Dimensionalität und Topologie des Universums

[tomS]

Es sei darauf hingewiesen, dass die Krümmungstensoren im Torus alle gleich 0 sind. Es ist keine intrinsische Krümmung vorhanden. Das ändert aber nichts an der Tatsache, dass ein Torus anisotrop ist. Die Anisotropie rührt nicht von der intrinsischen Krümmung her, sondern von der Topologie.

Jein! Die Isotropie selbst ist keine topologische sondern eine geometrische Eigenschaft (da sie auf geometrischen Eigenschaften wie Symmetriegruppen, Richtungen und Isometrien basiert), allerdings ist es natürlich die Topologie, die einem beim Torus einen Strich durch die Rechnung macht.

[seeker]

OK, so weit so gut... Danke!

Fragen:
Welche Auswirkungen hätte eine solche Anisotropie? Kann man das messen (außer mit Teleskopen, indem man ins Weltall schaut)?
Was wäre, wenn der Torus (das Universum) sehr groß ist? Dann müsste es in der Tat doch so nicht feststellbar sein?
Könnte man auch etwas rotiern lassen und schauen, wie es rotiert?

Wenn ich nun statt deinem Torus (als quadratisches Blatt) etwas anderes nehme (die Verklebungen sind mir klar):

Was, wenn ich stattdessen ein kreisförmiges Blatt nehme?
Lässt sich dies mathematisch auch an den Rändern verkleben - gewissermaßen an unendlich vielen gegenüberliegenden Punkten? Geht das?
Also: Genau, wie beim Torus. Wenn ich rechts "herausgehe", komme ich links wieder rein, etc.
Hätte ich dann nicht eine geometrisch flache Kugel (also ohne Einbettung) - und wäre in diesem Fall die Isotropie nicht auch global gewahrt?

Noch etwas: Muss die Topologie des Universums (zwingend) global immer die gleiche gewesen sein?

Viele Grüße
seeker

P.S.:
Dein Bild Nr. 2 (das mit den vielen Pfeilen) sollte man vielleicht noch näher erklären (ich bin schon einige Minuten davor gesessen, bis ich es kapiert habe).
Das hier:

2.1.PNG.jpg (50.86 KiB) 11795 mal betrachtet

Es funktioniert so:

Man sieht einen blauen Pfeil, der vom Eck links unten nach oben geht. Wenn er oben ankommt, geht er unten an der genau gleichen Stelle weiter. Sein Winkel ist so gewählt, dass er am Ende genau das obere rechte Eck trifft. Das obere rechte Eck ist wegen den Verklebungen identisch mit dem linken unteren Eck - der blaue Pfeil trifft sich also selbst, bildet also insgesamt eine geschlossene Linie.

Zum roten Pfeil:
Wir gehen wieder vom linken unteren Eck aus und nehmen dort den blauen Pfeil. Dieser wir etwas nach rechts gedreht (Drehpunkt: das Eck links unten) und wird so zu dem 1. roten Pfeil.
Den roten Pfeil lassen wir nun auch laufen: Wenn er oben ankommt geht es unten an der gleichen Stelle weiter. Wenn er rechts herausgeht, geht es an der gleichen Stelle links weiter. Erst ab dem Zeitpunkt, wo er den rechten Rand überschreitet, wird er gestrichelt dargestellt.
Man sieht: Der rote Pfeil trifft sich nicht selbst und bildet daher keine geschlossene Linie! Dies ist durch den dicken roten Pfeil, der von dem durchgezogenen zu dem gestrichelten roten Pfeil zeigt verdeutlicht.

Da sich die blaue Linie (die sich aus der Weiterführung des 1. blauen Pfeils entwickelt) anders verhält, als die rote Linie (die sich aus der Weiterführung des 1. roten Pfeils entwickelt) kann es hier keine Isotropie geben, da der 1. rote Pfeil (und somit die rote Linie) nur durch eine einfache Drehung aus dem 1. blauen Pfeil (bzw. der blauen Linie) hervorgegangen ist. (Die Pfeillängen sind für das Begreifen der Linienentwicklung hier nicht relevant.)
Drehungen dürfen aber nichts verändern, wenn die Isotropiebedingung unverletzt sein soll!

[tomS]

Welche Auswirkungen hätte eine solche Anisotropie? Kann man das messen (außer mit Teleskopen, indem man ins Weltall schaut)?
Was wäre, wenn der Torus (das Universum) sehr groß ist? Dann müsste es in der Tat doch so nicht feststellbar sein?
Könnte man auch etwas rotiern lassen und schauen, wie es rotiert?

Die Unterschiede in der Geometrie äußern sich zunächst im Schwingungsspektrum, wie bei einer Trommel, daran erkennt man aber die Anisotropie m.W.n. nicht mehr. So wie ich das sehe, ist diese eine globale Eigenschaft; lokal sieht der flache Torus wie die flache Ebene aus, d.h. man kann. m.E. beide Topologien nicht durch (notwendigerweise immer) lokale Messungen unterscheiden. Aber ich mache mich da nochmal schlau.

Was, wenn ich stattdessen ein kreisförmiges Blatt nehme?
Lässt sich dies mathematisch auch an den Rändern verkleben - gewissermaßen an unendlich vielen gegenüberliegenden Punkten? Geht das?
Also: Genau, wie beim Torus. Wenn ich rechts "herausgehe", komme ich links wieder rein, etc.
Hätte ich dann nicht eine geometrisch flache Kugel (also ohne Einbettung) - und wäre in diesem Fall die Isotropie nicht auch global gewahrt?

Du bekommst topologisch eine Kugel. Allerdings lässt diese keine flache Geometrie zu, was du daran erkennst, dass beim naiven Verkleben des Kreises entlang des Randes Spitzen bzw. Singularitäten entstehen. Das Vekleben ist ein topologisches Werkzeug; nur in Spezialfällen wie dem des flachen Torus darf es auch zur Untersuchung der Geometrie benutzt werden; bei einer Kugel führt kein Weg um die Kugel herum.

Noch etwas: Muss die Topologie des Universums (zwingend) global immer die gleiche gewesen sein?

Das weiß heute niemand, dazu bräuchte man eine umfassende Theorie. nach der ART ist die Topologie fixiert, da eine Änderung immer ein "Zerschneiden und anders neu Verkleben" o.ä. bedeutet. Dies ist immer eine Singularität bzw. eine globale Aktion, die die ART nicht zulässt. In der Stringtheorie sind angeblich Topologieänderungen der kompakten Dimensionen möglich. Man untersucht schon derartige Änderungen, aber ich denke nicht, dass man da mehr tun kann als im Rahmen bestimmter Modelle etwas spekulieren.

Dein Bild Nr. 2 (das mit den vielen Pfeilen) sollte man vielleicht noch näher erklären (ich bin schon einige Minuten davor gesessen, bis ich es kapiert habe).

...

Man sieht einen blauen Pfeil, der vom Eck links unten nach oben geht. Wenn er oben ankommt, geht er unten an der genau gleichen Stelle weiter. Sein Winkel ist so gewählt, dass er am Ende genau das obere rechte Eck trifft. Das obere rechte Eck ist wegen den Verklebungen identisch mit dem linken unteren Eck - der blaue Pfeil trifft sich also selbst, bildet also insgesamt eine geschlossene Linie.

Zum roten Pfeil:
Wir gehen wieder vom linken unteren Eck aus und nehmen dort den blauen Pfeil. Dieser wir etwas nach rechts gedreht (Drehpunkt: das Eck links unten) und wird so zu dem 1. roten Pfeil.
Den roten Pfeil lassen wir nun auch laufen: Wenn er oben ankommt geht es unten an der gleichen Stelle weiter. Wenn er rechts herausgeht, geht es an der gleichen Stelle links weiter. Erst ab dem Zeitpunkt, wo er den rechten Rand überschreitet, wird er gestrichelt dargestellt.
Man sieht: Der rote Pfeil trifft sich nicht selbst und bildet daher keine geschlossene Linie! Dies ist durch den dicken roten Pfeil, der von dem durchgezogenen zu dem gestrichelten roten Pfeil zeigt verdeutlicht.

Bis auf den Flüchtigkeitsfehle OK, kannst du ja in deinem Beitrag korrigieren; danke für die Erklärung.

Da sich der blaue Pfeil anders verhält als der rote Pfeil kann es hier kein Isotropie geben, da der rote Pfeil nur durch eine einfache Drehung aus dem blauen hervorgegangen ist. Drehungen dürfen aber nichts verändern!

Das stimmt nun so nicht. Jeder einzelne rote Pfeil geht tatsächlich durch eine Drehung aus einem blauen Pfeil hervor. Und das ist auch OK. Lokal sind die Drehungen durchaus zulässig. Allerdings lässt der Torus keine globalen Drehungen zu. Du müsstest du ja alle roten Pfeile (eigentlich sind es ja keine einzelnen Pfeile sondern eine einzige Linie) durch eine einzige Drehung erzeugen und das geht nicht. Man verdeutlicht das am Beispiel des Fahrradschlauches (das eigentlich unzulässig ist wegen der Krümmung): Zeichne eine Kurve, die sich korkenzieherförmig um den Schlauch windet. Je nach Steigung der Kurve wird sie sich selbst treffen oder nicht. Verschiedene Kurven gehen nicht durch Drehung auseinander hervor. Dies ist zunächst eine rein topologische Eigenschaft der Kurven. D.h. es gibt auf dem Torus (egal welche Geometrie!) Kurven, die man durch ihre Windungszahlen m und n um die beiden "Richtungen auf dem Torus" klassifizieren kann. m und n können dabei auch unendlich sein. Im Falle des flachen Torus ist es nun so, dass Kurven verschiedener Windungszahl jeweils Geodäten (also Verallgemeinerungen von Geraden) sind. In der euklidschen Ebene kann man nun Gerdaen immer durch die o.g. Bewegungen (Drehung plus Verschiebung) ineinander überführen. Auf dem Torus geht dies nicht mehr, da die Drehung patologisch ist, d.h. die Bewegungsgruppe der Ebene existiert global auf dem Torus nicht. Es gibt demnach eine topologische Klassifizierung von "Geraden" auf dem Torus gemäß der Windungszahlen m und n. Kurz gesagt, Gerade ist nicht länger gleich Gerade.

[seeker]

Hallo Tom!

Zum roten Pfeil:

Wir gehen wieder vom linken unteren Eck aus und nehmen dort den blauen Pfeil. Dieser wir etwas nach rechts gedreht (Drehpunkt: das Eck links unten) und wird so zu dem 1. roten Pfeil.

Bis auf den Flüchtigkeitsfehle OK, kannst du ja in deinem Beitrag korrigieren; danke für die Erklärung.

Ich glaube, jetzt hast du mich missverstanden. Ich glaube nicht, dass das ein Fehler ist.

Was ich getan habe: Ich betrachte gar nicht nur die einzelnen Pfeile, sondern denke sie mir zusammengesetzt vor. So erhalte ich eine Linie.
Die Pfeile stellen für mich nur Teilabschnitte dieser Linie dar, die mir mehr Übersichtlichkeit verschaffen.
Damit ich nicht durcheinander komme, suche ich mir einen Anfangspunkt heraus. Dieser Anfangspunkt ist bei mir das linke untere Eck. Mathematisch gesehen mag der ohne Relevanz sein. Er soll mir nur zur Orientierung dienen. So erhalte ich zwei verschiedene Linien: Die blaue und die rote, die beide vom linken unteren Eck ausgehen. (Ich könnte sie natürlich auch in die andere Richtung verfolgen, dann würde es aber zu unübersichtlich in dem Bild, weil man dann noch mehr Pfeile einzeichnen müsste.)
Wenn ich da den 1. blauen Pfeil (=1. Teilabschnitt der blauen Linie) geeignet nach rechts drehe, dann wird er deckungsgleich mit dem 1. roten Pfeil (= 1. Teilabschnitt der roten Linie): Er wird also so zu dem roten Pfeil - so habe ich das gemeint. Ok, der rote Pfeil ist etwas länger... Das spielt aber für das Begreifen, was die zwei Linien nachher machen, keine Rolle. Ich könnte den roten ja auch genau gleich lang wie den blauen zeichnen.

Da sich der blaue Pfeil anders verhält als der rote Pfeil kann es hier kein Isotropie geben, da der rote Pfeil nur durch eine einfache Drehung aus dem blauen hervorgegangen ist. Drehungen dürfen aber nichts verändern!

Ok, ich hätte besser schreiben sollen:

"Da sich die blaue Linie (die sich aus der Weiterführung des 1. blauen Pfeils entwickelt) anders verhält als die rote Linie (die sich aus der Weiterführung des 1. roten Pfeils entwickelt) kann es hier keine Isotropie geben, da der rote Pfeil nur durch eine einfache Drehung aus dem blauen hervorgegangen ist. (Die Pfeillängen sind für das Begreifen der Linienentwicklung hier nicht relevant.)"


Wenn du dein OK gibst ändere ich das noch entsprechend in meinem obigen Beitrag.
Passt doch - oder?

Viele Grüße
seeker

[tomS]

Ja, du hast recht, damit sind die Missverständnisse aufgeklärt.

[tomS]

Es sei darauf hingewiesen, dass die Krümmungstensoren im Torus alle gleich 0 sind. Es ist keine intrinsische Krümmung vorhanden. Das ändert aber nichts an der Tatsache, dass ein Torus anisotrop ist. Die Anisotropie rührt nicht von der intrinsischen Krümmung her, sondern von der Topologie.

Jein! Die Isotropie selbst ist keine topologische sondern eine geometrische Eigenschaft (da sie auf geometrischen Eigenschaften wie Symmetriegruppen, Richtungen und Isometrien basiert), allerdings ist es natürlich die Topologie, die einem beim Torus einen Strich durch die Rechnung macht.

Im Falle des Torus rührt die Anisotropie von der Topologie her. Die Topologie ist, salopp gesagt, globale Geometrie. Ob eine geometrische Struktur isotrop ist oder nicht, gibt die Geometrie derselbigen vor. Bloße Kenntnis der intrinsischen Krümmung reicht nicht aus, um über die Isotropie einer geometrischen Struktur eine zutreffende eindeutige Aussage zu machen.

Machen wir mal ein ganz einfaches Beispiel.

Ob ein Auto (Universum) ein Rennauto (isotrop) ist, wird durch ganz viele Details (Geometrie) festgelegt, Motor, Getriebe, Chassis, ... Dass ein Auto aber KEIN Rennauto (anisotrop) ist, kann auch auf einer ganz globalen (topologischen) Eigenschaft liegen, z.B. dass es sich um einen LKW handelt; dann muss ich nicht weiter ins Detail gehen.

[tomS]

Die Frage ist, welchen Einfluss haben Schwarze Löcher auf die Topologie des Universums?

Man muss für jedes schwarze Loch einen einzelnen Punkt (die Singularität) aus dem Universum herausnehmen. Das erledigt man mathematisch durch das Herausschneiden einer winzigen Kugel, die die Singularität umschließt.

Allerdings ist die Frage für die Isotropie (und auch fürdie Homogenität) insofern irrelevant, als diese für ein reales Universum sowieso nicht gilt, weil es ja eben verklumpte Materie gibt.

[tomS]

Ganz naiv würde ich vermuten, man schneidet zwei (statt einer) Kugeln heraus und klebt einen Schlauch dazwischen. Wenn man vorher eine Kugel hatte, hat man danach einen Torus (in 3 Dim.ist das etwas komplizierter, aber so in etwa sollte es gehen)

[wilfried]

Tag zusammen

ich möchte hier ein Auge auf die Stringser im Frühstadium werfen:

1919 schickte Theodor Kaluza Einstein einen Brief. Darin vermerkte er, dass er -Kaluza- der Auffassung sein dass das Universum fünfdimensional sei. Dieser Brief beinhaltete eine Abhandlung über seine Ansicht der Gravitationstheorie und er benötigte dazu eben eine neue, die 5. Dimension. Grund war die Vereiningung der Maxwell mit der Gravitationstheorie Einsteins.

Das war revolutionär! Einstein fand das auch, hatte Zweifel, veröffentlichte diese Arbeit dann 2 Jahre später. Das Problem: wie heute auch: alle Experimente zeigten eine 3 (4) Dimensionalität.

1926 wurede es, als Oskar Klein diese Arbeiten aufnahm und behauptete, diese Extradimension ist deshalb unsichtbar, da sie in den Planck Größen "aufgewickelt" vorliege. Klein entwickelte damals den Begriff des Fadens (String), den er mit einem Beispiel eines auf einem Faden krabbelnden Käfers vorstellte.
Krabbel der Käfer auf dem Faden, bewegt er sich in nur einer Richtung -längs des Fadens: 1 Dimension.
Schaut man den Faden ein wenig genauer an, entpuppt er sich mit einer gewissen Dicke: 2 Dimensionen. Geht man ein wenig weiter weg, erkennt man, dass der Faden sich im Raum windet: 3 Dimensionen. Ergo: der Käfer kann auf dem faden krabbeln, selber vermerkt er nur eine Dimension, aber schaut man dem Käfer mit einem gewissen Abstand zu, erkennt man, dass sich der Käfer 3 dimensional bewegt. Unterscheidungsmerkmal Kleins: die ersten Diemsnionen sind "lang", die neue 5. Dimension ist sehr klein, zu einem winzigen Kreis mit Plancklänge aufgewickelt.

Die String Theorie war geboren!

Weiterentwicklung: Kommen noch mehr Dimnensionen hinzu, dann werden diese Kreise in diesen oder durch diese neuen Dimensionen zu einer Kugel oder zu einem Torus. Die Kugel besitzt ein höheres mass bzgl der Symmetrie als der Torus. Hier kommt dann Wort Symmetrie zum ersten male hinzu.
Diese Weiterentwicklung ist bekannt geworden unter dem Namen Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.
Diese Mannigfaltigkeiten bestimmen die Schwingungen bzw. Schwingungsmden der Strings.

(link: http://de.wikipedia.org/wiki/Calabi-Yau ... faltigkeit)

Die Strings besitzen zwei Formen der Energie: Windungsenergie und Schwingungsmoden Energie. Folgt man dieser idee nun ein wenig weiter, so ergeben sich einige sehr interessante Aspekte als deren Ergebnis:

1. In einem endlichen Universum sind Masse und Ladung der teilchen identisch mit denen eines inversen Universums (erstes mit Radisu R, letzteres mit Radius 1/R)
2. Diese beiden geometrisch gesehen ungleichen Universen sind physikalisch nicht unterscheidbar
3. Unser Universum ist -gemäß der Aussagen der Stringtheorie- identisch mit einem universum mit kreisförmigen Dimensionen des Radiuses von 1e-51m ( Plancklängen).

Ich lass die Problematik, wie unser Universum dort je hineinpassen kann weg. Spielt hier auch keine Rolle.

Und die heutigen Stringser gehen von 10 bis hin zu 27 Dimensionen aus, manche Physiker (US-Fachmagazin "Physical Review Letters" (Nr. 98, Bd. 5, 051301) Gary Shiu, Bret Underwood ), es gäbe Anzeichen, Extradimensionen "aufzuspüren" und dann ein Rechenrmodell zu erstellen um diese simulieren zu können. Angeblich beitzt unser universum neben den Dimensionen der Stringser noch 6 weitere Dimensionen.

Es gilt aber: diese Dimensionen müssen sich im Urstadium des status nascendi gebildet haben, können sich heute weder bilden noch zerfallen. Sonst wäre die Entropie nicht mehr gültig.

Und wie sieht das Universum aus, dessen Topologie?

Eventuell ist diese Ulmer veröffentlichung dazu ganz interessant:

http://www.uni-ulm.de/misc/veranstaltun ... ustig.html

Gruß

Wilfried

[tomS]

Der letzte Link ist sehr empfehlenswert, da er auf die weiter oben genannten Topologien eingeht.

Zur Stringtheorie: die hier genannten Dualitäten, d.h. die Äquivalent kleiner und großer Universen, ist nur in einer bestimmten Stringtheorie gültig. Sie ist nicht unbedingt universell für alle Lösungen der Theorie. Die Extradimensionen der Stringtheorie sind nicht unbedingt physikalisch identisch mit dem, was wir uns unter "Dimension" vorstellen. Man könnte eher sagen, dass sie in einem bestimmten Grenzfall der Theorie als Dimensionen interpretierbar sind. In einem anderen Grenzfall könnte man sie eher als Feldstärken interpretieren.

Ich gehe davon aus, dass eine endgültige Formulierung der Stringtheorie (soweit man sie jemans finden wird) mathematisch deutlich anders aussieht und dass siech die Frage der Interpretation der zusätzlichen Dimensionen dann nicht mehr stellt.

[tomS]

Die Stringtheorie kann - je nach Formulierung - nur in einer bestimmten Dimensionsanzahl mathematisch widerspruchsfrei formuliert werden. Die heute diskutierten Theorien mit Fermionen können nur in 10 Dimensionen existieren, in allen anderen Dimensionen weisen sie Quantisierunsganomalien auf und sind mathematisch inkonsistent. Man hat also gar keine Wahlfreiheit mehr.

[Skeltek]

Geht eine Erweiterung der Dimensionalität der Teilchen nicht automatisch mit einer Erweiterung der Raumzeitdimensionen einher?

Man lagert in beiden Fällen Eigenschaften der Teilchen aus, die man durch eine dreidimensionale Eigendynamik des möglicherweise mit Ausdehnung behafteten Elementarteilchens nicht erklären kann? Man kennt ja weder Form noch Wechselwirkungsweise eines Elementarteilchens mit sich selbst?

Nur mal angenommen, man findet einen 3dimensionalen Aufbau eines dynamischen formverändernden Teilchens/Raumkrümmung, die ein Phänomen erklären kann, daß sich momentan nur durch Extradimensionen erklären lässt, dann wäre es doch plausibler das so zu erklären?

[Skeltek]

Hmm, dachte beim punktförmigen Teilchen bereits eine räumliche 3dimensionalität vorausgesetzt, da seine Kräfte und Felder sich 3dimensional erstrecken.
Dachte String statt Punkt erweitert das eben um eine Dimension.
Sorry, vielleicht meine ich es ja auch falsch.

[tomS]

Beim String geht es darum, statt ein null- ein eindimensionales Objekt zu betrachten. Die notorischen Divergenzen in QFTs mit Punktteilchen verschwinden dadurch. All dies hat jedoch nichts mit der Topologie zu tun; allenfalls die Calabi-Yau-Räume sind hier von Belang

[seeker]

Ich würde gerne noch einmal auf die Topologien zurückkommen.

Ich frage mich gerade, welche endlichen Räume mit welchen Topologien ein flaches Universum liefern können und welche davon isotrop sind und welche nicht.

Dazu habe ich zunächst diese Frage (in Anknüpfung zu den Beiträgen über den Torus):

Wie sieht es eigentlich bei einer (unendlich flachen) Münze aus? Also ein Gebilde mit Vorderseite und Rückseite, das rund ist.
Wäre dieses Gebilde isotrop oder nicht?
Wann ist etwas isotrop und gleichzeitig flach? Kann man sagen: Wenn ich ein kartesisches Koordinatensystem (bzw. Raster) einzeichnen kann, das ich beliebig verschieben und drehen kann, ohne dass sich dadurch die Winkel des Rasters verändern, wenn sich das Raster dadurch über die Klebekanten bewegt ?

Beste Grüße
seeker

[tomS]

Vorder- und Rückseite kannst du mathematisch so nicht fassen; eine Mannigfaltigkeit hat keine Vorder- und Rückseite, das ist ein Artefakt der Zeichnungen.

Eine unendlich flache Münze wäre isotrop, da du wie selbst gesagt Drehungen und Verschiebungen auf die gesamte Ebene ausdehnen kannst. Es gibt in diesem Fall keine Notwendigkeit mehr, Verklebungen vorzunehmen. Das Koordinatensystem ist bei mir übrigens nur eine Hilfskonstruktion. Die ursprüngliche (englische ) Formulierung zur Isotropie kommt ohne den Begriff des Koordinatensystems aus. Im Falle des Torus ist dies kompliziert, da ich streng genommen andere Koordinatensysteme und Geometrien (unterschiedlicher Krümmung) ebenfalls betrachten müsste und nachweisen müsste, dass diese sämtlich anisotrop sind. Anders gesagt, ich müsste nachweisen, dass keine isotrope Geometrie existiert; dies habe ich durch ein einziges Beispiel nicht erreicht (aber ihr glaubt mir hoffentlich trotzdem).

Eine Sphäre (Kugeloberfläche) ist übrigens ein einfaches Beispiel für einen Raum, der nicht flach (gekrümmt) und dennoch isotrop ist. Grund ist, dass auf der Kugel die Bewegungsgruppe keine Verschiebungen mehr enthält, sondern ausschließlich Drehungen. Dann sieht man unmittelbar ein, dass bei Wahl irgendeiner Drehachse ein Koordinatensystem definierbar ist, das Nord- und Südpol an den Durchstoßungspunkten der Drehachse hat. Damit hat man nicht das Problem wie bei den Drehungen auf dem Torus. Auf der Kugel lassen sich Richtungen einfach durch Großkreise darstellen und es ist sofort einsichtig, dass diese alle äquivalent sind.

[seeker]

Vorder- und Rückseite kannst du mathematisch so nicht fassen; eine Mannigfaltigkeit hat keine Vorder- und Rückseite, das ist ein Artefakt der Zeichnungen.

Könnte man nicht einfach eine Rückseite mathematisch dazudefinieren?
Die Rückseite wäre dann doch so etwas wie ein Spielgelbild.
Eine Bewegung auf der Vorderseite nach rechts würde z.B. zu einer Bewegung nach links auf der Rückseite.

Was wenn ich ein Möbiusband betrachte?
Dann brauche ich doch das Konzept von Vorder- und Rückseite, um das Band von einer normalen Schleife (ohne Drehung) zu unterscheiden - oder?
Denn: Ein Möbiusband hat keine Rückseite (bzw. ist diese mit der Vorderseite identisch) - eine Schleife schon.

Zur Münze:
Was ich mich frage ist: Wenn ich genauso vorgehe, wie beim Torus, wenn ich also Pfeile (bzw. eine Linie) über den "Rand" hinauslaufen lasse und auf der Rückseite weiterlaufen lasse, was kommt dabei heraus?
Wenn ich im Mittelpunkt der Münze anfange wird sich die Linie unabhängig von Winkel immer selbst treffen. Was ist aber wenn ich nicht im Mittelpunkt anfange (also zusätzlich eine Verschiebung durchführe)? Trifft sich die Linie dann auch?

Ich werde wohl mal einen Kreis aus einem Blatt Papier ausschneiden und es ausprobieren...

Grüße
seeker

[tomS]

Könnte man nicht einfach eine Rückseite mathematisch dazudefinieren?
Die Rückseite wäre dann doch so etwas wie ein Spielgelbild.
Eine Bewegung auf der Vorderseite nach rechts würde z.B. zu einer Bewegung nach links auf der Rückseite.

Ja, könntest du machen, ist aber unnötig, denn ...

Was wenn ich ein Möbiusband betrachte?
Dann brauche ich doch das Konzept von Vorder- und Rückseite, um das Band von einer normalen Schleife (ohne Drehung) zu unterscheiden - oder?
Denn: Ein Möbiusband hat keine Rückseite (bzw. ist diese mit der Vorderseite identisch) - eine Schleife schon.

Ein Möbiusband hat keine Vorder- und eine Rückseite, ein zylindrisches, unverdrehtes Band (topologisch gesehen) aber auch nicht. Du kannst beide mittels Klarsichtfolie repräsentieren. Anstelle des Aufzeichnens von Figuren denkst du dir die Farbe bereits bei der Produktion in die Klarsichtfolie eingebracht - fertig. Der Unterschied zwischen dem zylindrischen und dem Möbiusband ist, dass letzteres keine Orientierung zulässt. Denke dir einen im Uhrzeigersinn kreisförmig gebogenen Pfeil in die Klarsichtfolie eingebracht. Im Falle des Möbiusbandes kannst du den Pfeil durch einfachen Herumschieben entlang des Bandes in einen Pfeil transformieren, der entgegen dem Uhrzeigersinn gebogen ist. Das ist die wesentliche Eigenschaft, nicht die fehlende Zweiseitigkeit (die ist anschaulich klar, mathematisch aber irreführend).

Zur Münze:
Was ich mich frage ist: Wenn ich genauso vorgehe, wie beim Torus, wenn ich also Pfeile (bzw. eine Linie) über den "Rand" hinauslaufen lasse und auf der Rückseite weiterlaufen lasse, was kommt dabei heraus

Ich habe beim Torus nie die Rückseite verwendet! Ich habe den Rand des Torus durch Verkleben eliminiert, du hingegen lässt den Rand der Münze bestehen. Eine berandete Fläche ist aber etwas ganz anderes. Insbs. kann eine berandete Fläche nie homogen und isotrop sein, da sich die Randpunkte fundamental von den inneren Punkten unterscheiden.

[seeker]

Ich habe beim Torus nie die Rückseite verwendet! Ich habe den Rand des Torus durch Verkleben eliminiert, du hingegen lässt den Rand der Münze bestehen.

Was du beim Torus gemacht hast ist mir schon klar. Beim Torus gibt es durch das Verfahren keinen Rand mehr, weil er nicht ausgezeichnet ist bzw. nicht von irgend einer anderen Stelle unterscheidbar ist. Den "Rand" haben wir nur bildlich einzeichnen müssen, weil es halt bildlich nicht anders geht - er dient in der Zeichnung nur zur Orientierung - existent ist er nicht.

Ich denke einfach über andere Klebemöglichkeiten nach und was daraus folgt.

Beispiel:
Ein Band, das ich erhalte, wenn ich bei einer Fläche die rechte mit der linken Seite verklebe:
Ich erhalte zunächst ein Band, das 3-dimensional von der Seite gesehen rund ist.
Nun hindert mich aber niemand daran dieses Ding flach zu drücken: Ich nehme das Papier und streiche es glatt (falte es an zwei Stellen).

Schleife (Seitenansicht).jpg (11.34 KiB) 11791 mal betrachtet

Jetzt habe ich keine Krümmung mehr - topologisch gesehen ist es aber noch das gleiche Band - oder?

Dieses Band sollte nach wie vor isotrop (und nur) gegen Verschiebungen nach rechts/links sein.

So weit so gut.

Wo ich noch nicht durchsteige:

Was passiert, wenn ich mein Blatt an allen vier Seiten so verklebe, wie das plattgedrückte Band? Also wenn ich das plattgedrückte Band an den restlichen beiden Rändern auch noch verklebe?
Wenn ich mir das basteln wollte, könnte ich auch zwei Blätter nehmen, die ich aufeinander lege und dann an den Rändern verklebe.
Ich erhalte jedenfalls etwas anderes als bei deinem Torusbeispiel, wo zuerst die Ränder oben/unten verklebt werden und erst danach die Ränder links rechts, des entstandenen Schlauches (wobei der Schlauch auch nur eine Veranschaulichung ist - dein Torus soll ja flach sein). Im einen Fall habe ich kein Loch in der Mitte im anderen Fall schon.
Verschwinden bei meiner neuen Art der Verklebung die Ränder auch oder sind sie ausgezeichnet (verschwinden also nicht)?

Nächster Schritt:
Was passiert, wenn ich statt zwei rechteckigen Blättern zwei runde Blätter nehme und diese am Rand verklebe? Verschwindet der Rand oder ist er ausgezeichnet? Aus deiner vorhergehenden Antwort vermute ich, dass der Rand nicht verschwindet. Wie kann ich mir das klarmachen?
Wie gesagt: Beim Band kann ich auf meine Weise immerhin zwei der vier Ränder eliminieren...

Beste Grüße
seeker

[Skeltek]

@Gravi: Hab grade keine Zeit, ich schreib dir bei Gelegenheit mal ne ausführlichere Mail wie ich das genau meine.
Nur kurz erstmal: Eine z.B. 4te räumliche Dimension, die geschlossen ist und nur eine oder wenige Planklängen Ausdehnung hat würde sich makroskopisch nicht bemerkbar machen. Dachte vielleicht könnte man Freiheitsgade dadurch erklären, indem man dem Elementarteilchen eine Ausdehnung von wenigen Planklängen in diese Dimension hinein zuschreibt und sich das Teilchen in dieser dreht oder ähnliches... Naja, jedenfalls hatte ich mir das so vorgestellt als ich noch null Ahnung von STs hatte. Ne zusätzliche Raumdimension, die nur eine Ausdehnung von ein paar Planklängen hat, würde man auf makroskopischer Ebene gar nicht bemerken... bestimmte Grundkräfte würden sich bei meinem Model halt leider nicht umgekehrt quadratisch zum Abstand verhalten auf kurzen Skalen...

Für die Topologie der 4 dimensionalen Raumzeit is das natürlich völlig ohne Bedeutung

[tomS]

Das Verkleben zweier Ränder macht aus dem Blatt einen offenen Zylinder mit zwei kreisförmigen Rändern. Das Plattdrücken mit Knicken an den neuen Rändern ist topologisch verboten. Solange du Ränder behältst ist keine Isotropie gegeben, da die Punkte an den Rändern eine andere Umgebung sehen, als die im Inneren; du musst also für die Isotropie immer alle Ränder verkleben.

Ob du mit einem rechteckigen oder runden Blatt startest ist letztlich egal; du musst alle Ränder verkleben und darfst keine Knicke zurückbehalten (dass das in der Praxis nicht geht, weil sich das Papier wehrt, ist egal). Wenn du mit einem rechteckigen Blatt startest, hast du mehrere Möglichkeiten. Entweder verklebst du es erst zu einem Zylinder und dann zu einem Torus, oder zu einem Zylinder und dann jeden einzelnen kreisförmigen Rand mit sich selbst (keine Knicke!), d.h. letztlich topologisch zu einer Kugel. Diese wäre dann isotrop.

Am besten, du zeichnest ein Quadrat und markierst, was du mit was verkleben willst. Du musst das nicht praktisch durchführen, weil sich das Papier wehrt, es reicht, wenn du es aufzeichnest, so wie beim Torus.

[tomS]

Ich hab das mal versucht darzustellen. Zuerst wird ABC verklebt, anschließend 123. Beim echten Verkleben bekommst du im Falle der Kugel Knicke, ein Zeichen dafür, dass die Kugel nicht flach ist. Du darfst aber so tun, als ob die das lokal immer glattdrücken könntest. Solange nur Wellen und Dellen vorhanden sind, ist das topologisch egal. Ein Würfelmit abgerundeten Ecken und Kanten ist zu einer Kugel hmöomorph = topologisch äquivalent.

Ich habe die verbleibenden Kanten noch farblich gekennzeichnet; Das Möbiusband hat nur eine Kante.

Achtung mit den Quadraten: sie sind zunächst ein Koordinatensystem, aber nach dem Verkleben evtl. nicht mehr; z.B. wie gesehen bei der Kugel. Koordinatensysteme sind keine topologischen sondern geometrische Objekte, d.h. speziellere Gebilde. Eine Topologie lässt u.u. verschiedene Geometrien zu.

3.PNG

[seeker]

Danke!
Soweit klar.

Das Plattdrücken mit Knicken an den neuen Rändern ist topologisch verboten.

Warum?

Wie ist es dann bei einem Ikosaeder oder bei einem Würfel? Die haben ja auch Knicke - zwar mit einem Winkel < 360°, aber immerhin...
Was, wenn ich meine Knicke beliebig verschieben kann? Dann weißt du nicht, wo sie sind... also könnte ich in diesem Fall doch mit gewissem Recht behaupten, dass sie gar nicht da sind?

Ich muss auch noch fragen, in welcher Beziehung eine Topologie zu einer Krümmung steht?
Ich darf meine Oberfläche nach belieben verziehen? Dann brauche ich unbedingt zusätzlich noch die Geometrie um entscheiden zu können ob mein Objekt flach oder gekrümmt ist -oder?
Was sagt mir die Topologie allein überhaupt? Einfach nur wie viele Löcher und Schlingen ein Objekt hat?
Ignoriert die Topologie die Krümmung?


Worum es mir hauptsächlich geht:
Ich will wissen, welche geschlossenen Topologien mit endlichen Oberflächen flach sind.
Die Kugel ist offenbar immer gekrümmt, der Torus kann erstaunlicherweise auch flach sein...

Viele Grüße
seeker

[tomS]

Topologie beschäftigt sich mit Mannigfaltigkeiten. Eine Mannigfaltigkeit ist etwas, das lokal so aussieht wie ein flacher Raum R[up]n[/up] der Dimension n. Eine Kugeloberfläche sieht lokal so aus wie ein R[up]2[/up]; man kann lokal eine Tangentialfläche anlegen. Global muss das nicht gelten; global ist eine Kugeloberfäche S[up]2[/up] eben etwas anderes als ein R[up]2[/up]

Knicke sind verboten, da ein flacher R[up]n[/up] eben keine Knicke hat und weil an einem Knick keine eindeutige Tangente angelegt werden kann. Ränder sind erlaubt. Eine n dim. Mannigfaltigkeit darf durchaus n-1 dim. Ränder haben; das muss man aber explizit dazusagen. Die "Theorie der Ränder", d.h. welche Eigenschaften von der Mannigfaltigkeit auf ihre jeweiligen Ränder übertragen werden und welche differentialgeometrschen Aussagen man treffen kann, wird in der Homologie- und Kohomologietheorie diskutiert.

Topologie weiß zunächst nichts über geometrische Eigenschaften wie Abstände, Winkel, Krümmung, Geraden etc. Sie weiß nur etwas über "benachbaret" Punkte und dass eben "lokal alles so aussieht wie ein flacher R[up]n[/up]", wobei man sich von letzterem alle Abstandsbegriffe u.ä. wegdenken muss; ist ziemlich abstrakt, aber man kann sich vorstellen, dass alles was man aus beliebig elastischen, knick- und rissfreien Gummitüchern ineinander deformieren kann, auch topologisch äquivalent ist.

Das führt zu erstaunlichen Seltsamkeiten. Betrachten wir wieder den Torus, eingebettet in den dreidimensionalen Raum (also den Fahrradschlauch). Wir schneiden ihn durch (zu einem Zylindermantel), verdrillen ihn um 360° und kleben ihn wieder zusammen. Lokal hat sich am Schnitt nichts geändert, alle Punkte sind wieder genau da wie vorher. Aber wenn wir wieder anfangen, geschlossene Kurven zu zeichnen, dann sehen wir, dass wir etwas Neues konstruiert haben - aber das erkennen wir erst mittels der Kurven. Es hanbdelt sich bei dieser verdrilling um eine topologische Operation, die beiden Tori sind homöomorph, ds.h. topologisch äquivalent, aber nicht geometrisch.

In zwei Dimensionen sagt die Topologie letztlich, wie eine Mannigfaltigkeit aus elementaren Tori sowie Kreuzhauben (Möbiusband mit verklebten Rändern) zusammengesetzt ist. D.h. alle zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten lassen sich eindeutig durch die Zahl der Löcher (der Tori - z.B.hat eine Brezel mehere davon) sowie die Anzahl der Kreuzhauben klassifizieren. In drei Dimensionen gibt es etwas ähnliches, die sogenannte Thurstonsche Geometrisieringsvermutung (die der verrückte Perelman inzwischen bewiesen hat - siehe Poincarevermutung). In drei oder mehr Dimensionen gibt es jeeoch vielmehr klassifizierungsrelevante Gebilde, leider sogar unendlich viele!

Dann gibt es aber einige Aussagen, die die Topologie über die Geometrie macht. Z.B. ist es eine topologische Eigenschaft, dass es keine global flache Geometrie auf der Kugeloberfläche gibt.

Dazu muss ich aber einiges nachschauen ...

[seeker]

@Tom
Danke für die Ausführungen!

@alle:
Zum Moebiusband möchte ich euch noch eine erstaunliche Sache zeigen, die vielleicht noch nicht alle kennen:

Dazu müsstet ihr ein Moebiusband aus einem Streifen Papier basteln.
Das geht so:
http://www.kapege.de/moebius.php

Wenn ihr das habt, dann schneidet mal das Band entlang der auf den Bildern sichtbaren Mittellinie mittig in Längsrichtung (nicht quer!) auseinander:

Also so:

moebius1.jpg (3.19 KiB) 11658 mal betrachtet

Frage 1: Was erhält man?
Frage 2: Was erhält man, wenn man den Vorgang nach dem 1. Schneiden noch einmal genauso wiederholt - also das Ergebnis aus 1. noch einmal mittig in Längsrichtung zerschneidet?

P.S.:
Wer die Antworten noch nicht kennt und in der Lage ist die richtigen Antworten zu geben, nur durch Vorstellungskraft/Überlegung, also ohne das Band wirklich zu zerschneiden, vor dem ziehe ich in Hochachtung meinen (imaginären) Hut!

Grüße & viel Spaß!
seeker