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#15 Die Form des Universums

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#15 Die Form des Universums

Beitrag von tomS » 8. Jan 2018, 09:29

Hallo zusammen,

ich möchte im Folgenden einige Diskussionen zusammenfassen, die sich mit der Form des Universums befasst haben. Bevor es richtig losgeht hier eine kurze Themenübersicht:
- Topologie (vs. Geometrie)
- Folgerungen aus den Einsteinschen Feldgleichungen (Anfangsbedingungen, Dynamik)
- "Ränder" (Singularitäten, "echte Ränder")
- Erkenntnisse, Beobachtungsdaten (warm-up, primordiale Gravitationswellen, kosmische Hintergrundstrahlung)
Gruß
Tom

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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von Dares » 10. Jan 2018, 14:19

Hallo Tom,

das ist ein gutes Thema, weil jeder vlt. auch eine andere Vorstellung von der Form des Universums hat. Aber wie sieht die
Realität aus? Gerade im anderen aktuellen Thread"Ausblick" und nicht auch zuletzt im Thread" Begriff Grenze des Universums irreführend?"
gab es ja schon viele Meinungen die auch nahelegen könnten wie das Universum ausschaut.

Wie schauen Theorien aus und wie ist der aktuelle Stand in Bezug auf Topologie?

Grüsse

Dares

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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von tomS » 11. Jan 2018, 01:31

Wenn ich von der Form des Universums spreche, dann muss ich zunächst kurz den mathematischen Begriff der Topologie sowie der topologischen Invarianten erklären: es handelt sich dabei um Eigenschaften eines Objektes, die sich unter stetigen Deformationen nicht ändern; dazu gehören anschauliche Eigenschaften wie die Dimension, die Existenz und Anzahl von Rändern, die Existenz und Anzahl von Henkeln usw. Demzufolge sind z.B. Kreisfläche und Quadratfläche topologisch äquivalent, jedoch nicht die Kreisfläche mit Loch; erstere haben einen Rand, letztere zwei. Topologische Äquivalenz nennt man Homöomorphie.

Stetige Änderungen kann man sich anschaulich wie das Dehnen von Gummibändern oder -tüchern vorstellen; unstetige Änderungen wie Zerreißen sind ausgeschlossen (das ist nicht ganz präzise: man darf zerschneiden und neu verkleben, wenn dabei zuvor benachbarte Punkte anschließend wieder benachbart sind). Weitere topologischen Invarianten sind z.B. Windungszahlen, d.h. die unterschiedlichen Möglichkeiten, geschlossene Kurven auf Flächen zu zeichnen, wie man anhand der Kugel- und der Torusfläche erkennt.

Nicht relevant sind detaillierte geometrische Eigenschaften wie Längen, Winkel, Flächen und Volumina. D.h. Erde und Jupiter sind topologisch äquivalent, nicht jedoch geometrisch.

Die Dynamik unseres Universums wird durch die Einsteinschen Feldgleichungen beschrieben; diese zeichnen sich dadurch aus, dass sie geometrische Veränderungen beschreiben - die "Expansion" ändert das Volumen - dass jedoch topologische Eigenschaften erhalten bleiben - die "Expansion" ändert nicht die Dimension. Demzufolge hatte das Universum kurz nach dem Urknalls bereits die selbe Topologie wie heute.

Geometrie hat ein lokale und physikalisch messbare Auswirkungen wie z.B. die Krümmung der Raumzeit, die man als Gravitation interpretieren und messen kann. Im Gegensatz dazu kann die Topologie immer nur global gedacht werden; ob das Universum einen Rand besitzt oder nicht ist eine Eigenschaft des Universums als Ganzem.

Dennoch ist es oft einfacher, sich der Topologie mittels geometrischer und damit anschaulicher Methoden zu nähern. Insbs. darf man sich - unter der Annahme dass das Universum unverändert ist - jeden beliebigen 3-dim. Ausschnitt des Universums homöomorph zu einem beliebigen Ausschnitt des 3-dim. euklidschen Raumes vorstellen; hier geht die Annahme ein, das Universum sei unberandet. Dabei sind jedoch Deformationen weiterhin zulässig, d.h. gekrümmte Räume bleiben zum 3-dim. euklidschen = flachen Raum homöomorph. Die Topologie als Ganzes ist damit nicht festgelegt (Bsp. in zwei Dimension: Kugel- vs. Torusfläche).
Gruß
Tom

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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von Timm » 11. Jan 2018, 10:12

Dares hat geschrieben:
10. Jan 2018, 14:19

Wie schauen Theorien aus und wie ist der aktuelle Stand in Bezug auf Topologie?

Die Frage nach der Topologie des Universums kann, wenn überhaupt, nur durch die Beobachtung beantwortet werden. Die Einstein'schen Feldgleichungen beschreiben die Dynamik des Universums* und ob es geschlossen oder offen ist, nicht aber die Topologie.

Tatsächlich wurde mal der 3-Torus für möglich gehalten,

http://www.schattenblick.de/infopool/na ... or377.html
"Das Drei-Torus-Modell eines endlichen flachen Raums stimmt sehr gut mit den WMAP Daten überein, in manchen Teilen passt es sogar besser als das Standardmodell mit unendlichem flachem Raum. Die Seitenlänge der kosmischen Einheitszelle, die den Torus erzeugt, beträgt in dem Ulmer Modell etwa 55,6 Milliarden Lichtjahre."

was sich aber mit den Planck Daten nicht bestätigt hat.

* Ich sehe gerade, daß Tom diesen Hinweis schon gegeben hat.

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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von tomS » 11. Jan 2018, 11:32

Ich gehe nochmal etwas detaillierter auf die einsteinschen Feldgleichungen ein.

Die einsteinschen Feldgleichungen werden für 4-dim. pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten formuliert. D.h. man setzt voraus, dass die Lösungen lokal (= in einer genügend kleinen Umgebung) aussehen wie der flache Minkowski-Raum der Speziellen Relativitätstheorie.

Prinzipiell sind alle Lösungen der einsteinschen Feldgleichungen zulässig, jedoch nicht unbedingt auch physikalisch sinnvoll. Eine umfassende topologische Klassifizierung von 4-Mannigfaltigkeiten ist nicht bekannt! Die wesentlichen rein topologischen Probleme sind gelöst, jedoch nicht das Zusammenspiel der Topologie und der Differenzierbarkeit bzw. Glattheit – erforderlich für die Formulierung der einsteinschen Feldgleichungen.

Exkurs:
https://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_conjecture
https://en.wikipedia.org/wiki/Exotic_sphere


Im Folgenden beschränken wir uns auf eine Klasse von Topologien, die i.A. für die Dynamik des Universums als sinnvoll angesehen wird: wir verbieten geschlossene zeitartige Kurven (Gödel-Kosmos, diverse Wurmlöcher, …). Streng genommen ist dies keine rein topologische Aussage, da „zeitartig“ kein topologischer sondern ein geometrischer Begriff ist; die Topologie unterscheidet nicht zwischen einer Zeitschleife und einer raumartigen Schleife wie z.B. einem Einmachgummi.

Unter dieser Voraussetzung kann die Topologie der 4-dim. pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten aufgefasst werden als eine zeitliche Abfolge von 3-dim. Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Man vergleiche das mit dem einfacheren Fall einer 3-dim. Mannigfaltigkeit, die aufgefasst wird als Stapel von 2-dim. Blättern, wobei sich die Blätter nicht überschneiden.

Damit hat man eine Dimension und insbs. eine wesentliche Problematik eliminiert: die Klassifizierung der 3-dim. Mannigfaltigkeiten ist wesentlich einfacher als die von 4-dim. Mannigfaltigkeiten.

Die Eigenschaft der Glattheit der Mannigfaltigkeiten (bis auf mögliche Singularitäten) ist deutlich stärker als rein topologische Eigenschaften. Insbs. bedeutet dies, dass die Zeitentwicklung gemäß der einsteinschen Feldgleichungen eine zu einem bestimmten Zeitpunkt gültige Topologie = Form des 3-dim. Raumes nicht ändert. D.h. die Festlegung einer Topologie als Anfangsbedingung ist ausreichend, diese Topologie für immer zu fixieren.

Eine weitere Einschränkung folgt aus dem Prinzip, dass im Wesentlichen alle Punkte des Raumes gleichberechtigt sein sollen. Natürlich kann es lokale Unterschiede bzgl. Krümmung usw. geben, aber jeder kleine Ausschnitt des Raumes soll doch topologisch äquivalent zu jedem anderen Ausschnitt sein; dieses Prinzip schließt Ränder aus. Wir sprechen über den 3-dim. Raum, d.h. ein Rand wäre eine 2-dim. Fläche. Unser Universum enthält also keine Raumbereiche, die durch Flächen begrenzt werden, „hinter denen es nicht weitergeht“.

Zum Abschluss nochmals der wichtige Hinweis, dass die Topologie und die Riemannsche Geometrie immer formulierbar sind, ohne dass man sich den Raum eingebettet denkt in eine höhere Dimension! Dies würde auch für den Fall von Rändern gelten. Bsp.: Man betrachte eine 1-dim. Linie. Eine Kreislinie hat keinen Rand. Eine Strecke hat zwei Ränder, nämlich die beiden Endpunkte. Dass Ränder vorliegen kann man erkennen, ohne die Strecke in die einbettende Ebene zu verlassen: man läuft in eine Richtung – solange „bis es nicht mehr weitergeht“; dass es nicht mehr weitergeht ist der eigentliche Indikator für die Existenz eines Randes; dazu muss man die Strecke nicht von außen betrachten“.

Zusammenfassung:
- wir betrachten das Universum immer nur von innen
- das Universum ist in jedem beliebigen Raumbereich topologisch äquivalent zum 3-dim. euklidschen Raum
- es existieren keine 2-dim. Randflächen
- wir betrachten eine zeitliche Abfolge von 3-dim. Räumen
- die Topologie (Form) eines 3-Raumes wird einmal festgelegt und bleibt unter Zeitentwicklung gemäß der einsteinschen Feldgleichungen erhalten, während die Geometrie (Längen, Flächen, Volumina, Winkel, …) dynamisch ist
Gruß
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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von Analytiker » 11. Jan 2018, 19:59

Über mögliche Topologien des Universums kann viel spekuliert werden. Das Problem ist die Beobachtung. Wie will man die Topologie des Universums aus der Beobachtung heraus feststellen? Vielleicht findet man ja topologische Linsen.

Jedoch wären Trugbilder nicht so einfach zu entlarven. Die Bilder desselben kosmisches Objekts könnten unterschiedliche Farbe, Form und Orientierung sowie unterschiedliche spektrale Eigenschaften haben.

Noch schärfere Daten der Hintergrundstrahlung könnten natürlich auch noch helfen. Die bisher schärfsten Daten hat der Satellit Planck geliefert, jedoch muss die Beantwortung der Frage nach der offenen oder geschlossenen Topologie des Universums, nach Unendlichkeit versus Endlichkeit nach jetzigem Stand noch vertagt werden.

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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von Timm » 11. Jan 2018, 22:43

Analytiker hat geschrieben:
11. Jan 2018, 19:59

Die bisher schärfsten Daten hat der Satellit Planck geliefert, jedoch muss die Beantwortung der Frage nach der offenen oder geschlossenen Topologie des Universums, nach Unendlichkeit versus Endlichkeit nach jetzigem Stand noch vertagt werden.
Man muß hier ein bißchen aufpassen. Die Frage 'offen' versus 'geschlossen' ist keine Frage der Topologie. Diese Frage klärt sich und ist nach heutigem Stand entschieden als offen, konsistent mit dem FRW-Modell (einer Lösung der einstein'schen Feldgleichungen) mit der Kenntnis der Komponenten der Energiedichten des Universums. Ein offenes Universum kann räumlich unendlich oder kompakt sein.

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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von tomS » 11. Jan 2018, 22:44

Analytiker hat geschrieben:
11. Jan 2018, 19:59
Wie will man die Topologie des Universums aus der Beobachtung heraus feststellen?
Dazu kommen wir schon noch, aber zunächst sollte allen Mitlesern hier einigermaßen klar sein, was Topologie überhaupt bedeutet.
Gruß
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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von tomS » 11. Jan 2018, 22:47

Timm hat geschrieben:
11. Jan 2018, 22:43
Die Frage 'offen' versus 'geschlossen' ist keine Frage der Topologie.
Doch, das hat schon etwas mit Topolgie zu tun.
Timm hat geschrieben:
11. Jan 2018, 22:43
Ein offenes Universum kann räumlich unendlich oder kompakt sein.
Was wäre denn ein offenes, jedoch kompaktes Universum?
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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von Timm » 12. Jan 2018, 10:24

tomS hat geschrieben:
11. Jan 2018, 22:47
Timm hat geschrieben:
11. Jan 2018, 22:43
Die Frage 'offen' versus 'geschlossen' ist keine Frage der Topologie.
Doch, das hat schon etwas mit Topolgie zu tun.
Timm hat geschrieben:
11. Jan 2018, 22:43
Ein offenes Universum kann räumlich unendlich oder kompakt sein.
Was wäre denn ein offenes, jedoch kompaktes Universum?
Ein offenes Universum expandiert ewig, es kann somit eine flache oder hyperbolische Geometrie haben, e.g. hier.
Das Kriterium für 'offen' vs. 'geschlossen' hängt wie erwähnt nicht von der Topologie sondern von den Komponenten der Energiedichte ab.
Bekanntestes Beispiel für 'kompakt' mit der Möglichkeit 'offen' ist der 3-Torus.

Demnach gibt es auch kompakte Universen mit hyperbolischer Geometrie.

There are a great variety of hyperbolic 3-manifolds, and their classification is not completely understood. Those of finite volume can be understood via the Mostow rigidity theorem.

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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von tomS » 12. Jan 2018, 10:40

Die Physiker sind hier unpräzise.

In der Topologie gilt: eine ist Menge offen, wenn ihre Elemente nur von Elementen dieser Menge umgeben sind, mit anderen Worten, wenn kein Element der Menge auf ihrem Rand liegt. Die Komplementärmenge einer offenen Menge ist abgeschlossen.

Dabei geht es noch gar nicht um die Frage einer Dynamik und ob eine derartige Mannigfaltigkeit die Einstein-Gleichungen löst; es geht auch noch nicht um die Frage, ob ein derartiges Universum ewig expandiert oder nicht.

Evtl. sollten wir hier auf den physikalischen Begriff "offen" völlig verzichten.
Gruß
Tom

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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von Timm » 12. Jan 2018, 15:18

tomS hat geschrieben:
12. Jan 2018, 10:40
Die Physiker sind hier unpräzise.

Dazu aus dem zuletzt verlinktem Artikel:

Curvature: open or closed

When cosmologists speak of the universe as being "open" or "closed", they most commonly are referring to whether the curvature is negative or positive. These meanings of open and closed are different from the mathematical meaning of open and closed used for sets in topological spaces and for the mathematical meaning of open and closed manifolds, which gives rise to ambiguity and confusion. In mathematics, there are definitions for a closed manifold (i.e., compact without boundary) and open manifold (i.e., one that is not compact and without boundary). A "closed universe" is necessarily a closed manifold. An "open universe" can be either a closed or open manifold. For example, in the Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (FLRW) model the universe is considered to be without boundaries, in which case "compact universe" could describe a universe that is a closed manifold.

Was die von @Analytiker erwähnte Hintergrundstrahlung anbelangt, scheint nach Planck keine weitere Mission geplant zu sein. Der Schritt von WMAP zu Planck war riesig. Man verspricht sich aber wenig von einer nochmal geringfügig verbesserten Auflösung. Und ja, insofern scheint der physikalische Aspekt erst mal ausgereizt.

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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von ralfkannenberg » 12. Jan 2018, 15:54

Lesen wir doch einmal hier nach:
Lange Zeit war unklar, ob die Expansion

- unendlich fortdauern wird (offenes Universum);
- immer langsamer wird, aber dennoch einen asymptotischen Grenzzustand erreichen wird (ebenes Universum);
- irgendwann zum Stillstand kommt und wieder in eine Kontraktion übergeht (geschlossenes Universum).

Und da verwenden die Kosmologen eine von den Mathematikern abweichende Notation.


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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von Dgoe » 12. Jan 2018, 15:56

Timm hat geschrieben:
12. Jan 2018, 15:18
tomS hat geschrieben:
12. Jan 2018, 10:40
Die Physiker sind hier unpräzise.

Dazu aus dem zuletzt verlinktem Artikel:

Curvature: open or closed

[...]These meanings of open and closed are different from the mathematical meaning of open and closed used for sets in topological spaces and for the mathematical meaning of open and closed manifolds, which gives rise to ambiguity and confusion. [...]
Zitat gekürzt. In der Tat unpräzise, zumal die Themen keine völlig verschiedenen sind.

Hier eine etwas angepasste Google-Übersetzung (nur das in Anführungsstrichen, im Original: Offenheit und Geschlossenheit):
Diese Bedeutungen von "offen" und "geschlossen" unterscheiden sich von der mathematischen Bedeutung von "offen" und "geschlossen", die für Mengen in topologischen Räumen und für die mathematische Bedeutung von offenen und geschlossenen Mannigfaltigkeiten verwendet wird, was zu Mehrdeutigkeit und Verwirrung führt.
Im Deutschen scheint es noch die 'abgeschlossene' Manigfaltigkeit (frei nach Tom oben zitiert) zu geben - etwas umformuliert.

Gruß,
Dgoe
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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von tomS » 12. Jan 2018, 16:28

Man kann "offen" natürlich auch auf die Topologie der 4-dim. Raumzeit beziehen; dann ist ein unendliches Universum tatsächlich auch im topologischen Sinn offen.

Ich spreche hier und im Folgenden jedoch immer von der Topologie des 3-dim. Raumes, nicht von der 4-dim. Raumzeit.
Gruß
Tom

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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von tomS » 12. Jan 2018, 17:13

Nachdem wir nun recht viel unanschauliche Mathematik betrieben haben, möchte ich auf konkrete Physik zurückkommen, nämlich wie man die Form des Universums „messen“ bzw. „beobachten“ kann, auch wenn wir nur einen winzigen Ausschnitt des Universums sehen und es keinesfalls in Gänze betrachten können.

Die Idee ist letztlich, Schwingungsmuster zu beobachten, das von sogenannten primordialen Gravitationswellen kurz nach dem Urknall verursacht wurde. Dabei besteht zum einen theoretisch die Möglichkeit einer direkten Messung der Gravitationswellen sowie eine indirekte Messung über die Fluktuationen in der kosmischen Hintergrundstrahlung; dabei sollten die Gravitationswellen „Muster“ in der Materie- und Strahlungsverteilung erzeugt haben, wovon wir heiute die Relikte in der Hintergrundstrahlung beobachten.

Beide Beobachtungsmethoden sind heute mittels der zur Verfügung stehenden Techniken noch nicht zugänglich. Für die indirekte Methode wurde vor wenigen Jahren fälschlicherweise ein Erfolg vermeldet, der sich jedoch in Staub aufgelöst hat – die Effekte wurden tatsächlich durch galaktischen Staub ausgelöst, nicht durch Relikte der primordialen Gravitationswellen.

Die Idee ist, dass zwischen dem Schwingungsmuster einerseits – im einfachsten Fall wie der Wellenlänge einer Gitarrensaite, im komplizierteren Fall z.B. einer Trommel – sowie der gemessenen Frequenz andererseits ein Zusammenhang besteht, eine sogenannte Dispersionsrelation. Im Falle von Licht bzw. allgemein elektromagnetischer Strahlung ist die Frequenz proportional zur inversen Wellenlänge. Außerdem sind im Falle einer eingespannten Saite oder eines Trommelfells nicht beliebige Wellenlängen oder Schwingungsmuster erlaubt, sondern lediglich diskrete.

Die Idee besteht also im Wesentlichen darin, zunächst die Wellenlängen bzw. Schwingungsmuster direkt oder indirekt mittels der vorkommenden Frequenzen zu ermitteln, sowie anschließend vom Schwingungsspektrum auf die Form des 3-dim. Raumes zurückzuschließen.

Natürlich muss dabei berücksichtigt werden, dass die Expansion des Universums auch die Schwingungsmuster selbst beeinflusst; allerdings bleiben dennoch einige charakteristische Merkmale im Sinne topologischer Invarianten erhalten. Streckt man z.B. eine schwingende Saite, so verlängert man die Wellenlänge; die Verhältnisse der erlaubten Wellenlängen bzw. Frequenzen untereinander bleibt jedoch erhalten; es werden durch die Expansion weder neuen Schwingungsmuster zulässig werden, noch andere ungültig werden.

Das Zurückschließend auf die Form ist natürlich sehr indirekt, aber die Physiker haben Methoden entwickelt, wie dies prinzipiell möglich ist. Dazu legt man zunächst ein bestimmtes kosmologisches Modell fest (Urknall plus Inflation, ekpyrotisches Modell im Rahmen der M-Theorie bzw. der Branen-Modelle, …), setzt z.B. ein homogenes Universum voraus, legt dessen Topologie fest und berechnet mittels der ART die dafür zulässigen Schwingungsmuster, d.h. die Frequenzen sowie Amplituden, d.h. letztlich die heute zulässige „kosmische Obertonreihe“. Anschließend vergleicht man die gemessenen Schwingungsmuster mit den berechneten und folgert daraus, welche Topologie des Universums möglich ist bzw. welche man ausschließen kann.
Gruß
Tom

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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von Analytiker » 12. Jan 2018, 18:04

Der Krümmungsparameter k kann die Werte -1, 0, und 1 annehmen. Im Fall von k=-1 liegt eine negative räumliche Krümmung vor wie auf einer Sattelfläche. Dann kann das Universum geschlossen oder offen sein. Der Fall k=0 steht für ein flaches Universum. Es kann auch offen oder geschlossen sein. Nur ein Universum mit k=1, also positiver räumlicher Krümmung muss geschlossen sein. Für jeden der drei Fälle von k gibt es unendlich viele verschiedene Topologien.

Die Frage ist nun, welche Modelle aufgrund von Beobachtungen auszuschließen sind und welche noch in Frage kommen.

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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von Timm » 12. Jan 2018, 20:52

Analytiker hat geschrieben:
12. Jan 2018, 18:04
Im Fall von k=-1 liegt eine negative räumliche Krümmung vor wie auf einer Sattelfläche. Dann kann das Universum geschlossen oder offen sein.
Ein Universum mit hyperbolischer Geometrie (k=-1) kann nicht geschlossen sein. Es kann aber eine kompakte Topologie haben, s. weiter oben. Ein geschlossenes Universum setzt sphärische Geometrie voraus, k=+1.

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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von tomS » 13. Jan 2018, 08:01

Im Folgenden ist die Rede von homogenen und isotropen Modellen, die die Einsteinschen Feldgleichungen lösen. Es sei angemerkt, dass unser Universum i.A. nicht homogen sein muss, und dass ggf. sogar Abweichungen von den gemäß der ART erlaubten Modellen zu untersuchen wären.
Analytiker hat geschrieben:
12. Jan 2018, 18:04
Der Krümmungsparameter k kann die Werte -1, 0, und 1 annehmen. Im Fall von k=-1 liegt eine negative räumliche Krümmung vor wie auf einer Sattelfläche. Dann kann das Universum geschlossen oder offen sein. Der Fall k=0 steht für ein flaches Universum. Es kann auch offen oder geschlossen sein. Nur ein Universum mit k=1, also positiver räumlicher Krümmung muss geschlossen sein. Für jeden der drei Fälle von k gibt es unendlich viele verschiedene Topologien.
Um die Verwechslung mit den topologischen Begriffen zu vermeiden, schlage ich folgendes vor:

In homogenen und isotropen Modellen (FRW) kann der Krümmungsparameter k die Werte -1, 0, und 1 annehmen. Im Fall von k=-1 liegt eine negative räumliche Krümmung vor wie auf einer Sattelfläche. Dann kann das Universum (der 3-dim. Raum) endlich oder unendlich sein. Der Fall k=0 steht für ein flaches Universum. Es kann auch endlich oder unendlich sein. Nur ein Universum mit k=1, also positiver räumlicher Krümmung muss endlich sein. Für jeden der drei Fälle von k gibt es prinzipiell unendlich viele verschiedene Topologien.
Gruß
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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von tomS » 13. Jan 2018, 08:06

Timm hat geschrieben:
12. Jan 2018, 20:52
Ein Universum mit hyperbolischer Geometrie (k=-1) kann nicht geschlossen sein. Es kann aber eine kompakte Topologie haben, s. weiter oben. Ein geschlossenes Universum setzt sphärische Geometrie voraus, k=+1.
Du meinst: "Ein Universum mit hyperbolischer Geometrie (k=-1) kann nicht endlich sein. Es kann aber eine kompakte Topologie haben, s. weiter oben. Ein endliches Universum setzt sphärische Geometrie voraus, k=+1."

Das verstehe ich nicht. Wie soll ein unendliches Universum kompakte Topologie haben. Und ein endliches Universum setzt sicher nicht sphärische Geometrie mit k=+1 voraus, sondern sphärische Geometrie mit k=+1 entspricht einer speziellen, endlichen Lösung. Andere Lösungen mit endlichen Raumvolumen wären z.B. das Torusuniversum. Dieses ist flach, fällt jedoch wegen fehlender globaler Isotropie nicht unter die Klasse der FRW-Kosmologien.

Wir dürfen hier keinesfalls FRW voraussetzen.
Gruß
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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von Timm » 13. Jan 2018, 11:58

tomS hat geschrieben:
13. Jan 2018, 08:06
Timm hat geschrieben:
12. Jan 2018, 20:52
Ein Universum mit hyperbolischer Geometrie (k=-1) kann nicht geschlossen sein. Es kann aber eine kompakte Topologie haben, s. weiter oben. Ein geschlossenes Universum setzt sphärische Geometrie voraus, k=+1.
Du meinst: "Ein Universum mit hyperbolischer Geometrie (k=-1) kann nicht endlich sein. Es kann aber eine kompakte Topologie haben, s. weiter oben. Ein endliches Universum setzt sphärische Geometrie voraus, k=+1."
Nein, ich meine es genauso wie ich es geschrieben habe, mit der Einschränkung zu k=-1, s. unten. Falls du meiner Aussage "Ein Universum mit hyperbolischer Geometrie (k=-1) kann nicht geschlossen sein." widersprichst, hätte ich gerne die Begründung.
In dem Beitrag von @Analytiker, auf den ich geantwortet habe, ging es um Universum offen versus geschlossen. Diese Unterscheidung bezieht sich klar auf FRW-Kontext und ist hier präzise definiert. Z.b. geschlossen -> k=1 -> sphärisch. Geschlossen impliziert endlich, aber umgekehrt gilt das nicht.
tomS hat geschrieben:
13. Jan 2018, 08:06
Und ein endliches Universum setzt sicher nicht sphärische Geometrie mit k=+1 voraus
Wo habe ich das gesagt? Du hast hier geschlossen mit endlich vertauscht.
tomS hat geschrieben:
13. Jan 2018, 08:06
Das verstehe ich nicht. Wie soll ein unendliches Universum kompakte Topologie haben
Wie verstehst du das Zitat in meiner Post vom 12.1. 10:24 ? Ich denke mittlerweile , "hyperbolic 3-manifolds" ist hier nicht im Sinne von Universum mit k=-1 Geometrie zu verstehen.(*)

Ich verstehe, daß du den FRW Kontext verlassen möchtest. Aber solange weiterhin diesbezüglich irgendwelche statements kommen, obwohl diese Fragen eigentlich insbesondere auch durch die verlinkten Artikel weiter oben im Thread geklärt sind, halte ich es für sinnvoll, darauf zu antworten. Ich weiß nicht, wie du das siehst, ich finde es ist auch im Interesse uns nicht bekannter Mitlesender, daß Widersprüchliches geklärt wird.

(*) EDIT
https://en.wikipedia.org/wiki/Shape_of_the_universe
A hyperbolic universe, one of a negative spatial curvature, is described by hyperbolic geometry, and can be thought of locally as a three-dimensional analog of an infinitely extended saddle shape. There are a great variety of hyperbolic 3-manifolds, and their classification is not completely understood. Those of finite volume can be understood via the Mostow rigidity theorem.
Mich hat "hyperbolic universe" und "Those of finite volume" auch überrascht. Wie siehst du das?
Zuletzt geändert von Timm am 13. Jan 2018, 16:18, insgesamt 2-mal geändert.

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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von ralfkannenberg » 13. Jan 2018, 14:33

Timm hat geschrieben:
13. Jan 2018, 11:58
Ich verstehe, daß du den FRW Kontext verlassen möchtest.
Hallo Timm,

ich habe Tom nicht so verstanden, dass er diesen Kontext verlassen will, er hat nur darauf hingewiesen, dass man den FRW Kontext nicht stillschweigend voraussetzen darf.


Freundliche Grüsse, Ralf

Timm
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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von Timm » 13. Jan 2018, 16:32

ralfkannenberg hat geschrieben:
13. Jan 2018, 14:33
ich habe Tom nicht so verstanden, dass er diesen Kontext verlassen will, er hat nur darauf hingewiesen, dass man den FRW Kontext nicht stillschweigend voraussetzen darf.
Vielleicht bin ich mit Tom nicht einig, welche Definitionen den FRW Kontext implizit voraussetzen.

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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von tomS » 13. Jan 2018, 17:54

@Timm:

Ich hatte das nur an Analytiker geschrieben, aber wir müssen das konsequent durchhalten. Es geht mir nicht nur um das FRW-Universum; wir müssen das allgemeiner fassen, weil wir auch andere Kosmologien betrachten wollen. Daher ist auch der Sprachgebrauch „offen“ vs. „geschlossen“ irreführend, wenn wir andererseits topologische Begriffe wie „offen“, „abgeschlossen“ oder „kompakt“ verwenden wollen“. Deswegen habe ich konsequent „endlich“ geschrieben, denn das ist das, was der Physiker meint.

Zu: "Ein Universum mit hyperbolischer Geometrie (k=-1) kann nicht geschlossen sein"´. Das ist sicher OK im FRW-Kontext, muss aber bewiesen werden für allgemeinere homogene jedoch nicht isotrope Geometrien.
Gruß
Tom

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Re: #15 Die Form des Universums

Beitrag von tomS » 13. Jan 2018, 17:55

Timm hat geschrieben:
13. Jan 2018, 16:32
Vielleicht bin ich mit Tom nicht einig, welche Definitionen den FRW Kontext implizit voraussetzen.
Du schreibst z.B. "k = +1" oder "k = -1"; bereits das setzt den FRW-Kontext voraus.
Gruß
Tom

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