Abenteuer-Universum

Hi Leute, wie schaut's aus? Wollen wir hier weitermachen oder ist's genug?

von mir aus gerne - obwohl ich gerade diverse Probleme mit §24 SGB X und anderen Nettigkeiten habe...

Weitermachen auf jeden Fall.
Mir fällt nur auf Anhieb kein Experiment für beides ein und war bisher zu faul zum googeln.

Ich kenn spontan nur noch die Herleitung der Lorentzkontraktion mit einer waagerecht liegenden Lichtuhr.

Sorry! Wenn es zunächst nur ein Experiment für die Lorentzkontraktion alleine (ohne Zeitdilatation) ist, dann ist das doch OK. Ich dachte nur, man sollte eben die Längenmessungen so genau spezifizieren, wie vorher bei der Zeitmessung.

Ich weiß nicht, ob es ein einfaches / anschauliches Experiment gibt, das beide Aspekte auf einmal beschreibt. Dies ist sozusagen eine Fleißaufgabe!

Also ich hatte bis heute nicht so viel Zeit gehabt, um ein Experiment dafür zu suchen. Mir würden auch nur Experimente zur Längenkontraktion einfallen!

Dann erläutert doch mal ein einfaches Experiment zur Längenkontraktion und lasst uns anschließend über die Harmonisierung diskutieren.

Naja, dann komm ich mal mit der liegenden Lichtuhr daher.

Man hat eine waagerecht liegende Lichtuhr, in der ein Photon hin- und her pendelt. Die Bewegungsrichtung des Photons ist also auch die Bewegungsrichtung der Lichtuhr.
Nennt man den Abstand der beiden Platten der Lichtuhr s (bzw. bei einer bewegten s´) und vergleicht dann eine bewegte Lichtuhr mit einer ruhenden, so kommt man nach ein bisschen mathematischem Simsalabim auf die bekannte Gleichung:
[math]s´=s #ROOT(1-#FRAC(#POW(v,2),#POW(c,2)), )[/math].

Soll ich die Rechnung aufschreiben? Ist relativ lang.

Wenn keine Kommentare mehr dazu kommen, würde ich sagen, wir gehen zu nächsten Frage - wir hängen hier schon ewig rum:
Was besagt das Zwillingsparadoxon und wie wird es aufgelöst?

Grüße

Das ist ne gute Frage.
Also, was es besagt ist ja einfach. Wenn von zwei Zwillingen einer in ein Raumschiff steigt und mit hoher Geschwindigkeit ne Runde dreht, dann ist hinterher der zurückgebliebene ein Opa und der Raumfahrer nicht.
Das paradoxe: Warum kann man nicht behaupten, dass sich der Zurückgebliebene schnell bewegt, wenn es doch kein ausgezeichnetes Bezugssystem gibt? Dann wäre der andere der Opa.

(Es wurde vorausgesetzt, dass beide Zwillinge bei Beginn der Reise noch keine Opas sind )


Die Auflösung hat damit zu tun, dass der eine Beschleunigungskräfte spürt, weil er, wenn er wieder zurück will, irgendwann das Bezugssystem wechseln muss. Der andere hat das nicht.

Genaueres weiß ich nicht, weiter als so hab ichs nie verstanden

Ja, die Beschreibung und auch die Auflösung sind richtig. Man kann die Betrachtung auch in Formeln fassen:

Wenn für den ruhenden Zwilling die Zeit dt vergeht, dann vergeht aufgrund der Zeitdilatation für den sich bewegenden Zwilling nur die (kürzere) Zeit dt' mit
\fed\mixondt' = sqrt(1-v^2)*dt
Ich habe dabei c=1 gesetzt.

Das kann man integrieren und erhält
\fed\mixonT' = integral(,t',0,T') = integral(sqrt(1-v^2),t,0,T)

Man kann nun vom ruhenden Beobachter aus beliebige Bahnkurven mit v(t) betrachten – jeweils unter der Bedingung, dass sie geschlossen sind, also dass der mit v(t) bewegte Beobachter zum ruhenden zurückkehrt. Dann sieht man, dass für alle Bahnkurven mit |v(t)| > 0 das Integral für T' < T ist, d.h. dass alle sich relativ zum ruhenden Beobachter bewegten Beobachter langsamer altern; dies hängt von der Geschwindigkeit v(t) ab; dabei sind jetzt auch nicht-konstante Bewegungen, also Beschleunigungen, erlaubt.

Betrachtet man den Vorgang vom Bezugssystem des bewegten Beobachters aus, so kann man das Linienelement ds wie folgt bestimmen:
ds² = dt² - dx² = dt'² - dx'² = dt'² (wieder c=1)
Denn für den sich bewegenden Beobachter gilt ja immer dx'=0, bzgl. sich selbst ist er ja in Ruhe. Nun ist ds² eine relativistische Invariante, hat also in allen Bezugssystemen denselben Wert.

Es gilt
\fed\mixonT' = integral(,t',0,T') = integral(,s,,)
d.h. das Integral über das Linienelement ds misst die Eigenzeit. Damit kann die Eigenzeit als „vierdimensionale Bahnlänge“ der Bahnkurve interpretiert werden.

Nun haben wir gesehen, dass die Eigenzeit des ruhenden Beobachters maximal ist, d.h. alle sich relativ zu ihm bewegenden Beobachter sind bei ihrer Rückkehr um eine geringere Eigenzeit gealtert.

Man kann nun das relativistische Bewegungsgesetz wie folgt formulieren (klingt zunächst kompliziert, wird aber in der ART so gebraucht):
Zwischen zwei Raum-Zeit-Punkten erfolgt eine "freie", d.h. unbeschleunigte Bewegung entlang einer Bahnkurve so, dass die Eigenzeit des Beobachters entlang dieser Bahnkurve maximal wird.

Dieses Bewegungsgesetz selektiert aus allen theoretisch möglichen Bahnkurven, die die beiden Raum-Zeit-Punkte verbinden, diejenige, für die sich die maximale Eigenzeit ergibt.

In der SRT ohne Kraftfelder ist dies natürlich eine Bahnkurve mit konstanter Geschwindigkeit. Interessant ist dies deswegen, da das gleiche Bewegungsgesetzt auch in der ART gilt. Zwar ist das dann i.A. eine "gekrümmte" Bahnkurve, allerdings spürt der Beobachter entlang dieser Kurve wiederum keine Beschleunigung, in einem Gravitationsfeld entspräche dies dem kräftefreien Fall.

Die Auflösung des Paradoxons ist, wie Breaker beschrieben hat, dass eben der eine Beobachter sich immer in einem Inertialsystem befindet, der andere jedoch beschleunigt ist, also das Inertialsystem "wechselt".

Nicht schlecht, hätte nicht gedacht, dass die Mathematik dazu so einfach ist. Ein Integral über dt und das wars.

Also ich hab das Gefühl, dass ichs jetzt verstanden hab.

Nächste Frage?

Gerne.

Natürlich können wir uns auch noch Zeit für Diskussionen lassen, aber ich mach mal einen Vorschlag für die nächste Frage. Dabei lasse ich noch ein paar kinematische Themen weg - kann man evtl. später nachholen.

So, irgendwann musste es ja soweit sein:

Wie kann man E = mc² sowie den relativistischen Pythagors E² = c² p² + (mc²)² herleiten? Was bedeuten diese Gleichungen? Welche Experimente gibt es dazu?

Herleitung von E = mc²:

Man geht aus von der Formel für die relativistische Masse und betrachtet sie als Funktion von v:
[math]m(v) = #FRAC(#INDEX(m,0),#ROOT(1-#FRAC(#POW(v,2),#POW(c,2)), ))[/math]

Dann macht man eine Taylor-Annäherung und bekommt als erste beide Summanden die hier:
[math]m = #INDEX(m,0)+#FRAC(#INDEX(m,0)#POW(v,2),2#POW(c,2))+ ...[/math]

Daraus erhält man:
[math]m#POW(c,2) = #INDEX(m,0)#POW(c,2)+#FRAC(#INDEX(m,0)#POW(v,2),2)+ ...[/math]
Allem Anschein nach handelt es sich hier um lauter Energien. Die ganz rechts ist die klassische kinetische Energie, aber der Summand davor gehört scheinbar auch zur Gesamtenergie eines Körpers und hängt nicht von v ab.

Also: Die Gesamtenergie eines Körpers ist E = mc² und setzt sich zusammen aus der Ruheenergie m0·c² und der kinetischen Energie.

Du nutzt bereits das relativistische Ergebnis m=m(v), um die nichtrelativistische Näherung herzuleiten. Wie leitest du aber die Beziehung für m(v) bzw. E(v) =m(v)c² ab, wenn du davon noch nichts weißt?

Puh.
Ich versuche, es kurz zu halten:

Der Impuls eines Körpers im bewegten und im unbewegten System ist gleich (Natürlich muss hierbei der Impuls im bewegten System eine andere Richtung haben als die Bewegung, die für die Zeitdilatation verantwortlich ist. Schwer zu erklären, wenn man gerade zu faul ist, ein Bild dazu zu malen )
Dass der Impuls gleich bleibt, sieht man durch Experimente.

Lange Rede, kurzer Sinn:

p = p'

Wenn m jetzt konstant wäre, hätte man ja:

mv = mv' und daraus v = v'

v' ist aber von v verschieden, da sich ja t und t' unterscheiden.

Also hat man: mv = m'v' und nach ein bisschen Rechnerei erhält man daraus leicht:
[math]m´(v) = #FRAC(m,#ROOT(1-#FRAC(#POW(v,2),#POW(c,2)), ))[/math]



Als Erklärung, warum mc² die Energie des Körpers ist, hab ich bisher immer die Einheiten genommen; man hat ja immer Joule. Und auf der rechten Seite steht ja auch schon die bekannte kinetische Energie...

Sorry, aber das passt nicht so ganz. Betrachtet man einen Prozess, z.B. eine Stoß zweier Teilchen einmal im Ruhesystem S° eines Teilchens und einmal in einem anderen System S (z.B. Schwerpunktsystem), so gilt in beiden Systemen die Energie- und Impulserhaltung, also
S°: p° = p°', E° = E°' und
S: p = p', E = E'
Dabei bezeichnet p (p') den Gesamtimpuls beider Teilchen vor (nach) dem Stoß.

Aber die Impulse in den beiden Systemen unterscheiden sich, also
p° != p, E° != E.

Du siehst dies auch anhand der von dir verwendeten Gleichung für p(v): Im Ruhesystem hast du m(v=0) = 0, in einem anderen Systeme m(v) != 0

In deiner Ableitung passt also nochwas nicht; ich denke, du verwechselst Impulserhaltung in einem beliebigen Inertialsystem mit der Gleichheit der Imulse in verschiedenen Inertialsystemen.

Es gibt mehrere Möglichkeiten der Herleitung. Ich gebe mal einen Tip für eine einfache kinematische, die ganz gut zur Diskussion hier passt. Man betrachtet dazu den Stoß zweier Teilchen in zwei verschiedenen Systemen. Wechselt man zwischen den Systemen, so muss man die relativistische Geschwindigkeitsaddition berücksichtigen. Sollte diese noch unbekannt bzw. unklar sein, dann müsste man eine entsprechende Frage einschieben:
Was besagt die relativistische Geschwindigkeitsaddition? Wie leitet man sie her?

Eine elegantere Möglichkeit folgt aus der Invarianz von ds² - aber die kommt erst später.

Mit der normalen Impulserhaltung hab ich eigentlich überhaupt nichts gemacht.
Falls es hilft, ich hab die Herleitung größtenteils hier gesehen: http://homepage.univie.ac.at/Franz.Emba ... mpuls.html

Da wird ohne großartige Begründung behauptet, dass die Eindrungtiefe des einen Körpers in den anderen gleich bleibt, und somit auch der Impuls.


Die Herleitung mit der relativistischen Geschwindigkeitsaddition kann ich mir gerade nicht ganz vorstellen. Für was braucht man die relativistische Geschwindigkeitsaddition, wenn ein System ruht?

Also ich hab das im einzelnen nicht durchgerechnet, aber es fallen einige Unsauberkeiten auf:

Zunächst wird behauptet, dass wegen nichtrelativistischer Geschwindigkeit u << c in x-Richtung keinerlei relativistische Effekte in x-Richtung zu berücksichtigen seien. Dann wird jedoch für genau diese Richtung eine relativistisch modifizierte Geschwindigkeit postuliert.

Dann wird aufgrund der Zeitdilatation aufgrund von v behauptet, die modifizierte Geschwindigkeit u'(u,v) habe eine bestimmte Form (Gleichung 1). Dafür wird kein Beweis angegeben.

Dann wird für die Eindringtiefe des Körpers gemessen in I' argumentiert, dass der Impuls in x-Richtung unverändert sei, weil zum einen die Geschwindigkeit zwar verringert, aber dafür die Masse um den gleichen Faktor vergrößert sei, also mu = m'u' (letzteres ist natürlich richtig).

Betrachtet man nun jedoch p' = m'u' genauer, so fällt auf, dass die Beziehung einfach falsch ist!!! Es gilt nämlich (Gleichung 2) m' = m'(v), aber p' = m'u' = m'(v)*u'(u,v).

Insgs. habe ich den Eindruck, dass in den Gleichungen (1) - (4) die entscheidenden Faktoren reingemogelt werden, dass aber die Begründung dafür ziemlich lückenhaft ist. Evtl. findet man aufgrund der relativistischen Geschwindigkeitsaddition für nicht-parallele Geschwindigkeiten ähnliche Relationen, aber das wäre natürlich erst mal zu zeigen! Also mich überzeugt das nicht.

Anmerkung: die Herleitung des relativistschen Impulses funktioniert ohne Betrachtung von aufeinander senkrecht steheden Geschwindigkeiten und ist damit auch noch wesentlich einfacher!

Gruß

Okay, lass mich mal sehen, ob ich das richtig verstanden hab mit der relativistischen Geschwindigkeitsaddition.
Könnte man es wie folgt sagen?

Ein Ball rollt am Bahnsteig entlang und in dem Moment fährt ein Zug vorbei in dem durch einen beeindruckenden Zufall ein identischer Ball in die selbe Richtung rollt, der zudem im Ruhesystem des Zuges die selbe Geschwindigkeit hat wie der erste Ball im Ruhesystem des Bahnsteiges.
Seien die Geschwindigkeiten der Bälle v bzw. v' und die Geschwindigkeit des Zuges u.
Dann kann man, wenn man eben mit m multipliziert, aus dem Sachverhalt, dass v'≠v+u die Beziehung für den relativistischen Impuls herleiten.

Kann man das so lassen?

Das ist zunächst mal ein Input. Aber ist leider schon so, dass man noch mehr dazu braucht. Minimum zwei Körper, die einen elastischen oder inelastische Stoß ausführen (es muss also Impuls- und Energieübertrag stattfinden), sowie die Betrachtung in zwei Bezugssystemen (kann Bahnsteig und Zug sein, muss aber nicht; einfacher ist wohl zum einen Schwerpunktsystem und zum zweiten Ruhesystem eines Körpers). Die Beziehung v'≠v+u alleine reicht nicht, man benötigt schon die exakte Formel v'(v,u), deswegen hab ich die Frage bzgl. der Herleitung ja reingeschhoben.

Evtl. kannst du ja auch deine Herleitung "retten", aber dazu müssen die Begründungen bzw. Herleitungen für die Formeln genauer werden. Außerdem glaube ich nicht, dass man die Impulsbeziehung alleine, d.h. ohne die Energiebeziehung bzw. die relativistische Massenformel m(v) ableiten kann.

Selbst wär mir die Lösung wohl nicht eingefallen, aber mir ist eingefallen, wo's steht

Gedankenexperiment:
Zwei Raketen der gleichen Ruhemasse starten vom gleichen Punkt aus mit jeweils der gleichen Geschwindigkeit v in entgegengesetzte Richtungen. Nennen wir die Raketen der Faulheit halber A und B.
Nach Newton fliegt B von A aus gesehen mit u = 2v weg.
Dann wäre mv = m'(u-v) = m'v => m = m'.

So, jetzt ist aber u(v) nicht gleich 2v, sondern [math]#FRAC(2v,1+#FRAC(#POW(v,2),#POW(c,2)))[/math]
Folgern wir ein bisschen. Der Mittelpunkt vom Anfang (Schwerpunkt) entfernt sich von A aus gesehen mit v; B entfernt sich von A mit u, also langsamer als 2v. Wenn man sich das veranschaulicht, bedeutet das, dass B näher am Schwerpunkt sein muss, als A. Da das nicht sein kann, vermuten wir, dass die Masse von B größer ist.
Dann wird mv = m'(u-v) zu
[math]mv = m´(#FRAC(2v,1+#FRAC(#POW(v,2),#POW(c,2))) - v)[/math]
Nach ein bisschen Rechnen erhält man hieraus m' = m (c²+v²)/(c²-v²).
Da m' die Masse von B ist, macht es Sinn, hier auch die Geschwindigkeit von B (also u und nicht v) zur Beschreibung der Masse zu nehmen. Wenn man also hier nochmal die Beziehung u(v) anwendet, kommt man auf:
[math]#FRAC(#POW(c,2)+#POW(v,2),#POW(c,2)-#POW(v,2)) = #FRAC(1,#ROOT(1-#FRAC(#POW(u,2),#POW(c,2)), ))[/math]
Und damit die bekannte Beziehung.
Puh.
Gute Nacht.

Klingt zunächst gut, die Herleitung scheint wesentlich einfacher als die, die mir eingefallen wäre. Ich hab aber noch ein massives Problem damit - aber ehrlicherweise sag ich dazu, dass ich die Lösung nicht sehe - außerdem sieht das Ergebnis ja richtig aus!

Folgern wir ein bisschen. Der Mittelpunkt vom Anfang (Schwerpunkt) entfernt sich von A aus gesehen mit v; B entfernt sich von A mit u, also langsamer als 2v. Wenn man sich das veranschaulicht, bedeutet das, dass B näher am Schwerpunkt sein muss, als A.

Du betrachtest die Entfernung von B zum Schwerpunkt aus der Sicht von A (denn du benutzt ja u). Dann darfst du aber tatsächlich nicht annehmen, das "zu einem bestimmten Zeitpunkt" A und B gleich weit von diesem Schwerpunkt entfernt sind, denn der Zeitpunkt ist ja der Lorentz-Transformation unterworfen und nicht in allen Bezugssystemen gleich.

Da das nicht sein kann, vermuten wir, dass die Masse von B größer ist.
Dann wird mv = m'(u-v) zu

Ich denke, es kann nur nicht sein, weil du zwei Zeitpunkte in zwei verschiedenen Bezugssystemen vergleichst.
Der Ansatz mit wird mv = m'(u-v) ist höchst bedenklich, denn mv bezeichnet einen Impuls im System des Schwerpunktes, deswegen müsste auch m'w' einen Impuls im System des Schwerpunktes bezeichnen. Tatsächlich ist w' = u-v jedoch eine Mischung aus Ausdrücken aus zwei verschiedenen Bezugssystemen: v stammt wieder aus dem System des Schwerpunktes, u aus dem System von A. Daher macht eine Subtraktion nicht unbedingt Sinn.
Was dann m' sein soll, also bezüglich welches Systems m' gemessen werden soll, ist ebenfalls unklar, denn aus Sicht des Schwerpunktes ist es ja einfach m. Aus Sicht von A könnte man ein anderes m' definieren wollen, aber aus Sicht von A ist der eigene Impuls ja nicht mv sondern 0!
Zuletzt ist mv ja der Newtonsche Impuls (m ist die Ruhemasse) und damit als relativistischer Ansatz einfach falsch!

Trotzdem führen die m.E. fehlerhaften Voraussetzungen zum richtigen Ergebnis ...

Wo steht denn die Herleitung?

Die original-Herleitung ist bestimmt richtig, ich hab sie ziemlich stark gekürzt. Sie steht in einem Buch namens 'E = mc²' (darin wird eben die SRT für Schüler verständlich erklärt).

Im Original stand auch nicht mv = m'(u-v), sondern mvt = m'(u-v)t. Ich dachte, da sich das t sowieso später wegkürzt, könnte ich das mal großzügig weglassen, wenn man dazu schreibt, dass man beide Vorgänge zum gleichen Zeitpunkt betrachtet.

Die Tatsache, dass der Impuls von A im System von A nicht mv, sondern 0 ist, find ich jetzt auch etwas seltsam, da muss ich erstmal nachdenken.

tomS hat geschrieben:Mischung aus Ausdrücken aus zwei verschiedenen Bezugssystemen: v stammt wieder aus dem System des Schwerpunktes, u aus dem System von A. Daher macht eine Subtraktion nicht unbedingt Sinn.

Ich hoffe, ich meine das Richtige: v kommt nicht nur im Schwerpunktsystem vor, sondern auch im System von A, da ist es eben die Geschwindigkeit vom Schwerpunkt.

An deiner Quelle zweifle ich erstmal nicht. Schade dass es ein Buch ist - wenn's im Netz gewesen wäre, dann könnte man mal schnell nachlesen.

Das mit dem gekürzten t ist etwas aus dem Zusammenhang gerissen und hilft alleine nicht weiter.

v ist natürlich die Geschwindigkeit des Schwerpunktes im A-System, aber der hat doch keinen eigenen Impuls. Jetzt sag nicht, er hätte den Schwerpunktsimpuls - um den zu berechnen musst du erst mal die Impule von A und B kennen. Außerdem sind nichtlokale GRößen in der SRT so eine Sache ...

Also, jetzt sind doch schjo ein paar Wochen rum und die Frage nach der Herleitung nach der Beziehung p(v) und E(v) in der SRT ist noch offen. Ich werde demnächst ein bisschen was dazu schreiben, damit wir diese Frage abschließen können.

Nächste Frage wäre:
was bedeutet die Lorentztransformationfür Ort und Zeit, Impuls und Energie, allgemein für Vierervektoren? [/b]