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Extrapolationen

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ralfkannenberg
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Extrapolationen

Beitrag von ralfkannenberg » 14. Mär 2021, 21:06

Hallo zusammen,

eher zufällig wurde im Thread über Frage zu Photonen das Thema "Extrapolation" angesprochen.

Ich möchte das Thema in einen eigenen Thread auslagern.


Freundliche Grüsse, Ralf

ralfkannenberg
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Re: Extrapolationen

Beitrag von ralfkannenberg » 14. Mär 2021, 21:46

seeker hat geschrieben:
14. Mär 2021, 18:37
@ralfkannenberg:
Damit es klar wird, worum es geht:

Extrapolationen können mathematisch richtig ausgeführt sein (auch unter korrekter Berücksichtigung aller verfügbaren Informationen!), aber als Modellierung der Realität dennoch völlig daneben gehen.
Hallo seeker,

das bestreitet ja auch niemand, es ist einfach so, dass das in der Natur einer Extrapolation liegt.
Denn sonst bräuchte man nicht zu extrapolieren ;)

seeker hat geschrieben:
14. Mär 2021, 18:37
Beispiel: Der Truthahnirrtum
https://www.faz.net/aktuell/feuilleton/ ... 13270.html
Unter dem Truthahn Irrtum versteht man nach Nassim Taleb die irrige Annahme des Truthahns, nachdem ihn der Der Farmer 364 Tage gefüttert hat, er wäre sein Freund. Das war am Tag vor Thanksgiving.
https://www.bernhardschloss.de/blog/truthahn-irrtum/
Eine Funtion vom Typ:

f(n) = 1 für n < N mit n, N in IN
f(n) = 0 für n >= N

ist nunmal ohne Zusatzkenntnisse "schwierig" zu extrapolieren, wenn man nur die ersten n < N Funktionswerte kennt.

seeker hat geschrieben:
14. Mär 2021, 18:37
Der Irrtum besteht darin am Tag 364 auf den Tag 365 zu extrapolieren, in der Annahme, es bliebe alles so wie bisher und es gäbe wieder Futter.
(Wobei die Sicherheit der Richtigkeit der Extrapolation von Anfang an von Tag zu Tag größer wurde, mathematisch exakt fassbar: am Tag 364 war die Vorhersage von Tag 365 die mathematisch sicherste Vorhersage in der gesamten Modellierung!)
Korrekt, dennoch sehe ich den Irrtum ganz woanders: wie definierst Du "mathematisch sicherste Vorhersage" ? Bei der von Dir genannten Vorgehensweise läuft das auf eine oo/oo-Situation hinaus, und nicht darauf, dass man sich darauf verlassen kann, dass eine im Intervall [0, N] konstante Funktion auch für n >= N konstant bleibt. Das einzige, was man tun kann, ist, dass man eine im oben offenen Intervall [0,x) definierte stetige Funktion nach x stetig fortsetzen kann. Aber schon für x+ɛ (ɛ>0) klappt das nicht mehr.

seeker hat geschrieben:
14. Mär 2021, 18:37
Extrapolationen gehen dann daneben, wenn man annimmt, dass die Randbedinungen immer dieselben bleiben würden, das aber nicht der Fall ist oder wenn wesentliche Informationen fehlen, es also Ungewissheit gibt.
Die Ungewissheit ist bei Extrapolationen der Normallfall.

seeker hat geschrieben:
14. Mär 2021, 18:37
Das bedeutet selbstverständlich nicht, dass Extrapolationen immer daneben gehen und es nicht viele gute und sinnvolle gäbe (wer würde so etwas auch glauben?).
Bemerkung: kleiner Schreibfehler von mir korrigiert

Es ist alles richtig, was Du schreibst, ich denke nur, dass der "Defaultwert" ein anderer ist: normalerweise liefert eine Extrapolation einen schlechten Wert, nur in Ausnahmefällen liefert sie einen guten Wert. Es gibt Möglichkeiten, das zu optimieren, dennoch ist man beispielsweise gegen "Phasenübergänge" dabei nicht gefeit, die dann im Allgemeinen zu völlig falsch-extrapolierten Werten führen.

Funktionen, die sich aufschwingen, lassen sich auch sehr schlecht extrapolieren, es sei denn, man weiss, auf welche Art und Weise sie sich aufschwingen, d.h. man hat Zusatzkenntnisse.

Funktionen, die indes "so halbwegs linear" weitergehen, lassen sich zumindest in das Intervall [N, 2N] ohne allzugrossen Fehler extrapolieren, was natürlich oftmals schon sehr hilfreich ist. Aber schon bei Polynomen höheren Grades (d.h. n >=2) muss man aufpassen, weil die (mindestens) ein Extremum im zu extrapolierenden Bereich haben können und dann dort "die Richtung" ändern.

seeker hat geschrieben:
14. Mär 2021, 18:37
Und deshalb IST das Zitat auch witzig. (Wenn man es versteht und auch wenn wie immer nicht jeder lacht. :))
Ja, es ist deswegen witzig, weil man die Extrapolation falsch anwendet und dabei eine Situationskomik auftritt, statt einfach nur o.g. Funktion f(n)=1 für n<N und f(n)=0 für n>=N zu betrachten. Vorteil der witzigen Situation ist natürlich, dass der Sachverhalt anschaulich wird.

seeker hat geschrieben:
14. Mär 2021, 18:37
Bei Extrapolationen in Singularitäten hinein haben wir eben dasselbe Problem, wenn man annimmt, es bliebe bis in die mathematische Singularität hinein auch in der abzubildenden Realität "alles beim alten": Dann führt die Extrapolation zu falschen Ergebnissen.
Auch das ist letztlich so eine "f(n)=1 für n<N und f(n)=0 für n>=N"-Situation.

seeker hat geschrieben:
14. Mär 2021, 18:37
Ich denke allgemein kann man sagen:
Man kann bei Modellierungen niemals beliebig weit extrapolieren und dann noch erwarten ein richtiges Ergebnis zu erhalten! Es gibt immer irgendwo eine Grenze, ab der es nicht mehr funktioniert.
Ich wiederhole mich: es ist alles richtig, was Du schreibst, aber es muss einem bewusst sein, dass eine Extrapolation nur in wohldefinierten Ausnahmesituationen ein innerhalb einer vorher festgelegten Toleranz richtiges Ergebnis liefern kann.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Extrapolationen

Beitrag von seeker » 15. Mär 2021, 05:59

ralfkannenberg hat geschrieben:
14. Mär 2021, 21:46
es ist alles richtig, was Du schreibst, aber es muss einem bewusst sein, dass eine Extrapolation nur in wohldefinierten Ausnahmesituationen ein innerhalb einer vorher festgelegten Toleranz richtiges Ergebnis liefern kann.
Du meinst "sowieso" und es geht hier bei Modellationen eher um "gute" Ergebnisse, nicht um "richtige".
Mein Punkt war, dass Extrapolationen in vielen Fällen gute Ergebnisse liefern, nicht nur in Ausnahmesituationen - dass es aber auch Situationen gibt, wo sie schlechte Ergebnisse liefern, also versagen, besonders dann, wenn man die Modellgrenzen zu optimistisch bzw. unrealistisch einschätzt.
Grüße
seeker


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Re: Extrapolationen

Beitrag von ralfkannenberg » 15. Mär 2021, 10:05

seeker hat geschrieben:
15. Mär 2021, 05:59
also versagen, besonders dann, wenn man die Modellgrenzen zu optimistisch bzw. unrealistisch einschätzt.
Hallo seeker,

eine Extrapolation kommt ja dann zum Einsatz, wenn man über die Modellgrenzen hinausgeht.

Abschätzungen innerhalb der Modellgrenzen gibt es auch, das sind dann ja Interpolationen, beispielsweise bei der Spline- oder Latteninterpolation, bei der man gewisse energetische Minima der Physik in die Sprache der Mathematik übersetzt und dann daraus eine Interpolation herleitet.

Hinausgehen über die Modellgrenzen hinaus ist letztendlich immer ein Rätselraten. - In der Mathematik ist jenseits einer Modellgrenze ohnehin Feierabend, sprich "undefiniert" und da macht sich auch kein Mathematiker mehr die Finger mit schmutzig - Ausnahme ist die stetige Fortsetzung, also von einer offenen Menge zu ihrem Rand, wenn am Rand definierte Randpunkte vorliegen.

So gibt es mathematisch-zulässige Situationen, bei denen beispielsweise bei einer im Intervall [0,1] definierten Funktion f(x)=1 wenn x rational und f(x)=0 wenn x irrational gilt.

Kleiner Exkurs: Oder wer gerne die Quadratwurzel aus 2 dabei haben möchte eben f(x)=1 wenn x in IQ(√2) und f(x)=0 wenn x in IR\IQ(√2) gilt. - Oder wer gerne auch die Wurzeln höheren Grades dabei haben möchte eben f(x)=1 wenn x reell-algebraisch und f(x)=0 wenn x reell-transzendent gilt. Aber so etwas kommt in der physikalischen Praxis eben normalerweise nicht vor.

Man hofft also, dass in der Praxis "schönere" Funktionen vorkommen, die man dann jenseits der Modellgrenzen, wenigstens solange man halbwegs in der Nähe bleibt, abschätzen kann, beispielsweise indem man konstant extrapoliert ("0.Näherung"), d.h. annimmt, dass jenseits der Modellgrenze derselbe Wert f(Rand) wie am Modellrand gültig ist, oder linear extrapoliert ("1.Näherung"), d.h. annimmt, dass jenseits der Modellgrenze dieselbe Steigung f'(Rand) wie am Modellrand gültig ist, man also gewissermassen eine Tangente weitergeht, oder quadratisch extrapoliert ("2.Näherung"), d.h. annimmt, dass jenseits der Modellgrenze dieselbe Krümmung f"(Rand) wie am Modellrand gültig ist, man also gewissermassen den Kreisbogen weitergeht, oder eben diverse andere Extrapolierungen.

Wenn es gelingt, die Extrapolation gut genug zu "dämpfen", dass die also nicht irgendwohin völlig ausschlägt, was bei Polynomen schon ab Grad 2, also ab quadratischen Extrapolationen, passieren kann, dann hat man durchaus gute Chancen, bis zum doppelten Bereich jenseits der Modellgrenze halbwegs brauchbar extrapolieren zu können. Bei einem Phasenübergang indes klappt das typischerweise gar nicht.

An sich ein ganz spannendes Thema, gute Extrapolationen zu finden, ich habe mich damit aber (leider) nie ausführlicher beschäftigt, das ist wohl eher etwas für die Numeriker.

Ich habe einmal vor vielen Jahren beruflich etwas extrapoliert und da auch verschiedene Extrapolationen ausprobiert, das war aber letztlich ein Desaster; bis zum doppelten Abstand klappte das gar nicht schlecht, aber jenseits ist das Zeugs zum Teil komplett weggeschwungen, und eine Extrapolation mit einer cleveren Exponentialfunktion hat überhaupt nicht geklappt. Mein Chef war aber ganz happy und in der Anwendung war es damals völlig genügend, doppelt so viel weiter extrapolieren zu können.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Extrapolationen

Beitrag von Herr5Senf » 15. Mär 2021, 12:36

... bevor man zur Extrapolation "greift", muß man doch erst prüfen, ob die Approximation schlüssig ist und das hergibt :verygood:

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Re: Extrapolationen

Beitrag von ralfkannenberg » 15. Mär 2021, 13:16

Herr5Senf hat geschrieben:
15. Mär 2021, 12:36
... bevor man zur Extrapolation "greift", muß man doch erst prüfen, ob die Approximation schlüssig ist und das hergibt :verygood:
Hallo Herr Senf,

selbstverständlich, nur: wie ?


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Extrapolationen

Beitrag von seeker » 15. Mär 2021, 13:36

ralfkannenberg hat geschrieben:
15. Mär 2021, 10:05
eine Extrapolation kommt ja dann zum Einsatz, wenn man über die Modellgrenzen hinausgeht.
Nö, das würde ich so nicht formulieren. Sie kommt zum Einsatz, wo man über die verfügbaren Daten hinausgeht, nicht über das Modell selber (Datengrenze ist ungleich Modellgrenze), denn mathematisch kannst du deine Modellgrenzen zunächst ja beliebig weit wählen. Z.B. bei Prognosen, aber auch bei der Modellierung von einem Prozess (ich mache das oft). Bei letzterem muss man wissen (bzw. ggf. testen), wie weit man extrapolieren darf, bzw. wie weit das noch vertrauenswürdig ist und ab wann es kippt. Dazu muss man sich auch über die Fehler (insbes. die verschiedenen Messfehler: systematisch, zufällig, Varianz, usw.) einigermaßen Klarheit verschaffen. Es gibt dabei auch oft einen Sweetspot, wo das Modell sehr gut passt und außen herum dann weniger, aber immer noch ausreichend und noch weiter außen dann für die Tonne.

Beispiele:
  • Wenn die Maschine in meinem Prozess eine Leitungszufuhr von 16 kW Leistung bringt und mehr auch nicht in die Kiste reingeht, macht es keinen Sinn per Modell 50 kW zu berechnen.
  • Wenn meine Maschine eine Genauigkeit bei der Leistungsabgabe von +-100 Watt hat, macht es keinen Sinn im Modell +-1 Watt zu berechnen. Ebensowenig Sinn macht es genauer zu modellieren als ich messen kann.
  • Wenn ich die Bevölkerungsentwicklung von Deutschland voraussagen möchte, macht es keinen Sinn vorhersagen zu wollen, also zu modellieren, wie viele Einwohner Deutschland in 200 Jahren haben wird. Und zwar recht unabhängig davon, wie viele Daten und welche Rechenkapazität ich habe, weil in einem solchen Zeitraum Dinge geschen werden, die nicht vorhersehbar sind.
ralfkannenberg hat geschrieben:
15. Mär 2021, 10:05
Abschätzungen innerhalb der Modellgrenzen gibt es auch
Ja. Das mache ich, wenn ich Datenpunkte habe und eine fittende Linie auswähle und da dann durch ziehe und damit vorhersage, was das System zwischen den zwei schon bekannten Datenpunkten machen wird, wenn du so etwas meinst.
ralfkannenberg hat geschrieben:
15. Mär 2021, 10:05
Hinausgehen über die Modellgrenzen hinaus ist letztendlich immer ein Rätselraten.
Ist es nicht, wenn man sich nicht zu weit vorwagt und weiß, was man tut. Man muss eben die Vertrauenswürdigkeit abschätzen können, ggf. nachtesten.

Es handelt sich hier nicht nur um reine Mathematik oder ein rein mathematisches Problem, wenn wir von der Modellierung von realen Prozessen sprechen!
ralfkannenberg hat geschrieben:
15. Mär 2021, 10:05
An sich ein ganz spannendes Thema, gute Extrapolationen zu finden, ich habe mich damit aber (leider) nie ausführlicher beschäftigt, das ist wohl eher etwas für die Numeriker.
Über die Güte von Fittings wird in dem ersten Video, das ich im Thread "Risikokompetenz" verlinkt habe, auch gesprochen, mit interessantem Ergebnis (ca. ab Minute 55).
Grüße
seeker


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Re: Extrapolationen

Beitrag von ralfkannenberg » 15. Mär 2021, 13:54

seeker hat geschrieben:
15. Mär 2021, 13:36
Über die Güte von Fittings
Hallo seeker,

in diesem Zusammenhang erinnere ich mich an den "best guess" des 80 km grossen Kometen, der da möglichweise auf dem Mars einschlagen sollte und der am Ende 400 m (Meter, nicht Kilometer !!) gross war und den Mars weit verfehlt hat.

Man redet sich dann gerne heraus, dass man es ja nicht besser gewusst habe oder ganz unschuldig "nur" die Daten, die man hatte, für den "best fit" verwendet habe.

Für solche Abschätzungen gibt es aber neben Mittelwerten auch noch statistische Momente höherer Ordnungen wie Standardabweichungen und mindestesn noch 3.Momente, von als langweilig empfundenen robusten Methoden ganz zu schweigen, damit man sich von allzu schönen Standardabweichungen nicht zu sehr blenden lässt.

Kurz und gut - ich stimme Deinen Ausführungen zu; ob man jetzt von "Modellgrenzen" oder "Datengrenzen" spricht erscheint mir letztlich unerheblich zu sein - selbstverständlich findet das, was Du über "verfügbare Daten" schreibst, meine volle Zustimmung.


Freundliche Grüsse, Ralf

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