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#17 Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

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#17 Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von tomS » 3. Mai 2009, 11:44

Hallo zusammen,

nach längerer Zeit des Stillschweigens wollte ich zu meinem alten Steckenpferd - der Schleifenquantengravitation bzw. englisch Loop Quantum Gravity, kurz LQG - mal wieder eine Übersicht präsentieren und auf neuere Entwicklungen eingehen.

Ich hoffe, dass dieser Text aus 2009 für Einsteiger ohne Vorkenntnisse geeignet ist.

Ich versuche dabei mittels einiger anschaulicher Bilder die wesentlichen Ideen zu vermitteln, ich möchte jedoch auch gleichzeitig warnen, diese Bilder zu wörtlich zu nehmen! Es handelt sich um den Versuch, mathematische Modelle in die Alltagssprache zu übersetzen. Das bedeutet nicht, das die Natur dann so „ist“, wie es diese Bilder suggerieren, sondern lediglich, dass hier eine grobe, oft unvollkommene Analogie existiert (so wie wenn sich Blinde über Farbe unterhalten).

In der LQG ist das Bild einer klassischen Raumzeit zunächst vollständig verschwunden. Es gibt keine glatte Mannigfaltigkeit mehr, auf der sich die physikalischen Prozesse abspielen bzw. die sich im Rahmen dieser Prozesse krümmt und somit die Gravitation vermittelt. Stattdessen gibt es lediglich ein „Spinnetzwerk“, wobei die Spins an den Knoten des Netzes sitzen und die Verbindungslinien des Netzes mit Zahlenwerten versehen sind, die durch eine bestimmte mathematische Struktur definiert sind. Dieses Netz „lebt“ nicht in der Raumzeit, sondern es „ist“ das quantenmechanische Analogon zur Raumzeit.

Man vergleiche das mit dem mikroskopischen Bild einer Wasseroberfläche unter Einbeziehung der Atomphysik. Es gibt dann keine glatte Wasseroberfläche mehr, sondern lediglich wechselwirkende Atome, aus denen erst makroskopisch wieder das Bild einer Wasseroberfläche entsteht. Die Wasseroberfläche (bzw. das gesamte Wasser mit allen seine Eigenschaften wie Oberflächenspannung, Wellen, Dichte usw.) ist ein sekundäres Phänomen, fundamental sind lediglich die Atome. Damit soll nicht die Existenz der Wasseroberfläche wegdiskutiert werden, sondern es soll lediglich argumentiert werden, dass auf einem fundamentaleren Niveau die Natur eben durch Atome beschrieben werden muss.

Ebenso verhält es sich mit der Raumzeit in der LQG. Fundamental sind die Spinnetzwerke, d.h. die Spins an den Knoten, die Verbindungslinien zwischen den Knoten, sowie gewisse mathematische Regeln, die die Dynamik des Spinnetzwerkes beschreiben. Diese Dynamik besteht im Wesentlichen darin, dass innerhalb dieses Netzes neue Knoten entstehen können, die wiederum mit existierenden Knoten durch neue Verbindungslinien verknüpft sind. Das Entstehen dieser Knoten ist durch die mathematische Struktur SU(2) sowie ein Objekt namens Hamiltonoperator bestimmt.

Anmerkung: Ein Spin ist dabei zunächst ein mathematisches Gebilde, das eine bestimmte Art von Eigendrehimpuls beschreibt (bekannt aus der Atomphysik). Dabei treten z.B. nur quantisierte Drehimpulse auf. In unserem Fall handelt es sich nicht um echte Drehimpulse von irgendetwas, lediglich die mathematischen Formeln sind ähnlich zum Formalismus der Drehimpulse. Es gibt da also nichts, was sich irgendwie dreht!

Das Bild der uns bekannten Raumzeit entsteht nun ähnlich wie oben das Bild der Wasseroberfläche bzw. wie bei Schaum. Ein Knoten entspricht einer Zelle des Schaumes, d.h. er repräsentiert ein elementares Volumen. Benachbarte Volumina sind durch Grenzflächen getrennt; diese Grenzflächen werden durch eine Verbindungslinie zwischen den Knoten repräsentiert. Man bezeichnet dieses Bild als dual zu dem Bild des Schaumes. Es ist jedoch tatsächlich allgemeiner als das Bild des Schaumes, da z.B. auch Verbindungslinien zwischen „weit auseinander liegenden“ Knoten erlaubt sind, während im Schaum eben nur Grenzflächen zwischen direkt benachbarten Volumina auftreten.

Wichtig: man darf sich das Spinnetzwerk nicht „im Raum“ vorstellen, sondern es „ist“ der Raum selbst. Eliminiert man alle Spins, d.h. alle Knoten, so bleibt kein leerer Raum mehr übrig, sondern der Raum ist vollständig verschwunden! (zeichnet man ein derartiges Netzwerk auf ein Blatt Papier, so ist das Papier lediglich eine Hilfskonstruktion, keine reale physikalische Entität). Das Vakuum in der LQG ist also nicht „leerer Raum“, sondern tatsächlich „kein Raum“.

Über die Knoten und Verbindungslinien entstehen elementare Quanten des Raumes. Es gibt keine unendlich kleine Fläche bzw. kein unendlich kleines Volumen, sondern ein einzelner Knoten repräsentiert das minimal erlaubte Volumen. Das Volumen ist also diskret (kein Raum = Volumen Null, ein Knoten = minimales Volumenquant). Ähnlich verhält es sich mit Flächen, eine Verbindungslinie repräsentiert ein minimales Flächenquant. Für Längen gilt dies analog, allerdings ist die Beschreibung der Länge in der LQG wesentlich komplizierter.

So wie in der Atomphysik bzw. Quantenmechanik diskrete Energieniveaus auftreten, so treten in der LQG diskrete Volumina und Flächen auf. Diese Diskretheit ist auch der Grund, warum in der LQG Objekte wie schwarze Löcher und der Urknall keine unphysikalischen Singularitäten entwickeln können. Stattdessen entstehen fundamental diskrete Strukturen, die jedoch mathematisch wohldefiniert bleiben. Auch hier hilft wieder ein Vergleich mit der Atomphysik: betrachtet man ein Atom klassisch, so würde man erwarten, dass das Elektron in das „unendlich tiefe Coulomb-Potential“ fallen kann, wobei es unendlich negative Energie annehmen würde. Quanteneffekte sorgen nun dafür, dass es ein niedrigstes Energieniveau gibt, unterhalb dessen ein Elektron im Coulomb-Potential einfach nicht existieren kann. Ähnliche Mechanismen treten auch in der LQG auf.

Wie entsteht nun die makroskopische Raumzeit? Dies ist noch Gegenstand aktueller Forschung, da hier noch nicht alle mathematischen Probleme abschließend gelöst sind. Im Wesentlichen hat man dabei das Bild eines extrem großen Spinnetzwerkes vor Augen, das für größere Entfernungen in das Bild der klassischen Raumzeit übergeht (so wie man makroskopisch auch nur die Wasseroberfläche und nicht die einzelne Atome wahrnimmt). Wichtig ist dabei, dass diese so aus der LQG hervorgehende Raumzeit wieder die uns bekannten Eigenschaften aufweist (ART, Newtonsches Gravitationsgesetz als Näherung, …).

Die Rolle der Zeit in der LQG (bzw. generell in allen Theorien der Gravitation) ist dabei ebenfalls noch Gegenstand der Forschung. Denn im Bild der Spinnetzwerke gibt es keine kontinuierlich verlaufende Zeit. Stattdessen gibt es nur „Ticks“ einer elementaren Uhr, ein Tick entspricht dabei z.B. dem Entstehen eines neuen Knotens im Spinnetzwerk. Ein makroskopischer Begriff von Zeit entsteht ebenfalls erst als abgeleitete Größe.
Gruß
Tom

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Re: #17 Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von tomS » 14. Feb 2018, 00:50

So, bisher war das nur ein Remake aus 2009. Bei Interesse geht's dann mit aktuellen Entwicklungen weiter ...
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Re: #17 Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von Timm » 14. Feb 2018, 17:39

Gerne ... . Gibt's Neues zu Bojowalds Abstoßung bei hoher Energie?

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Re: #17 Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von tomS » 14. Feb 2018, 23:18

Zunächst ein paar einleitende Bemerkungen zu LQG (Loop Quantum Gravity) und LQC (Loop Quantum Cosmology).

Offene Probleme zur Quantisierung

Die Quantisierungsmethode der LQG ist aus mathematischer Sicht nicht vollumfänglich verstanden. Insbs. liefert sie keine sogenannte off-Shell-Closure der Constraint-Algebra. Einfach formuliert: bestimmte fundamentale Gleichungen der Theorie gelten nur, wenn sie auf tatsächliche Lösungen der Theorie angewandt werden. Das klingt nicht weiter schlimm, denn warum sollte uns ein mathematisches Problem interessieren, wenn wir es in einem Bereich anwenden, der gar nicht zu den Lösungen gehört? Neben prinzipiellen – jedoch gravierenden – Bedenken bzgl. sogenannter Anomalien existiert ein ganz einfaches Argument: wir befassen uns in der Praxis nie mit exakten Lösungen, sondern immer nur mit Näherungen.

Ein Beispiel aus der klassischen Mechanik ist das Drei-Körper-Problem, also z.B. die Bewegung eines Satelliten im Schwerefeld Erde-Mond. Dafür sind keine exakten Lösungen bekannt, jedoch sehr gute Näherungen; natürlich sind diese Näherungen so konstruiert, dass sie wesentliche Eigenschaften der zugrundeliegenden Theorie respektieren, z.B. Erhaltung von Gesamtenergie-, impuls und -drehimpuls.

In der LQG könnte es sich nun so verhalten – diese Befürchtung konnte bisher weder bestätigt noch widerlegt werden – dass im Falle von Näherungen derlei fundamentale Eigenschaften nicht mehr gelten, d.h. dass sogenannte Anomalien vorliegen, die letztlich die Konsistenz der gesamten Theorie zerstören.


Zusammenhang zwischen LQG und LQC

Die LQC ist nicht direkt aus der LQG abgeleitet. Konkret bedeutet dies, dass die LQC bestimmte Symmetrien auf klassischer Ebene voraussetzt – zumeist Homogenität und Isotropie – und anschließend die Quantisierung dieses reduzierten Problems durchführt. Prinzipiell müsste man jedoch zuerst quantisieren und erst danach bestimmte Symmetrien für die Lösungen einführen. Letzteres entspricht nicht der LQC, sondern der quantum-reduced LQG. Es gibt inzwischen durchaus vielversprechende Ansätze, die Äquivalenz zwischen beiden Ansätzen zu zeigen, die auf ein insgesamt schlüssiges und konsistentes Vorgehen hindeuten, von einem vollen Verständnis sind wir jedoch noch weit entfernt.

Generell zeigt sich, dass die potentielle Problematik der Anomalien der LQG auch in der LQC ihre Spuren hinterlässt. So sind unterschiedliche, inäquivalente Quantisierungsmethoden bekannt. Inzwischen hat sich ein konsistentes Quantisierungsschema etabliert, das physikalisch sinnvolle und stabile Ergebnisse produziert. Es ist jedoch nicht bekannt, ob nicht weitere, inäquivalente Methoden existieren – es ist sogar sehr wahrscheinlich, dass dies so ist. Und es ist nicht bekannt, wie diese Erkenntnisse bzgl. der Quantisierung auf die LQG übertragen werden können.


Im Folgenden eine knappe Zusammenfassung von


https://arxiv.org/abs/1612.01236
Loop Quantum Cosmology: A brief review
Ivan Agullo, Parampreet Singh
(Submitted on 5 Dec 2016)
In the last decade, progress on quantization of homogeneous cosmological spacetimes using techniques of loop quantum gravity has led to insights on various fundamental questions and has opened new avenues to explore Planck scale physics. These include the problem of singularities and their possible generic resolution, constructing viable non-singular models of the very early universe, and bridging quantum gravity with cosmological observations. These results, which emerge from an interplay of sophisticated analytical and numerical techniques, has also led to valuable hints on loop quantization of black hole and inhomogeneous spacetimes. In this review, we provide a summary of this progress while focusing on concrete examples of the quantization procedure and phenomenology of cosmological perturbations.


Die LQC produziert einen Matter-Bounce

D.h. es existiert „kontrahierender“ und ein „expandierender Zweig der Wellenfunktion des Universums“. Der Bounce findet statt im sogenannten Planck-Regime; das Verhalten der Wellenfunktion ist frei von Singularitäten. Fluktuationen sind durch diesen Bounce hindurch korreliert, d.h. dass der „Zweig der Wellenfunktion nach dem Bounce“ Korrelationen mit „früheren“ Fluktuationen enthält.

Dieser Bounce ist tatsächlich robust was die Wahl unterschiedlicher Ansätze (endliches oder unendliches FRW-Universum, homogen oder nicht, anisotrope Bianchi-I sowie Kantowski-Sachs Modelle, …) betrifft, es sind keine speziellen Randbedingungen oder fine-tuning notwendig, d.h. es scheint sich um eine universelle Eigenschaft der LQG zu handeln.

Im Gegensatz zur vollen LQG erhält , man ein konsistentes Bild sowohl im Planck- als auch im klassischen Regime: während in ersteren nicht-störungstheoretische LQC Effekte dominieren und den Big Bang zugunsten eines Bounce eliminieren, erhält man bei niedrigen Energien die bekannten Raumzeitmodelle der ART als semiklassische Näherung. In der vollen LQG ist dies nicht verstanden; es existiert noch kein konsistentes, umfassendes Bild sowohl für das Planck- als auch für das klassische Regime.


Die LQC produziert Inflation

Darüberhinaus produziert die LQC auf recht generische Weise die slow-roll Inflation ,während der das Universum näherungsweise exponentiell expandiert, und das letztlich ohne explizite Zutat eines Inflaton-Feldes mit speziellem Potential; die Inflation scheint ebenfalls eine generische Eigenschaft der LQC zu sein, die – unabhängig vom spezifischen Materieinhalt sowie speziellen Annahmen bzgl. der Wechselwirkung des Inflaton-Feldes – aus der Dynamik der quantisierten Geometrie resultiert; es ist jedoch notwendig, dass überhaupt Materie enthalten ist.

Außerdem erklärt die LQC die Anfangsbedingung für die Inflation, nämlich dass das Materiefeld einen Erwartungswert weit entfernt vom klassischen Vakuumwert aufweisen muss, damit die Inflation in Gang kommt. Dies resultiert in der LQC darauf, dass vor dem Bounce die kinetischen Energieterme dominieren und das Materiefeld sozusagen „von seinem Vakuumwert wegtreiben“. Eine derartige Erklärung fehlt in allen klassischen Inflationsmodellen und erscheint dort als künstliche Zusatzannahme, die die Inflation möglicherweise diskreditiert; die Inflation möchte ja die heute beobachteten Eigenschaften ohne Rückgriff auf spezielle Anfangsbedingungen für die Geometrie der Raumzeit erklären, muss stattdessen jedoch spezielle Anfangsbedingungen für das Inflaton-Feld einführen.


Details sind noch unklar

Eine weitere Eigenschaft, die aus der Inflation folgt, ist die (näherungsweise) gültige Skaleninvarianz für die Fluktuationen in der kosmischen Hintergrundstrahlung.

Es wurden unterschiedliche Ansätze für kosmologische Störungen untersucht, die alle auf näherungsweise skaleninvariante Fluktuationen führen: Sowohl im inflationären als auch im reinen Matter-Bounce Szenario resultieren jeweils spezifische Abweichungen verglichen mit den klassischen Inflationsmodellen, die auf einen möglichen experimentellen Test hindeuten. Andere Ansätze zeigen jedoch keine signifikanten Abweichungen.


Ausblick

Eine interessante, zunächst rein mathematische Erkenntnis ist die Tatsache ist, dass heute sichtbaren Effekte in der kosmischen Hintergrundstrahlung gemäß der LQC keine Effekte aus der Inflations-Epoche sind; hier liegen Energiedichte und Krümmung bereits um viele Größenordnungen unterhalb der Planck-Skala, Effekte der Quantengravitation sind bereits deutlich unterdrückt.

Vielmehr handelt es sich um Relikte aus der pre-Inflations-Phase, wenn Effekte der Quantengravitation dominieren. Einige Moden der Fluktuationen haben sozusagen ein Gedächtnis an diese Epoche, d.h. hier sollten sich Effekte in der kosmischen Hintergrundstrahlung zeigen – vorausgesetzt die Inflation ist nicht zu stark, was dazu führen würde, dass diese Effekte sozusagen auf Längenskalen jenseits des kosmischen Sichtbarkeitshorizontes verschoben wären.
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Re: #17 Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von tomS » 15. Feb 2018, 00:42

Anbei noch einige Illustrationen, wie man sich den Bounce vorstellen kann

IMG_4789.PNG
APS/Alan Stonebraker
IMG_4789.PNG (105.33 KiB) 743 mal betrachtet
IMG_4790.JPG
Anil Ananthaswamy
IMG_4790.JPG (61.37 KiB) 743 mal betrachtet
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Re: #17 Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von Timm » 15. Feb 2018, 14:46

Hast du noch Infos zur Thematik bounce versus offenes Universum / beschleunigte Expansion?

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Re: #17 Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von tomS » 15. Feb 2018, 16:58

Bei einem flachen, offenen Universum k = 0 sowie mit verschwindender kosmologischer Konstante Λ = 0 wird der Big Bang aufgrund der Quanteneffekte durch einen Bounce ersetzt.
Bei einem positiv gekrümmten, geschlossenes Universum k = 1 sowie mit verschwindender kosmologischer Konstante Λ = 0 werden Big Bang sowie Big Crunch durch Bounces ersetzt.

Bei einem Universum mit k = 0 sowie mit positiver kosmologischer Konstante Λ > 0 wird der Big Bang durch einen Bounce ersetzt.
Bei einem Universum mit k = 0 sowie mit negativer kosmologischer Konstante Λ < 0 werden Big Bang sowie Big Crunch durch Bounces ersetzt.

Generell habe ich ausschließlich Informationen gefunden, denenzufolge in der LQC jede Singularität wie Big Bang oder Big Crunch durch einen Bounce ersetzt wird, während die Dynamik auf großen Skalen immer mit der ART übereinstimmt.
Gruß
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Re: #17 Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von Timm » 15. Feb 2018, 18:30

tomS hat geschrieben:
15. Feb 2018, 16:58
A) Bei einem flachen, offenen Universum k = 0 sowie mit verschwindender kosmologischer Konstante Λ = 0 wird der Big Bang aufgrund der Quanteneffekte durch einen Bounce ersetzt.
B) Bei einem positiv gekrümmten, geschlossenes Universum k = 1 sowie mit verschwindender kosmologischer Konstante Λ = 0 werden Big Bang sowie Big Crunch durch Bounces ersetzt.

C) Bei einem Universum mit k = 0 sowie mit positiver kosmologischer Konstante Λ > 0 wird der Big Bang durch einen Bounce ersetzt.
D) Bei einem Universum mit k = 0 sowie mit negativer kosmologischer Konstante Λ < 0 werden Big Bang sowie Big Crunch durch Bounces ersetzt.

Generell habe ich ausschließlich Informationen gefunden, denenzufolge in der LQC jede Singularität wie Big Bang oder Big Crunch durch einen Bounce ersetzt wird, während die Dynamik auf großen Skalen immer mit der ART übereinstimmt.
Es folgen ein paar Aussagen, wie ich es im Moment verstanden habe, mit der Bitte um deine Kommentare bzw. Korrekturen.

Die LQC liefert dann, wenn der Big Crunch durch Bounces ersetzt wird, B) und D), vom Ansatz her ein cyclisches Modell. Dann stellt sich die Frage nach der zeitlichen Entwicklung der Entropie .

Im Falle Big Bang wird durch einen Bounce ersetzt, A) und C), stellt sich die Frage nach dem pre-existing-universe. Z.B. folgt auf ein geschlossenes Universum nach dem bounce ein ewig expandierendes Universum. Dann ist Schluss.

Im Standardmodell geht man von einem Inflatonfeld aus, das am Ende unter Entstehung von Materieteilchen zerfällt. Es postuliert unabhängig davon eine sehr kleine Kosmologischen Konstante (bzw. DE) zur Erklärung der beschleunigten Expansion. Die LQC liefert Inflation und Materie und postuliert ebenfalls die KK.

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Re: #17 Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von seeker » 15. Feb 2018, 19:03

tomS hat geschrieben:
3. Mai 2009, 11:44
Die Rolle der Zeit in der LQG (bzw. generell in allen Theorien der Gravitation) ist dabei ebenfalls noch Gegenstand der Forschung. Denn im Bild der Spinnetzwerke gibt es keine kontinuierlich verlaufende Zeit. Stattdessen gibt es nur „Ticks“ einer elementaren Uhr, ein Tick entspricht dabei z.B. dem Entstehen eines neuen Knotens im Spinnetzwerk. Ein makroskopischer Begriff von Zeit entsteht ebenfalls erst als abgeleitete Größe.
Dazu hätte ich die Frage, ob man dort inzwischen weitergekommen ist?
Muss man die "Ticks" sozusagen von außen vorgeben oder kann man ihre Existenz auf natürliche Weise aus der Theorie selbst ableiten?
Und wie kommt die Zeitrichtung zustande?
Verstehe ich es richtig, dass die LQG Zeit und Raum (als ihre makroskopischen Ableitungen) fundamental anders behandelt?

Und zur vorgestellten Big-Bounce-Kosmologie:
Bleibt die Energiedichte durch den Bounce hindurch erhalten? Gibt es da Symmetrien hindurch oder wird alles ganz anders?
Ich glaube es dürfte sonst z.B. schwierig zu erklären sein, dass ein Vorläuferuniversum die nötige Dichte zur Kontraktion aufbringen kann, während das Nachfolgeuniversum dann vielleicht ewig expandiert.
Ich glaube, dass "Zeitrichtungserhalt" durch den Bounce hindurch wahrscheinlich eh nicht gehen wird, jedenfalls nicht zwingend.
D.h. man kann den Bounce auch genausogut als Ausgangspunkt für zwei Universen sehen, die sich beide in ihrer eigenen Zeitrichtung entwickeln.
Ist so - oder?
Grüße
seeker


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Re: #17 Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von tomS » 15. Feb 2018, 20:55

Timm hat geschrieben:
15. Feb 2018, 18:30
tomS hat geschrieben:
15. Feb 2018, 16:58
A) Bei einem flachen, offenen Universum k = 0 sowie mit verschwindender kosmologischer Konstante Λ = 0 wird der Big Bang aufgrund der Quanteneffekte durch einen Bounce ersetzt.
B) Bei einem positiv gekrümmten, geschlossenes Universum k = 1 sowie mit verschwindender kosmologischer Konstante Λ = 0 werden Big Bang sowie Big Crunch durch Bounces ersetzt.

C) Bei einem Universum mit k = 0 sowie mit positiver kosmologischer Konstante Λ > 0 wird der Big Bang durch einen Bounce ersetzt.
D) Bei einem Universum mit k = 0 sowie mit negativer kosmologischer Konstante Λ < 0 werden Big Bang sowie Big Crunch durch Bounces ersetzt.

Generell habe ich ausschließlich Informationen gefunden, denenzufolge in der LQC jede Singularität wie Big Bang oder Big Crunch durch einen Bounce ersetzt wird, während die Dynamik auf großen Skalen immer mit der ART übereinstimmt.
Es folgen ein paar Aussagen, wie ich es im Moment verstanden habe, mit der Bitte um deine Kommentare bzw. Korrekturen.

Die LQC liefert dann, wenn der Big Crunch durch Bounces ersetzt wird, B) und D), vom Ansatz her ein cyclisches Modell. Dann stellt sich die Frage nach der zeitlichen Entwicklung der Entropie .
Die LQC enthält eine endliche Zahl von Freiheitsgraden; es entspricht einem einfachen, quantenmechanischen Modell. Die Entropie ist identisch Null.
Timm hat geschrieben:
15. Feb 2018, 18:30
Im Falle Big Bang wird durch einen Bounce ersetzt, A) und C), stellt sich die Frage nach dem pre-existing-universe. Z.B. folgt auf ein geschlossenes Universum nach dem bounce ein ewig expandierendes Universum. Dann ist Schluss.
Ja.
Timm hat geschrieben:
15. Feb 2018, 18:30
Im Standardmodell geht man von einem Inflatonfeld aus, das am Ende unter Entstehung von Materieteilchen zerfällt. Es postuliert unabhängig davon eine sehr kleine Kosmologischen Konstante (bzw. DE) zur Erklärung der beschleunigten Expansion. Die LQC liefert Inflation und Materie und postuliert ebenfalls die KK.
Die LQC liefert Inflation. Materie wird als zusätzliche Annahme in das Modell integriert, ebenso wie die KK.
Gruß
Tom

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Re: #17 Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von tomS » 15. Feb 2018, 21:04

seeker hat geschrieben:
15. Feb 2018, 19:03
tomS hat geschrieben:
3. Mai 2009, 11:44
Die Rolle der Zeit in der LQG (bzw. generell in allen Theorien der Gravitation) ist dabei ebenfalls noch Gegenstand der Forschung. Denn im Bild der Spinnetzwerke gibt es keine kontinuierlich verlaufende Zeit. Stattdessen gibt es nur „Ticks“ einer elementaren Uhr, ein Tick entspricht dabei z.B. dem Entstehen eines neuen Knotens im Spinnetzwerk. Ein makroskopischer Begriff von Zeit entsteht ebenfalls erst als abgeleitete Größe.
Dazu hätte ich die Frage, ob man dort inzwischen weitergekommen ist?
Muss man die "Ticks" sozusagen von außen vorgeben oder kann man ihre Existenz auf natürliche Weise aus der Theorie selbst ableiten?
Und wie kommt die Zeitrichtung zustande?
Verstehe ich es richtig, dass die LQG Zeit und Raum (als ihre makroskopischen Ableitungen) fundamental anders behandelt?
Das ist komplizierter; ich würde das gerne noch zurückstellen.
seeker hat geschrieben:
15. Feb 2018, 19:03
Und zur vorgestellten Big-Bounce-Kosmologie:
Bleibt die Energiedichte durch den Bounce hindurch erhalten? Gibt es da Symmetrien hindurch oder wird alles ganz anders?
Ich glaube es dürfte sonst z.B. schwierig zu erklären sein, dass ein Vorläuferuniversum die nötige Dichte zur Kontraktion aufbringen kann, während das Nachfolgeuniversum dann vielleicht ewig expandiert.
Die Energiedichte variiert mit der "emergenten" Zeit; die beiden Zweige sind bzgl. des Bounce symmetrisch.
seeker hat geschrieben:
15. Feb 2018, 19:03
Ich glaube, dass "Zeitrichtungserhalt" durch den Bounce hindurch wahrscheinlich eh nicht gehen wird, jedenfalls nicht zwingend.
Das Modell enthält keine Zeitvariable; es ist zeitlos. Das ist eine Eigenschaft vieler Theorien der Quantengravitation.

Die Zeit muss sich als emergente Zeit, gemessen anhand einen physikalischen Prozesses als "Referenzuhr" vorstellen. In der LQC ist dies z.B. der Wert des Materiefeldes bzw. dessen Energiedichte. Zeit vergeht also nicht bezogen auf eine Zeitvariable sondern bezogen auf den Wert einer physikalischen Observablen.
seeker hat geschrieben:
15. Feb 2018, 19:03
D.h. man kann den Bounce auch genausogut als Ausgangspunkt für zwei Universen sehen, die sich beide in ihrer eigenen Zeitrichtung entwickeln.
Interessante Idee. Ja, könnte sein.
Gruß
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Re: #17 Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von Timm » 16. Feb 2018, 10:37

Es scheint darauf anzukommen, wie man "pre-existing-universe" s. letztes Bild interpretiert. Wörtlich genommen ist damit eine zeitliche Abfolge der beiden Universen festgelegt und damit ein Kausalzusammenhang.

Beispiel A) "Bei einem flachen, offenen Universum k = 0 sowie mit verschwindender kosmologischer Konstante Λ = 0 wird der Big Bang aufgrund der Quanteneffekte durch einen Bounce ersetzt."
Dieser eine Bounce entstand durch den Kollaps eines geschlossenen Universums. Die Reihenfolge ist geschlossen -> offen. Nun ist eine Richtung der Zeit aber durch eine sich ändernde Observable festgelegt. Das würde für dieses Beispiel bedeuten, daß diese Richtung bis zum Bounce mit abnehmender und danach mit zunehmender Materiedichte festgelegt wäre. Ist das so?
Und kollidiert geschlossen -> offen nicht mit
tomS hat geschrieben:
15. Feb 2018, 20:55
die beiden Zweige sind bzgl. des Bounce symmetrisch.
?

Nehmen wir nach seeker den Bounce als Ausgangspunkt für 2 Universen und beachten
tomS hat geschrieben:
15. Feb 2018, 20:55
Die LQC liefert Inflation. Materie wird als zusätzliche Annahme in das Modell integriert, ebenso wie die KK.
,

dann kann es mit diesen zusätzlichen Annahmen für den Bounce nur die Möglichkeiten geschlossen <-> geschlossen und offen <-> offen geben. Letztere scheidet aber aus und geschlossen <-> offen fehlt. Die Richtung der Zeit wäre für die verbleibende Möglichkeit geschlossen <-> geschlossen für beide Universen jeweils durch abnehmende Materiedichte gegeben.

Wie du siehst, habe ich kein konsistentes Bild, sondern hadere mit etlichen Ungereimtheiten.

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Re: #17 Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von seeker » 16. Feb 2018, 10:46

Timm hat geschrieben:
16. Feb 2018, 10:37
Es scheint darauf anzukommen, wie man "pre-existing-universe" s. letztes Bild interpretiert. Wörtlich genommen ist damit eine zeitliche Abfolge der beiden Universen festgelegt und damit ein Kausalzusammenhang.
Ein Kausalzusammenhang ja, denke ich auch. Das impliziert aber noch keinen durchgehenden Zeitpfeil. Der Zeitpfeil könnte in den beiden Universen auch in die entgegengesetzte Richtung zeigen, das scheint zunächt offen zu bleiben.
Da Tom sagt, dass das Modell zunächst eh zeitlos ist, wird man sich da wohl eh wieder auf makroskopische Effekte stützen müssen (-> Entropiezunahme, Expansionsrichtung, ...).
Timm hat geschrieben:
16. Feb 2018, 10:37
dann kann es mit diesen zusätzlichen Annahmen für den Bounce nur die Möglichkeiten geschlossen <-> geschlossen und offen <-> offen geben. Letztere scheidet aber aus und geschlossen <-> offen fehlt.
So etwas in der Richtung war auch mein Gedanke.
Wobei mir noch scheint, dass es nur bei unterschiedlich ausgerichteten Zeitpfeilen die Möglichkeit offen <-> offen geben kann (also genaugenommen 'halboffen <-> halboffen').
Grüße
seeker


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Re: #17 Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von tomS » 16. Feb 2018, 14:38

Timm hat geschrieben:
16. Feb 2018, 10:37
Wie du siehst, habe ich kein konsistentes Bild, sondern hadere mit etlichen Ungereimtheiten.
Ich denke, wir müssen dazu einfach mal die entsprechenden Bilder zusammentragen; ich sehe keine Ungereimtheiten, allerdings sind sicher noch nicht alle Optionen detailliert untersucht
Gruß
Tom

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Re: #17 Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von tomS » 16. Feb 2018, 14:42

seeker hat geschrieben:
16. Feb 2018, 10:46
Timm hat geschrieben:
16. Feb 2018, 10:37
Es scheint darauf anzukommen, wie man "pre-existing-universe" s. letztes Bild interpretiert. Wörtlich genommen ist damit eine zeitliche Abfolge der beiden Universen festgelegt und damit ein Kausalzusammenhang.
Ein Kausalzusammenhang ja, denke ich auch. Das impliziert aber noch keinen durchgehenden Zeitpfeil. Der Zeitpfeil könnte in den beiden Universen auch in die entgegengesetzte Richtung zeigen, das scheint zunächt offen zu bleiben.
Da Tom sagt, dass das Modell zunächst eh zeitlos ist, wird man sich da wohl eh wieder auf makroskopische Effekte stützen müssen (-> Entropiezunahme, Expansionsrichtung, ...).
Jein.

In der LQC spielt der Wert des Materiefeldes bzw. dessen Energiedichte Rolle einer "emergenten Zeitvariablen" - s.o.

Makroskopisch würde das natürlich mittels Entropie funktionieren können, aber die kann man aus der LQC mit ihren endlich vielen Freiheitsgraden nicht extrahieren - die Entropie ist hier immer Null. Das ist aber ein anderes Thema, das über die LQC hinausgeht.
Gruß
Tom

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Re: #17 Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von Timm » 16. Feb 2018, 16:15

tomS hat geschrieben:
16. Feb 2018, 14:38

Ich denke, wir müssen dazu einfach mal die entsprechenden Bilder zusammentragen; ich sehe keine Ungereimtheiten, allerdings sind sicher noch nicht alle Optionen detailliert untersucht
Falls es in meiner letzten Post etwas gibt, was du anders siehst, bitte ansprechen.

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Re: #17 Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von Timm » 16. Feb 2018, 16:27

seeker hat geschrieben:
16. Feb 2018, 10:46

Wobei mir noch scheint, dass es nur bei unterschiedlich ausgerichteten Zeitpfeilen die Möglichkeit offen <-> offen geben kann (also genaugenommen 'halboffen <-> halboffen').
Ja, ich gebe dir recht, offen <-> offen sollte es in diesem speziellen Fall geben. Im Fall pre-existing -> Bounce -> existing sollte es offen -> Bounce -> offen nicht geben.

Tom hat die Symmetrie erwähnt. Nicht klar ist mir, wie geschlossen -> Bounce -> offen dazu passt.

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Re: #17 Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von tomS » 17. Feb 2018, 09:40

Ihr solltet euch zunächst von der Vorstellung lösen, dass es da eine Zeit gibt. Diese entsteht erst durch die Interpretation einer physikalischen Variablen - der Materiefelder, des Volumens, ... - als effektive Zeit.

Zunächst existieren lediglich Freiheitsgrade für Geometrie und Materie, eine diesbzgl. Wellenfunktion sowie daraus abgeleitete Observablen. Das Ergebnis der LQC ist, dass überall da, wo klassisch oder nach der Wheeler-deWitt-Quantisierung eine Singularität auftritt, diese in der LQC vermieden wird. D.h. die Wellenfunktion der Gravitationsfreiheitsgrade als Funktion des Wertes des Materiefeldes bleibt regulär, Erwartungswerte bleiben endlich, Volumen = Null wird vermieden usw.

IMG_4809.PNG
Ashtekar et al.
IMG_4809.PNG (79.11 KiB) 614 mal betrachtet

Links sieht man den Fall k = 0, rechts k = 1. Aufgetragen ist der Erwartungswert des Volumens v des Universums gegen den Wert des Materiefeldes phi. In grün sieht man, dass v = 0 (asymptotisch) erreicht wird, was der Singularität entspricht. In rot erkennt man, dass v > 0 strikt gültig bleibt. Rechts erkennt man, dass wenn der Wert des phi-Feldes als Zeit interpretiert wird, tatsächlich mehrere jeweils identische Bounces erfolgen. Zunächst ist das Modell jedoch zeitlos, so wie bereits die Wheeler-deWitt-Quantisierung.

Hier noch eine Abbildung der Wellenfunktion als Funktion des Wertes des Materiefeldes phi sowie des Volumens v, bzw. ln(v); in diesem Fall wird ein sphärisch symmetrisches, isotropes Universum modelliert, das nur einen einzigen Freiheitsgrad des Gravitationsfeldes hat, der dem Volumen bzw. dem Skalenfaktor entspricht. Für kompliziertere Modelle mit Inhomogenitäten treten mehrere Freiheitsgrade auf, d.h. die Wellenfunktion hat entsprechend mehr Argumente. In der vollen LQG müsste man unendlich viele Freiheitsgrade betrachten.

IMG_4811.PNG
Ashtekar et al.
IMG_4811.PNG (230.21 KiB) 605 mal betrachtet
Gruß
Tom

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Re: #17 Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von tomS » 17. Feb 2018, 10:04

seeker hat geschrieben:
16. Feb 2018, 10:46
Wobei mir noch scheint, dass es nur bei unterschiedlich ausgerichteten Zeitpfeilen die Möglichkeit offen <-> offen geben kann
Wie gesagt, lasst uns das Thema "Zeit" noch zurückstellen.
Timm hat geschrieben:
16. Feb 2018, 16:27
Im Fall pre-existing -> Bounce -> existing sollte es offen -> Bounce -> offen nicht geben.

Nicht klar ist mir, wie geschlossen -> Bounce -> offen dazu passt.
Lasst uns die Fälle besser mit k und Λ bezeichnen, das ist evtl. weniger verwirrend.

In dem Sinne ist z.B. geschlossen -> Bounce -> offen nicht sinnvoll, da dies für Λ bedeuten würde, dass k=1 -> Bounce -> k=0 gelten müsste. Oder z.B. Λ<0 -> Bounce Λ>0.

Es wird jedoch eine einzige Lösung gesucht, die klassisch einem bestimmten Wert für k entspräche, und in der Λ sowieso einen festen Wert hat. Es gibt nur eine Wellenfunktion, und unterschiedliche Werte für k müssten dann unterschiedliche Zweige derselben Wellenfunktion sein. Unterschiedliche Peaks der Wellenfunktion wären soetwas wie unterschiedliche mögliche klassische Universen, die quantenmechanisch interferieren.
Gruß
Tom

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Re: #17 Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von Timm » 17. Feb 2018, 10:58

tomS hat geschrieben:
17. Feb 2018, 09:40
Ihr solltet euch zunächst von der Vorstellung lösen, dass es da eine Zeit gibt. Diese entsteht erst durch die Interpretation einer physikalischen Variablen - der Materiefelder, des Volumens, ... - als effektive Zeit.
Timm hat geschrieben:
16. Feb 2018, 10:37
Nun ist eine Richtung der Zeit aber durch eine sich ändernde Observable festgelegt. Das würde für dieses Beispiel bedeuten, daß diese Richtung bis zum Bounce mit abnehmender und danach mit zunehmender Materiedichte festgelegt wäre. Ist das so?
Ist das so? Oder ensteht zwar effektive Zeit, aber ohne Festlegung einer Richtung?

Oder anders. Stimmst du zu, daß geschlossen -> Bounce -> offen auf einem Kausalzusammenhang beruht und demnach durch die Veränderung physikalischer Variable ein effektiver Zeitpfeil entstanden ist? Falls nicht, wäre offen -> Bounce -> geschlossen genauso möglich. Diese Variante ist aber in deiner Liste A) ... D) nicht enthalten.
tomS hat geschrieben:
17. Feb 2018, 09:40
die beiden Zweige sind bzgl. des Bounce symmetrisch.
Mich würde interessieren wie das zu geschlossen -> Bounce -> offen passt.

Du zeigst hier schöne Bilder. Ich finde immer auch den Verweis auf die Orginalliteratur gut, macht ja nicht viel Mühe. Hier tauchen sie in einem Vortrag auf.

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Re: #17 Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von tomS » 17. Feb 2018, 11:28

Timm hat geschrieben:
17. Feb 2018, 10:58
tomS hat geschrieben:
17. Feb 2018, 09:40
Ihr solltet euch zunächst von der Vorstellung lösen, dass es da eine Zeit gibt. Diese entsteht erst durch die Interpretation einer physikalischen Variablen - der Materiefelder, des Volumens, ... - als effektive Zeit.
Timm hat geschrieben:
16. Feb 2018, 10:37
Nun ist eine Richtung der Zeit aber durch eine sich ändernde Observable festgelegt. Das würde für dieses Beispiel bedeuten, daß diese Richtung bis zum Bounce mit abnehmender und danach mit zunehmender Materiedichte festgelegt wäre. Ist das so?
Ist das so? Oder ensteht zwar effektive Zeit, aber ohne Festlegung einer Richtung?
Nochmal, ich würde das Thema der "Zeit" gerne zurückstellen, solange noch grundsätzliche Fragen unklar sind.

Timm hat geschrieben:
17. Feb 2018, 10:58
Stimmst du zu, daß geschlossen -> Bounce -> offen auf einem Kausalzusammenhang beruht
Nein. Zum ersten sehe ich kein "geschlossen -> Bounce -> offen, und zum zweiten existiert zuerst die vollständige Wellenfunktion ohne jegliche Zeit und erst anschließend interpretieren wir eine physikalische Observable als "effektive Zeit".

Timm hat geschrieben:
17. Feb 2018, 10:58
... und demnach durch die Veränderung physikalischer Variable ein effektiver Zeitpfeil entstanden ist?
Einen tatsächlichen "Zeitpfeil" sehe ich noch gar nicht. Dieser kann überhaupt erst entstehen, wenn wir uns sozusagen einen Zweig der Wellenfunktion aussuchen, in dem wir uns befinden; das ist hier jedoch nicht der Fall. Ich würde das Thema der "Zeit" gerne zurückstellen,

Timm hat geschrieben:
17. Feb 2018, 10:58
Falls nicht, wäre offen -> Bounce -> geschlossen genauso möglich.
Timm hat geschrieben:
17. Feb 2018, 10:58
Mich würde interessieren wie das zu geschlossen -> Bounce -> offen passt.
Nochmal: man löst die Gleichungen für ein einzige Wellenfunktion; ob da "offen" oder "geschlossen" vorliegt, ist das Ergebnis dieser Lösung, betrachtet für einen ausgewählten Zweig. Wenn die Wellenfunktion aber für v gegen Unendlich in allen Zweigen asymptotisch verschwindet, dann existiert da kein "offen". Wenn dagegen zwei Zweige der existieren, in denen wachsendes v zulässig ist, dann existiert kein "geschlossen". Aber alle Lösungen die ich kenne sind symmetrisch, d.h. es gibt keinen "gemischten" Fall.


Timm hat geschrieben:
17. Feb 2018, 10:58
Du zeigst hier schöne Bilder. Ich finde immer auch den Verweis auf die Orginalliteratur gut, macht ja nicht viel Mühe.
Doch, macht es, weil die Artikel leider auch nicht sauber damit umgehen. Deswegen nenne ich eine dem Namen nach verlässliche Quelle. Wenn diese dann selbst nicht sauber zitiert, kann ich nichts dafür.
Gruß
Tom

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Re: #17 Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von tomS » 17. Feb 2018, 11:34

Schauen wir uns mal die Inflation nach Ashtekar an.

https://arxiv.org/abs/1303.4989
Loop Quantum Gravity and the The Planck Regime of Cosmology
Abhay Ashtekar
(Submitted on 20 Mar 2013)
The very early universe provides the best arena we currently have to test quantum gravity theories. The success of the inflationary paradigm in accounting for the observed inhomogeneities in the cosmic microwave background already illustrates this point to a certain extent because the paradigm is based on quantum field theory on the curved cosmological space-times. However, this analysis excludes the Planck era because the background space-time satisfies Einstein's equations all the way back to the big bang singularity. Using techniques from loop quantum gravity, the paradigm has now been extended to a self-consistent theory from the Planck regime to the onset of inflation, covering some 11 orders of magnitude in curvature. In addition, for a narrow window of initial conditions, there are departures from the standard paradigm, with novel effects, such as a modification of the consistency relation involving the scalar and tensor power spectra and a new source for non-Gaussianities. Thus, the genesis of the large scale structure of the universe can be traced back to quantum gravity fluctuations \emph{in the Planck regime}. This report provides a bird's eye view of these developments for the general relativity community.

IMG_4813.PNG
Ashtekar: Loop Quantum Gravity and the Planck Regime of Cosmology
IMG_4813.PNG (10.95 KiB) 592 mal betrachtet

Eine effektive LQC-Trajektorie in Anwesenheit eines rein quadratischen Potentials des Materiefeldes, d.h. klassisch interpretiert ein freies Feld mit Massenterm. Dieser Term wird jedoch durch Quantenkorrekturen der Geometrie so modifiziert, dass er effektiv als Inflaton-Potential wirkt, ohne dass man dies - wie im klassischen Fall - künstlich modellieren müsste. Das Wellenpaket bleibt für jeden Wert des Materiefeldes stark gepeaked, d.h. es entspricht in sehr guter Näherung einer klassischen Trajektorie in der v-phi-Ebene. Wenn das Volumens von rechts nach links abnimmt, steigt der Wert von phi an und das Feld "klettert" das Potential nach oben. Klassisch sowie nach Wheeler-deWitt würde sich die Trajektorie bis v = 0, d.h. bis zum Urknall fortsetzen. Man hätte zwei unabhängige Lösungen. In der LQC erhält man den typischen Bounce bei sehr kleinem v u d einen zum ersten Zweig symmetrischen zweiten Zweig.

Diese Berechnung kann man noch mit Inhomogenitäten anreichern und daraus Erwartungswerte für "Moden" des Gravitationsfeldes bzw. von phi extrahieren. Betrachtet man diese Moden von phi im Bereich von größerem v, so erhält man die Vorhersagen des Modenspektrums für die CMB aus der LQC.

Dies alles funktioniert völlig unabhängig davon, dass man auf der Trajektorie eine Zeitvariable hinzuinterpretiert. Wie gesagt, das ist ein anderes Thema.
Gruß
Tom

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Re: #17 Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von seeker » 17. Feb 2018, 11:51

tomS hat geschrieben:
17. Feb 2018, 10:04
Wie gesagt, lasst uns das Thema "Zeit" noch zurückstellen.
Ok, no prob.
Wir haben zunächst einfach ein Gesamtobjekt, das sich mathematisch beschreiben lässt, in dem als Funktion verschiedenen v verschiedene Phi zugeordnet sind und das bezüglich diesen Werten symmetrisch ist, das Objekt kann für verschiedene k modelliert werden und sieht dann dementsprechend anders aus. Singularitäten werden vermieden, d.h. wir haben nirgends Unstetigkeiten/Uneindeutigkeiten.

Schöne Grafiken!
Grüße
seeker


Mache nie eine Theorie zu DEINER Theorie!
Denn tut man das, so verliert man zumindest ein Stück weit seine Unvoreingenommenheit, Objektivität.

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Re: #17 Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von tomS » 17. Feb 2018, 12:28

seeker hat geschrieben:
17. Feb 2018, 11:51
Wir haben zunächst einfach ein Gesamtobjekt, das sich mathematisch beschreiben lässt, in dem als Funktion verschiedenen v verschiedene Phi zugeordnet sind und das bezüglich diesen Werten symmetrisch ist, das Objekt kann für verschiedene k modelliert werden und sieht dann dementsprechend anders aus. Singularitäten werden vermieden, d.h. wir haben nirgends Unstetigkeiten/Uneindeutigkeiten.
Genau.
seeker hat geschrieben:
17. Feb 2018, 11:51
Schöne Grafiken!
Danke!
Gruß
Tom

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Timm
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Re: #17 Schleifenquantengravitation für Einsteiger!

Beitrag von Timm » 17. Feb 2018, 15:02

Nur ein kleiner Hinweis, wie leicht Mißverständnisse entstehen.
tomS hat geschrieben:
15. Feb 2018, 20:55
Timm hat geschrieben:
15. Feb 2018, 18:30
Im Falle Big Bang wird durch einen Bounce ersetzt, A) und C), stellt sich die Frage nach dem pre-existing-universe. Z.B. folgt auf ein geschlossenes Universum nach dem bounce ein ewig expandierendes Universum. Dann ist Schluss.
Ja.
Dieses "Ja" war für mich Ausgangspunkt für weitere Überlegungen. Und insbesondere eine Bestätigung für die Folge geschlossen -> Bounce -> offen.

Aber demnach
tomS hat geschrieben:
17. Feb 2018, 11:28
Timm hat geschrieben:
17. Feb 2018, 10:58
Stimmst du zu, daß geschlossen -> Bounce -> offen auf einem Kausalzusammenhang beruht
Nein. Zum ersten sehe ich kein "geschlossen -> Bounce -> offen, und zum zweiten existiert zuerst die vollständige Wellenfunktion ohne jegliche Zeit und erst anschließend interpretieren wir eine physikalische Observable als "effektive Zeit".
ist das nicht so.

Ich hake das jetzt ab und gehe davon aus, daß es diese kausale Abfolge nicht gibt.
tomS hat geschrieben:
15. Feb 2018, 20:55
Nochmal: man löst die Gleichungen für ein einzige Wellenfunktion; ob da "offen" oder "geschlossen" vorliegt, ist das Ergebnis dieser Lösung, betrachtet für einen ausgewählten Zweig. Wenn die Wellenfunktion aber für v gegen Unendlich in allen Zweigen asymptotisch verschwindet, dann existiert da kein "offen". Wenn dagegen zwei Zweige der existieren, in denen wachsendes v zulässig ist, dann existiert kein "geschlossen". Aber alle Lösungen die ich kenne sind symmetrisch, d.h. es gibt keinen "gemischten" Fall.
Ok.

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