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Frage zur Hawking Strahlung

Schwarze Löcher, wohl die mysteriösesten Objekte im All: Entstehung, Geometrie, Dynamik, Quantenaspekte
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Frage zur Hawking Strahlung

Beitrag von Christoph » 28. Jun 2015, 11:09

Hallo,
wenn ich das richtig verstanden habe, dann entstehen ja Teilchen und Antiteilchen und eines der beiden wird dann ins Loch gesaugt und das andere wird als Strahlung emittiert. Durch die dabei freigesetzte pot. Energie (?) verliert das schwarze Loch an masse. Meine Frage ist aber die: Nach der Quantenphysik kann man nicht vorhersagen, wann dieser Prozess passiert, also ist doch die Zeit, wann ein Schwarzes Loch verdampft ist, eigentlich total falsch. Und durch die Quantenverschränkung übertragene Informationen könnten doch rein theoretisch auch nicht herauskommen. Die Information müsste ja raus, aber aus dem SL kommt nix raus. Hoffentlich könnt ihr mir helfen.
Gruß
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Re: Frage zur Hawking Strahlung

Beitrag von tomS » 28. Jun 2015, 22:59

Warum soll man diese Zeit nicht bestimmen können?

Man berechnet das nicht für einzelne Teilchen, sondern für ein statistisches Ensemble.
Gruß
Tom

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Re: Frage zur Hawking Strahlung

Beitrag von Christoph » 29. Jun 2015, 16:17

und meine zweite frage?
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Re: Frage zur Hawking Strahlung

Beitrag von tomS » 29. Jun 2015, 16:53

Du meinst die Quantenverschränkung?

Das ist ein offenes Problem - eines DER Probleme schlechthin.

Die Hawkingstrahlung ist thermisch, d.h. sie trägt keine Information außer der Temperatur. Der Zustand vor dem Kollaps trägt jedoch eine komplexe Information, die nach Hawkings Rechnung veloren zu gehen scheint (Informationsparadoxon), was nach den Regeln der QM verboten ist. Es sieht so aus als ob das SLs die Unitarität verletzten.

Dazu gibt es mehrere Überlegungen (siehe auch Firewall), die jedoch allesamt noch unbefriedigend sind. Man geht heute davon aus, dass eine vollständige Theorie der Quantengravitation die Unitarität respektitert, Korrekturen zur Hawkingstrahlung liefert und somit die Information erhält.
Gruß
Tom

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Re: Frage zur Hawking Strahlung

Beitrag von Christoph » 29. Jun 2015, 20:28

Mit anderen Worten also, wenn ein Schwarzes Loch entsteht, dann ist da Information, diese jedoch geht nach Hawking dann verloren? Da ist was falsch. Wäre es nicht einfach besser, indem eine Information durch eine 4. Raumdimension heraustransportiert wird? Ähnlich der Kaluza Klein Theorie mit der Dimension?
Gruß
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Re: Frage zur Hawking Strahlung

Beitrag von Marcel » 29. Jun 2015, 21:40

Die Information geht nicht verloren, das ist ein Widerspruch zum Erhaltungssatz ^^ Sie wird halt dann absorbiert im SL, ist sie jedoch demnach noch enthalten.
Die frage ist, was passiert im SL mit der Information. Ob sie dann durch höhere Raumdimensionen in den Raum geht mag ich bezweifeln zum einen, da es bisher keinen nachweis für höhere Dimensionen gibt, und zum anderen, weil Information ein Trägermedium (Photonen Bosonen etc.) brauchen. Eins ist sicher, was in einem SL passiert ist eine ganz spannende Sache, doch werden wir das in nächster Zeit wohl noch nicht beantworten können. Vielleicht, wenn man die Quantenverschränkung besser verstanden hat, kann man schauen ob es möglich ist Informationen aus dem EH zu kitzeln.
@TomS. Ein Kollege hat mir letztens erzählt, dass die Information nicht verloren geht sonder auf Defrakrtionsbahnen(Was auch immer das sein soll) gespeichert sein könnte. Bei einer eventuellen Umkehrung des SL zu einem WL (Quasi der absoluten Zerstrahlung der Singularität) könnten diese Informationen ausgestoßen werden.
Mit freundlichen Grüßen
Marcel

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Re: Frage zur Hawking Strahlung

Beitrag von tomS » 29. Jun 2015, 23:57

Christoph hat geschrieben:Mit anderen Worten also, wenn ein Schwarzes Loch entsteht, dann ist da Information, diese jedoch geht nach Hawking dann verloren? Da ist was falsch.
Na ja, da waren sich die Physiker jahrzehntelang nicht wirklich sicher.
Christoph hat geschrieben:MitWäre es nicht einfach besser, indem eine Information durch eine 4. Raumdimension heraustransportiert wird? Ähnlich der Kaluza Klein Theorie mit der Dimension?
Nicht spekulieren!

Information im hier vorliegenden Sinn ist nichts materielles oder energetisches, was in einen anderen Raumbereich transportiert werden kann. Räumliche Dimensionen sind in der QM nicht fundamental. Und ob es höhere Dimensionen wirklich gibt ist alles andere als erwiesen.

Ich hatte oben von "Verletzung der Unitarität" gesprochen; das ist der mathematisch sauber definierte Begriff.
Gruß
Tom

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Re: Frage zur Hawking Strahlung

Beitrag von tomS » 30. Jun 2015, 00:03

Marcel hat geschrieben:Die Information geht nicht verloren, das ist ein Widerspruch zum Erhaltungssatz
Was ist denn das für ein Erhaltungssatz?
Marcel hat geschrieben:sie wird halt dann absorbiert im SL, ist sie jedoch demnach noch enthalten.
Das ist auch die Überzeugung der Physiker, aber nach dem Bild der Hawkingstrahlung wäre das eben falsch.
Marcel hat geschrieben:Die frage ist, was passiert im SL mit der Information. Ob sie dann durch höhere Raumdimensionen in den Raum geht mag ich bezweifeln zum einen, da es bisher keinen nachweis für höhere Dimensionen gibt, und zum anderen, weil Information ein Trägermedium (Photonen Bosonen etc.) brauchen.
Nicht spekulieren ...

Marcel hat geschrieben:Ein Kollege hat mir letztens erzählt, dass die Information nicht verloren geht sonder auf Defrakrtionsbahnen(Was auch immer das sein soll) gespeichert sein könnte. Bei einer eventuellen Umkehrung des SL zu einem WL (Quasi der absoluten Zerstrahlung der Singularität) könnten diese Informationen ausgestoßen werden.
Du solltest nicht alles glauben, was die Kollegen so erzählen ...
Gruß
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Re: Frage zur Hawking Strahlung

Beitrag von Christoph » 30. Jun 2015, 05:40

er meint glaube den Informationserhaltungssatz.
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Re: Frage zur Hawking Strahlung

Beitrag von tomS » 30. Jun 2015, 06:45

Wie soll der definiert sein?
Gruß
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Re: Frage zur Hawking Strahlung

Beitrag von Marcel » 30. Jun 2015, 09:22

tomS hat geschrieben:
Marcel hat geschrieben:Die Information geht nicht verloren, das ist ein Widerspruch zum Erhaltungssatz
Was ist denn das für ein Erhaltungssatz?
Wo soll die Information denn hin verschwinden? Information verhält sich doch ähnlich wie Energie, oder sehe ich das falsch?
tomS hat geschrieben:
Marcel hat geschrieben:Die frage ist, was passiert im SL mit der Information. Ob sie dann durch höhere Raumdimensionen in den Raum geht mag ich bezweifeln zum einen, da es bisher keinen nachweis für höhere Dimensionen gibt, und zum anderen, weil Information ein Trägermedium (Photonen Bosonen etc.) brauchen.
Nicht spekulieren ...
Wo spekuliere ich?
tomS hat geschrieben:
Marcel hat geschrieben:Ein Kollege hat mir letztens erzählt, dass die Information nicht verloren geht sonder auf Defrakrtionsbahnen(Was auch immer das sein soll) gespeichert sein könnte. Bei einer eventuellen Umkehrung des SL zu einem WL (Quasi der absoluten Zerstrahlung der Singularität) könnten diese Informationen ausgestoßen werden.
Du solltest nicht alles glauben, was die Kollegen so erzählen ...
Ich weiß, darum bringe ich es zur Ansprache, damit wir es möglicherweise klären können.
Mit freundlichen Grüßen
Marcel

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Re: Frage zur Hawking Strahlung

Beitrag von seeker » 30. Jun 2015, 11:26

Hier mal, worum es geht:
http://www.spektrum.de/news/feuertaufe- ... ip/1192894
http://www.pro-physik.de/details/news/5 ... _Loch.html

Und hier findet man eine Liste von Lösungsvorschlägen:
http://www.heise.de/tp/artikel/40/40217/1.html

Dann muss man den begriff "Informationserhaltung" näher beleuchten, denn so etwas gibt es eigentlich gar nicht, nicht in dem Sinne wie z.B. "Energieerhaltung" oder "Impulserhaltung".
Was es gibt bzw. wovon man als sehr wichtige Grundannahme ausgeht ist die Unitarität und dass die von der Natur nicht gebrochen wird:
http://www.spektrum.de/lexikon/astronom ... ritaet/503
http://www.teilchen.at/news/132

Das bedeutet (soweit ich das verstehe) salopp, dass sich die Welt (der Wahrscheinlichkeiten) nach den Regeln der Quantentheorie kontinuierlich entwickelt und keine akausalen Sprünge macht.
Dass also ein jetziger Q-Zustand B im Prinzip auf einen früheren Q-Zustand A (aus dem er sich entwickelt hat) eindeutig zurückführbar ist: Aus einem reinen Q-Zustand kann sich kein echt-gemischter Q-Zustand entwickeln.

Sollte sich wieder Erwarten dennoch herausstellen, dass die Unitarität irgendwo im Universum verletzt wird, wäre das mehr als bedeutend.

Grüße
seeker
Grüße
seeker


Mache nie eine Theorie zu DEINER Theorie!
Denn tut man das, so verliert man zumindest ein Stück weit seine Unvoreingenommenheit, Objektivität.

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Re: Frage zur Hawking Strahlung

Beitrag von tomS » 30. Jun 2015, 12:19

Wahrscheinlich war es ungeschickt, dass die Physiker hier überhaupt den Begriff "Information" verwendet haben, den der ist schon vorbesetzt und jeder hat dabei eine ganz bestimmte Vorstellung.

Ich versuche, das ganze mal im Kontext der Quantenmchanik darzustellen:


1) Die Quantenmechanik besagt, dass die Zeitentwicklung eines Quantenzustandes der Schrödingergleichung gehorcht. Daraus folgt, dass ein sogenannter unitärer Zeitentwicklungsoperator U(t',t) existiert, der den Zustand |u,t> in einen Zustand |u,t'> zu einem späteren Zeitpunkt t' > t überführt:

|u,t'> = U(t',t) |u,t>

Wichtig ist, dass der Operator invertierbar ist, d.h.

U[up]-1[/up](t',t) = U(t,t')

Daraus folgt nun, dass gemäß der Quantenmechanik die Zeitentwicklung eines Zustandes deterministsich und invertierbar ist! Wenn ich einen Zustand |u,t> habe, dann kann ich exakt berechnen, wie der Zustand |u,t'> zu einem späteren Zeitpunkt aussehen wird. Und umgekehrt: wenn ich eine Zustand |u,t'> kenne, dann kann ich exakt berehcnen, welcher Zustand |u, t> zu einem früheren Zeitpunkt vorlag.

Das ist ein fundamentales Prinzip der Quantenmechanik. Sozusagen eine Art heiliger Gral derselben.


2) Nun zur Hawkingstrahlung: Dabei betrachtet man eine Materieverteilung, die unter dem Einfluss ihrer eigenenr Gravitation zu einem SL kollabiert. Anschließend betrachtet man die Evaporation des SLs über Hawkingstrahlung, so dass zu jedem Zeitpunkt t ein Quantenzustand vorliegt, der einer thermische Strahlung mit Temperatur T entspricht. Das folgende ist mathematich nicht exakt, aber darauf kommt es nicht an

Wir gehen aus von |u,t> vor dem Kollaps. Dieses |u,t> ist ein hochkomplexer Zustand (ein Stern), der durch unzählige Variablen (je Freiheitsgrad) beschrieben wird.
Wir landen bei einem "Zustand" |u,t') nach dem Kollaps. Dieses |u,t') ist ein extrem einfacher Zustand, der genau durch eine Variable beschrieben wird, nämlich seine Temperatur T.

D.h. der Übergang von |u,t> nach |u,t') kann nicht unitär sein!

Insbs. ist er nicht invertierbar, denn alle Sterne derselben Masse M - obwohl sie im Detail sehr unterschiedlich aufgebaut sind - führen zu einem Zustand mit der selben Temperatur T(M).

Ein sehr einfaches Beispiel: betrachten wir N Teilchen der Masse m mit zwei möglichen Spinorientierungen, symbolisiert duch +-. Für die Gesamtmasse gilt M = Nm. Ich vernachlässige weitere Freiheisgrade (Ort, Impuls, unterschiedliche Teilchensorten, ...). Ein Quantenzustand wäre dann z.B. |+--+-+++--...>. Die Anzahl der möglichen Zustände lautet

Z = 2[up]N[/up]

Alle diese Zustände führen zu einem Quantenzsutand mit identischer Hawklingstrahlung T(M). Diese hat also außer dem "Wissen" über die Masse M im Eingangszustand sämtliche Information über die Spins "vergessen". Daher kann es keinen Operator U(t,t') geben, der diese Übergang zwischen den beiden Zuständen bewirkt, denn dieser wäre invertierbar, die Information müsste dann aber wieder rekonstruierbar sein; ist sie aber nicht!

Die Hawkingstrahlung verletzt also eine der grundlegenden Regeln der QM, nämlich die Unitarität


Zu den Lösungsansätzen später mehr ...
Gruß
Tom

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Re: Frage zur Hawking Strahlung

Beitrag von TheTheorist » 27. Aug 2015, 17:53

Da ich den Post ursprünglich erstellt habe, aber wie gesagt, mein Passwort nicht mehr zurücksetzen konnte, würde ich gerne nochmal was fragen.
Könnte mir jemand eventuell die Hawking-Strahlung erklären? Es scheint so, dass überhaupt keine virtuellen Teilchen im Spiel sind, oder hab ich mich geirrt? Wenn ja, dann ist alles klar. Und ich würde gerne noch wissen, wie die Stringtheorie die Hawking-Strahlung erklärt?
MfG
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Re: Frage zur Hawking Strahlung

Beitrag von tomS » 27. Aug 2015, 22:49

TheTheorist hat geschrieben:Könnte mir jemand eventuell die Hawking-Strahlung erklären?
Meine Erklärung findest du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Hawking-S ... inalarbeit
http://www.physikerboard.de/topic,37758 ... hlung.html
TheTheorist hat geschrieben:Es scheint so, dass überhaupt keine virtuellen Teilchen im Spiel sind
Richtig. Virtuelle Teilchen im Sinne der Störungstheorie kommen bei der Berechnung nicht vor.
TheTheorist hat geschrieben:Und ich würde gerne noch wissen, wie die Stringtheorie die Hawking-Strahlung erklärt
Ich weiß nicht, ob es zur Strahlung eine Berechnung gibt. Ich kenne nur die zur Entropieberechnung.
Gruß
Tom

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Re: Frage zur Hawking Strahlung

Beitrag von TheTheorist » 28. Aug 2015, 15:28

Erstmal vielen Dank!
Und wie geht das mit der Entropie, also das String-Modell? Mathematisch und Physikalisch, wieso es so ist.
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Re: Frage zur Hawking Strahlung

Beitrag von tomS » 28. Aug 2015, 16:05

Die Berechnungen habe ich nie selbst durchgeführt, d.h. ich kann das nicht so detailiert beschreiben wie die Hawkingstrahlung selbst.

Die Idee ist folgende: anstatt eine makroskopische, rein thermodynamische Definition der Entropie S[down]macro[/down] zu suchen, konstruiert man direkt eine mikroskopische Definition S[down]micro[/down], d.h. man "zählt" die mikroskopischen Freiheitsgrade N[down]micro[/down], die einem makroskopischen Zustand (in dem Fall der Raumzeit eines Schwarzen Lochs) entsprechen. Dann ist

S[down]micro[/down] = ln(N[down]micro[/down])

Das kann der Ansatz von Hawking nicht leisten, den dazu benötigt man eine Theorie der Quantengravitation, die die mikroskopische Freiheitsgrade enthält. Die Stzrintheorie bietet hier den Vorteil, dass es nur einen "Typ" von Freiheitsgraden gibt, nämnlich den String (dafür gibt's ein paar andere Nachteile).

Nun macht man folgendes:
man berechnet die makroskopische Bekenstein-Hawking-Entropie für SLs mit definierten (elektrischen und magnetischen) Ladungen;
man identifiziert in der Stringtheoriealle alle stabilen, maximalen, sogenannten BPS-Lösungen, die die selben Ladungen tragen, und "zählt" diese; daraus folgt sofort die o.g. mikroskopische Entropie;
leider sind diese BPS-Lösungen deutlich von denen verschieden, die wir für makroskopischen SLs erwarten;
man argumentiert nun, dass sowohl für makroskopische Lösungen (große SLs schwacher Gravitation / Krümmung am EH) die Berechnung von Hawking als auch für BPS-Lösungen die Berechnung der Stringtheorie gut funktionieren;
desweiteren argumentiert man, dass bestimmte Eigenschaften invariant bleiben, wenn man bestimmte Transformationen auf die Lösungen der Stringtheorie anwendet; insbs. kann man zwar reale, nicht-BPS-Lösungen nicht berechnen (die Gleichungen sind mit den bekannten Näherungsverfahren nicht lösbar), allerdings bleibt die Anzahl der Lösungen unter einer entsprechenden Transformation invariant!
damit argumentiert man, dass die o.g. Berechnung der mikroskopischen Entropie auch für nicht-BPS-Lösungen und damit für reale SLs anwendbar bleibt;

Und tatsächlich - die beiden Berechnungsverfahren liefern die selben Ergebnisse; besser gesagt, die Stringtheorie reproduziert die Bekenstein-Hawking-Entropie in führender Ordnung plus zusätzliche Quantenkorrekturen.
Gruß
Tom

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Re: Frage zur Hawking Strahlung

Beitrag von TheTheorist » 28. Aug 2015, 18:25

Ich erinnere mich, dass die LQG das auch kann.
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Re: Frage zur Hawking Strahlung

Beitrag von tomS » 28. Aug 2015, 18:36

Jein.

Mein letzter Kenntnisstand ist, dass der Wert eines freien Parameters (Immirzi-Parameter) nicht bestimmbar ist. Und dass natürlich kein Bezug zwischen den gravitativen und den Materiefreiheitsgraden besteht.

EDIT: scheint gelöst zu sein:

http://inspirehep.net/record/1111991
Gruß
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Re: Frage zur Hawking Strahlung

Beitrag von deltaxp » 1. Sep 2015, 12:55

Christoph hat geschrieben:er meint glaube den Informationserhaltungssatz.
tomS hat geschrieben:Wie soll der definiert sein?
du würdest das unitarität der streumatrix nennen, tom^^

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Re: Frage zur Hawking Strahlung

Beitrag von deltaxp » 1. Sep 2015, 13:19

tomS hat geschrieben:Dazu gibt es mehrere Überlegungen (siehe auch Firewall), die jedoch allesamt noch unbefriedigend sind. Man geht heute davon aus, dass eine vollständige Theorie der Quantengravitation die Unitarität respektitert, Korrekturen zur Hawkingstrahlung liefert und somit die Information erhält.
und man darf auch nicht vergessen, dass es empirisch extrem schwer nachzuweisen wäre mit der Information. man kann zeigen dass das erste bit Information erst nach Zerstrahlung der hälfte des schwarzen loches sich aus der bis dahin gesamten hawkingstrahlung rekonstruieren lassen müsste (wenn ich das richtig verstanden habe). das macht es für stellare und grössere schwarze löcher schlicht praktisch unmöglich zu überprüfen, ob da eine Abweichung vom thermischen Spektrum in hawking-strahlung vorliegt. man kann ja nicht mal diese selbst messen (10^-40K oder so, das Universum ist viel heisser als das mit 2.7 k. dass heisist, alle stellaren + schwarze löcher fressen sich derzeit den bauch voll, seinan an unglücklicher Materie oder am kosmischen backround strahlungs drink.

in vielleicht 10^60 jahren oder was auch immer kann man da empirisch vielleicht noch nachhaken. die einzige Chance währen mikroskopische schwarze löcher, oder aber sogenannte leichtere primordiale schwarze löcher , die weitab von jeder Materie sind und von denen so einige in der Gegenwart ihr verdampfungsendstadium, wo die meiste info rausfliessen müsste, verdampfen, was man messen könnte. da haben aber astronomen derzeit noch nix gefunden and verdampfungssignaturen.

die informations-paradoxon-schlacht gibt es im Prinzip, seitdem hawking die Strahlung theoretisch sauber entdeckt hat und die hawking bekenstein-Entropie bekannt ist. also seit mitte der 70ger. im rahmen der stringtheorie kann man über das holographische Prinzip die info-Erhaltung beweisen, aber das ist nur eine Konsistenz in einer nicht verifizierten Theorie, weswegen es da da auch viele andere vorschläge gibt (wie etwa Firewall).

aber nach wievor, ist das eine offene frage, auf der sich derzeit die Theoretiker und wohl noch länger die köpfe im übertragen sinne einschlagen werden. eines der grossen ungelösten rätsel der Natur. gute frage also.

aber aufpassen, wenn dir leute irgendein abstruses Gedankengebäude auftischen willen. letzlich muss man es a) in eine kosstente Theorie kleiden, b) durchrechnen können, c) quanitifizierte vorhersagen machen, die man emprirische nachweisen oder widerlegen kann. solange ist es keine Naturwissenschaft im strengen sinne, sondern im besten fall Mathematik (also mathematische in sich konsistente theorie, die aber keien derzeit messbaren grössen liefern kann) und im schlimmsten fall esotherik, und sicher alles andere dazwischen.

stephen hawking hat selbst soweit ich weiss kürzlich ebenfalls ein durchtunneln der Information in ein anderes Universum vorgeschlagen, die durch das schwarze loch verbunden, und/oder durch es gebildet wurde. (manche nehmen ja an, das ein sl ein einiversum erzeugt auf der wl-seite). hier gilt aber das gleiche. theoretisch vielleicht möglich, aber definitiv nicht empirisch überprüfbar, also auch nur eine Idee. und ohne quantengravitation ist die auf bisherigeren getrennten Systemen ART und Quantenmechanik dies auch nur eine Hypothese.

Dieses Thema wird wohl noch so einigen Physikern noch lange Zeit die Köpfe kochen lassen.

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Re: Frage zur Hawking Strahlung

Beitrag von tomS » 1. Sep 2015, 16:44

Ich stimme bei allem zu.

Nur meine ich, sollte man die Kirche beim Dorf lassen und seriöse Wissenschaft von Spekulation trennen. Leider halten sich auf dem Gebiet nicht immer alle Beteiligten daran und überbieten sich mit tollen Stories ...
Gruß
Tom

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Re: Frage zur Hawking Strahlung

Beitrag von Alberich » 9. Dez 2015, 22:00

@TomS
tomS hat geschrieben:Ich stimme bei allem zu.

Nur meine ich, sollte man die Kirche beim Dorf lassen und seriöse Wissenschaft von Spekulation trennen. Leider halten sich auf dem Gebiet nicht immer alle Beteiligten daran und überbieten sich mit tollen Stories ...
Kann man die in Wiki dargestellten Aussagen auch nur ein wenig in Bildsprache übersetzen?
https://de.wikipedia.org/wiki/Hawking-Strahlung
Wenigstens versuchen?
MfG
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Re: Frage zur Hawking Strahlung

Beitrag von tomS » 18. Dez 2015, 23:37

Alberich hat geschrieben:Kann man die in Wiki dargestellten Aussagen auch nur ein wenig in Bildsprache übersetzen?
Der mathematische Teil des Artikels ist von mir ;-)

Eine anschauliche Darstellung enthält meist auch falsche oder irreführende Bilder. In diesem Fall ist das ganz genauso, und es trifft auch auf Hawkings eigene, anschauliche, jedoch in der Sache teilw. nicht korrekte Artikel zu.

Kurz gesagt: nein, ich denke nicht. Sonst hätte ich dazu etwas geschrieben.
Gruß
Tom

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Re: Frage zur Hawking Strahlung

Beitrag von Alberich » 22. Dez 2015, 00:03

Das bedeutet: Man kann sie nicht sehen, man kann sie nicht nachweisen. Man kann sie nur berechnen. Und das können nur wenige Insider.
Ist das so?
MfG
Alberich
Kühner als das Unbekannte zu erforschen, kann es sein, das Bekannte zu bezweifeln
(Alexander von Humboldt)
Denken, statt denken lassen.

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