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Kurzes Essay plus Diskussion zur Eigenzeit

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Kurzes Essay plus Diskussion zur Eigenzeit

Beitrag von tomS » 19. Aug 2020, 22:25

Hier das versprochene Essay zur Eigenzeit.

https://1drv.ms/b/s!AlAPRsLiq0wagb4EF_9 ... w?e=bBL2nv
https://abenteuer-universum.de/userfile ... aradox.pdf

Ziel dieses Textes ist keine erneute Diskussion und "Lösung" des Zwillingsparadoxons, sondern eine Darstellung, die das Entstehen des vermeintlichen Paradoxons von vornherein vermeidet. Im Zentrum stehen beobachtbare Größen sowie die Gültigkeit der Darstellung auch und insbesondere für die Allgemeine Relativitätstheorie.

Aktuell ist der Text noch sehr technisch. Eine einfachere Zusammenfassung werde ich nachliefern.

@Tom: Hab dir den Link für den Direktdownload eingefügt. Gruß, Skeltek
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Re: Kurzes Essay plus Diskussion zur Eigenzeit

Beitrag von Skeltek » 20. Aug 2020, 16:19

Hi Tom, ich habe es bisher nur überflogen, aber ein paar Dinge fielen mir auf:
(2) Du hast für den allgemeinen Fall den Gangunterschied !=0 angegeben, obwohl dies nicht einmal dann immer gilt, wenn eine der Weltlinien extremal ist. Lässt man gravitative Raumkrümmungen weg (flache Raumzeit), so gilt !=0 nur dann, wenn eine der Weltlinien extremal ('die kürzeste Strecke') ist; nur dann wird für eine davon differierente Strecke ein Gangunterschied != 0 garantiert.

Das Zwillingsparadoxon für Kreisbahnen gefällt mir als Ergänzung gut, weil man hier recht leicht die Längenkontraktion der Umlaufbahn in Bewegungsrichtung mit der dazu reziproken Zeitdillatation in Bezug setzen kann.
tomS hat geschrieben: Teilweise findet man die irrige Annahme, dass Zeiten im Zuge des Zwillingsparadoxons diskontinuierlich
wären bzw. dass sich die unterschiedlichen Zeiten erst beim lokalen Ablesen beider Uhren am gemeinsamen
Endpunkt der Reisen manifestieren würden.
Diese Annahme ist mir noch nie zu Ohren gekommen. Allerdings müssen die Uhren an denselben Koordinaten befinden, um die Gleichzeitigkeit des Ablesevorgangs in allen Bezugssystemen zu gewährleisten. Dieser Vergleich ist es ja, der beim Zwillingsparadoxon interessiert.

Unterm Strich bleibt doch, daß zwei diametral voneinander weg fliegende Zwillinge keine gemeinsame Hyperfläche der Gleichzeitigkeit haben. Derjenige, der seine Bewegung dahingehend ändert, daß er einen Parallelflug mit Geschwindigkeitsdifferenz 0 zum anderen herstellt, ist auch derjenige, welcher die Geschwindigkeitsdifferenz* in einen Gangunterschied der beiden Eigenzeiten umwandelt (die Zwillinge können sich hierzu gerne auch 'im Unendlichen' zum Uhrenvergleich treffen). Der dabei emergierende Gangunterschied ist von der bisher geflogenen Weltlinie C abhängig.

Ich sehe im PDF formeltechnisch nichts, was meine im anderen Thread geäußerten Aussagen widerlegen würde?


* - Geschwindigkeitsdifferenz (mit abgeflogener Streckenlänge) ist eigentlich zu einfach ausgedrückt, kann aber bei zuvor konstanter Geschwindigkeit nach Trennung beim Start als äquivalent zur Länge der Weltlinie angenommen werden. Das wäre das Vereinfachte Beispiel, wo nur geradlinig und gleichmäßig voneinander weg geflogen wird und nach einem instantanen Richtungs-/Geschwindigkeitswechsel wieder aufeinander zugeflogen wird.
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Re: Kurzes Essay plus Diskussion zur Eigenzeit

Beitrag von tomS » 20. Aug 2020, 16:54

Skeltek hat geschrieben:
20. Aug 2020, 16:19
(2) Du hast für den allgemeinen Fall den Gangunterschied !=0 angegeben, obwohl dies nicht einmal dann immer gilt, wenn eine der Weltlinien extremal ist. Lässt man gravitative Raumkrümmungen weg (flache Raumzeit), so gilt !=0 nur dann, wenn eine der Weltlinien extremal ('die kürzeste Strecke') ist; nur dann wird für eine davon differierente Strecke ein Gangunterschied != 0 garantiert.
Die Aussage ist recht simpel: nimm einen fixen Anfangs- und einen fixen Endpunkt und dazwischen beliebige Kurven; im Allgemeinen haben zwei beliebige verschiedene Kurven nicht die selbe Länge.
Skeltek hat geschrieben:
20. Aug 2020, 16:19
Das Zwillingsparadoxon für Kreisbahnen gefällt mir als Ergänzung gut, weil man hier recht leicht die Längenkontraktion der Umlaufbahn in Bewegungsrichtung mit der dazu reziproken Zeitdillatation in Bezug setzen kann.
Wobei die Länge weder berechnet noch gemessen werden muss.
Skeltek hat geschrieben:
20. Aug 2020, 16:19
Diese [irrige] Annahme [dass Zeiten im Zuge des Zwillingsparadoxons diskontinuierlich wären ...] ist mir noch nie zu Ohren gekommen. Allerdings müssen die Uhren an denselben Koordinaten befinden, um die Gleichzeitigkeit des Ablesevorgangs in allen Bezugssystemen zu gewährleisten. Dieser Vergleich ist es ja, der beim Zwillingsparadoxon interessiert.
Ich erkläre das am Ende noch genauer. Die Uhren befinden sich nicht am selben Ort, und sie werden auch nicht gleichzeitig abgelesen. Es geht nur darum, dass man verstehen kann, wie die Eigenzeiten relativ zueinander laufen, ohne dass sich die Uhren am selben Ort befinden müssen und ohne dass man eine Art von Gleichzeitigkeit konstruiert.
Skeltek hat geschrieben:
20. Aug 2020, 16:19
Unterm Strich bleibt doch, daß zwei diametral voneinander weg fliegende Zwillinge keine gemeinsame Hyperfläche der Gleichzeitigkeit haben.
Gleichzeitigkeits-Hyperflächen sind Hilfskonstruktionenen und im Kern irrelevant.
Skeltek hat geschrieben:
20. Aug 2020, 16:19
Ich sehe im PDF formeltechnisch nichts, was meine im anderen Thread geäußerten Aussagen widerlegen würde?
Wenn du dich davon distanzieren kannst, dass Beschleunigung irgendeine Rolle spielt :mrgreen:
Skeltek hat geschrieben:
20. Aug 2020, 16:19
Geschwindigkeitsdifferenz ... ist eigentlich zu einfach ausgedrückt ...
Geschwindigkeitsdifferenz spielt offenbar keine direkte Rolle. Man kann sie im Spezialfall flacher Raumzeit und inertialer Beobachter nutzen, aber im allgemeinen Fall nicht-inertialer Beobachter offensichtlich nicht.
Gruß
Tom

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Re: Kurzes Essay plus Diskussion zur Eigenzeit

Beitrag von Skeltek » 20. Aug 2020, 22:06

Sorry, lassen wir das mit dem 'Allgemein', wir haben da glaube ich einen unterschiedlichen Gebrauch (trägt ohnehin nicht zum Thema bei).
Das läuft auf etwas ähnliches hinaus wie der Unterschied zwischen 'Variable' und 'Parameter', oder zwischen 'beliebig' und 'variabel'(fest aber beliebig).
Für mich war es immer ein Unterschied ob ich sage 'im Allgemeinen nicht gleich' oder 'im Allgemeinen unterschiedlich' (hängt wohl davon ab, ob man die Negation auf das 'Allgemein' oder das 'gleich' bezieht. Wenn man dreisprachig aufwächst, ist es vielleicht schwerer die Nuancen einzelner Sprachen immer gegenwärtig zu haben.
tomS hat geschrieben: Wobei die Länge weder berechnet noch gemessen werden muss.
Klar, für uns spielt beim Zwillingsparadoxon auf der Kreisbahn lediglich der Lorenzfaktor eine Rolle. Die Poincaretransformation unter ihrem zeitlichen Verlauf beschreibt eine Helix. Die wahrgenommenen Bahnlängen der Kreisbahn verhalten sich proportional zu den Eigenzeiten (Wenn man davon absieht, daß die Radien trotzdem noch als gleich wahrgenommen werden; wegen 'Längenkontraktion nur in Bewegungsrichtung'). Nebenbei bemerkt frage ich mich, ob der Mechanismus bei SLs eine ähnliche Grundlage hat, da dort auch Volumen bzw Umfang nicht zum Radious passt (aber darauf müssen wir jetzt nicht eingehen).
tomS hat geschrieben: Ich erkläre das am Ende noch genauer. Die Uhren befinden sich nicht am selben Ort, und sie werden auch nicht gleichzeitig abgelesen. Es geht nur darum, dass man verstehen kann, wie die Eigenzeiten relativ zueinander laufen, ohne dass sich die Uhren am selben Ort befinden müssen und ohne dass man eine Art von Gleichzeitigkeit konstruiert.
Ja. Aber für einen Vergleich muss man trotzdem die beiden Endpunkte festlegen, welche auf Gangunterschied der Eigenzeiten hin verglichen werden sollen.
tomS hat geschrieben: Wenn du dich davon distanzieren kannst, dass Beschleunigung irgendeine Rolle spielt
Keine Kurve ohne :D
Klar sind Hyperflächen nur eine Hilfskonstruktion als Schnittfläche durch den eigentlichen Sachverhalt in der Raumzeit. Aber ich benutze nunmal gerne Zirkel und Lineal zum Erfassen der Zusammenhänge, bevor ich mich an die Berechnung von trigonometrischen Formeln mache (um die Analogie mal zu erwähnen).

Du benutzt den Tangenteneinheitsvektor der Weltlinie (in beliebigen Koordinaten [dot]x[/dot]^mü) um die Eigenzeit entlang dieser zu bestimmen. Dabei würde ich gerne erinnern, daß es sich bei dx^mü/dtau um den Kehrwert von dtau/dx^mü handelt...
Du integrierst entlang der Weltlinie nach tau mit tau als Parameter um die Länge des Weges via Integration zu berechnen. Wo siehst du denn den wesentlichen Unterschied zwischen (stark simplifiziert) s(t)=v*t und v(s)=s/t ? Die Bijektion ist doch dieselbe, wenn man diese an Hand der Hin- oder Rück-Richtung erklärt?

Wie ich sagte, ich habe es überflogen. Ich schaue es mir später nochmal an und mach mir erstmal deinen deduktiven Roten Faden klar. Vielleicht sehe ich den Unterschied ja dann.
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Re: Kurzes Essay plus Diskussion zur Eigenzeit

Beitrag von tomS » 21. Aug 2020, 08:34

Skeltek hat geschrieben:
20. Aug 2020, 22:06
tomS hat geschrieben: Ich erkläre das am Ende noch genauer. Die Uhren befinden sich nicht am selben Ort, und sie werden auch nicht gleichzeitig abgelesen. Es geht nur darum, dass man verstehen kann, wie die Eigenzeiten relativ zueinander laufen, ohne dass sich die Uhren am selben Ort befinden müssen und ohne dass man eine Art von Gleichzeitigkeit konstruiert.
Ja. Aber für einen Vergleich muss man trotzdem die beiden Endpunkte festlegen, welche auf Gangunterschied der Eigenzeiten hin verglichen werden sollen.
Jein. Natürlich ist der Vergleich am (gemeinsamen) Endpunkt sinnvoll, aber es ist bereits unterwegs stetig (!) möglich.
Skeltek hat geschrieben:
20. Aug 2020, 22:06
tomS hat geschrieben: Wenn du dich davon distanzieren kannst, dass Beschleunigung irgendeine Rolle spielt
Keine Kurve ohne :D
Doch. Zwei sich schneidende Orbits z.B. von Satelliten im Gravitationsfeld sind kräftefrei, d.h. unbeschleunigt.
Skeltek hat geschrieben:
20. Aug 2020, 22:06
Klar sind Hyperflächen nur eine Hilfskonstruktion als Schnittfläche durch den eigentlichen Sachverhalt in der Raumzeit.
Und deswegen führen wir sie ein, wenn wir sie brauchen - sonst nicht. Zum Verständnis der Eigenzeiten zweier Beobachter benötigen wir keine Gleichzeitigkeits-Hyperflächen; in manchen Fällen existieren sie nicht mal.
Gruß
Tom

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Re: Kurzes Essay plus Diskussion zur Eigenzeit

Beitrag von Timm » 21. Aug 2020, 11:38

tomS hat geschrieben:
19. Aug 2020, 22:25
Geodäten als Weltlinien minimaler Eigenzeit
Hie bin ich hängen geblieben, denn Geodäten sind Weltlinien maximaler Eigenzeit.
Etwa hier

An object with no forces acting on it will always follow a geodesic,
which is the longest proper time path between two points in spacetime.


2 Partikel starten an einem Punkt in der Raumzeit und treffen sich an einem anderen Punkt wieder. Eines bewegt sich kräftefrei, das andere nicht. Bei dem 2. Partikel ist weniger Eigenzeit vergangen.

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Re: Kurzes Essay plus Diskussion zur Eigenzeit

Beitrag von tomS » 21. Aug 2020, 12:05

Danke - saudummer Fehler!
Gruß
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Re: Kurzes Essay plus Diskussion zur Eigenzeit

Beitrag von seeker » 22. Aug 2020, 09:18

Ja, das war mir auch aufgefallen, dass es maximale Eigenzeit heißen muss.
Umgekehrt haben Weltlinien von Objekten, die sich mit c bewegen, die minimale Eigenzeit zwischen zwei Ereignissen, nämlich Null.

Und ja, es ist recht technisch, mir persönlich würde es helfen, ein paar Dinge visuell umgesetzt zu haben, ich meine es ist ja im Grunde Geometrie, da kann man das gut, denke ich. Ein Diagramm ist oft recht einfach, die Formel dazu oft recht kompliziert.

Ich bin dann ein paar Tage weg, danke für die Arbeit Tom! :well:
Ich schau es mir genauer an, wenn ich wieder da bin.
Grüße
seeker


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Re: Kurzes Essay plus Diskussion zur Eigenzeit

Beitrag von tomS » 22. Aug 2020, 15:12

seeker hat geschrieben:
22. Aug 2020, 09:18
Umgekehrt haben Weltlinien von Objekten, die sich mit c bewegen, die minimale Eigenzeit zwischen zwei Ereignissen, nämlich Null.
Ich denke, das darf man nicht verwechseln; zwischen beiden Fällen existiert in gewisser Weise kein Übergang,
seeker hat geschrieben:
22. Aug 2020, 09:18
Und ja, es ist recht technisch, mir persönlich würde es helfen, ein paar Dinge visuell umgesetzt zu haben, ich meine es ist ja im Grunde Geometrie, da kann man das gut, denke ich. Ein Diagramm ist oft recht einfach, die Formel dazu oft recht kompliziert.
Ich habe leider kein geeignetes Zeichenprogramm. Hat jemand einen Tipp?
Gruß
Tom

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Re: Kurzes Essay plus Diskussion zur Eigenzeit

Beitrag von Timm » 22. Aug 2020, 18:52

Tom, es ist ein bisschen mühsam, weil ich aus deinem PDF nicht kopieren kann.

Du erwähnst S.5 den Spezialfall tau=T*sqrt(1-v²). Wäre es nicht sinnvoll, stattdessen zunächst die Zeitdilatation T'=T*gamma zu bringen? Ich sehe das im PDF nicht.
Aus meiner Sicht ist es didaktisch sinnvoll, damit zu beginnen. Anhand der Lichtuhr plus Pythagoras kommt man ziemlich anschaulich zum gamma-Faktor.

Hat man die Lichtuhr verstanden, ist auch klar, dass Relativbewegung das entscheidende ist, ob nun gleichförmig oder beschleunigt.

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Re: Kurzes Essay plus Diskussion zur Eigenzeit

Beitrag von tomS » 22. Aug 2020, 23:29

Timm hat geschrieben:
22. Aug 2020, 18:52
Du erwähnst S.5 den Spezialfall tau=T*sqrt(1-v²). Wäre es nicht sinnvoll, stattdessen zunächst die Zeitdilatation T'=T*gamma zu bringen? Ich sehe das im PDF nicht.
Hier sprichst du von T und T'; man müsste das jedoch mittels tau und tau' formulieren, sonst steckt man wieder in der Falle der Koordinatenzeiten - oder?
Timm hat geschrieben:
22. Aug 2020, 18:52
Aus meiner Sicht ist es didaktisch sinnvoll, damit zu beginnen. Anhand der Lichtuhr plus Pythagoras kommt man ziemlich anschaulich zum gamma-Faktor.

Hat man die Lichtuhr verstanden, ist auch klar, dass Relativbewegung das entscheidende ist, ob nun gleichförmig oder beschleunigt.
Ich schau' mir das mal an; danke.
Gruß
Tom

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Re: Kurzes Essay plus Diskussion zur Eigenzeit

Beitrag von tomS » 22. Aug 2020, 23:31

Ich habe einen längeren Abschnitt zur Lorentz-Trf. ergänzt
Gruß
Tom

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Re: Kurzes Essay plus Diskussion zur Eigenzeit

Beitrag von tomS » 23. Aug 2020, 09:25

Gruß
Tom

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Re: Kurzes Essay plus Diskussion zur Eigenzeit

Beitrag von Timm » 23. Aug 2020, 10:47

Könntest du eine Referenz für die Formel für die Kreisbahn angeben?

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Re: Kurzes Essay plus Diskussion zur Eigenzeit

Beitrag von tomS » 23. Aug 2020, 12:44

Timm hat geschrieben:
23. Aug 2020, 10:47
Könntest du eine Referenz für die Formel für die Kreisbahn angeben?
Sorry, nee; irgendwann vor Jahren selbst gerechnet, aber das ist ganz simpel.

Das Linienelement in kartesischen Koordinaten in der flachen Raumzeit lautet

dτ² = dt² – dx² – dy² – dz²

Damit ist

1 = (dt / dτ)² – (dr / dτ)² = (dt / dτ)² – (dt / dτ)² (dr / dt)² = γ²(1 – v²)

für die Vierergeschwindigkeit

u = γ(1, v)

1 = u² = γ²(1 - v²)

für beliebige Ortsvektoren r(t) und Geschwindigkeiten v(t).
Gruß
Tom

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Re: Kurzes Essay plus Diskussion zur Eigenzeit

Beitrag von Skeltek » 23. Aug 2020, 18:05

tomS hat geschrieben:
21. Aug 2020, 08:34
Skeltek hat geschrieben:
20. Aug 2020, 22:06
tomS hat geschrieben: Ich erkläre das am Ende noch genauer. Die Uhren befinden sich nicht am selben Ort, und sie werden auch nicht gleichzeitig abgelesen. Es geht nur darum, dass man verstehen kann, wie die Eigenzeiten relativ zueinander laufen, ohne dass sich die Uhren am selben Ort befinden müssen und ohne dass man eine Art von Gleichzeitigkeit konstruiert.
Ja. Aber für einen Vergleich muss man trotzdem die beiden Endpunkte festlegen, welche auf Gangunterschied der Eigenzeiten hin verglichen werden sollen.
Jein. Natürlich ist der Vergleich am (gemeinsamen) Endpunkt sinnvoll, aber es ist bereits unterwegs stetig (!) möglich.
Das war missverständlich. Ich meinte, daß du dich zwischen zwei raumartig getrennten Punkten entscheiden musst, die du dann vergleichst (via Rechnung oder ähnlichem).
tomS hat geschrieben:
21. Aug 2020, 08:34
Skeltek hat geschrieben:
20. Aug 2020, 22:06
tomS hat geschrieben: Wenn du dich davon distanzieren kannst, dass Beschleunigung irgendeine Rolle spielt
Keine Kurve ohne :D
Doch. Zwei sich schneidende Orbits z.B. von Satelliten im Gravitationsfeld sind kräftefrei, d.h. unbeschleunigt.
Deshalb wurde der Ausdruck ‚effektive Beschleunigung‘ verwendet. Es geht um die Geschwindigkeitsvektor-Änderung innerhalb eines beliebig gewählten Inertialsystems. Ob Kräfte wirken oder es um eine Geodäte handelt ist dabei nicht relevant.
tomS hat geschrieben:
21. Aug 2020, 08:34
Skeltek hat geschrieben:
20. Aug 2020, 22:06
Klar sind Hyperflächen nur eine Hilfskonstruktion als Schnittfläche durch den eigentlichen Sachverhalt in der Raumzeit.
Und deswegen führen wir sie ein, wenn wir sie brauchen - sonst nicht. Zum Verständnis der Eigenzeiten zweier Beobachter benötigen wir keine Gleichzeitigkeits-Hyperflächen; in manchen Fällen existieren sie nicht mal.
Du willst die Ableitung des Gangunterschiedes vergleichen bzw das Differential der Phasenverschiebung der beiden Lichtuhren. Du musst doch eine gemeinsame Referenzvariable festlegen, in egal welchem System. Wenn du die Eigenzeit von Astronaut A auf der x-Achse einträgst und die Eigenzeit von Astronaut B auf der y-Achse(beide Astronauten seien gleichförmig bewegt), dann kommen je nach gewähltem Koorinatensystem alle Ursprungs-Geraden mit einer Steigung 0<a<unendlich als Entwicklung in Frage. Die Orthogonalen zu diesen Geraden sind synonym für die Hyperflächen der Gleichzeitigkeit.
Wenn man zwei Dinge vergleicht, muss man sich doch zwangsläufig entscheiden, welche beiden Punkte man vergleicht, sonst ist es doch völlig sinnlos.
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Re: Kurzes Essay plus Diskussion zur Eigenzeit

Beitrag von tomS » 23. Aug 2020, 21:17

Skeltek hat geschrieben:
23. Aug 2020, 18:05
Das war missverständlich. Ich meinte, daß du dich zwischen zwei raumartig getrennten Punkten entscheiden musst, die du dann vergleichst.
Ich wähle nicht irgendwelche raumartigen Punkte und ich muss mich nicht entscheiden.

Schau dir doch bitte die Konstruktion in dem kurzen Text an. Der Witz beisteht darin, Observablen zu vergleichen. Im Fall der wechselweisen Beobachtung der Eigenzeiten deren Signale entlang des Lichtkegels, nicht bei irgendwelche raumartigen Punkte, die ich gar nicht kenne, weil ich nicht weiß, wie sich der andere Beobachter bewegt. Bei meiner Konstruktion muss ich das auch nicht wissen.

Skeltek hat geschrieben:
23. Aug 2020, 18:05
Deshalb wurde der Ausdruck ‚effektive Beschleunigung‘ verwendet. Es geht um die Geschwindigkeitsvektor-Änderung innerhalb eines beliebig gewählten Inertialsystems. Ob Kräfte wirken oder es um eine Geodäte handelt ist dabei nicht relevant.
Auch eine Geschwindigkeitsvektor-Änderung bei gleichem Betrag ist für die Eigenzeit irrelevant.

Skeltek hat geschrieben:
23. Aug 2020, 18:05
tomS hat geschrieben:
21. Aug 2020, 08:34
Zum Verständnis der Eigenzeiten zweier Beobachter benötigen wir keine Gleichzeitigkeits-Hyperflächen; in manchen Fällen existieren sie nicht mal.
Du willst die Ableitung des Gangunterschiedes vergleichen bzw das Differential der Phasenverschiebung der beiden Lichtuhren. Du musst doch eine gemeinsame Referenzvariable festlegen, in egal welchem System.
Nein, ich muss keine Referenzvariable oder Gleichzeitigkeits-Hyperflächen festlegen.

Nochmal: schau dir bitte die Konstruktion in dem kurzen Text an. Eine Differenz der Eigenzeiten ist mathematisch ohne Referenzvariable oder Gleichzeitigkeits-Hyperfläche definierbar, und sie ist auch ohne diesen Krimskrams messbar. Die Eigenzeit ist mathematisch die Länge der Weltlinie, und die Differenz lesen wir auf Uhren ab.
Skeltek hat geschrieben:
23. Aug 2020, 18:05
Wenn du die Eigenzeit von Astronaut A auf der x-Achse einträgst und die Eigenzeit von Astronaut B auf der y-Achse(beide Astronauten seien gleichförmig bewegt), dann kommen je nach gewähltem Koorinatensystem alle Ursprungs-Geraden mit einer Steigung 0<a<unendlich als Entwicklung in Frage. Die Orthogonalen zu diesen Geraden sind synonym für die Hyperflächen der Gleichzeitigkeit.
Ja, das kann man als machen, aber das sind Spezialfälle - „ beide Astronauten seien gleichförmig bewegt“, „Ursprungs-Geraden“, „Hyperflächen der Gleichzeitigkeit“, gemeinsame Koordinatensysteme, ...

Alles bekannt.

Ich möchte aber erstens zeigen, dass man das im Kern nicht braucht, und zweitens darauf aufmerksam machen, dass es teilweise nicht zur Verfügung steht (ART, Rindler-Koordinaten).

Im Falle hyperbolisch beschleunigten Beobachtern existieren keine Gleichzeitigkeits-Hyperflächen, trotzdem kann nach Verzögerung und Umkehr ein Vergleich der Eeigenzeiten durchgeführt und berechnet werden - aber eben nicht mittels Konstruktion, die im Falle von Rindler-Koordinaten nicht existieren.
Skeltek hat geschrieben:
23. Aug 2020, 18:05
Wenn man zwei Dinge vergleicht, muss man sich doch zwangsläufig entscheiden, welche beiden Punkte man vergleicht, sonst ist es doch völlig sinnlos.
Das tue ich. Man vergleicht immer am gemeinsamen Endpunkt der Reise, oder zusätzlich wie beschrieben durch wechselweise Beobachtung lichtartiger Signale. Keine Gleichzeitigkeits-Hyperflächen.


Die Idee des Textes ist es nicht, alle bekannten Konstrukte einzuführen und alle daraus resultierenden Probleme zu lösen, sondern unnötige Konstrukte nicht einzuführen und damit die Probleme gar nicht erst aufregen zu lassen.
Gruß
Tom

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Re: Kurzes Essay plus Diskussion zur Eigenzeit

Beitrag von Skeltek » 24. Aug 2020, 02:39

Ich bin noch nicht dazu gekommen mich komplett durch zu lesen, ich habe immer nur kurze Zeiten, wo ich mich wieder etwas voranlesen kann. Ich habe jetzt auch eben beim vorgreifen deine 'wechselseitige Beobachtung' im letzten Kapitel entdeckt.

Du gehst da auf den räumlichen Abstand ein, den Beobachter A bei passiver Beobachtung seines Vergangenheitslichtkegels dem Beobachter B zuordnet und mit Hilfe dessen man die Eigenzeit des anderen durch Ablesen dessen Lichtuhr erfassen kann(die Zeit, bei welcher die Photonen emmitiert wurden). Dabei erhälst du doch exakt den maximalen Gangunterschied, den die beiden hätten, wenn B unmittelbar nach dem Absenden der Lichtsignale mit v=c auf A zugeflogen wäre. Das ist doch genau der von mir zuvor beschriebene Umstand, daß der momentan optisch erfasste Abstand (als Strecke auf dem Lichtkegel) in den Gangunterschied einfließt.
Du gehst (bei Relativbewegung v=0) von Position des anderen auf der Gegenwarts-Hyperfläche senkrecht nach unten und kannst beim Schnittpunkt mit dem Vergangenheitslichtkegel die Obergrenze des Gangunterschiedes ermitteln. Ist die Relativbewegung ungleich Null verfolgt man halt C2 solange rückwärts, bis man den Schnittpunkt mit dem Kegel hat.
Der Unterschied zu meiner Erklärung ist lediglich der, daß ich den Zukunftslichtkegel des anderen von der Gegenwartshyperfläche mit der eigenen Weltlinie C1 schneiden lasse. Die momentane Position des anderen auf der Gegenwartshyperläche ist halt zunächst Spekulation (lässt sich aber durch vorherige Absprache der Flugroute ausgleichen).
tomS hat geschrieben: (1)Die Eigenzeit ist mathematisch die Länge der Weltlinie, und (2)die Differenz lesen wir auf Uhren ab.
(1) Ja, das stimmt.
(2) Das simultane Ablesen beider Uhren führt bei deiner Lichtkegel-Erklärung für beide Beobachter zu unterschiedlichen Zeitpaaren.
Beobachter A liest die Eigenzeiten TA1 und TB1 ab, Beobachter B liest z.B. die Eigenzeiten TA2 und TB1 simultan ab.
Aber auch bei deiner Beschreibung hängt es davon ab, wer von beiden 'den Lichtkegelmantel entlang reitet' um die Raumkoordinatengleichheit herzustellen.

Ich fasse es mal zusammen wie ich es sehe:
1. Hin- und Rückweg sind nicht gleich, da die Weltlinie des anderen die eigenen beiden Lichtkegel nicht äquidistant schneidet.
2. Die Progression der Eigenzeit ist für den Astronauten selbst immer maximal entlang seiner Geodäten.
3. Befinden sich zwei Astronauten an zwei unterschiedlichen Orten ,d.h. räumlich getrennt, wollen wir deren Eigenzeitprogression vergleichen. Dabei sind Distanz/räumliche Anordnung und 'Winkelunterschied' der jeweiligen Tangenteneinheitsvektoren ihrer Weltlinien entscheidend.
Es war bei der eigentlichen Fragestellung 'wessen Zeit vergeht langsamer' völlig unerheblich, wie es zu dieser zu untersuchenden Momentaufnahme ihrer raumzeitlichen Positionen gekommen ist und wie ihre bisherigen Weltlinien aussahen.
4. Wer beim Widertreffen einen negativen Gangunterschied aufweist hängt davon ab, wer seinen Zukunftslichtkegel zum anderen hin kippt (äquivalent mit einem Kippen der Gegenwartshyperfläche).
5. Was du machst ist die Integration entlang der Weltlinien C* mit einer Bijektion zwischen Strecke und Eigenzeit. Das kann man für jeden Astronauten separat machen. Mir fehlt aber für meinen persönlichen Geschmack noch eine anschaulichere Darstellung für Siebenstein, wovon abhängig ist, wer 'weiter hinten' auf der Zeitachse ist. Mir lag viel daran zu verdeutlichen, daß dies von der 'Richtung der Zeitachse' abhängt (der Orthogonale zur Gleichzeitigkeits-Hyperebene). Da es keine ausgezeichnete, bevorzugte Gleichzeitigkeits-Hyperebene gibt, wies ich auf die Abhängigkeit ihrer Wahl hin und dem Winkel der Tangenteneinheitsvektoren bezüglich dieser Ebene (wobei die Orthigonale zur Ebene idealerweise eine Geodäte zwischen Start- und Endpunkten der Astronauten sein sollte). Wer eine höhere Zeitdilatation beim Wiedertreffen aufweist hängt also primär davon ab, welcher Astronaut zwischen Start- und Endpunkt am wenigsten von der idealen Verbindungslinie abweicht(!). Wer den Kurs ändert, um ein Treffen herbeizuführen, ist derjenige, welcher den Endpunkt seiner Weltlinie auf die Weltlinie des anderen verlegt und somit das Verhältnis von selbst zurückzulegender Strecke im Verhätniss zur Strecke des anderen Astronauten maximiert.
Bei deiner Ausführung (die ich persönlich ziemlich gut finde), gehst du auf die bisherigen Verläufe der Weltlinien ein, integrierst entlang dieser und gibst die Eigenzeitverläufe entlang dieser Weltlinien an. Mir fehlt persönlich der Zusatz, daß man eine beliebige Gleichzeitigkeits-Hyperebene wählen kann und sich diese immer mit beiden Weltlinien schneidet.

Was du bei deiner 'kontinuierlichen wechselseitigen Beobachtung der Eigenzeiten' machst ist, durch Beobachtung des anderen auf dem Vergangenheitslichtkegel den maximalen Eigenzeitvorteil (im Sinne des Gangunterschiedes) beim Wiedertreffen sicher zu stellen.
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  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

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Re: Kurzes Essay plus Diskussion zur Eigenzeit

Beitrag von tomS » 24. Aug 2020, 08:52

Skeltek hat geschrieben:
24. Aug 2020, 02:39
Du gehst da auf den räumlichen Abstand ein, den Beobachter A bei passiver Beobachtung seines Vergangenheitslichtkegels dem Beobachter B zuordnet und mit Hilfe dessen man die Eigenzeit des anderen durch Ablesen dessen Lichtuhr erfassen kann(die Zeit, bei welcher die Photonen emmitiert wurden). Dabei erhälst du doch exakt den maximalen Gangunterschied, den die beiden hätten, wenn B unmittelbar nach dem Absenden der Lichtsignale mit v=c auf A zugeflogen wäre. Das ist doch genau der von mir zuvor beschriebene Umstand, daß der momentan optisch erfasste Abstand (als Strecke auf dem Lichtkegel) in den Gangunterschied einfließt.
Das hast du offenbar falsch verstanden.

Die beiden Beobachter tauschen direkt ihre lokal gemessenen und lokal photographierten Eigenzeiten per Lichtsignal aus.

Von einem Abstand ist nie die Rede. Er ist sowohl irrelevant als auch unbekannt, im Falle beliebiger Bewegung sogar prinzipiell unbekannt.
Skeltek hat geschrieben:
24. Aug 2020, 02:39
Du gehst (bei Relativbewegung v=0) von Position des anderen auf der Gegenwarts-Hyperfläche senkrecht nach unten und kannst beim Schnittpunkt mit dem Vergangenheitslichtkegel die Obergrenze des Gangunterschiedes ermitteln. Ist die Relativbewegung ungleich Null verfolgt man halt C2 solange rückwärts, bis man den Schnittpunkt mit dem Kegel hat.
Ich betrachte nie die Gegenwarts-Hyperfläche, immer nur die Lichtkgel.
Skeltek hat geschrieben:
24. Aug 2020, 02:39
Die momentane Position des anderen auf der Gegenwartshyperläche ist halt zunächst Spekulation (lässt sich aber durch vorherige Absprache der Flugroute ausgleichen).
Sie bleibt bei unbekannten Flugrouten immer Spekulation; und sie ist irrelevant.
Skeltek hat geschrieben:
24. Aug 2020, 02:39
tomS hat geschrieben: (1)Die Eigenzeit ist mathematisch die Länge der Weltlinie, und (2)die Differenz lesen wir auf Uhren ab.
(1) Ja, das stimmt.
(2) Das simultane Ablesen beider Uhren führt bei deiner Lichtkegel-Erklärung für beide Beobachter zu unterschiedlichen Zeitpaaren.
Beobachter A liest die Eigenzeiten TA1 und TB1 ab, Beobachter B liest z.B. die Eigenzeiten TA2 und TB1 simultan ab.
Es gibt kein simultanes Ablesen.

Das ist weder mein Ziel, noch funktioniert es im allgemeinen Fall. Es geht um observable Größen, nämlich die lokal gemessenen und lokal photographierten sowie per Lichtsignal ausgetauschten Eigenzeiten. Und für diese Observablen gibt’s kein Zwillingsparadoxon ;-)
Skeltek hat geschrieben:
24. Aug 2020, 02:39
1. Hin- und Rückweg sind nicht gleich, da die Weltlinie des anderen die eigenen beiden Lichtkegel nicht äquidistant schneidet.
2. Die Progression der Eigenzeit ist für den Astronauten selbst immer maximal entlang seiner Geodäten.
3. Befinden sich zwei Astronauten an zwei unterschiedlichen Orten ,d.h. räumlich getrennt, wollen wir deren Eigenzeitprogression vergleichen. Dabei sind Distanz/räumliche Anordnung und 'Winkelunterschied' der jeweiligen Tangenteneinheitsvektoren ihrer Weltlinien entscheidend.
Es war bei der eigentlichen Fragestellung 'wessen Zeit vergeht langsamer' völlig unerheblich, wie es zu dieser zu untersuchenden Momentaufnahme ihrer raumzeitlichen Positionen gekommen ist und wie ihre bisherigen Weltlinien aussahen.
4. Wer beim Widertreffen einen negativen Gangunterschied aufweist hängt davon ab, wer seinen Zukunftslichtkegel zum anderen hin kippt (äquivalent mit einem Kippen der Gegenwartshyperfläche).
5. Was du machst ist die Integration entlang der Weltlinien C* mit einer Bijektion zwischen Strecke und Eigenzeit. Das kann man für jeden Astronauten separat machen. Mir fehlt aber für meinen persönlichen Geschmack noch eine anschaulichere Darstellung für Siebenstein, wovon abhängig ist, wer 'weiter hinten' auf der Zeitachse ist. Mir lag viel daran zu verdeutlichen, daß dies von der 'Richtung der Zeitachse' abhängt (der Orthogonale zur Gleichzeitigkeits-Hyperebene). Da es keine ausgezeichnete, bevorzugte Gleichzeitigkeits-Hyperebene gibt, wies ich auf die Abhängigkeit ihrer Wahl hin und dem Winkel der Tangenteneinheitsvektoren bezüglich dieser Ebene (wobei die Orthigonale zur Ebene idealerweise eine Geodäte zwischen Start- und Endpunkten der Astronauten sein sollte). Wer eine höhere Zeitdilatation beim Wiedertreffen aufweist hängt also primär davon ab, welcher Astronaut zwischen Start- und Endpunkt am wenigsten von der idealen Verbindungslinie abweicht(!). Wer den Kurs ändert, um ein Treffen herbeizuführen, ist derjenige, welcher den Endpunkt seiner Weltlinie auf die Weltlinie des anderen verlegt und somit das Verhältnis von selbst zurückzulegender Strecke im Verhätniss zur Strecke des anderen Astronauten maximiert.
1. Hin- und Rückweg sind wechselweise völlig unbekannt. Alles was festliegt ist ein gemeinsamer Start und Zielpunkt.
2. Geodäten liegen im Allgemeinen nicht vor.
3. Verglichen werden die gemessene und photographierte Eigenzeit; dazu sind Distanzen etc. irrelevant. Zur Berechnung benötigt man eine genaue Flugroute. Die beiden Flugrouten müssen dabei nich in einem gemeinsamen Koordinatensystem angegeben werden (was z.B. für Rindlerbeobachter nicht funktioniert)
Es gibt keine Fragestellung 'wessen Zeit vergeht langsamer' mehr ;-) Es gibt zwei Funktionen, nämlich die Progression der (photographierten und übertragenen) Eigenzeit von B bezogen auf die von A sowie umgekehrt. Die Fragestellung 'wessen Zeit vergeht langsamer' erfordert ein globales Referenzsystem, auf das ich bewusst verzichte.
4. Der Gangunterschied hängt von beiden Weltlinien ab, also von der gesamten Historie.
5. Nein, es gibt keine Bijektion zwischen Strecke und Eigenzeit; es gibt eine (mathematisch komplizierte und unanschauliche) Bijektion zwischen Eigenzeiten. Es gibt auch keine anschaulichere Darstellung „wer 'weiter hinten' auf der Zeitachse ist“. Das ganze Problem mit dem Zwillingsparadoxon lässt sich auf irreführende und im allgemeinen Kontext unzulässiges ist Fragestellungen sowie deren unzureichender Beantwortung zurückzuführen. Und genau das mache ich nicht ;-)
Skeltek hat geschrieben:
24. Aug 2020, 02:39
Bei deiner Ausführung (die ich persönlich ziemlich gut finde), gehst du auf die bisherigen Verläufe der Weltlinien ein, integrierst entlang dieser und gibst die Eigenzeitverläufe entlang dieser Weltlinien an. Mir fehlt persönlich der Zusatz, daß man eine beliebige Gleichzeitigkeits-Hyperebene wählen kann und sich diese immer mit beiden Weltlinien schneidet.
Danke für das Kompliment.

Ich weiß nicht, ob der Zusatz fehlt, bzw. was mit diesen Gleichzeitigkeits-Hyperebenen besser wird. Für nicht-inertiale Beobachter ist die Wahl lokaler Gleichzeitigkeits-Hyperebenen möglich jedoch nicht zielführend. Für inertiale Beobachter führt er zur Identifizierung von Eigen- und Koordinatenzeiten - und das ist letztlich die Ursache für die Verwirrung und das vermeintliche Paradoxon.

Ein sinnvoller Ansatz ist die Wahl eines von beiden Beobachtern unabhängigen Koordinatensystems, das nicht als Gleichzeitigkeits-Hyperebene interpretiert wird. In dieser Interpretation bzw. Identifizierung sowie dann naheliegender jedoch letztlich falscher Schlussfolgerungen steckt die Ursache für das vermeintliche Paradoxon.


Evtl. musst du nochmal den Anfang des Artikels lesen und meine Intention besser verstehen bzw. kritisieren:

Ich vermeide unnötige Konstrukte, betrachte ausschließlich Observablen und zeige, dass dabei kein Paradoxon entsteht.

Wenn ich also etwas weglasse, dann ist das Absicht. Wozu soll ich etwas einführen, was keine Observablen liefert, in der ART nicht zur Verfügung steht und auch noch Interpretationsprobleme verursacht?
Gruß
Tom

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Re: Kurzes Essay plus Diskussion zur Eigenzeit

Beitrag von tomS » 24. Aug 2020, 09:06

Nochmal zu den wichtigsten Aussagen in meinem Text:

Ziel dieses kurzen Textes ist keine erneute Diskussion und angebliche Lösung des Zwillingsparadoxons, sondern
eine Darstellung, die eine Konstruktion bzw. das Entstehen des vermeintlichen Paradoxons von vornherein
vermeidet. Im Zentrum stehen beobachtbare Größen sowie die Gültigkeit der Darstellung auch und insbesondere
für die Allgemeine Relativitätstheorie.

Das Zwillingsparadoxon wird häufig mittels der Zeitdilatation von Koordinatenzeiten zwischen (stückweise)
geradlinig gleichformig bewegten d.h. inertialen Beobachtern diskutiert. Dies hat konzeptionelle Nachteile

...

Daher soll im Folgenden ein eher deduktiver, geometrischen Ansatz diskutiert werden, der Spezialfälle und
daraus resultierende Fehlinterpretationen von vornherein vermeidet
, direkt hin zur Allgemeinen Relativitäts-
theorie verallgemeinert werden kann und auf invariante Observablen fokussiert ...
Dies schließt die Vermeidung der Verwendung von Lorentztransformationen ein ... sowie damit einhergehend den möglichst
weitgehenden Verzicht auf Koordinaten – außer als Hilfsmittel zur Berechnung – die Vermeidung von dreidimensionalen Begriffen ...
Gruß
Tom

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Re: Kurzes Essay plus Diskussion zur Eigenzeit

Beitrag von Skeltek » 24. Aug 2020, 12:37

tomS hat geschrieben:
24. Aug 2020, 08:52
Skeltek hat geschrieben:
24. Aug 2020, 02:39
Du gehst da auf den räumlichen Abstand ein, den Beobachter A bei passiver Beobachtung seines Vergangenheitslichtkegels dem Beobachter B zuordnet und mit Hilfe dessen man die Eigenzeit des anderen durch Ablesen dessen Lichtuhr erfassen kann(die Zeit, bei welcher die Photonen emmitiert wurden). Dabei erhälst du doch exakt den maximalen Gangunterschied, den die beiden hätten, wenn B unmittelbar nach dem Absenden der Lichtsignale mit v=c auf A zugeflogen wäre. Das ist doch genau der von mir zuvor beschriebene Umstand, daß der momentan optisch erfasste Abstand (als Strecke auf dem Lichtkegel) in den Gangunterschied einfließt.
Das hast du offenbar falsch verstanden.

Die beiden Beobachter tauschen direkt ihre lokal gemessenen und lokal photographierten Eigenzeiten per Lichtsignal aus.

Von einem Abstand ist nie die Rede. Er ist sowohl irrelevant als auch unbekannt, im Falle beliebiger Bewegung sogar prinzipiell unbekannt.
Ich meinte folgenden Abstand:
Lichtkegel_Weltlinien_Schnitte.jpg
Lichtkegel_Weltlinien_Schnitte.jpg (8.27 KiB) 721 mal betrachtet
Durch diesen Abstand wird eine untere Schranke für den Gangunterschied festgelegt, wenn man sich von da an geradlinig bewegt und der andere für ein Schnittpunkt der Weltlinien sorgen muss. Ein Zukunftslichtkegel durch V gibt auch die Menge aller möglichen Weltlinien vor, welche Astronaut2 von da ab gegangen sein kann; das schränkt die Anzahl möglicher Entwicklungen von C2 ab V ein. Es ist doch egal ob Astronaut 1 die Uhr bei V abliest, oder Astronaut die Zeit selbst abliest und diese dann per Lichtsignal kodiert übermittelt.
tomS hat geschrieben:
24. Aug 2020, 08:52
Skeltek hat geschrieben:
24. Aug 2020, 02:39
Du gehst (bei Relativbewegung v=0) von Position des anderen auf der Gegenwarts-Hyperfläche senkrecht nach unten und kannst beim Schnittpunkt mit dem Vergangenheitslichtkegel die Obergrenze des Gangunterschiedes ermitteln. Ist die Relativbewegung ungleich Null verfolgt man halt C2 solange rückwärts, bis man den Schnittpunkt mit dem Kegel hat.
Ich betrachte nie die Gegenwarts-Hyperfläche, immer nur die Lichtkgel.
Ich denke trotzdem das Gedankenexperiment mit Relativgeschwindigkeit v=0 wäre erlaubt:
Lichtkegel_senkrecht_Schranke.jpg
Lichtkegel_senkrecht_Schranke.jpg (10.25 KiB) 721 mal betrachtet
Die Lichtminute Abstand wandelt sich in 1 Minute Vorsprung um, für jeweils den anderen, je nachdem wer die Bewegungsrichtung ändert.

Verstehe mich hier nicht falsch. Ich verstehe dein PDF durchaus. Du hattest das Anfertigen des PDFs jedoch als Umschreibungsabsicht einer Kritik an meiner Erklärung im anderen Thread initiiert. Ich ging bei der wechselseitigen Betrachtung auch vom Schnittpunkt mit dem Vergangenheitslichtkegel aus (den du als Ablesen und übermitteln der Eigenzeit von Astronaut 2 bei V beschreibst), habe dann jedoch darauf aufbauend die rote Strecke im Schaubild nach oben verschoben.
tomS hat geschrieben:
24. Aug 2020, 08:52
Skeltek hat geschrieben:
24. Aug 2020, 02:39
tomS hat geschrieben: (1)Die Eigenzeit ist mathematisch die Länge der Weltlinie, und (2)die Differenz lesen wir auf Uhren ab.
(1) Ja, das stimmt.
(2) Das simultane Ablesen beider Uhren führt bei deiner Lichtkegel-Erklärung für beide Beobachter zu unterschiedlichen Zeitpaaren.
Beobachter A liest die Eigenzeiten TA1 und TB1 ab, Beobachter B liest z.B. die Eigenzeiten TA2 und TB1 simultan ab.
Es gibt kein simultanes Ablesen.

Das ist weder mein Ziel, noch funktioniert es im allgemeinen Fall. Es geht um observable Größen, nämlich die lokal gemessenen und lokal photographierten sowie per Lichtsignal ausgetauschten Eigenzeiten. Und für diese Observablen gibt’s kein Zwillingsparadoxon ;-)
Ja, das gibt's da tatsächlich nicht. Es war kein Vorwurf, sondern eher eine Feststellung, daß du dich auf die 'Randbedinungen' beschränkst. Du nimmst ein Koordinatensystem als Hilfsmittel um die Länge der Weltlinien in Eigenzeit zu ermitteln (auch wenn es wegen der Invarianz irrelevant ist welches).
tomS hat geschrieben:
24. Aug 2020, 08:52
Skeltek hat geschrieben:
24. Aug 2020, 02:39
1. Hin- und Rückweg sind nicht gleich, da die Weltlinie des anderen die eigenen beiden Lichtkegel nicht äquidistant schneidet.
2. Die Progression der Eigenzeit ist für den Astronauten selbst immer maximal entlang seiner Geodäten.
3. Befinden sich zwei Astronauten an zwei unterschiedlichen Orten ,d.h. räumlich getrennt, wollen wir deren Eigenzeitprogression vergleichen. Dabei sind Distanz/räumliche Anordnung und 'Winkelunterschied' der jeweiligen Tangenteneinheitsvektoren ihrer Weltlinien entscheidend.
Es war bei der eigentlichen Fragestellung 'wessen Zeit vergeht langsamer' völlig unerheblich, wie es zu dieser zu untersuchenden Momentaufnahme ihrer raumzeitlichen Positionen gekommen ist und wie ihre bisherigen Weltlinien aussahen.
4. Wer beim Widertreffen einen negativen Gangunterschied aufweist hängt davon ab, wer seinen Zukunftslichtkegel zum anderen hin kippt (äquivalent mit einem Kippen der Gegenwartshyperfläche).
5. Was du machst ist die Integration entlang der Weltlinien C* mit einer Bijektion zwischen Strecke und Eigenzeit. Das kann man für jeden Astronauten separat machen. Mir fehlt aber für meinen persönlichen Geschmack noch eine anschaulichere Darstellung für Siebenstein, wovon abhängig ist, wer 'weiter hinten' auf der Zeitachse ist. Mir lag viel daran zu verdeutlichen, daß dies von der 'Richtung der Zeitachse' abhängt (der Orthogonale zur Gleichzeitigkeits-Hyperebene). Da es keine ausgezeichnete, bevorzugte Gleichzeitigkeits-Hyperebene gibt, wies ich auf die Abhängigkeit ihrer Wahl hin und dem Winkel der Tangenteneinheitsvektoren bezüglich dieser Ebene (wobei die Orthigonale zur Ebene idealerweise eine Geodäte zwischen Start- und Endpunkten der Astronauten sein sollte). Wer eine höhere Zeitdilatation beim Wiedertreffen aufweist hängt also primär davon ab, welcher Astronaut zwischen Start- und Endpunkt am wenigsten von der idealen Verbindungslinie abweicht(!). Wer den Kurs ändert, um ein Treffen herbeizuführen, ist derjenige, welcher den Endpunkt seiner Weltlinie auf die Weltlinie des anderen verlegt und somit das Verhältnis von selbst zurückzulegender Strecke im Verhätniss zur Strecke des anderen Astronauten maximiert.
1. Hin- und Rückweg sind wechselweise völlig unbekannt. Alles was festliegt ist ein gemeinsamer Start und Zielpunkt.
Das war meine Erklärung, weshalb man nur mit den Lichtkegeln arbeiten kann und man keine 'Distanz' im klassischen Sinne verwenden kann. Das sind wir uns doch einig?
tomS hat geschrieben:
24. Aug 2020, 08:52
2. Geodäten liegen im Allgemeinen nicht vor.
Ja, trotzdem ist die Aussage, der Tangenteneinheitsvektor habe für ihn selbst immer die Länge 1, nicht falsch. Okay, ich hab wohl versehentlich Geodäte statt Weltlinie geschrieben.
tomS hat geschrieben:
24. Aug 2020, 08:52
3. Verglichen werden die gemessene und photographierte Eigenzeit; dazu sind Distanzen etc. irrelevant. Zur Berechnung benötigt man eine genaue Flugroute. Die beiden Flugrouten müssen dabei nich in einem gemeinsamen Koordinatensystem angegeben werden (was z.B. für Rindlerbeobachter nicht funktioniert)
Wenn ich den CMB betrachte, weiß ich, daß ich ihm gegenüber einen Gangunterschied von ca 14 Milliarden Jahren habe. Das skaliert ziemlich exakt mit der Distanz (die Expansion des Universums vernachlässigen wir mal), wenn man diese in Lichtjahren misst. Es ist die Strecke, die man auf dem Vergangenheitslichtkegel abtragen muss.
tomS hat geschrieben:
24. Aug 2020, 08:52
Es gibt keine Fragestellung 'wessen Zeit vergeht langsamer' mehr ;-) Es gibt zwei Funktionen, nämlich die Progression der (photographierten und übertragenen) Eigenzeit von B bezogen auf die von A sowie umgekehrt. Die Fragestellung 'wessen Zeit vergeht langsamer' erfordert ein globales Referenzsystem, auf das ich bewusst verzichte.
Da sind wir uns ja einig. Mir ging es halt darum, weshalb bei der Integration der Eigenzeit entlang der Weltlinien zwischen Start und Widertreffen ein anderes Ergebnis heraus kommt. Meine Aussage war, daß die infinitesimalen Stücke der Strecke umso mehr zur Dillatation beitragen, umso mehr sie gegenüber der Geodäten zwischen Start und Wiedertreffen gekippt sind. Ich hätte eher statt nach C zu integrieren, nach der Vektorkomponente integriert, welche parallel zur der Geodäten ist, welche durch Start und Wiedertreffen geht, auch wenn dann die Formel etwas komplizierter ausgefallen wäre.
tomS hat geschrieben:
24. Aug 2020, 08:52
4. Der Gangunterschied hängt von beiden Weltlinien ab, also von der gesamten Historie.
Ja, wobei für den Gangunterschied aber nur eine Teilkomponente des Differentials des Bewegungsvektors verantwortlich ist. (vielleicht sollte ich hier eine Skizze nachreichen, falls das unverständlich ist?)
tomS hat geschrieben:
24. Aug 2020, 08:52
5. Nein, es gibt keine Bijektion zwischen Strecke und Eigenzeit; es gibt eine (mathematisch komplizierte und unanschauliche) Bijektion zwischen Eigenzeiten. Es gibt auch keine anschaulichere Darstellung „wer 'weiter hinten' auf der Zeitachse ist“. Das ganze Problem mit dem Zwillingsparadoxon lässt sich auf irreführende und im allgemeinen Kontext unzulässiges ist Fragestellungen sowie deren unzureichender Beantwortung zurückzuführen. Und genau das mache ich nicht ;-)
'Strecke' war nicht rein räumlich gemeint. Man kann jedem durchflogenen Raumzeitpunkt eine eindeutige Zeit der Lichtuhr zuordnen.
tomS hat geschrieben:
24. Aug 2020, 08:52
Skeltek hat geschrieben:
24. Aug 2020, 02:39
Bei deiner Ausführung (die ich persönlich ziemlich gut finde), gehst du auf die bisherigen Verläufe der Weltlinien ein, integrierst entlang dieser und gibst die Eigenzeitverläufe entlang dieser Weltlinien an. Mir fehlt persönlich der Zusatz, daß man eine beliebige Gleichzeitigkeits-Hyperebene wählen kann und sich diese immer mit beiden Weltlinien schneidet.
Danke für das Kompliment.
Keine Ursache. Mache ich ja nicht oft.
tomS hat geschrieben:
24. Aug 2020, 08:52
Ich weiß nicht, ob der Zusatz fehlt, bzw. was mit diesen Gleichzeitigkeits-Hyperebenen besser wird. Für nicht-inertiale Beobachter ist die Wahl lokaler Gleichzeitigkeits-Hyperebenen möglich jedoch nicht zielführend. Für inertiale Beobachter führt er zur Identifizierung von Eigen- und Koordinatenzeiten - und das ist letztlich die Ursache für die Verwirrung und das vermeintliche Paradoxon.
Die Idee war ursprünglich darzulegen, daß in der flachen Raumzeit nur eine Teilkomponente des 4er Vektors für die Dillatation verantwortlich ist... der zur Start-Ende-Verbindungslinie parallele Anteil des Bewegungsvektors ist ausreichend, die dazu orthogonalen Vektoren kann man mit Mühe aus der Gleichung heraus kürzen.
tomS hat geschrieben:
24. Aug 2020, 08:52
Ein sinnvoller Ansatz ist die Wahl eines von beiden Beobachtern unabhängigen Koordinatensystems, das nicht als Gleichzeitigkeits-Hyperebene interpretiert wird. In dieser Interpretation bzw. Identifizierung sowie dann naheliegender jedoch letztlich falscher Schlussfolgerungen steckt die Ursache für das vermeintliche Paradoxon.
Das Koordinatensystem ist beliebig und deine Observablen in jedem dieser Systeme invariant. Ich wähle halt gerne welche, die mit gewissen Eigenheiten koinzidieren.
tomS hat geschrieben:
24. Aug 2020, 08:52
Evtl. musst du nochmal den Anfang des Artikels lesen und meine Intention besser verstehen bzw. kritisieren:
Ja, mache ich dann heute/morgen.

Unterm Strich denke ich:
Meine Aussage: Es gibt kein bevorzugtes Koordinatensystem; wer einen Zeitvorsprung hat kann man so nicht sagen und zeige das über die Relativität der Gleichzeitigkeit.
Deine Aussage: Man soll es koordinatensystemunabhängig betrachten (weil man aus den Hyperebenen nichts herleiten kann für räumlich getrennte Beobachter) und am besten invariante Observablen verwenden.
Ich denke unsere Ansichten sind gar nicht so verschieden. Wir halten halt nur unterschiedliche Methoden für didaktisch sinnvoller.
Dateianhänge
Lichtkegel_senkrecht_Schranke.jpg
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  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
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Re: Kurzes Essay plus Diskussion zur Eigenzeit

Beitrag von Skeltek » 24. Aug 2020, 12:49

Sorry, kriege die falsch verlinkten jpegs nicht mehr aus dem Beitrag
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Re: Kurzes Essay plus Diskussion zur Eigenzeit

Beitrag von tomS » 24. Aug 2020, 14:49

Ich vermeide jetzt mal zu viele und zu lange Zitate, sonst wird das zu unübersichtlich.

Im wesentlichen sind wir uns einig.

Abweichungen sehe ich wie folgt:
Skeltek hat geschrieben:
24. Aug 2020, 12:37
Es ist doch egal ob Astronaut 1 die Uhr bei V abliest, oder Astronaut die Zeit selbst abliest und diese dann per Lichtsignal kodiert übermittelt.
Nee, ist es nicht. Der nicht bei V befindliche Astronaut kann die Uhr nicht bei V ablesen; er kann sie nur an seinem eigenen Ort ablesen, also per Lichtsignal.
Skeltek hat geschrieben:
24. Aug 2020, 12:37
... daß die infinitesimalen Stücke der Strecke umso mehr zur Dilatation beitragen, umso mehr sie gegenüber der Geodäten zwischen Start und Wiedertreffen gekippt sind.

... wobei für den Gangunterschied aber nur eine Teilkomponente des Differentials des Bewegungsvektors verantwortlich ist

... daß in der flachen Raumzeit nur eine Teilkomponente des 4er Vektors für die Dilatation verantwortlich ist... der zur Start-Ende-Verbindungslinie parallele Anteil des Bewegungsvektors ist ausreichend, die dazu orthogonalen Vektoren kann man mit Mühe aus der Gleichung heraus kürzen
Diese Argumentation kannst du in der flachen Raumzeit bei abschnittsweise inertialer Bewegung aufrechterhalten, im Allgemeinen nicht (der Grund ist mathematisch etwas verzwickt, weswegen ich das gerne zurückstellen möchte; es trägt auch nichts zum Kern der Sache bei).
Skeltek hat geschrieben:
24. Aug 2020, 12:37
-- Das Koordinatensystem ist beliebig und deine Observablen in jedem dieser Systeme invariant. Ich wähle halt gerne welche, die mit gewissen Eigenheiten koinzidieren.
Das halte ich für die wesentliche didaktische Falle, insbs. wenn man die Koordinatensystemen der Beobachter heranzieht. Das tue ich bewusst nicht.

Die Konstruktion hypothetischer Gleichzeitigkeitsyperflächen für die Beobachter sowie deren Koordinatenzeit = Eigenzeit suggeriert, ein Astronaut hätte sozusagen die Möglichkeit eines instantanen Fernzugriffs auf die Zeit des jeweils anderen Astronauten: das ist rein rechnerisch unter bestimmten Bedingungen möglich, jedoch nicht praktisch, nicht im Zuge einer realen Beobachtung; und damit führt die Gleichzeitigkeitsyperfläche ein für die physikalische Argumentation irrelevantes Konzept ein, das zudem das Zwillingsparadoxon erst ermöglich.

Daher benutze ich bewusst irgendein Koordinatensystem, ohne zu diskutieren, dass ich dieses wiederum mit einem Beobachter (einem Schiedrichter, sozusagen) assoziieren könnte.

Außerdem: in der ART sind Koordinaten i.A. keine Observablen (mit Ausnahme der Konstruktion für spezielle Koordinaten im Tangential- / Kotangentialraum, die man direkt mit Observablen für geeignet mitbewegte Beobachter identifizieren kann; das führt aber eindeutig zu weit).
Gruß
Tom

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Re: Kurzes Essay plus Diskussion zur Eigenzeit

Beitrag von Skeltek » 25. Aug 2020, 02:15

tomS hat geschrieben: Nee, ist es nicht. Der nicht bei V befindliche Astronaut kann die Uhr nicht bei V ablesen; er kann sie nur an seinem eigenen Ort ablesen, also per Lichtsignal.
Wo ist der Unterschied? In beiden Fällen wertet er ein optisches Signal aus, welches ihn von diesem V mit c erreicht? In beiden Fällen kann er gleichermaßen (nicht?) beurteilen, wie lange das Signal unterwegs war.
tomS" hat geschrieben: Diese Argumentation kannst du in der flachen Raumzeit bei abschnittsweise inertialer Bewegung aufrechterhalten, im Allgemeinen nicht (der Grund ist mathematisch etwas verzwickt, weswegen ich das gerne zurückstellen möchte; es trägt auch nichts zum Kern der Sache bei).
Ja, der allgemeine Fall wäre kompliziert und würde nicht zur Verdeutlichung taugen. Ich stelle es mir eben als mehrdimensionale Gitter vor, welche um einen 'Winkel' alpha ([-unendlich,+unendlich]) gegeneinander gekippt sind, welcher vom 4er Impuls abhängt. (das sollte ich mich nochmal anlesen, ist zu lange her)
tomS hat geschrieben: Die Konstruktion hypothetischer Gleichzeitigkeitsyperflächen für die Beobachter sowie deren Koordinatenzeit = Eigenzeit suggeriert, ein Astronaut hätte sozusagen die Möglichkeit eines instantanen Fernzugriffs auf die Zeit des jeweils anderen Astronauten: das ist rein rechnerisch unter bestimmten Bedingungen möglich, jedoch nicht praktisch, nicht im Zuge einer realen Beobachtung; und damit führt die Gleichzeitigkeitsyperfläche ein für die physikalische Argumentation irrelevantes Konzept ein, das zudem das Zwillingsparadoxon erst ermöglich
Ich glaube du hast da einen konzeptionellen Denkfeler bei der Vorstellung von Gleichzeitigkeitshyperflächen und bist bisher noch nicht auf einen Fall getroffen, der dich an deiner Vorstellung hat zweifeln lassen. Die Hyperflächen der Gleichzeitigkeit sind (nach meiner Auffassung) in der Praxis Kugeloberflächen und keine 'Gegenwarten'/Momentaufnahmen des gesammten Weltraums. Sendet man einen omidirektionalen Lichtpuls aus, sind die Dinge simultan, welche den Lichtpuls in derselben Entfernung vom Pulsemitter empfangen.
Aber das hat zugegebenermaßen auch seine Mängel, da man beim Empfang eines Photons nur spekulieren kann, wie lange es bereits unterwegs war.
Ich kann nicht beurteilen ob es etwas falsches suggeriert. Der Impulssender und Empfänger können sich nicht instantan austauschen - man kann nur äquidistante Empfänger von der Lichtquelle definieren, die man dann für sich als Sender als simultane Ereignisse einstuft. Aber ich denke das trängt auch nicht zur Debatte hier weiter bei, weil es im Allgemeinen keinen flachen Raum gibt.
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Re: Kurzes Essay plus Diskussion zur Eigenzeit

Beitrag von tomS » 25. Aug 2020, 07:13

Skeltek hat geschrieben:
25. Aug 2020, 02:15
Ich glaube du hast da einen konzeptionellen Denkfeler bei der Vorstellung von Gleichzeitigkeitshyperflächen ... Die Hyperflächen der Gleichzeitigkeit sind (nach meiner Auffassung) in der Praxis Kugeloberflächen und keine 'Gegenwarten'/Momentaufnahmen des gesammten Weltraums. Sendet man einen omidirektionalen Lichtpuls aus, sind die Dinge simultan, welche den Lichtpuls in derselben Entfernung vom Pulsemitter empfangen.
Sorry, aber das ist deine private Definition und hat nichts mit der in der Literatur verwendeten zu tun ;-)

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Light_c ... d_line.svg
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Relativ ... multaneity
https://web.math.princeton.edu/~aretakis/columbiaGR.pdf
Gruß
Tom

Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

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