Nee, es handelt sich nicht um Zauberei, sondern um Funktionalanalalysis, genauer: um den Spektralsatz.positronium hat geschrieben:Ich würde gerne noch einmal auf Deine obige Erklärung zurück kommen, und das besser verstehen. Du hattest geschrieben:Wenn man das für den harmonischen Oszillator macht, sind dann tatsächlich alle quadratintegrablen Funktionen so darstellbar, oder nur solche, die im harmonischen Oszillator vorkommen können? - Letzteres erscheint mir wegen der Verwendung des Operators als direkt einsichtig, aber ersteres klingt wie Zauberei.tomS hat geschrieben:D.h. dass jede Funktion aus H mittels eines vollständigen und orthoniermierten Funktionensystems un dargestellt werden kann. Im Falle des Hilbertraumes der quadratintegrablen Funktionen über den reellen Zahlen sind die o.g. Hermitefunktionen ein derartiges Funktionensystems. D.h. jede quadratintegrable Funktion kann als eine derartige Summe über die Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators dargestellt werden.
Ich beschreibe mal den einfachsten, endlichdimensionalen Fall, d.h. lineare Algebra.
Gegeben sei eine selbstadjungierte N * N Matrix D; selbstadjungiert bedeutet, dass für die Matrixelemente gilt:
d*ki = dik
d.h. Transponieren und komplex Konjugieren überführt die Matrix in sich selbst.
Für jede derartige selbstadjungierte Matrix gilt, dass die Eigenvektoren un, n = 1..N
(D - λn)un = 0
ein Orthonormalsystem bilden (n ist hier nicht der Index der Kompomente innerhalb eines Vektors, n nummeriert die Vektoren).
D.h. für das Skalarprodukt zweier derartiger Eigenvektoren gilt
u*m • un = δmn
Diese Vektoren bilden eine Basis des N-dimensionalen Vekktorraumes, d.h. jeder Vektor f ist darstellbar als Summe
f = ∑n fn un
Die Koeffizienten (fn) sind gerade die Koordinaten des Vektors f bzgl. der Basis {un}.
Soweit sollte das klar sein.
Der Spektralsatz ist nun gerade eine Verallgemeinerung dieses Ergebnisses der Algebra für unendlich-dimensionale Hilberträume.
Die Aussage, die du als Zauberei empfindest, ist nichts weiter als die letztlich triviale Feststellung, dass ein Vektor f bzgl. verschiedener Basen dargestellt werden kann. Und jede derartige Basis wird durch eine selbstadjungierte Matrix definiert. Der Übergang zwischen zwei Basen entspricht einer Basistransformation, d.h. im wesentlichen einer (verallgemeinerten) Drehung der Basisvektoren, einer unitären Transformation.
https://de.wikipedia.org/wiki/Spektralsatz