial. Auf einer kompliziereren Geometrie kann man keine einfachen Fourierkomponenten mehr betrachten, sondern muss nach anderen Eigenfunktionen entwickeln. Im Horn-UNiversum gibt es eine Singularität ...und dann ist die Geometrie des Universums ja auch noch dynamisch ...
Gruß
Tom

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Re: Dimensionalität und Topologie des Universums

Beitrag von gravi » 23. Feb 2010, 19:34

Ja, ich meinte natürlich das Hornuniversum.
Aber lassen wir das dann lieber hier beiseite liegen - das Modell ist mir sowieso nicht sonderlich sympathisch :wink:

Gruß
gravi
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Re: Dimensionalität und Topologie des Universums

Beitrag von tomS » 23. Feb 2010, 20:55

Du bevorzugst das Dodekaeder-Universum? Das macht es leider mathematisch nicht wirklich einfacher ...
Gruß
Tom

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Re: Dimensionalität und Topologie des Universums

Beitrag von tomS » 19. Mär 2010, 07:07

Hat irgendjemand eine Idee, wie man auf die Schwingungsmoden in einem Universum mit der o.g. Dodekaeder-Topologie kommt?
Stichworte: Entsprechung der Fouriertransformation? Expandierende Raumzeit?
Gruß
Tom

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Re: Dimensionalität und Topologie des Universums

Beitrag von tomS » 31. Aug 2010, 18:13

Da Sculletto dies in einem Post angemerkt hat: das recht einfache und hochsymmetrische Torus-Universum verletzt eine der Grundannahmen der Kosmologie, nämlich die der Isotropie. Ich erkläre dann mal kurz, wie man Isotropie definiert, warum das Torus-Universum die Isotropie verletzt und wie man das recht einfach einsieht.

Aber zunächst: habt ihr dazu Ideen?
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Re: Dimensionalität und Topologie des Universums

Beitrag von seeker » 31. Aug 2010, 23:34

Ich versuchs mal.

Isotropie bedeutet Richtungsunabhängigkeit.
Das heißt, dass unser Universum - wenn es denn isotrop ist - auf sehr großen Skalen überall gleich aussehen muss, egal in welche Richtung ich blicke. Ich denke, man spricht auch schon von Isotropie, wenn das Universum fast gleich in allen RIchtungen aussieht.
Das ganze hat auch noch etwas mit dem Drehimpulserhaltungssatz zu tun - der soll aus der Isotropie des Raumes ableitbar sein. Kann mir da jemand genaueres darüber sagen?

Zum Torus (= "Schwimmring"):

Ich vergleiche ihn mal mit einer Kugeloberfläche.
Wenn ich auf diese Kugelsphäre eine Ameise setze wird sofort klar, dass die Oberfläche für die Ameise in allen Richtungen gleich aussieht. Insbesondere ist die Krümmung der Oberfläche in allen Richtungen gleich. Es ist dabei auch völlig egal, wo ich die Ameise abgesetzt habe.

Beim Torus ist das nicht so. Ein Torus ist weniger symmetrisch als eine Kugel. Wenn die Ameise längs der Rotationsymmetrieachse des Torus schaut (nach "oben"), dann sieht sie eine andere Krümmung als wenn sie quer zu dieser Richtung schaut (nach "rechts/links") oder schräg schaut.

Wie mir scheint ist die einzige Möglichkeit, dass die Ameise nicht bemerken kann, dass sie auf einem Torus sitzt die, dass der Torus so groß ist, dass sie überhaupt keine Krümmung mehr bemerken kann.

Analogon zum Universum: Ein Torusförmiges Universum, das so groß ist, dass seine Krümmung in jeder Richtung unter der Nachweisgrenze ist.

Ähnlich erginge es auch einem Menschen auf einer torusförmigen Erde, der nur seine Augen als Messmittel hat.
Hmm... Wenn ich so darüber nachdenke, dann erinnert mich die Diskussion um die Topologie des Universums irgendwie an die frühere Diskussion um die Form der Erde... :wink:

Beste Grüße
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Re: Dimensionalität und Topologie des Universums

Beitrag von tomS » 1. Sep 2010, 08:23

Ganz guter Ansatz, aber du beschäftigst dich eher mit der Homogenität des Torus (ob er überall gleich aussieht) statt mit der Isotropie (ob alle Richtungen äquivalent sind). Eine exakte Definition von Isotropie reiche ich nach.

Noch eine Anmerkung: der Torus (besser: die Torus-Topologie) lässt verschiedene Geometrien zu; die von dir betrachtete (anschauliche) Einbettung in der dreidimensionalen Raum ist ungeeignet, da sie bereits die Homogenität verletzt und nicht flach (= gekrümmt ist). Ich werde erklären, wie man einen flachen, homogenen jedoch nicht-isotropen Torus mathematisch beschreibt.
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Re: Dimensionalität und Topologie des Universums

Beitrag von tomS » 1. Sep 2010, 13:04

Im Folgenden lege ich einen flachen Torus zu grunde, d.h. ich benutze nicht die "Einbettung" in den R³, sondern die Geometrie bleibt flach; mathematisch ist das möglich, allerdings kann man das nur schlecht anschaulich darstellen. Ich versuche dies über das zweifache Zusammenkleben eines Quadrats entlang der Ränder, wobei die farbigen Pfeile die miteinander zu verklebende Kanten andeuten. Die zweite Klebeoperation würde in der Praxis wieder zum "Fahrradschlauch führen und darf deswegen nicht "im R³" visualisiert werden. Außerdem habe ich ein kartesisches Koordinatensystem angedeutet (das der Flachheit des Torus entspricht).

Auf dem Matheplaneten http://www.matheplanet.com/ habe ich folgende Definition für die Isotropie erfragt:

"..given a point p \in M, M is isotropic at p if there exists a Lie group G acting smoothly on M by isometries such that the isometry subgroup G_p \subset G acts transitively on the set of unit vectors in T_p M."

Was bedeutet das?
Der Dateianhang 1.PNG existiert nicht mehr.
Nun, die Liegruppe G ist ganz einfach die "Bewegungsgruppe E² der euklidschen = flachen Ebene R²", also die Gruppe der Drehungen und Verschiebungen, angedeutet durch die grünen Pfeile. Isometrie bedeutet, dass G Abstände zweier Punkte unverändert lässt, wenn man beide Punkte identisch "bewegt"; das ist für Drehungen und Verschiebungen sicher der Fall. Transitiv bedeutet, dass es für zwei beliebige Einheitsvektoren durch einen Punkt immer eine Bewegung (hier: Drehung) gibt, die beide Vektoren ineinander überführt (dies wird formal auf einer Tangentialebene gemacht, nicht auf dem Torus selbst; da wir es hier aber mit einem flachen Torus zu tun haben, läuft das auf das selbe raus; bei der Einbettung müsste man tatsächlich eine Tangentialebene in einem Punkt zeichnen). Natürlich kann man zwei Einheitsvektoren ineinander verdrehen.

So, woran scheitert nun also die Isometrie? Ich zeige das an zwei Beispielen.

Zunächst mal habe ich die Drehungen immer nur in einem kleinen Kreis (mathematisch: Umgebung) skizziert. G soll jedoch den gesamten Torus drehen, und da sieht man schon, dass eine Bewegung plus Drehung dann scheitert, wenn die zu drehende Umgebung den Rand überdeckt. Der dicke rote Pfeil ist also problematisch, da er die Umgebung über den Rand (entlang dessen verklebt wurde) verschiebt und eine anschließende Drehung das eingezeichnete Gitter verzerrt. Ich hoffe, es ist anschaulich klar, was ich meine. Eine Drehung um einen Punkt innerhalb eines Kreises bedeutet, dass sich innerhalb des Kreises die Koordinatenlinien alle drehen; das kan man nach außen fortsetzen, wenn es sich um die Ebene R² handelt - das gesamte Koordinatensystem ist dann rotiert - nicht jedoch im Falle des Torus, da dann die Koordinatenlinien nicht mehr zusammenpassen. D.h. man kann die Isotropie sicher nicht für den gesamten Torus "retten".
1.PNG
1.PNG (7.54 KiB) 9095 mal betrachtet
Im zweiten Bild habe ich versucht, zwei Kurven = Richtungen zu skizzieren, die sich mehrfach um den Torus herumwinden. Die blaue Kurve "passt" dabei ganz genau in das skizzierte Gitter, d.h. sie schließt sich nach einigen Windungen um den Torus. Die rote Kurve "passt" nicht in das Gitter und verfehlt sich nach einigen Windungen ganz knapp, d.h. sie schließt sich nicht. Den Versatz habe ich durch den dicken roten Pfeil angedeutet. Man kann also auf dem Torus Geodäten (= gerade Linien = Richtungen) finden, die je nach Ausrichtung bzgl. des Gitters unterschiedliche Eigenschaften haben. Bei paralleler Ausrichtung zum Gitter schließen sie sich nach einer Windung; bei komensurabler Ausrichtung (rationales Verhältnis m/n bzgl. des Gitters) schließen sie sich nach endlich vielen Windungen, bei inkomensurabler Ausrichtung (irrationales Verhältnis x bzgl. des Gitters) schließen sie sich nie. Damit gibt es offensichtlich inäquivalente Richtungen.

Damit sieht man sowohl mathematisch exakt begründet als auch anschaulich klar, dass man einen flachen und damit homogenen Torus konstruieren kann, der jedoch definitv anisotrop sein muss.
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Re: Dimensionalität und Topologie des Universums

Beitrag von Maclane » 1. Sep 2010, 13:40

Okay, und wie sieht dann ein dreidimensionales Torus-Universum aus?
Gäbe es in der Galaxienverteilung Effekte, die auf einen Torus hindeuten könnten? Wie würde sich die Anisotropie bemerkbar machen?

Ich sehe zwar, was du da zweidimensional hingemalt hast, aber ich hab Schwierigkeiten, das Bild auf unser 3- bzw. 4-dimensionales Universum zu übertragen. :oops:

Gruß
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Re: Dimensionalität und Topologie des Universums

Beitrag von tomS » 1. Sep 2010, 13:50

Natürlich kannst du dir das in drei Dimensionen nicht vorstellen, das kann ich auch nicht (zum Trost: in vier Dimensionen brauchen wir das nicht, denn die Zeit bleibt quasi eine Grade, da wird nichts verklebt.)

Zum 3-Torus: man beginnt mit einem Würfel und verklebt die sechs Seitenflächen nach dem selben Muster wie beim Quadrat.

Es gibt übrigens noch einen wichtigen Artefakt, den die Einbettung des Torus im R³ erzeugt und der irreführend ist. Man sieht, dass beim flachen Torus das Verkleben der beiden horizontalen und der vertikalen Kanten gleichwertig ist, während der eingebette Torus so aussieht, als ob die eine Verklebung das Loch in der Mitte generiert, während das andere Verkleben den Schlauch erzeugt.
Gruß
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Re: Dimensionalität und Topologie des Universums

Beitrag von tomS » 1. Sep 2010, 14:21

Die folgende Graphik sollte das Muster des Verklebens verdeutlichen.

Es werden immer gegenüberliegende Flächen verkleben. Der Farbverlauf zeigt, wie die beiden Flächen jeweils aufeinandergeklebt werden (man könnte ja prinzipiell vor dem Verkleben eine Fläche um ein Vielfaches von 90° verdrehen, also einen "Twist" in den Torus einbauen; das passiert natürlich nicht).
3.png
Gruß
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