Frage zur Hawking Strahlung

[tomS]

Nun, theoretisch kann man sie schon nachweisen, aber dazu müsste man sich in der Nähe eines kleinen und damit genügend heißen schwarzen Lochs befinden.

[seeker]

Falls am CERN (oder einem Nachfolger-Beschleuniger) doch noch eines Tages Mikro-SL erzeugt werden, dann könnte der direkte Nachweis gelingen (schneller Zerfall der SL durch Hawkingstrahlung).

Gruß
seeker

[tomS]

Wenn ...

Der Punkt ist, dass für sehr kleine SLs die Näherungen von Hawking nicht mehr gelten.

[FKM]

Gilt die Formel für die Temperatur eines schwarzen Lochs

(also z.B. 100 Nanokelvin für ein stellares schwarzes Loch) eigentlich für einen hypothetischen Beobachter am Ereignishorizont oder für einen Beobachter in der Ferne? Wenn die Photonen der Hawkingstrahlung aus dem Bereich des SL entweichen, müssen sie ja noch mal viel Energie verlieren (also langwelliger werden).

Hintergrund meiner Frage ist ein Gedankenexperiment von L. Susskind aus dem Buch "Der Krieg um das schwarze Loch", das ich weder verstehe noch nachvollziehen kann: ein Beobacher in einer Raumstation, die in sicherer Entfernung zum SL kreist, lässt ein Thermometer bis knapp zum Ereignishorizont herab und würde dann eine enorm hohe Temperatur messen, während ein frei fallender Beboachter am Ereignishorizont nichts besonderes bemerken würde. Susskind postuliert eine superheiße Schicht direkt über dem Horizont, die einem entfernten Beobachter so erscheine, als würde sie alles zerstrahlen, was auf sie trifft*.

Was ich an dem Gedankenexperiment nicht verstehe: eine hypothethische Sonde, die man in die Nähe des Ereignishorizontes mit einem phantastischen Seil (vielleicht ein Superstring ), herablassen würde, müsste ja enorm stark beschleunigt werden, um nicht ins SL zu fallen. Dann würde die Sonde aber die Unruh-Strahlung messen, die meiner Meinung erst mal nichts direkt mit der Hawking-Strahlung zu tun hat. Außerdem hätten die Sonde und das Seil so viel Energie, dass sie dem SL zugeschlagen würden und den Ereignishorizont vergrößern würden - somit ist eine Messung "eine Planklänge vom Ereignishorizont entfernt" auch schon prinzipiell ausgeschlossen.

*) Nicht zu verwechseln mit der aktuellen Firewall-Diskussion, nach der auch ein frei fallender Beobachter von einer Firewall am Ereignishorizont zerstrahlt werden soll.

[tomS]

Die Formel für die Hawkingstrahlung gilt exakt für einen unendlich weit entfernten Beobachter in der unendlich fernen Zukunft.

Eine Berechnung der Temperatur "am" Ereignishorizont habe ich noch nicht gesehen. Es ist auch nicht so, dass die Teilchenentstehung "am" Ereignishorizont lokalisierbar wäre; der Effekt ist zunächst mal nicht-lokal. Allerdings tragen bestimmte Bereiche der Raumzeit tatsächlich mehr bei als andere.

Mich würde interessieren, ob Susskind Literatur nennt, gemäß der diese heiße Schicht quantitativ erklärt wird.

[FKM]

Die Formel für did Hawkingstrahlung gilt exakt für einen unendlich weit entfernten Beobachter in der unendlich fernen Zukunft.

Eine Berechnung der Temperatur "am" Ereignishorizont habe ich noch nicht gesehen. Es ist auch nicht so, dass die Teilchenentstehung "am" Ereignishorizont lokalisierbar wäre; der Effekt ist zunächst mal nicht-lokal. Allerdings tragen bestimmte Bereiche der Raumzeit tatsächlich mehr bei als andere.

Danke für die Antwort. Damit ergibt Susskinds Argumentationskette einen Sinn: "die energiearme Hawkingstrahlung, die man weit vom SL entfernt beobachtet, muss ein energiereicher Gammastrahl gewesen sein, als sie den Ereignishorizont verließ."*)

Mich würde interessieren, ob Susskind Literatur nennt, gemäß der diese heiße Schicht quantitativ erklärt wird.

Leider hat das Buch kein Literaturverzeichnis. Es gibt nur ein paar indirekte Hinweise in Fußnoten:

Physikern war seit den 70er Jahren bekannt, daß ein in die Nähe eines Horizonts herabgelassenes Thermometer eine hohe Temperatur registrieren würde. Bill Unruh, der Erfinder der dump holes, war auf diese Tatsache gestoßen, als er noch bei John Wheeler studierte

Eine Google Suche nach "Unruh dump holes" liefert z.B.: http://arxiv.org/abs/gr-qc/9409008

* S.259

[Siebenstein]

Meine persönliche Meinung zum Thema Hawking Strahlung (2 Erklärungsansätze):

Die Quantengravitationstheorie (nicht Superstringtheorie!) geht aktuell davon aus, dass es keine "Urknallsingularität" geben kann. Zur Erinnerung: In der Quantenmechanik QM gibt es generell keine Singularitäten!

Man postuliert lieber ein "verschmierten" (unscharfen) Urknallkorridorbeteich im Raumzeit-Lichtkegel (Weltlinien), der in ein Universum vor dem Urknall näherungsweise spiegelsymetrisch zu unserem führt. Beide Universen ( das vor und das nach dem Urknall) stellen in Summe ein geschlossenes physikalisches System dar und existieren oszillierend nebeneinander hin und her...

Das hätte aber unmittelbar Konsequenzen nach dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik, wonach die Entropie in geschlossenen Systemen immer zunehmen muss.
Ein Erklärungsansatz aus meiner Sicht wäre, dass Entropie (Information) eines verdampfenden Schwarzen Loches SL in das Universum vor dem Urknall tunnelt...

Nach dem 3. Hauptsatz der Thermodynamk bleibt immer Restenergie in Form von thermischer Strahlung übrig. Es gibt eben keinen absoluten Nullpunkt bei der Entwicklung des Universums mehr. Der Prozess ist irreversibel.
Letztlich könnte sich die Temperatur/Information eines verdampfenden SL auch als "Temperaturspeicher" in der Hintergrundstrahlung manifestieren (Information/ Intelligenz als Temperaturspeicher?)...

Ich habe mich oft auch immer wieder gefragt, ob nicht langsam mal ein 4. Hauptsatz der Thermodynamik fällig wäre, der die maximal mögliche Änderungsgeschwindigkeit in der Zeit für die Zunahme der Entropie S beschreibt, z.B. in der Art

0 <= dS/dt <= O! (4. Hauptsatz fiktiv)
mit 0! = 1! = 1.

MfG

[tomS]

Hallo, und herzlich willkommen im Forum!

Die Quantengravitationstheorie geht aktuell davon aus, dass es keine "Urknallsingularität" geben kann.

Welche? Es gibt nicht die Quantengravitationstheorie; und es gibt keine wirklich abgeschlossene Formulierung. Ich denke, du meinst die LQC.

Man postuliert lieber ein "verschmierten" (unscharfen) Urknallkorridorbeteich im Raumzeit-Lichtkegel (Weltlinien), der in ein Universum vor dem Urknall näherungsweise spiegelsymetrisch zu unserem führt.

Man postuliert nichts dergleichen, sondern man versucht, dies mathematisch abzuleiten. Die Wortwahl "Urknallkorridorbereich" ist etwas ungewöhnlich :-)

Beide Universen ( das vor und das nach dem Urknall) stellen in Summe ein geschlossenes physikalisches System dar und existieren oszillierend nebeneinander hin und her...

dito: "und existieren oszillierend nebeneinander hin und her"

Das hätte aber unmittelbar Konsequenzen nach dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik, wonach die Entropie in geschlossenen Systemen immer zunehmen muss.

Zunächst mal besagt der zweite Hauptsatz der Thermodynamik nicht, dass die Entropie immer zunehmen muss, sondern das sie nicht abnehmen darf. Dan bin ich mir gar nicht sicher, ob der Entropiebegriff hier eindeutig definiert und sinnvoll ist: in einem "reinen Quantenzustand" wäre die Entropie zeitlich konstant Null; der Zeitbegriff ist aber notorisch schwierig zu definieren.

Ein Erklärungsansatz aus meiner Sicht wäre, dass Entropie (Information) eines verdampfenden Schwarzen Loches SL in das Universum vor dem Urknall tunnelt...

Das ist doch reine Spekulation.

[seeker]

Willkommen!

Beide Universen ( das vor und das nach dem Urknall) stellen in Summe ein geschlossenes physikalisches System dar und existieren oszillierend nebeneinander hin und her...

Das hätte aber unmittelbar Konsequenzen nach dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik, wonach die Entropie in geschlossenen Systemen immer zunehmen muss.

Es sei denn, die Zeitrichtung wäre in dem Spiegeluniversum ebenfalls gespiegelt...

Es ist übrigens auch etwas ungenau zu sagen, dass die Entropie mit der Zeit immer zunehmen muss, denn wenn ein geschlossenes System schon maximale oder nahezu maximale Entropie hat, dann ist es wahrscheinlich, dass das System zeitweise kleine Schwankungen in Richtung Entropieabnahme vollführt. Und ich bin mir nicht sicher, ob man bei einem Universum, das in ferner Zukunft extrem ausgedünnt ist, überhaupt noch sinnvoll den Begriff "Entropie" benutzen kann, dann, wenn also überhaupt keine Wechselwirkungen mehr stattfinden?
Evtl. dann noch vorhandene, einsame Teilchen, wären m. E. dann auch noch alle in einem stabilen verschränkten Zustand, von ihrer letzten WW mit einem anderen Teilchen. Keine Ahnung, ob und was das dann bedeuten würde.

Aber ja, ich denke mit der extrem geringen Entropie im Anfang des Universums haben wir eh ein großes Rätsel vorliegen.
Man kann das auch nicht so einfach durch einen quantenmechanischen Zufall oder dergleichen lösen, denn auf diesem Weg kommt man zunächst zu dem Schluss, dass es extrem viel wahrscheinlicher ist, dass das Universum mit allem darin (incl. uns) gerade vor einer Sekunde genau so 'aufgepoppt' ist, wie wir es jetzt sehen, als dass es in einem Extrem-Niederentropie-Urknall vor 13,8 Mrd Jahren aufgepoppt ist.

Ein Erklärungsansatz aus meiner Sicht wäre, dass Entropie (Information) eines verdampfenden Schwarzen Loches SL in das Universum vor dem Urknall tunnelt...

Vielleicht, wer weiß? Aber ein einziges SL wird m. E. nicht für unser Universum als "Informationsquelle" ausreichend sein können, es sei denn es wäre wirklich gigantisch gewesen. Ich bin eher geneigt zu glauben, dass in SLs 1. keine Information verloren geht und 2. diese Information wieder ins Mutteruniversum entlassen wird, spätestens im Moment, wenn das SL völlig verdampft ist.

Letztlich könnte sich die Temperatur/Information eines verdampfenden SL auch als "Temperaturspeicher" in der Hintergrundstrahlung manifestieren

Mag sein. Ob das irgendeine Bedeutung hat, weiß ich nicht.


Grüße
seeker

[Zausel]

Hallo liebes Forum,

für mich war seit langer Zeit klar, das virtuelle Teilchen reel werden, wenn sie ihren Partner im schwarzen Loch verlieren.
Die Konsequenzen daraus kann man wahrscheinlich nur mathematisch darstellen, aber für mich heißt das, dass schwarze Löcher mit der Zeit kleiner werden und nicht größer, denn Tom hat erklärt, das reele Antiteilchen einem schwarzen Loch die Masse nehmen können.
Das bedeutet für mich aber, dass unser großes schwarzes Loch in der Mitte unserer Galaxie nicht massiver werden dürfte.
Tom, hilf mir...der nächste Schritt, den ich tue ist zu versuchen, das mathematisch zu erklären, und dann blamiere ich mich

[Zausel]

Ach ja...ich kann immer noch nicht verstehen, wie man ein leckeres belegtes Brötchen in ein schwarzes Loch werfen kann, nur um festzustellen, dass die Information der Zusammensetzung des belegten Brötchens im schwarzen Loch bleibt, oder nicht.

[seeker]

für mich war seit langer Zeit klar, das virtuelle Teilchen reel werden, wenn sie ihren Partner im schwarzen Loch verlieren.
Die Konsequenzen daraus kann man wahrscheinlich nur mathematisch darstellen, aber für mich heißt das, dass schwarze Löcher mit der Zeit kleiner werden und nicht größer, denn Tom hat erklärt, das reele Antiteilchen einem schwarzen Loch die Masse nehmen können.
Das bedeutet für mich aber, dass unser großes schwarzes Loch in der Mitte unserer Galaxie nicht massiver werden dürfte.

Ja, aber das gilt doch nur, wenn das SL völlig isoliert ist, also nichts hinein fällt und es dann nur per Hawking-Strahlung sehr sehr sehr langsam Masse verliert. Sobald und so lange es aber 'frisst' (Materie, Strahlung), wächst es, wird massiver.

Gruß
seeker

[Siebenstein]

Natürlich muss die Entropie nicht zwingend zunehmen in einem geschlossenen physikalischen System, sondern kann auch stagnieren (siehe z.B. Carnot'schet Kreisprozess). Aber wo es untere Grenzen gibt, muss es meiner Meinung nach doch auch sinnvoll definierte obere Grenzen geben in einem nicht unendlichen Universum (oder besser ausgedrückt in einem Universum mit nicht unendlich vielen Quantenzuständen!). Diese zu finden oder korrekt zu definieren ist freilich eine andere Frage. Um nichts anderes ging es mir bei meinem zugegebenermaßen spekulativen (fiktiven) Hauptsatzansatz 0 <= dS/dt <= 1.
Aber die sich entwickeltenden Diskussionen sind wirklich höchst interessant für mich!
MfG

[Siebenstein]

Also ich habe zum Begriff Temperaturstrahlung und Entropie eines "verdampfenden" Schwarzen Loches auch nochmal gegoogelt und folgendes gefunden zur Entropie S_SL und Zeitdauer delta t bis das SL verdampft ist:

S_SL = [ Lambda_t x kB x c^3 ] / [ 4 x h/2Pi x G ]

mit Lambda_t = 4 x 10^15 kg^3/s = const.

und delta t = [ M^3 ] / [ 3 x Lambda_t ]

wobei M die Masse des SL zu Beginn der "Zerstrahlung" ist.

Die Entropie S im allgemeinen fasse ich auf als:
Dekadischer Logarithmus der verschiedenen Anordnungsmöglichkeiten von Teilchen oder Elementarteilchen, ohne dass sich am makroskopischen Erscheinungsbild etwas ändert. In diesem Sinne oder Definition wäre die Entropie ein reiner Zahlenwert, also ohne physikalische Dimension.

[tomS]

Zunächst mal muss man unterscheiden zwischen der thermodynamischen und der quanten-statistischen Definition der Entropie. Letztere kann man mittels der Mikrozustände definieren, und in geeigneten Einheiten handelt es sich tatsächlich um eine Zahl.

Im Falle der Bekenstein-Hawking-Entropie schwarzer Löcher liegt jedoch keine statistische Definition der Entropie vor, da überhaupt keine Mikrozustände betrachtet werden. Dies erfolgt erst (in Ansätzen) in Theorien der Quantengravitation, z.B. der Stringtheorie und der LQG.

Generell ändert all dies nichts daran, dass man erwartet, dass für mikroskopische SLs der von Bekenstein und Hawking gefundene Zusammenhang zwischen Masse, Temperatur und Entropie nicht mehr zutreffend ist.

[tomS]

Aber wo es untere Grenzen gibt, muss es meiner Meinung nach doch auch sinnvoll definierte obere Grenzen geben in einem nicht unendlichen Universum (oder besser ausgedrückt in einem Universum mit nicht unendlich vielen Quantenzuständen)

Es gibt jedoch bereits in einem endlichen Universum unendlich viele Quantenzustände. Betrachte einen simplen harmonischen Oszillator mit einem quantenmechanischen Freiheitsgrad; dieser hat unendlich viele erlaubte Quantenzustände. In einem endlichen Universum mit Quantenfeldern ist die Anzahl der Quantenzsutände natürlich ebenfalls unendlich.

Bei endlich vielen erlaubten Quantenzuständen N ist die Entropie maximal, wenn jeder Quantenzustand mit der selben Wahrscheinlichkeit p = 1/N besetzt ist; die Entropie beträgt dann

S_max = ln(N) = ln dim H

d.h. sie divergiert logarithmisch mit der Anzahl N = der Dimension des Zustandsraumes H.

[positronium]

Es gibt jedoch bereits in einem endlichen Universum unendlich viele Quantenzustände. Betrachte einen simplen harmonischen Oszillator mit einem quantenmechanischen Freiheitsgrad; dieser hat unendlich viele erlaubte Quantenzustände.

Ich glaube, das sollte durch "im Rahmen der QM theoretisch/mathematisch" präzisiert werden.
Ein endliches Universum bedeutet nicht nur für die rechnerisch einnehmbaren Zustände eine Einschränkung, sondern es enthält auch eine begrenzte Energiemenge. D.h. man hat in einem QM-Oszillator auch eine maximale Frequenz, die der Gesamtenergie des Universums entspricht, und damit endlich viele mögliche Zustände.
Auch hat man nur in kontinuierlichen Orts- und Impulsräumen und bei kontinuierlichen Energiemengen unendlich viele Zustände, aber eine Einschränkung bei diesen ginge natürlich über die QM hinaus.

[tomS]

Verstehe ich nicht.

Betrachte ein Teilchen im Kasten: es liegen unendlich viele Zustände vor, und zwar mit mit unbeschränktem Spektrum; woher soll eine nach oben beschränkte Energie stammen, wenn nicht entweder künstlich oder durch eine physikalische Theorie?

Wenn das Universum in einem Energieeigenzustand, also einem reinen Zustand wäre, dann wäre seine Entropie ohnehin Null. Wenn wir anderseits von einem gemischten Zustand sprechen - und nur dann kann die Entropie positiv sein - dann sind Entropie und Energie nicht direkt miteinander verbunden. Es sei denn, es läge eine thermodynamische Zustandsgleichung bzw. ein thermischer Zustand vor; in diesem Fall sind Entropie und Erwartungswert der Energie (bei endlicher Temperatur) endlich, obwohl ein unbeschränktes Spektrum vorliegen kann. Z.B. sind S(T) und E(T) im Falle des harmonischen Oszillators bei endlichem T endlich.

Bzgl. der kontinuierlichen Zustände: diese sind, wenn man die QM ernst nimmt, ein mathematisches jedoch kein physikalisches Problem. Die Axiome der QM fordern einen separablen Hilbertraum, also eine abzählbare Basis (diese entspricht nicht unbedingt dem Spektrum des Hamiltonoperators). Z.B. bilden die Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators eine abzählbare und vollständige Basis auf dem Hilbertraum L2; die Verwendung ebener Wellen ist teilweise praktischer, jedoch nicht zwingend erforderlich.

[positronium]

Betrachte ein Teilchen im Kasten: es liegen unendlich viele Zustände vor, und zwar mit mit unbeschränktem Spektrum; woher soll eine nach oben beschränkte Energie stammen, wenn nicht entweder künstlich oder durch eine physikalische Theorie?

Ich denke, das liegt auf der Hand, also, zumindest bei der Messung.
Weil unendlich viel Energie in einem endlichen Universum nicht möglich ist, muss die Gesamtenergie endlich sein. Für endliche Energie kann es aber nicht unendlich viele Zustände geben, weil bei Erhöhung der Hauptquantenzahl die Energie immer weiter ansteigt.

...die Verwendung ebener Wellen ist teilweise praktischer, jedoch nicht zwingend erforderlich.

Vielleicht ist es mir nur nicht bewusst, aber ich glaube, ich habe noch nie eine nicht mit ebenen Wellen konstruierte Wellenfunktion gesehen. Wie geht das?

[tomS]

Betrachte ein Teilchen im Kasten: es liegen unendlich viele Zustände vor, und zwar mit mit unbeschränktem Spektrum; woher soll eine nach oben beschränkte Energie stammen, wenn nicht entweder künstlich oder durch eine physikalische Theorie?

Ich denke, das liegt auf der Hand, also, zumindest bei der Messung.
Weil unendlich viel Energie in einem endlichen Universum nicht möglich ist, muss die Gesamtenergie endlich sein. Für endliche Energie kann es aber nicht unendlich viele Zustände geben, weil bei Erhöhung der Hauptquantenzahl die Energie immer weiter ansteigt.

Wieso?

Im harmonischen Oszillator haben wir die Energieeigenwerte

E_n = n + 1/2

Das Spektrum ist unbeschränkt.

1) Nun kann sich das System jedoch in einem Eigenzustand |n> mit endlicher Energie E_n < ∞ befinden.

2) Wenn wir uns einen thermischen Zustand ansehen, d.h. einen gemischten Zustand, dann sind für β = 1/T mit endlicher Temperatur T die Besetzungswahrscheinlichkeiten p_n der Zustände |n> gegeben durch

p_n = e^-βE_n

Sowohl Entropie S als euch Energie E sind endlich

S(β) = ∑_n p_n ln(p_n)

E(β) = - ∂_β S(β)

...die Verwendung ebener Wellen ist teilweise praktischer, jedoch nicht zwingend erforderlich.

Vielleicht ist es mir nur nicht bewusst, aber ich glaube, ich habe noch nie eine nicht mit ebenen Wellen konstruierte Wellenfunktion gesehen. Wie geht das?

Nimm' einen Hilbertraum H und einen auf H selbstadjungierten Operator D; im Falle ebener Wellen wäre das z.B. der Impulsoperator -i∇_x oder der Laplaceoperator -Δ = -∇²; im Falle des harmonischen Oszillators oder anderer Probleme hätte D eine allgemeinere Form wie

D = -Δ + V(x)

Nun bestimme die Eigenfunktionen u_n sowie die Eigenwerte λ_n

(D - λ_n) u_n(x) = 0

Ein Theorem der Funktionalanalysis garantiert, dass die Eigenfunktionen u_n ein vollständiges Orthonormalsystem bilden, d.h. dass gilt:

(1) ∑_n u^*_n(x) u_n(x) = 1

(2) ∫dx u^*_m(x) u_n(x) = δ_mn

Die erste Gleichung beschreibt die Vollständigkeit, die zweite die Orthonormiertheit. Zusammen stellen sie sicher, dass die u_n eine Hilbert-Basis darstellen.

Wenn du Lust hast, kannst du diese Beziehungen für die Eigenfunktionen = die Hermitefunktionen H_n(x) des harmonischen Oszillators nachprüfen.

Dass die Basis durch einen diskreten Index nummeriert werden kann hat etwas mit der Separabilität des Hilbertraumes zu tun sowie mit der Selbstadjungiertheit von D auf H. Letzteres ist im Falle der ebenen Wellen subtiler, deswegen erhält man einen "kontinuierlichen Index" k und in der Gleichung (1) ein Integral anstelle der Summe.

Die Darstellung einer beliebigen Funktion f(x) aus H gelingt mittels Projektion von f auf die Basis u_n(x), d.h. durch Berechnung der Koeffizienten (= der Koordinaten bzgl. der Basis)

f_n = ∫dx u^*_m(x) f(x)

Die Darstellung von f(x) in der Basis der u_n(x) lautet

f(x) = ∑_n f_n u_n(x)

D.h. dass jede Funktion aus H mittels eines vollständigen und orthoniermierten Funktionensystems u_n dargestellt werden kann. Im Falle des Hilbertraumes der quadratintegrablen Funktionen über den reellen Zahlen sind die o.g. Hermitefunktionen ein derartiges Funktionensystems. D.h. jede quadratintegrable Funktion kann als eine derartige Summe über die Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators dargestellt werden.

Wenn man sich mal daran gewöhnt und ein paar Subtilitäten bzgl. unendlicher Summen, Selbstadjungiertheit usw. verstanden hat, dann ist das letztlich wie lineare Algebra mit unendlich-dimensionalen Vektoren und Matrizen. Die Bra-Ket-Notation ist nichts anderes.

[positronium]

Im harmonischen Oszillator haben wir die Energieeigenwerte

E_n = n + 1/2

Ja, aber das

Das Spektrum ist unbeschränkt.

würde ich im beschränkten Universum nicht sagen.
Im unbeschränkten Universum kann man natürlich nur über eine Energiedichte sprechen; im beschränkten muss aber die Gesamtenergie E_ges<∞ gelten. Wäre E_ges=∞ müssten sich bei Gleichverteilung der Energie alle Zustände im Maximum befinden, und damit wäre ein solches Universum unsinnig.
Dann gibt es zwei Möglichkeiten:
1. Die Messung ergibt E_n<=E_ges<∞.
2. Das System befindet sich in einem unbeobachteten Zustand, mit z.B. E_ges=10 und so etwas: |system>=2/10|10>+1/10|80>
Nur ersteres wäre beobachtbar, also das beobachtbare Spektrum beschränkt; ob das unbeobachtbare, das tatsächlich bis n=∞ reichen kann, real ist, weiss man nicht.

Aber vielleicht verstehe ich es nur nicht?

...die Verwendung ebener Wellen ist teilweise praktischer, jedoch nicht zwingend erforderlich.

Vielleicht ist es mir nur nicht bewusst, aber ich glaube, ich habe noch nie eine nicht mit ebenen Wellen konstruierte Wellenfunktion gesehen. Wie geht das?

Nimm' einen Hilbertraum H und einen auf H selbstadjungierten Operator D; im Falle ebener Wellen wäre das z.B. der Impulsoperator -i∇_x oder der Laplaceoperator -Δ = -∇²; im Falle des harmonischen Oszillators oder anderer Probleme hätte D eine allgemeinere Form wie

D = -Δ + V(x)

Nun bestimme die Eigenfunktionen u_n sowie die Eigenwerte λ_n

(D - λ_n) u_n(x) = 0

Vielen Dank für die Erklärung! (Ich bereue es wieder einmal, keine Mathematik-Ausbildung zu haben.)
Du schreibst hier λ_n. Rein intuitiv würde ich aber im Fall freier Teilchen davon ausgehen, dass diese Eigenwertgleichung für λ kein diskretes Spektrum ergibt. Wie kommst Du auf den Index n?

[tomS]

Im harmonischen Oszillator haben wir die Energieeigenwerte

E_n = n + 1/2

Ja, aber das

Das Spektrum ist unbeschränkt.

würde ich im beschränkten Universum nicht sagen.

Aber das ist doch da selbe.

Das Spektrum des Hamiltonoperators = die Menge der Energieeigenwerte bezeichnet die erlaubten Zustände, nicht die besetzten Zustände, und diese Energieeigenwerte sind gem. der QM in endlichen Systemen nach oben unbeschränkt.

... muss aber die Gesamtenergie E_ges<∞ gelten.

Ja, das ist physikalisch sinnvoll; es widerspricht jedoch nicht einem unbeschränkten Spektrum.

Wäre E_ges=∞ müssten sich bei Gleichverteilung der Energie alle Zustände im Maximum befinden, und damit wäre ein solches Universum unsinnig.

Vorsicht, jetzt begehst du du Denkfehler:

Zunächst mal ist das Universum ein geschlossenes Quantensystem und befindet sich daher in einem reinen Zustand, nicht in einem gemischten. Dann verstehe ich nicht, warum das Maximum eingenommen werden soll. Ich verstehe auch nicht, warum - einen gemischten Zustand vorausgesetzt - Gleichverteilung vorliegen soll; warum nicht ein thermischer Zustand? In einem thermischen Zustand ist der Erwartungswert E endlich, obwohl das Spektrum unbeschränkt ist.

Vielen Dank für die Erklärung!

Gerne.

Btw.: Hawking wendet gerade das bei dem nach ihm benannten Effekt an. Lies dir mal meinem Absatz in der Wikipedia durch.

Du schreibst hier λ_n. Rein intuitiv würde ich aber im Fall freier Teilchen davon ausgehen, dass diese Eigenwertgleichung für λ kein diskretes Spektrum ergibt. Wie kommst Du auf den Index n?

Ich betrachte mit D nicht unbedingt den Hamiltonoperator, und ich betrachte nicht unbedingt das freie Teilchen. Damit sind die Eigenwerte λ auch nicht die Energieeigenwerte. Letzteres ist - wie ich oben schon sagte - ziemlich subtil. Der Hamiltonoperator des freien Teilchens hat über der Grundmenge R kein diskretes Spektrum, da die ebenen Wellen keine Elemente des betrachteten Hilbertraumes sind; genauer: sie liegen in seinem Abschluss. Einfacher wäre das ganze über einem endlichen Intervall [0,L] der Länge L.

Es ging mir nur darum, der Behauptung entgegenzutreten, dass in einem unendlichen Universum kontinuierliche Zustände vorliegen müssen; dies ist bei den Energieeigenwerten der Fall, jedoch nur, weil man sozusagen ungeschickt arbeitet. Wenn man eine andere, besser geeignete Basis wählt, dann kann man mit rein diskreten Zuständen argumentieren, die dann jedoch keine Energieeigenzustände sind.

[positronium]

Im harmonischen Oszillator haben wir die Energieeigenwerte

E_n = n + 1/2

Ja, aber das

Das Spektrum ist unbeschränkt.

würde ich im beschränkten Universum nicht sagen.

Aber das ist doch da selbe.

Doch nur, wenn man die Definitionsmenge E_n Element R, ohne Einschränkung annimmt. Wenn im Universum nur begrenzt Energie vorhanden ist, gilt zusätzlich: E_n <= E_ges

Das Spektrum des Hamiltonoperators = die Menge der Energieeigenwerte bezeichnet die erlaubten Zustände, nicht die besetzten Zustände, und diese Energieeigenwerte sind gem. der QM in endlichen Systemen nach oben unbeschränkt.

Gemäss der QM schon. Die QM befasst sich doch aber nicht mit dem Universum als ganzem; sie lässt diesen Teil offen.

Wäre E_ges=∞ müssten sich bei Gleichverteilung der Energie alle Zustände im Maximum befinden, und damit wäre ein solches Universum unsinnig.

Vorsicht, jetzt begehst du du Denkfehler:

Zunächst mal ist das Universum ein geschlossenes Quantensystem und befindet sich daher in einem reinen Zustand, nicht in einem gemischten. Dann verstehe ich nicht, warum das Maximum eingenommen werden soll.

Nehmen wir an, ein beschränktes Universum bestünde aus nur einem harmonischen Oszillator. Gälte E_ges=∞, dann wäre E_n=∞ und n=∞. Das meinte ich mit dem Maximum. Ähnlich dürfte es aussehen, wenn man zwei solcher harmonischer Oszillatoren hätte, nur landet man dann bei einer Unendlichkeitsbetrachtung. Ich weiss nicht, ob sich das irgendwie auflösen liesse. Ich vermute, dass gelten würde: E_ges=∞, E1_n=∞, E2_n=∞. Das wäre auch sinnlos. Ich weiss nicht, wie man von der Gleichverteilung weg kommen könnte, weil die Summe aller Energie gleich unendlich sein müsste.

Btw.: Hawking wendet gerade das bei dem nach ihm benannten Effekt an. Lies dir mal meinem Absatz in der Wikipedia durch.

Den de.wikipedia.org/wiki/Hawking-Strahlung? Das verstehe ich leider alles nicht.

[tomS]

Doch nur, wenn man die Definitionsmenge E_n Element R, ohne Einschränkung annimmt. Wenn im Universum nur begrenzt Energie vorhanden ist, gilt zusätzlich: E_n <= E_ges

Man nimmt nicht irgendetwas an.

Man löst die Schrödingergleichung, daraus folgen die Energieeigenwerte E_n, d.h. die erlaubten Energieeigenzustände.

Gemäss der QM schon. Die QM befasst sich doch aber nicht mit dem Universum als ganzem; sie lässt diesen Teil offen.

Warum sollte das so sein?

Es gibt doch Ansätze zur Quantengravitation, die genau das tun, die LQG zum Beispiel.

Interessanterweise liefert die LQG nur einen einzigen erlaubten Eigenwert des Hamiltonoperators, nämlich Null.

Nehmen wir an, ein beschränktes Universum bestünde aus nur einem harmonischen Oszillator. Gälte E_ges=∞, dann wäre E_n=∞ und n=∞. Das meinte ich mit dem Maximum.

Der harmonische Oszillator hat die Eigenwerte E_n = n + 1/2. Befindet er sich in einem Eigenzustand, so könnte man die Energie direkt ablesen. Und ja, sie wäre wohl sinnvollerweise endlich.

Irgendwie verstehe ich dein Problem nicht.

Ähnlich dürfte es aussehen, wenn man zwei solcher harmonischer Oszillatoren hätte, nur landet man dann bei einer Unendlichkeitsbetrachtung. Ich weiss nicht, ob sich das irgendwie auflösen liesse. Ich vermute, dass gelten würde: E_ges=∞, E1_n=∞, E2_n=∞. Das wäre auch sinnlos. Ich weiss nicht, wie man von der Gleichverteilung weg kommen könnte, weil die Summe aller Energie gleich unendlich sein müsste.

Ich verstehe dein Problem wirklich nicht. Was genau ist die Frage?

[positronium]

Gemäss der QM schon. Die QM befasst sich doch aber nicht mit dem Universum als ganzem; sie lässt diesen Teil offen.

Warum sollte das so sein?

Es gibt doch Ansätze zur Quantengravitation, die genau das tun, die LQG zum Beispiel.

OK, damit kenne ich mich überhaupt nicht aus. Ich bezog mich rein auf die nicht-relativistische QM, ohne Betrachtung der ART.

Der harmonische Oszillator hat die Eigenwerte E_n = n + 1/2. Befindet er sich in einem Eigenzustand, so könnte man die Energie direkt ablesen. Und ja, sie wäre wohl sinnvollerweise endlich.

Darum ging es mir.


Ich würde gerne noch einmal auf Deine obige Erklärung zurück kommen, und das besser verstehen. Du hattest geschrieben:

D.h. dass jede Funktion aus H mittels eines vollständigen und orthoniermierten Funktionensystems u_n dargestellt werden kann. Im Falle des Hilbertraumes der quadratintegrablen Funktionen über den reellen Zahlen sind die o.g. Hermitefunktionen ein derartiges Funktionensystems. D.h. jede quadratintegrable Funktion kann als eine derartige Summe über die Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators dargestellt werden.

Wenn man das für den harmonischen Oszillator macht, sind dann tatsächlich alle quadratintegrablen Funktionen so darstellbar, oder nur solche, die im harmonischen Oszillator vorkommen können? - Letzteres erscheint mir wegen der Verwendung des Operators als direkt einsichtig, aber ersteres klingt wie Zauberei.