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Beitrag von tomS » 22. Jul 2008, 18:45

Passt - ich hab nur oben einen Fehler übersehen: die Indizes müssen natürlich immer dieselbe Position haben, also i einmal oben - immer oben. D.h.



Insofern hat die Transformationsmatrix in diesem Fall gemischte Indizes.

Die Differentation ist bei dir ja richtig, da sind die Indizes korrekt. Damit man sich das leichter merken kann, schreibt man üblicherweise



Nächste Frage: Was sind Spinoren und wie transformieren sie sich unter der Lorentzgruppe?
Gruß
Tom

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Wolfi

Beitrag von Wolfi » 22. Jul 2008, 20:51

breaker hat geschrieben:Ich beschränke mich auf die Sache mit dem Verschiebungsvektor. Aus reiner Faulheit schreibe ich phi statt (omega t).
totales Differential und Skalarprodukt mit sich selbst:
Bild
+dz²+c²dt² hab ich vergessen.

Wenn ich das jetzt mit dem auf Al's Seite vergleiche, dann hab ich das Gefühl, dass ich die Metrik nicht beachtet hab.Ich nehme an, dass man das Skalarprodukt allgemein gar nicht als x·y schreiben kann, sondern eigentlich immer x·gij·y oder ähnliches schreiben müsste?
(gij:=Metriktensor, x,y:=Vektoren).
(ich hab mich mit den Indizes bei x und y mal dezent zurückgehalten, weil ich nicht wirklich weiß, wohin damit...)
Ich hab das Gefühl, ich denke zuviel.

Wie dem auch sei.
Was hab ich jetzt ausgerechnet? Das ds² in Zylinderkoordinaten.
...Und?
LOL ihr habt ne totale vollmeise, aber darum liebe ich dieses forum so. es zeigt einem ad1) seine persönlichen grenzen auf, erweitert diese ad2) aber im selben augenblick... kein paradoxon, nur ein phänomen, das limitierte grosshirnrinden zeigen.

herrliche diskussion, ich danke euch!

gruss wolfi

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Beitrag von derNeugierige » 22. Jul 2008, 23:13

Zur Frage vorher. Ich weiß nur, dass man Spinoren in der Quantentheorie verwendet. Aber dann hört es auch schon auf.

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Beitrag von breaker » 23. Jul 2008, 00:17

@Wolfi: Ich finde, Mathe ist überheupt nicht so kompliziert, wie alle immer denken. Es wissen nur die meisten nicht, was die ganzen Symbole bedeuten und dann siehts halt irgendwie kompliziert aus. ;)


Zu den Spinoren weiß ich auch nicht viel mehr.
Laut Wikipedia sind das Vektoren, die zur Gruppe der Lorentztrafos gehören, also gerade zu dieser SO(1,3).

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Beitrag von tomS » 23. Jul 2008, 01:13

Ich gebe mal einen Tip zum weiterforschen:

Vergessen wir mal, dass der Spin in der nichtrelativistischen Quantenmechanik eingeführt wurde, da man in diesem Kontext nicht wirklich verstehen kann, was Spin eigentlich ist.

Ich habe ja die Schreibweise Lorentzgruppe = SO(3,1) eingeführt. Man kann nun Objekte einführen, die unter der SO(3,1) bestimmte Symmetrieeigenschaften haben, also sich bei Drehungen auf einen bestimmte Weise ändern. Üblicherweise sind dies Vektorfelder und Tensorfelder. Z.B. stellt man fest, dass derartige Objekte (soweit sie keine besondere Symmetrie aufweisen) bei einer Drehung um 360° wieder mit sich selbst zur Deckung kommen, also invariant sind.

Das klingt nun trivial - ist es aber nicht, denn man kann auch Objekte finden, die erst unter einer Rotation um 720° invariant sind. Dies sind nun die Spinoren.

Um das zu verstehen, muss man für die Lorentzgruppe SO(3,1) die sechs Generatoren (drei Rotationen L und drei Boosts K) definieren und deren Algebra untersuchen.

Siehe viewtopic.php?t=800&start=0&postdays=0& ... highlight=
Posting vom 11.04.2008

Kennt ihr dieses Konzept?
Gruß
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Beitrag von derNeugierige » 23. Jul 2008, 16:32

Also ich versuch das erstmal mit den Symmetriegruppen zu verstehen. Aber ihr könnt ja schonmal weiter machen, wenn ihr wollt.

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Beitrag von tomS » 23. Jul 2008, 17:07

Ich glaube, wir sollten eine Frage einfügen, bevor wir zu den Spinoren kommen: was ist ein Skalar-, ein Vektor- bzw. ein Tensorfeld? wie transformieren sie sich?

Dahinter verbirgt sich die Frage, wie sich beim Wechsel eines Bezugssystems von x nach x' entsprechend der Lorentztransformation x => x' = gx die Komponenten (z.B) eines Vektorfeldes A(x) transformieren, also A(x) => A'(x') = A(gx) = GA(x).

Zur Schreibweise (ich lasse der Kürze halber mal die Indizes weg):
- mit A(x) meine ich den Wert des Feldes am Punkt P beobachtet im Koordinatensystem K mit Koordinaten x = x(P)
- mit A'(x') meine ich den Wert des Feldes am Punkt P beobachtet im Koordinatensystem K' mit Koordinaten x' = x'(P)

P ist immer der selbe, aber er wird in zwei unterschiedlichen Koordinatensystemem K und K' unterschiedliche Koordinaten x und x' haben

- ich nehme g als Gruppenelement der Lorentztransformation
- G = G(g); bei der bisherigen Diskussion ist das die Matrix L
- G für Spinoren wird etwas anderes sein!
- für Skalare ist G = 1
d.h. dass z.B. die Temperatur (ein Skalar) betrachtet von zwei verschiedenen Bezugssystemen immer den selben Wert hat

Ich glaube, erst wenn wir das zusammenhaben, kann man sinnvoll über Spinoren reden. Alle Formeln standen schon mal hier, aber wir haben den Zusammenhang noch nicht
Gruß
Tom

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Beitrag von derNeugierige » 23. Jul 2008, 21:01

Also ein Skalarfeld ist eine Funktion des Ortes, die jedem Punkt im Raum einen Zahlenwert zuordnet. Ein Vektorfeld ist eine Funktion des Ortes, die jedem Punkt im Raum einen Vektor (Betrag und Richtung) zuordnet. Ein Tensorfeld z.B. der Stufe zwei ist eine Funktion des Ortes, die in jedem Punkt einem dort gegebenen Vektor einen anderen Vektor linear zuordnet. Entsprechend kann man das auch auf Tensorfelder höherer Stufe übertragen. Ein Tensorfeld der Stufe r ordnet in jedem Punkt einem dort gegebenen Vektor ein Tensorfeld der nächstniederen Stufe r-1 linear zu.

So und nun sind

jeweils Skalar-, Vektor- und Tensorfelder, wenn gilt:


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Beitrag von tomS » 24. Jul 2008, 01:28

Kleine Korrektur:
Ein Tensorfeld z.B. der Stufe zwei ist eine Funktion des Ortes, die in jedem Punkt einem dort gegebenen Vektor einen anderen Vektor linear zuordnet
Das kann man zwar als lineare Abbildung sehen, brauchen wir hier aber nicht.

Deine Gleichungen sind korrekt, man muss nur noch das Transformationsverhalten von x nach x' mit hinschreiben, denn x ist ja der zugrundeliegende Vierervektor und jede Transformation muss sich darauf beziehen.

Also für den Vektor x gilt



Für das Vektorfeld V gilt dann



Man kann symbolisch schreiben



Hier ist



aber das ist ein Spezialfall, wie wir später sehen werden.

Bei einem Spinorfeld tut man nun folgendes: Man sucht neue Darstellungen der Lorentzgruppe, wobei gilt



Hier hat aber nun G explizit andere Eigenschaften als g. Es gibt quasi doppelt so viele G wie g, also zu jedem g zwei G. Zu g=1 gibt es G=1 und G=-1. D.h. eine Spiegelung G=-1 im Spinorraum entspricht g=1 also der Identität im Vektorraum der x.

Also zurück zur Frage: Was sind Spinoren und wie transformieren sie sich unter der Lorentzgruppe?
Gruß
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Beitrag von breaker » 26. Jul 2008, 21:04

Immernoch gute Frage...

Geht es denn jetzt darum, g und G zu bestimmen?
Ist denn g noch sowas wie dieses L(v)?

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Beitrag von tomS » 27. Jul 2008, 12:53

Da LaTex momentan nicht funktioniert ist das so etwas schwierig.

Hier ein Link auf eine sehr gute, knappe Zusammenfassung des ganzen Themas:
viewtopic.php?t=902&start=0&postdays=0& ... highlight=

Auf der Basis können wir gut weiterdiskutieren
Gruß
Tom

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Beitrag von tomS » 2. Aug 2008, 11:39

wie schaut's aus mit den Spinoren?
Gruß
Tom

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Beitrag von breaker » 2. Aug 2008, 16:08

Ich bin noch dran, aber das PDF von dir erfordert glaub ein bisschen mehr Vorwissen, als ich hab.
Also, es ist schwer zu lesen.

Zudem bekommt man von jeder Seite eine andere Antwort, wenn man fragt, was Spinoren sind:
Ein Mathestudent, den ich gefragt hab, hat gesagt, es wären sowas wie Vektoren in einem unendlichdimensionalen Raum (falls ichs richtig verstanden hab).
Andererseits scheinen sie sowas ähnliches wie Tensoren zu sein, nur mit einer noch spezielleren Transformationseigenschaft.

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Beitrag von tomS » 3. Aug 2008, 09:19

Beides ist richtigt - aber das mit dem unendlich dimensionalen Raum ist hier nicht wichtig.

Am besten gehen wir das Papier schrittweise durch - stell einfach Fragen - wenn du Lust hast.
Gruß
Tom

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Beitrag von tomS » 3. Aug 2008, 21:00

Ich werd' noch ein paar Tips zum Lesen geben - man kann einiges nämlich überspringen
Gruß
Tom

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Beitrag von breaker » 4. Aug 2008, 11:20

Das wäre mir recht.

Für mich ist es hauptsächlich deshalb schwer zu lesen, weil ich so Begriffe wie Homomorphismus oder die Gruppenaxiome nicht auswendig im Kopf hab und fast jedesmal, wenn sie vorkommen, bei Wikipedia nachschauen muss. Deshalb dauert das Lesen sehr lange und nach einer Seite hat man immer so'n Schädel.

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Beitrag von tomS » 4. Aug 2008, 19:17

dann hängst du genau an den Stellen, die man auslassen kann :-)
Gruß
Tom

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Beitrag von tomS » 6. Aug 2008, 07:56

hilft viewtopic.php?t=902 weiter?
Gruß
Tom

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Beitrag von breaker » 7. Aug 2008, 14:46

Es hilft ein wenig weiter. Jetzt habe ich eine ungefähre Vorstellung von der Struktur des Skriptes.
Die einzelnen Schritte und Begründungen verstehe ich aber größteneils nicht.
Ich weiß gar nicht, wo ich mit fragen anfangen soll.
Also, ist es vielleicht möglich, mit einfacheren Worten zu erklären, was eine Clifford-Algebra ist und und welche ihrer Eigenschaften wesentlich für die weiteren Schritte sind?

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Beitrag von tomS » 7. Aug 2008, 16:33

Wichtig 4.2.1 auslassen - davon brauchst du nichts

Das einfachste Beispiel für eine Clifford-Algebra sind die drei Paulimatrizen sowie die daraus ableitbaren Kombinationen. Wenn unsere Raumzeit 1+1 (statt 3+1) dimensional wäre, dann wären wir damit schon fertig.

Die wesentlichen Eigenschaften ergeben sich ebenfall aus den Paulimatrizen unter 4.2.2. Eifnach mal ausmultiplizieren, Kommutatoren [... , ...] berechnen und anschauen ...

In vier Dimensionen werden die Pauli- durch die Diracmatrizen ersetzt; diese sind jetzt 4*4 Matrizen, die man in vier 2*2 Matrizen aufteilen kann. Jede dieser 2*2 Matrizen ist wiederum eine Paulimatrix, ggf. noch mit einem -1 oder i als multiplikativem Faktor.

Noch ein Hinweis:
[a,b] = ab - ba
{a,b} = ab +ba
Gruß
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Beitrag von breaker » 8. Aug 2008, 18:46

Was bezeichnen die in dem PDF denn als Basis?
Ich kenne basen nur von Vektoren.

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Beitrag von tomS » 9. Aug 2008, 00:39

1) das ist in einem Abschnitt, den du überspringen sollst :-)

2) ich erklär's trotzdem:

Eine Algebra (nimm als Beispiel Matrizen A, B, ...) hat folgende Eigenschaften:
- sie ist ein Vektorrraum, d.h. man kann A+B und xA definieren (x ist eine reelle oder komplexe Zahl)
- man kann ein Produkt AB definieren

D.h. man kann einige Matrizen auswählen, die eine Basis der Algebra (= des Vektorraumes) bilden. Im Beispiel 4.2.2 sind dies die Pauli-Matrizen plus weitere Matrizen, die man durch Multiplikation erhält.
Gruß
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Beitrag von breaker » 9. Aug 2008, 14:04

Die Begriffe kommen nicht nur in den Teilen vor, die man überspringen kann; in 5.1 und 5.2 kommen sie auch vor.

Und warum genau sind jetzt J Drehungen und K Boosts?
Also, warum muss man von der Drehmatrix R den ersten Taylorkoeffizienten berechnen und mit -½ε multiplizieren, um eine Drehung zu bekommen?
Warum nennt man jetzt J Drehung und R nicht?
Wie sehen die Elemente von J aus?
Ist dieses ε der normale Epsilon-Tensor aus der Tensorrechnung?

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Beitrag von tomS » 9. Aug 2008, 21:20

Gegenfrage: ist dir klar, warum R auf Seite 6 unten einen Boost bzw. eine Rotation beschreibt?

Zur Taylorentwicklung: man erhält damit keine Drehung, sondern eine infinitesimale Drejung mit einem Generator in Matrixform. Diese Matrix M sowie die Linearkombinationen J und K sind selbst keine Drehungen.

Zum Epsilon-Tensor: ja,es handelt sich umden normalen Epsilon-Tensor; für 123 sowie zyklische Permutationen (231, ...) davon ist er 1, für andere Permutationen (132, ...) -1 und für zwei gleiche Indizes (112, ...) 0.
Gruß
Tom

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Beitrag von breaker » 9. Aug 2008, 22:29

Das mit der Rotation ist klar, das hab ich ja in zwei Dimensionen nachgerechnet. Bei vier hat man eben da wo nicht gedreht wird, einsen stehen. Also im Beispiel müsste das eine Drehung um die x1-Achse sein.
die Tatsache, dass man für Boosts einen imaginären Drehwinkel nimmt, hab ich mal so hingenommen. Wie dann aus cos cosh und aus sin sinh wird, ist klar.

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