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nochmal ne Frage zu Zeitdilatation

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nochmal ne Frage zu Zeitdilatation

Beitrag von Maclane » 4. Okt 2008, 14:04

Hi :)

Kennt ihr das? Da glaubt man etwas verstanden zu haben und muss dann irgendwann feststellen, dass man doch nichts so richtig kapiert hat. :oops:

Darum stell ich jetzt nochmal ne Frage zum besseren Verständnis.

Ein Raumschiff fliegt mit konstanter, hoher Geschwindigkeit (fast c) an der Erde vorbei. Es fliegt dabei immer geradeaus, d.h. es gibt keine Beschleunigung. Der Beobachter auf der Erde sieht die Zeit im Raumschiff langsamer vergehen. Aber was sieht der Raumschiffpilot? :?:

Sieht er die Zeit auf der Erde nun langsamer oder schneller verstreichen? Und ich meine nicht, was er sieht, wenn er auf der Erde landet. Klar, dass dann auf der Erde mehr Zeit vergangen ist als im Raumschiff. Sondern ich meine den Moment des Vorbeiflugs. Was sieht er da?

Danke schonmal und Gruß

Mac
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Beitrag von AlTheKingBundy » 4. Okt 2008, 14:11

Im Raumschiff sieht man die Uhren auf der Erde im Verhältnis zu den eigenen Uhren (Baugleichheit vorausgesetzt) im Raumschiff langsamer gehen.

Ebenso sieht man von der Erde aus die Uhren im Raumschiff langsamer gehen.
Gruß Al

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Beitrag von Xathan » 4. Okt 2008, 14:30

Dazu gibt es eine gute Aussage:
"Die eigene Zeit vergeht immer am Schnellsten." Bedeutet ja, dass die Zeit der anderen, egal wie schnell sie sich bewegen, langsamer verstreicht.

In diesem Zusammenhang wäre das Michelson-Morley-Experiment interessant für dich. Dort wird genau diese Thematik gut erklärt mit verschiedenen Versuchen und auch leicht verständlich [bilde ich mir zumindest ein ^^].

€dit:
http://de.wikipedia.org/wiki/Michelson- ... Experiment

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Beitrag von tomS » 4. Okt 2008, 14:55

Ich bin mir nicht sicher, ob das so ist wie Al sagt.

Was man tut ist folgendes: man sendet von einem Bezugssystem zum anderen Lichtimpulse und misst in beiden Bezugssystemen die zeitliche Abstände (z.B. in einer Lichtuhr). Auf diese Messung bezieht sich die Zeitdilatation.

Hier die Idee, warum ich daran zweifle, dass man beim Vorbeiflug die Uhren tatsächlich langsamer gehen sieht: Man kann im Falle der Längenkontraktion eines sich bewegenden Objektes eine Art Ray-Traycing durchführen. Dabei muss man dann zum einen die Längenkontraktion das Objektes selbst mit einberechnen, und zum anderen die Tatsache, dass zwei gleichzeitig wahrgenommene, aus verschiedenenen Richtungen kommende Lichtblitze zwar vom selben Objekt stammen, jedoch aufgrund der Bewegung des Objekts nicht vom selben Ort und zur selben Zeit von diesem Objekt ausgesandt wurden. In Summe sieht man dann das Objekt nicht kontrahiert, sondern gedreht.
http://www.tempolimit-lichtgeschwindigk ... mpkins.pdf

Ich könnte mir vorstellen, das man im Falle des Vorbeifluges einen ähnlichen Effekt bzgl. der Zeitdilatation feststellt, denn im Moment des Vorbeifluges ist die Relativgeschwindigkeit ja Null. Der Effekt tritt aber wohl nicht auf, wenn es sich nicht um einen Vorbeiflug sondern um einen direkten Treffer handelt.
Gruß
Tom

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Beitrag von AlTheKingBundy » 5. Okt 2008, 09:17

hi tom,

es ist so wie ich sage (bzw. wie einstein es gesagt hat). eine in einem gemeinsamen ruhesystem feststellbare zeitverschiebung der beiden uhren findet nur statt, wenn die rakete einen beschleunigungsvorgang (bremsvorgang) vollzogen hat (und dieser unterliegt nicht den prinzipien der speziellen relativitätstheorie). da kommen dann aber beschleunigungseffekte mit rein und die uhr der rakete geht bei ruhendem vergleich dann nach.

gruß al
Gruß Al

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Beitrag von tomS » 5. Okt 2008, 13:08

das verstehe ich nicht: zunächst sprichst du von der Beobachtung der jeweils anderen Uhr (so wie ich dich verstehe die Beobachtung über die echte Distanz, z.B. mittels Lichtsignalen), dann sagst du, man müsse den Gang der Uhren in einem gemeinsamen Bezugssystem nach Abbremsung messen.
Gruß
Tom

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Beitrag von AlTheKingBundy » 5. Okt 2008, 15:20

ok, war nicht genau genug formuliert. ich betrachte 2 dinge, das eine ist ein resultat der SR das andere beinhaltet auch beschleunigungseffekte ist also nicht alleine durch die Sr erklärbar:

1. SR: die rakete fliegt unbeschleunigt an der erde vorbei und sowohl von der rakete aus, als auch von der erde aus werden uhren verglichen. da stellen beide fest, dass die jeweils andere uhr langsamer geht.

2. die rakete kehrt zur erde zurück, was einer beschleunigung bedarf. dies kommt dem berühmten zwillingsparadoxon gleich, also auf der erde wird mr. spock, der aus der rakete steigt, seinen zwillingsbruder auf der erde älter vorfinden als er selbst ist.
Gruß Al

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Beitrag von tomS » 5. Okt 2008, 15:40

Zu 1) meine Anmerkung ging dahin, dass der optische Uhrenvergleich "über eine gewisse Entfernung" evtl. problematisch ist - siehe meine ANmerkung zur Längenkontraktion.

Zu 2)
ist klar, was du meinst;
kann aber m.E. innerhalb der SRT betrachtet werden, da man lediglich die Eigenzeit bzw. die Länge einer Raumzeitkurve berechnen muss; das funktioniert, ohne die Raumkrümmung zu berücksichtigen
Gruß
Tom

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Beitrag von AlTheKingBundy » 5. Okt 2008, 15:56

gut, die raumkrümmung muss man nicht berücksichtigen, allerdings die beschleunigung der rakete, ansonsten würde man zu keinem richtigen ergebnis kommen. zur konkreten berechnung kann man das additionstheorem der geschwindigkeiten heranziehen, für kleine geschwindigkeiten gegen c nähern und dann integrieren.
Gruß Al

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Beitrag von tomS » 5. Okt 2008, 17:17

Man betrachte ein Ruhesystem S und ein (beschleunigt) bewegtes Bezugssystem S', z.B. eine Rakete mit Uhr. Das Zeitintervall dt gemessen im System S entspricht dem Zeitintervall dt' im System S'. Dabei ist



Integrieren liefert die Eigenzeit T' der Uhr im System S'



Man erkennt, dass die Eigenzeit immer kleiner oder gleich der Zeit in einem beliebigen, anderen Bezugssystem ist.
Gruß
Tom

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Beitrag von derNeugierige » 7. Okt 2008, 17:11

Hallo,


dieser Thread trifft sich gut. Denn ich habe ein Verständnisproblem bei der gravitativen Zeitdilatation. Für eine Idee, die ich vielleicht auch zu Jugend forscht bringen will, muss ich mich damit genauer auseinandersetzen.
Wenn ich zB. ein System aus zwei Neutronensterne A und B habe, und sich ein Objekt in der Umlaufbahn von B befinde, dann geht ja die Zeit für das Objekt schneller in Bezug zu B. Jetzt beobachte ich von A aus das Objekt. Da ich auch in einem Gravitationspotenzial sitze, müsste doch auch wieder die Zeit für das Objekt im Vergleich zu meiner Zeit schneller verlaufen. Wie beeinflussen sich diese zwei Zeitdilatationen? Addieren sie sich? Welche Zeit, bzw. welchen Zeitunterschied, messe ich für das Objekt?

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Beitrag von Skeltek » 10. Okt 2008, 05:56

Hallo derNeugierige
Obwohl deine Frage recht knapp formuliert ist, versuch ich mal ne kleine Zusatzfrage, die mich selbst etwas interessiert:
chemische und physikalische Prozesse laufen an Beschleunigungsarmen Orten am schnellsten ab.
Das heisst eine Kerze, die sich genau zwischen den sich umkreisenden Neutronensternen befindet brennt schneller ab als eine, die sich im Orbit um das Doppelsternsystem befindet. Irre ich mich hier vielleicht?
Die Frage ist, ob die Naehe zu einem gravitativ starken Objekt die Zeit langsamer ablaufen laesst, oder die (Gegen?)Beschleunigung die noetig ist, um seine Position bzw den Orbit zu halten? Welcher Effekt ist fuer die durch Beschleunigung verursachte Zeitdillatation nahe Gravitationsquellen verantwortlich? Normalerweise geht erhoehte Beschleunigung mit gravitativem Zuwachs einher, aber von Beispielen genau zwischen oder innerhalb solcher Systeme habe ich leider noch nie etwas gehoert oder gelesen.
Danke schonmal fuer Antworten.

Viele Grusse, Skel

ps: zum Thema beschleunigte Raumschiffe: die Zeit ist keine gerade Linie. Sie ist Teil eines vierdimensionalen Vektors. Legt man im Vergleich zu einem unbeschleunigten(!) Punkt mehr Raum zurueck, bleibt `weniger Pfeil` fuer zeitliche Progression uebrig. Derjenige, der mehr Wegstrecke zuruecklegt, legt automatisch weniger Zeit zurueck.(Als unbeschleunigtes Bezugsystem nimmt man die Raumzeitlinie zwischen den beiden Punkten, an denen die beiden Uhrenvergleiche statt finden.)
Chemische und physikalische Prozesse laufen fuer ihn also langsamer ab, er altert langsamer und seine Uhr kriecht. (extrem simplifiziert, aber gut vorzustellen ^^)
Ohne dass sich zwei Objekte jemals am selben Ort wieder begegnen, ist kein Vergleich der beiden Zeitachsen/strecken moeglich.

Das heisst, wenn zwei kaempfende Raumschiffe ala Startrek mit fast Lichtgeschwindigkeit aneinander vorbei geflogen sind ohne einen Treffer zu landen, hat das Raumschiff das kehrt macht um das andere einzuholen weniger Zeit seine Waffen nachzuladen, da durch den Beschleunigungsvorgang/Bezugssystemwechsel die Zeitkomponente seines Raumzeitpfeils bis zum potentiellen wiedertreffen stark gekuerzt wird. Das andere Raumschiff braucht sich also nur driften lassen und kann vor den naechsten Kampfvorbereitungen noch gemuetlich einen Earl Grey trinken.

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Beitrag von tomS » 11. Okt 2008, 08:27

Tatsächlich gibt es eine Zeitdilatation aus der SRT und eine aus der ART.

Erstere bezieht sich eigentlcih nur auf gleichförmig bewegte Objekte, kann abe rauf beschleunigte Objket erweiutert werden. Die von mir o.g. Formel tut dies - v = v(t) ist zeitabhängig, also kann die Formel mit beschleunigten Bezugssystemen umgehen.

Was die Formel nicht kann, ist mit Gravitation umzugehen, d.h. sie kann in der ART nicht verwendet werden. In der ART gibt es jedoch für die Eigenzeit eine ähnlich einfache Formel,. Man kann nämlich die Eigenzeit immer als die Zeit definieren, die entlang einer Weltlinie des jeweiligen Objektes vergeht.

Man betrachte dazu das vierdimensionale Wegelement



Im flachen Raum g = diag(1, -1, -1, -1) ist dies einfach der vierdimensionale Pythagoras, allerdings mit den negativen Vorzeichen für die Raumkoordinaten 1..3.

Die Eigenzeit τ, die für ein entlang dieses Wegelementes bewegtes Objekt vergeht ist nun einfach definiert durch



Man erhält die Eigenzeit entlang einer Raumzeitkurve C aus



D.h. man berechnet die vierdimensionale Länge der Raumzeitkurve C und ermittelt daraus die Eigenzeit. Will man nun die Eigenzeit von zwei Objekten vergleichen, so benötigt man deren Raumzeitkurven C und C' (C und C' haben einen gemeinsamen Start und Endpunkt!) und berechnet die beiden Integrale. Dabei tritt nun im Integral eine weiter Zeit t auf, nämlich die 0-Komponente von x, also t = x°. Dies ist die sogenannte Koordinatenzeit; sie hat keine physikalische Bedeutung. Insbs. kann man die Rechnung für die beiden Objekte auch in unterschiedlichen Koordinatensystemen durchführen.

Für die Bewegungen im flachen Raum reduziert sich die Gleichung sofort auf die von mir o.g. Gleichung. Dazu führt man einen Wechsel der Integrationsvariablen von ds nach dt (der Koordinatenzeit), d.h.



Das ganze Problem bei der Berechnung der Eigenzeiten in Gravitationsfeldern liegt nun in der Berechnung der Integrale. Man benötigt dazu zunächst die Lösung der Einsteingleichungen für ein bestimmtes Problem (Neutronensterne). Diese Lösung definiert die in den Integralen zu verwendende Metrik g. Das ist leider in den meisten Fällen extrem kompliziert, d.h. nur mit Computern lösbar.

Kennt jemand "einfache" Fälle, an denen man das vorführen kann?
Gruß
Tom

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Beitrag von derNeugierige » 16. Okt 2008, 15:45

Inwiefern darf man mit dieser Gleichnung, die aus der Gleichheit von Gravitation und Beschleunigung folgt, arbeiten:



Diese wird bei Wikipedia für kleine Abstände hergeleitet. Mal abgesehen, dass sie nur für kleine Abstände gilt, ist sie doch physikalisch korrekt, oder?

Mich würde auch mal interessieren, wie man mit deiner Gleichung Tom rechnet, Ich kann mir noch nicht vorstellen, was das hier mit der gravitativen zeitdilatation zu tun hat.



Jetzt habe ich noch ein anderes Problem, was ich schon versucht habe zu fragen (Gedankenexperiment):

Ein Astronaut ist auf einer Umlaufbahn um die Sonne, und kommuniziert mit einem anderen Astronaut auf dem Mond. Wie groß ist der Zeitunterschied zwischen den beiden (ohne Lichtlaufzeit)? Hier sitzt der Astronaut bei der Sonne in einem Gravitationspotenzial, und der auf dem Mond in einem kleineren, sodass die Zeit auf dem Mond für den Astronaut in der Umlaufbahn der Sonne schneller verläuft. Zu dem ist der Mond ja noch im Gravitationsfeld der Erde. Wie berücksichtigt man nun, die Gravitation des Monds und der Erde? Der Astronaut erfährt eine Zeitdilatation durch den Mond, aber auch durch die Erde. Also hat man hier eigentlich 3 Gravitationsquellen, die man berücksichtigen muss. Wie kann man jetzt nun die wirkliche grav. Zeitdilatation für den Astronaut auf dem Mond bestimmen.
Jetzt habe ich mir gedacht: Da ja die Gravitation eine unendliche Reichweite hat, müsste man eigentlich jedes Objekt im Universum für die grav. Zeitdilatation des Astronauten auf dem Mond mitberücksichtigen. Also auch die Gravitation der Milchstrasse, da wir ja dadrin sitzen. Wie ist das dann? Muss man dann die einzelnen Zeitdilatationen zusammenaddieren. Also erst die Zeitdilatation auf dem Mond + die durch die Erde + Rest des Sonnensytems + Milchstrasse....??
Da komme ich in meinem Kopf durcheinander. Wer kann mir helfen??

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Beitrag von Maclane » 16. Okt 2008, 21:30

Müssen musst du gar nichts. ;)
Zeitdilatation heißt ja immer, dass du zwei Uhren vergleichen willst. Willst du alle Gravitationswirkung der Milchstrasse mit einberechnen, dann macht das doch auch nur Sinn, wenn du die Zeit mit einer Uhr in einer "galaxistypischen" Entfernung vergleichst. Für einen Vergleich Mond-Sonne brauchst du doch die Milchstrasse nicht.
Wenn du die Zeitunterschiede von Erdoberfläche zu Satelliten in der Umlaufbahn berechnest, brauchst du doch auch nicht Gottweißwas für Gravitationsunterschiede im Universum. Es reicht der Unterschied Erdoberfläche - Umlaufbahn. Und bei der Betrachtung Sonne - Mond (also z.B. eine Raumstation auf dem Mond steuert einen Satelliten in extrem niedriger Umlaufbahn um die Sonne) kannst du - weil die Sonne ja 99% der Masse des Sonnensystems ausmacht - die Gravitation des Mondes und der Erde vernachlässigen und du rechnest nur mit dem Unterschied zwischen niedriger Umlaufbahn und weiter Umlaufbahn (1 AU) um die Sonne.

Zumindest würd ich als Laie das so machen, wenn ich es denn so könnte. :mrgreen:
Aber vielleicht hat ein ART-Experte dazu ja eine andere Meinung(?).

Gruß Mac
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Beitrag von tomS » 16. Okt 2008, 21:51

@derNeugierige:

Die Gleichung mit dem Gravitationspotential entspricht m.W.n. der Newtonschen Näherung, gilt also für "nicht zu starke Gravitationsfelder".

Meine Gleichung mit der Geschwindigkeit gilt nicht in der ART, sondern nur in der SRT ohne Gravitationsfelder! Sie soll nur zeigen, dass die Zeitdilatation für beschleunigte Rakete bereits in der SRT berechnet werden kann. Außerdem wollte ich erklären, dass sich die komplizierte Gleichung der ART auf die einfachere der SRT reduziert, wenn ich für g die flache Minkowski-Metrik einsetze.
Gruß
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Beitrag von derNeugierige » 16. Okt 2008, 23:05

@Mac:

Damit gebe ich mich noch nicht zufrieden. Dann mal anders. Mich würde mal interessieren wie man mit so was eigentlich umgeht: Man beobachtet ein Objekt in ein anderen Galaxie, die nicht all zu weit entfernt ist. Hier sitzen wir in der Milchstrasse, und das Objekt liegt in seiner Galaxie. Wie rechnet man mit der genannten Formel für die gravitative Zeitdilatation? Wie definiert man hier das Potenzial?

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Beitrag von tomS » 16. Okt 2008, 23:11

Die Formel gilt nur, wenn ein Objekt von einer Galaxie zur anderen und wieder zurückfliegt; sonst kann man gar nichts vergleichen.
Gruß
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Beitrag von derNeugierige » 17. Okt 2008, 18:00

Na dann fliegt das Objekt eben auf die Erde. Was nun?
Aber wir können doch auch sagen, dass ein Astronaut in der Erdumlaufbahn um eine bestimmte Zeit schneller altert, ohne, dass er auf die Erde kommt. Zumindest kommen die GPS-Satelliten ja auch nicht auf die Erde. :)

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Beitrag von tomS » 17. Okt 2008, 18:30

Also nochmal zur Anwendung der Formel:

Wir gehen davon aus, dass wir eine Raumzeit-Metrik g berechnet haben, z.B. für das Schwerefeld eines Planeten. Dann nehmen wir zwei Beobachter 1 und 2 und bestimmen zwei Kurven durch die Raumzeit C[1] und C[2]. Z.B. ist die eine Kurve eine Weltlinie, die mit einem Punkt auf der Planetenoberfläche zusammenfällt, die zweite Kurve eine Bahn, die einmal um den Planeten herumführt und dann wieder zu genau diesem Punkt zurückkehrt (ein Flugzeug). Dann setzen wir g in das Integral ein und berechnen dafür das Linienintegral entlang der beiden Kurven C[1] und C[2]. Daraus erhalten wir dann zwei Zeiten T[1] und T[2]. Dies sind die beiden Eigenzeiten der Beobachter, die zwischen dem Start und der Landung des Flugzeugs vergehen.

Dieser Vorgehensweise funktioniert für alle erlaubten Kurven C und alle Metriken, die die Einsteingleichungen lösen.

Ist das jetzt klar, oder habe ich was falsch verstanden?
Gruß
Tom

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Beitrag von derNeugierige » 24. Okt 2008, 16:30

Hallo,

könntest du das vielleicht mal an einem Beispiel erläutern und evtl. vorrechnen, weil dann wird es denke ich klarer. Vielleicht erstmal für einen Astronauten ind er Erdumlaufbahn. Wobei mich das bei einem Neutronenstern auch mal interessieren würde ;).

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Beitrag von tomS » 25. Okt 2008, 15:09

Also, ich erklär das mal für den senkrechten Wurf im kugelsymmetrischen Gravitationsfeld (Schwarzschilf-Metrik) - aber auch nicht im Detail, weil die Rechnungen einfach zu lang sind. Man kann sowas aber ganz gut in diversen Vorlesungsskripten nachschauen, z.B. für die Berechnung der Dauer des freien Falls in ein SL oder bis zum EH); das ist im wesentlichen dieselbe Rechnung.

Wir beginnen mit der Eigenzeit T eines Beobachters, der sich entlang einer Kurve C bewegt



Die Schwarschildmetrik in Kugelkoordinaten ist gegeben durch



Die Winkelterme benötigen wir nicht, wenn wir eine radiale Bewegung betrachten.

Die Funktion f ist gegeben durch



mit dem Schwarzschildradius



Die Formeln gelten nur für den Außenbereich, es ist also



D.h. der Schwarzschildradius liegt im inneren des Körpers mit Radius r; wir betrachten nur größere r im Außenbereich.

Einsetzen liefert



Betrachten wir zunächst einen stationären Beobachter, der am Radius r=R ruht, d.h. die radiale "Geschwindigkeit" u = 0. Dann gilt



D.h. dass die Zeit umso langsamer vergeht, je näher man sich am Schwarzschildhorizont befindet, d.h. je größer das Gravitationspotential ist. Für große R ist die unphysikalische Koordinatenzeit X° näherungsweise gleich der Eigenzeit T.

Wir haben bei dieser Rechnung die Kurve C so gewählt, dass sie die beiden Raumzeitpunkt (0,R) und (X°,R) verbindet, d.h. dass nach der Eigenzeit T der Beobachter wieder am selben Raumpunkt R angekommen ist.

Man könnte nun geneigt sein, zwei Eigenzeiten für zwei unterschiedliche Beobachter mit unterschiedlichem R zu vergleichen. Dies ist zunächst jedoch nicht zulässig, da sie sich an zwei verschiedenen Punkten im Raum befinden und somit kein Vergleich erlaubt ist.

Man muss statt dessen wieder eine Kurve so legen, dass sie diese beiden Punkte miteinander verbindet. Dazu wählt man den senkrechten Wurf so, dass die Geschwindigkeit u so gewählt ist, dass das geworfene Objekt bei einem bestimmten Radius R' wieder umkehrt und zum Ausgangspunkt zurückkehrt. Die Kurve verbindet dann die drei Punkte (0,R) (X'°,R') und (X°,R). Dann ist ein Vergleich der beiden Eigenzeiten zulässig.

So - jetzt erst mal Schluss - der Rest folgt, später ...
Gruß
Tom

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Beitrag von derNeugierige » 25. Okt 2008, 17:02

Danke! Ich glaube, ich versteh's sogar :D .

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Beitrag von tomS » 25. Okt 2008, 22:57

wenn nicht, dann rechtzeitig nachfragen, denn als nächstes kommt der senkrechte Wurf ...
Gruß
Tom

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Beitrag von derNeugierige » 25. Okt 2008, 23:55

Also du hast eine Kurve gewählt, die die Raumzeitpunkte (0,R) und (X°,R) verbindet. Heißt das aber nicht, dass der Beobachter einfach nur in der Raumzeit ruht? Das ist eine Kurve, die sich nur in der Zeit bewegt, also eine "Zeitkurve"?
Diese beiden Punkte sind ja nur durch den Zeitunterschied, hier X° getrennt. Dann finde ich aber die Formulierung komisch, dass er nach der Eigenzeit T wieder bei R angekommen ist, wenn er doch die ganze Zeit da war...
Wenn ich mir die beiden Punkte in ein Koordinatensytem einzeichne, dann ist in diesem der Zeitunterschied X°. Aber für den Beobachter eben T(X°). Dafür müsste ich dann wieder ein anderes nehmen.

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