Abenteuer-Universum

Hallo liebe Abenteurer!

Etwas wirklich Neues über Schwarze Löcher zu schreiben ist nicht einfach; das Internet i.A., dieses Forum sowie gravis Homepage und natürlich auch Rays Astrolexikon sind da hervorragende Referenzen.

http://www.wissenschaft-online.de/astro ... 02.html#sl

Ich versuche mal, eine geometrische Beschreibung, wie sie heute in der modernen Physik verwendet wird, anschaulich zu interpretieren. Dabei sind die Entstehung des SLs selbst, die Vorgeschichte sowie der Kollaps, unerheblich.

Die wesentliche Idee ist dabei, Lichtstrahlen bzw. Bündel von Lichtstrahlen zu untersuchen. Wir betrachten dazu eine geschlossene Fläche (z.B. eine Kugeloberfläche) und die von dieser Fläche senkrecht ausgehenden Lichtstrahlen. Die Strahlen können die Fläche dabei radial nach außen oder innen verlassen, wobei die nach innen gerichteten Strahlen konvergieren, die nach außen gerichteten Strahlen divergieren. Verfolgt man die Lichtstrahlen jeweils ein kleines Stückchen, so erhält man dabei zwei neue Flächen, wobei die durch die auswärts gerichteten Lichtstrahlen definierte Fläche die ursprüngliche umhüllt, während die durch die einwärts gerichteten Lichtstrahlen definierte Fläche von der ursprünglichen umschlossen wird. Die Flächen liegen dabei ineinander wie die Schalen einer Zwiebel.

Nun zum Schwarzen Loch: Man betrachtet dazu eine sogenannte Null-Fläche (besser Null-Raum oder lichtartiger Raum), das ist ein Raumgebiet, von dem aus sozusagen senkrecht Lichtstrahlen weglaufen; besser: alle dazu senkrechten Richtungen entsprechen Lichtstrahlen. Das ist etwas unanschaulich, aber letztlich läuft es auf ein ähnliches Bild wie das der o.g. Kugelflächen hinaus. Nun betrachtet man wieder alle auslaufenden Lichtstrahlen, wobei wiederum beide Richtungen „nach außen“ und „nach innen“ wichtig sind.

Im Falle eines schwarzen Lochs existieren nun sogenannte „trapped surfaces“ d.h. „gefangene Flächen“, die sich dadurch auszeichnen, dass sowohl die „nach innen“ als auch die „nach außen“ laufenden Lichtstrahlen konvergieren! D.h. dass die beiden oben konstruierten neuen Kugelflächen beide (!) innerhalb der ursprünglichen Kugel zu liegen kommen! Daher ist der Begriff „nach außen“ so nicht mehr korrekt, da offensichtlich alle Richtungen „nach innen“ führen. Es ist nun nicht so, dass „nach außen“ führende Richtungen in irgendeiner Weise verboten wären, sondern die Geometrie des Raumes im Inneren des Ereignishorizontes des SLs ist so seltsam verzerrt, dass keine nach außen führenden Richtungen mehr existieren (so wie am Nordpol nur nach Süden gehen kann)

Die Tatsache, dass keine Lichtstrahlen aus dem SL entkommen können, liegt also darin begründet, dass es im Inneren des SLs keine Richtung „nach außen“ mehr gibt.

Aufrichtig gesagt: Unter einer Null-Fläche kann ich mir nichts Sinnvolles vorstellen. Könntest Du das evtl. etwas präzisieren?
Okay, das scheint mir jetzt auf eine rein geometrische Beschreibung hinaus zu laufen. Irgendwie vermisse ich dabei aber ein wenig die Gravitation, die bei den SL's sicherlich die dominierende Wechselwirkung ist...

Gruß
gravi

gravi hat geschrieben:Okay, das scheint mir jetzt auf eine rein geometrische Beschreibung hinaus zu laufen. Irgendwie vermisse ich dabei aber ein wenig die Gravitation, die bei den SL's sicherlich die dominierende Wechselwirkung ist...

Masse, also Gravitation krümmt den Raum so sehr, dass eine Gerade nach aussen zu einer Kurve nach innen wird. - So verstehe ich das zumindest.

Sorry, ich will keinem widersprechen, aber deine Nullfläche ist denk ich nicht wirklich 'existent'.
Soweit ich nicht falsch liege ist es nur ein Anschauungsbeispiel.

Korrigier mich wenn ich falsch liege:
Innerhalb eines SLs gibt es keine statischen Flächen. Der Raum in einem SL wird ständig radial gedehnt und horizontal gestaucht. Eine hypothetischen vom Mittelpunkt ständig gleich weit entfernten Ort gibt es nicht, also auch keine hypotetische Kugel, deren Radius konstant bleibt.

Im analogen Vergleich: definiere ich eine Kugel, deren Radius mit c*e^t beschleunigt wächst, würden auch alle von ihrer Oberfläche ausgehenden Lichtstrahlen zum Mittelpunkt hin konvergieren.
Nur, daß es beim SL genau anders herum wäre: hier ist die hypothetische Kugel statisch und die restlichen Größenrelationen schrumpfen auf den Mittelpunkt zu.

Eine Nullfläche ist irgendeine Untermenge des Raumes, wobei alle Senkrechten auf ihrer Oberfläche lichtartig sind, d.h. Lichtstrahlen entsprechen. Man kann sich das auch nicht vorstellen. Es geht hier auch nicht um eine "statische Fläche", sondern tatsächlich nur um abstrakte geometrische Konzepte. Es ist nicht so, dass eine Nullfläche als reales Objekt exisitieren müsste (so wie auch der Ereignishorizontr eine abstrakte Fläche ist und nicht als Objekt selbst existieren kann).

Es geht auch (noch) nicht um die Details der Gravitation, sondern nur um die Feststellung, dass wenn es eine Fläche gibt, von der alle ausgehenden Lichtstrahen (unabhängig von der Richtung) konvergieren, dass es sich dann um eine sogenannte „gefangene Fläche“ handelt, aus deren Existenz ein Ereignishorizint und somit ein schwarzes Loch folgt.
In diesem Bild sind Lichtkegel eingezeichnet. Im Inneren des Ereignishorizontes = des Zylinders mit der Beschriftung r=2M sind die Lichkegel so gekippt, dass alle Lichtstrahlen gegen die im Zentrum als Linie gezeichnete Singularität konvergieren. D.h. dasses im Inneren des Ereignishorizontes derartige gefangenen Flächen gibt.

Das ist eine rein geometrische Feststellung, wobei die Dynamik der ART und damit die Ursache dieser speziellen Geometrie nicht diskutiert wird.

Ok. Ich nehme einfach mal hin, dass es so eine Nullfläche gibt (ohne sie mir in einem Bild vorstellen zu können).
Das wäre in 3D z.B. eine Kugelsphäre, die gleichzeitig eine Krümmung nach links und nach rechts hat bzw. Krümmung und Anti-Krümmung gleichzeitig (besser kann ich's grad nicht ausdrücken).
In 3D wird das sicher nicht gehen. Wie geht es in 3+1 Dimensionen?
Konvergieren die Lichtstrahlen dann in der einen Richtung vielleicht räumlich und in der anderen Richtung zeitlich?

Grüße
seeker

Stell dir in dem obigen Bild einen kleineren Zylinder vor, der in den eingezeichneten Zylinder r=2M eingebettet ist. Die Lichstrahlen entweichen immer nach oben = in die Zukunft und immer nach innen = zur Singularität, d.h. alle auslaufenden Lichtstrahlen konvergieren. Diese Zylinderflächen sind gefangene Flächen.

Ich wollte die Idee der rein geometrischen Diskussion nochmal aufgreifen und den Ereignishorizont schwarzer Löcher diskutieren. Dazu kann wiederum das obige Bild zur Veranschaulichung dienen. Der Ereignishorizont erscheint in gewisser Weise als geschlossene Fläche, in deren Inneren sich das eigtl. schwarze Loch sowie die Singularität befindet. Man erwartet, dass es sich dabei im wesentlichen um eine zweidimensionale Kugeloberfläche handelt (im Bild oben unter Weglassen einer Raumdimension dann ein Kreis, also ein Querschnitt des Zylinders).

Allerdings handelt es sich beim Ereignishorizont um eine spezielle, nämlich eine sogenannte "lichtartige" Fläche, d.h. der Horizont trennt im eigtl. Sinne nicht Innen- und Außenraum, sondern er trennt zwei kausal nur einseitig miteinander in Kontakt stehende Bereiche.

Was bedeutet nun lichtartig? Betrachten wir die oben gezeichneten Lichtkegel: man sieht, dass ein Lichtkegel direkt am Horizont Lichtstrahlen beinhaltet, die zum einen in den Innenraum hineinlaufen, als auch Lichtstrahlen, die exakt den Horizont entlanglaufen. D.h. der Horizont besteht aus gerade den Lichtstrahlen, die gerade nicht mehr nach außen entkommen, die aber auch gerade noch nicht ins SL fallen. Gut, wenn nun gerade kein Licht da ist, dann "besteht" der Horizont nicht aus Licht, aber er besteht sozusagen aus allen möglichen Bahnen von Lichtstrahlen, die zur Singularität immer konstanten Abstand haben.

Wird also direkt am Horizont ein Lichtblitz ausgesandt (wie man sieht kann dies nie nach außen geschehen, sondern höchstens entlang des Horizontes), so verbleibt ein Teil des Lichts auf dem Horizont. Betrachtet man nun einen Astronauten, der ins SL fällt und dabei den Horizont überquert, so ist klar, dass er dies mit exakt Lichtgeschwindigkeit tut, denn das am Horizont selbst befindliche Licht, wird vom Astronauten tatsächlich mit Lichtgeschwindigkeit wahrgenommen (so wie es sein muss). Damit ist auch klar, warum keine Rakete direkt am Horizont schweben kann, sie müsste sich dazu micht Lichgeschwindigkeit bewegen.

Der Ereignishorizont ist also eine zweidimensionale Fläche, die sich zwar mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, dabei aber immer "an der selben Stelle" bleibt.

tomS hat geschrieben:Stell dir in dem obigen Bild einen kleineren Zylinder vor, der in den eingezeichneten Zylinder r=2M eingebettet ist. Die Lichstrahlen entweichen immer nach oben = in die Zukunft und immer nach innen = zur Singularität, d.h. alle auslaufenden Lichtstrahlen konvergieren. Diese Zylinderflächen sind gefangene Flächen.

Ich kann mir das so vorstellen. Jedoch weiß ich aus dem Bild heraus nicht, warum die Lichtstrahlen dann immer nach innen gehen müssen. Mein Zylinder hat ja auch eine Außenseite...
Sorry, ich habe das Bild noch nicht wirklich begriffen.

Ich hätte dennoch eine Frage:
Wenn im SL nur noch Bewegungen auf die Singularität möglich sind: Ist das dann damit gemeint, wenn man sagt "Der Raum wird zeitartig"?

Grüße
seeker

OK, nochmal zu dem Bild: eingezeichnet sind Weltlinien, d.h. Linien durch die Raumzeit, entlang derer sich Teilchen bewegen. An einigen Punkten sind Lichkegel angezeichnet, d.h. Flächen, auf denen sich Lichtstrahlen bewegen; massebehaftete Teilchen würden sich im Inneren dieser Lichtkegel (vom jeweiligen Fußpunkt aus) bewegen. Wenn nun die Öffnung des Lichtkegels immer auf die Singularität weist, gibt es keine (physikalisch mögliche) Richtung, die nicht zur Singularität hinführt.

Ja, dass der Raum "zeitartig" wird, bedeutet letztlich folgendes:

Außerhalb des Ereignishorizontes kann man sich nur "nach vorne in der Zeit" aber in beliebige räumliche Richtungen bewegen. Innerhalb des Ereignishorizontes kann man sich dagegen nur "nach vorne im Raum" = in Richtung der Singularität bewegen.

OK, dann ist das glaube ich klar.
(Ich war nur verwirrt wegen deiner Erklärung weiter oben, weil ich mir eine Fläche gedacht habe (da nicht vorstellbar), die auf beiden Seiten zu konvergierenden Lichtstrahlen führt. Das sieht man auf dem Zylinderbild so nicht. Das ist anders zu verstehen, nämlich so, dass Lichtstrahlen im Zylinder konvergieren und außerhalb nicht. Im Zylinder ist hinter dem EH.)

Leider habe ich noch nicht den Sinn des großen unteren Kegels erfasst - und warum er auf dem Kopf steht.
Die kleinen Kegel sind ja Lichtkegel...
Der große Kegel hat jedenfalls 45°relativ zum Zylinder = Weltlinienwinkel einfallender Photonen. Wenn etwas (Licht) auf diesem Weltlinienwinkel einfällt, dann kann es außerhalb des Zylinders noch entkommen.
Direkt am Zylinderrand gerade nicht mehr. Es geht maximal senkrecht an der Zylinderwand nach oben (oder halt weiter in die Zylindermitte).
Ist so etwas damit gemeint?

Danke für die Geduld.

Grüße
seeker

Der große Kegel stellt den Kollaps dar

Danke.

Da wir gerade beim EH sind:

Wie scharf ist dieser EH eigentlich?

Ich habe auch noch die Geschichte von Hawking mit seinen virtuellen Teilchen im Hinterkopf.
Von daher denke ich schon, dass diese Grenze sehr scharf sein muss...
Kann man das überhaupt rechnen ohne eine Theorie der Quantengravitation?

Grüße
seeker

Klassisch - und auch im Bild von Hawking bleibt die Geometrie klassisch - ist der EH unendlich scharf. Hawking formuliert eine Quantenfeldtheorie auf einer klassischen Raumzeit und studiert deren Konsequenzen; das ist auch der Grund, warum Hawkings Rechnung eben gerade nicht auf mikroskopische Löcher verallgemeinert werden darf, obwohl man dies oft genug so findet.

Von der Quantengravitation erhofft man sich tatsächlich eine mikroskopische Beschreibung des EHs, der SLs sowie insbs. der mikroskopischen Freiheitsgrade des Gravitationsfeldes, woraus dann auch eine statistische Erklärung der Entropie folgend sollte; nach der rechnung von bekenstein folgt diee Entrpie nämlich "nur" aus der thermodynamischen Betrachtung der Temperatur, ohne eine quantenmechanische Begründung.

Es gibt m.W.n. für eine derartige QG von SLs zwei erfolgversprechende Kandidaten, nämlich die LQG und die Strings.

tomS hat geschrieben: Betrachtet man nun einen Astronauten, der ins SL fällt und dabei den Horizont überquert, so ist klar, dass er dies mit exakt Lichtgeschwindigkeit tut, denn das am Horizont selbst befindliche Licht, wird vom Astronauten tatsächlich mit Lichtgeschwindigkeit wahrgenommen (so wie es sein muss). Damit ist auch klar, warum keine Rakete direkt am Horizont schweben kann, sie müsste sich dazu micht Lichgeschwindigkeit bewegen.

Entschuldige, wenn ich hier noch etwas ergänze, Tom. Am Ereignishorizont ist die Gravitationskraft unendlich. Das ist der eigentliche Grund, weshalb ihn ein Objekt aus beliebiger Fallhöhe mit c durchquert und weshalb sich dort kein materielles Objekt aufhalten kann.

tomS hat geschrieben: Der Ereignishorizont ist also eine zweidimensionale Fläche, die sich zwar mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, dabei aber immer "an der selben Stelle" bleibt.

Letzteres zeigt ja auch das Finkelstein-Diagramm. In Schwarzschildkoordinaten ist der Ereignishorizont stationär. Ebenso ist ein radiales Photon dort stationär, obwohl es sich lokal mit Lichtgeschwindigkeit bewegt. Aber die Argumentation mit der Fläche verstehe ich nicht. Müßte es nicht ein Bezugssystem geben, in welchem sie sich mit c bewegt?

Gruß, Timm

Timm hat geschrieben:Am Ereignishorizont ist die Gravitationskraft unendlich.

Das stimmt leider nicht. Am Horizont gibt es keine physikalisch messbaren Effekte; Krümmung und Gravitationskraft am Horizont bleiben endlich; letztere skaliert in der Newtonschen Näherung ~ 1/M, d.h. für schwerer Löcher verringert sich die Kraft!

tomS hat geschrieben:Aber die Argumentation mit der Fläche verstehe ich nicht. Müßte es nicht ein Bezugssystem geben, in welchem sie sich mit c bewegt?

Der Horizont bewegt sich in jedem Bezugssystem, das physikalisch (durch einen realen Beobachter) definierbar ist, mit Lichtgeschwindigkeit.

Das war etwas worauf ich hinaus wollte. Da alle möglichen Bahnen innerhalb des EH in der Raumzeit derart gekippt sind, existieren dort keine festen Koordinaten. Es gibt keinen Raumpunkt, der sich in der Zeit aber nicht im Raum fortbewegt.

Die Nullfläche ist ein hypotetische Fläche, die sich mit Überlichtgeschwindigkeit(!) von der Singularität weg bewegt. Deshalb holt sie die von ihr nach außen gehenden Lichtstrahlen ein. Sie ist wie der EH auch nur eine scheinbar stationäre Fläche.

In Wirklichkeit ist es innerhalb eines SL ohnehin nicht sinnvoll von Streckenlängen zu sprechen, da die Sphäre von innerhalb ihrer selbst betrachtet unendlichen Durchmesser hätte.

Skeltek hat geschrieben:Die Nullfläche ist ein hypotetische Fläche, die sich mit Überlichtgeschwindigkeit(!) von der Singularität weg bewegt. Deshalb holt sie die von ihr nach außen gehenden Lichtstrahlen ein. Sie ist wie der EH auch nur eine scheinbar stationäre Fläche.

Überlichtgeschwindigkeit?

tomS hat geschrieben:

Timm hat geschrieben:Am Ereignishorizont ist die Gravitationskraft unendlich.

Das stimmt leider nicht. Am Horizont gibt es keine physikalisch messbaren Effekte; Krümmung und Gravitationskraft am Horizont bleiben endlich; letztere skaliert in der Newtonschen Näherung ~ 1/M, d.h. für schwerer Löcher verringert sich die Kraft!

Vermutlich meinst Du die Gezeitenkraft, Tom, die ist am Horizont endlich, allerdings ist sie dort proportional zu 1/M². Deshalb fällt der Astronaut bequem durch den Horizont, wenn das Schwarze Loch nur groß genug ist.
Hingegen ist die Gravitationskraft proportional zu (1-rs/r)^-1/2, wird also für r=rs unendlich. Betrachtet man allerdings einen festen Abstand vom Horizont in rs Einheiten, dann nimmt dort die Gravitationskraft wegen der Proportionalität zu M/r² mit zunehmender Masse ab.
Wäre die Gravitationskraft am Horizont endlich, dann könnte meiner Ansicht nach eine Rakete dort mit endlicher Beschleunigung stationär sein, was ja definitiv nicht der Fall ist.

tomS hat geschrieben:Der Horizont bewegt sich in jedem Bezugssystem, das physikalisch (durch einen realen Beobachter) definierbar ist, mit Lichtgeschwindigkeit.

Im ersten Moment dachte ich, Du meinst das Bezugssystem des Freifallers (realer Beobachter). Aber in dessem System bewegt sich der Horizont ja nur in einem infinitesimalen Zeitabschnitt mit Lichtgeschwindigkeit. Den Gedanken mit der Fläche, die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt finde ich sehr interessant. Aber ich verstehe nicht, worauf Du damit hinaus willst.

Zu Null-Fläche wurde schon viel gesagt. Ich interpretiere sie als von Null-Geodäten festgelegt, d.h. von tangentialen Photonen, die das Schwarze Loch ewig im Abstand 2M von der Singularität umkreisen. So, wie die am Horizont tangentialen Lichtkegel im Finkelstein-Diagramm das auch zeigen.

Gruß, Timm

Skeltek hat geschrieben:In Wirklichkeit ist es innerhalb eines SL ohnehin nicht sinnvoll von Streckenlängen zu sprechen, da die Sphäre von innerhalb ihrer selbst betrachtet unendlichen Durchmesser hätte.

Aber wie erklärst Du bei dieser Vorstellung, daß man die Eigenzeit für den radialen Fall vom Horizont bis zur Singularität bequem ausrechnen kann? Bei einem Schwarzen Loch von 3 Sonnenmassen dauert das beispielsweise 46 Mikrosekunden.

Gruß, Timm

Ich meinte die Nullfläche. Einfach angenommen, daß die Krümmung vom EH bis zur Singularität zunimmt... Da die Nullfläche sich innerhalb des EH befindet, müsste sich ihr Radius mit Überlichtgeschwindigkeit ausdehnen, damit sie nicht zu einem Punkt kolabiert.
Mit dem frei fallenden Beobachter hat das nichts zu tun. Ich spreche einfach davon, daß es keine Koordinaten gibt, die sich zeitlich, aber nicht räumlich bewegen. Meine Ansicht kann natürlich falsch sein, aber es erscheint mir nur mehr als logisch.

Ich hätte da noch eine Frage: Wenn alles, was den EH überschreitet, dies mit c tut, ist dieses c dann die radiale Komponente seines Bewegungsvektors?

In der ART bleibt die Eigenzeit eines frei fallenden Beobachters weiterhin eine physikalisch sinnvolle Größe.

@Timm: wie kommst du auf die Formel für die Kraft?

Hallo Tom,

der Korrekturfaktor zur Newton'schen Beschleunigung ist lt. http://books.google.de/books?id=O3puAMw ... ve&f=false , S. 45 unten (1-2m/r)^-1/2. Damit wird sie am Horizont mit rs=2m unendlich. Gleiches gilt für die Newton'sche Gravitationskraft.

Wie kommst Du auf die "Newtonschen Näherung ~ 1/M"?

Gruß, Timm

Skeltek hat geschrieben: Ich spreche einfach davon, daß es keine Koordinaten gibt, die sich zeitlich, aber nicht räumlich bewegen. Meine Ansicht kann natürlich falsch sein, aber es erscheint mir nur mehr als logisch.

Ich denke, Du hast die Vertauschung der Koordinaten im Sinn. Der Krümmungsfaktor in geometrisierten Einheiten ist (1-2M/r). Er wird folglich negativ, wenn r kleiner wird, als der Schwarzschildradius rs=2M. Das wird als eigentlicher Grund angegeben, weshalb innerhalb des Horizontes die radiale Koordinate zeitartig und die Zeit-Koordinate raumartig wird. Es ist nicht so, daß Raum und Zeit vertauscht sind, sondern eben die Koordinaten. Das macht insofern auch Sinn, als außerhalb nur t, innerhalb aber nur r eine Richtung hat.

Skeltek hat geschrieben:
Ich hätte da noch eine Frage: Wenn alles, was den EH überschreitet, dies mit c tut, ist dieses c dann die radiale Komponente seines Bewegungsvektors?

Gute Frage. Beim radialen Fall ist es c. Aber schräg? Möglicherweise gibt es den "schrägen Einfall" nicht, weil er im letzten Moment, also bei rs, wegen der dort unendlichen Beschleunigung dann doch radial erzwungen ist.

Gruß, Timm

Timm hat geschrieben:Hallo Tom,

der Korrekturfaktor zur Newton'schen Beschleunigung ist ... (1-2m/r)^-1/2. Damit wird sie am Horizont mit rs=2m unendlich. Gleiches gilt für die Newton'sche Gravitationskraft.

Wie kommst Du auf die "Newtonschen Näherung ~ 1/M"?

Tja, jetzt können wir uns über die Interpretationen streiten; wahrscheinlich führt das aber zu nichts.

Schau mal auf Seite 44 Gl. (2.72) sowie die folgende Definition der Oberflächengravitation κ=1/4M.