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Zu einigen Begriffen der ART

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Re: Zu einigen Begriffen der ART

Beitrag von Skeltek » 27. Jan 2017, 05:35

seeker hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben:Ich bezeichne JEDES Koordinatensystem als unphysikalisch.
Das hab ich so gar nicht gesagt, das hat ein anderer so gekaut.

Ich glaube aber, dass Koordinatensysteme und die Realität zumindest Ordnungsrelationen gemeinsam haben; man kann vielleicht zumindest ohne Metrik das eine auf das andere abbilden.
Leider sind die Koordinatensysteme welche wir praktisch verwenden können dimensional begrenzt und haben keine variable Dimensionalität.

Gibt es so etwas wie ein 3,7346735...-dimensionales Koordinatensystem? Können sich die Dimensionen von einer Koordinate zur nächsten ändern?
Das ganze ist natürlich völlig unmathemaisch...
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Re: Zu einigen Begriffen der ART

Beitrag von tomS » 27. Jan 2017, 08:08

Skeltek hat geschrieben:
seeker hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben:Ich bezeichne JEDES Koordinatensystem als unphysikalisch.
Das hab ich so gar nicht gesagt, das hat ein anderer so geklaut.
Das habe ich gesagt.
Skeltek hat geschrieben:Leider sind die Koordinatensysteme welche wir praktisch verwenden können dimensional begrenzt und haben keine variable Dimensionalität.
Wozu sollte das gut sein?

Koordinatensysteme sind mathematische Hilfsmittel zur Beschreibung von Mannigfaltigkeiten; wenn wir ein anderes Objekt wie z.B. ein Fraktal beschreiben wollen, dann nutzen wir eben andere Hilfsmittel.
Gruß
Tom

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Re: Zu einigen Begriffen der ART

Beitrag von ralfkannenberg » 27. Jan 2017, 10:10

Skeltek hat geschrieben:Gibt es so etwas wie ein 3,7346735...-dimensionales Koordinatensystem? Können sich die Dimensionen von einer Koordinate zur nächsten ändern?
Das ganze ist natürlich völlig unmathemaisch...
Hallo Skeltek,

das ist sogar sehr mathematisch und kann mit Hausdorff-Dimensionen beschrieben warden.

Gestern hatte er seinen 75.Todestag, d.h. gestern vor 75 Jahren schied Felix Hausdorff zusammen mit seiner Frau und deren Schwester freiwillig aus dem Leben, um der von den Nationalsozialisten angeordneten Übersiedlung in das Endenicher Lager bei Bonn zu entgehen. Das war ein "Zwischenlager", von dem dann später die Transporte in die Vernichtungslager im Osten erfolgten.

Auch ein Kapitel deutscher Geschichte ...


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Zu einigen Begriffen der ART

Beitrag von tomS » 27. Jan 2017, 10:18

Aber dazu gibt es doch keine Koordinatensysteme
Gruß
Tom

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Re: Zu einigen Begriffen der ART

Beitrag von bitstreamout » 28. Jan 2017, 20:08

Hmmm ... kleiner Streit zwischen Mathematik(er) und Physik(er)? Ich bin zwar etwas eingerostet und wenn ich mich richtg erinnere, reden Mathematiker und Physiker gerne aneinander vorbei :) Daher würde/könnte es helfen, erstmal die Begrifflichkeiten zu klären, um eine gemeinsame Sprache zu finden.

Nix für ungut und sorry für die Einmischung
Werner
arXiv:gr-qc/0009013

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Re: Zu einigen Begriffen der ART

Beitrag von tomS » 29. Jan 2017, 12:49

Ich möchte nochmals auf das o.g. Beispiel zurückkommen:
tomS hat geschrieben:Gegeben sei nun ein beliebiges Koordinatensystem, und in diesem Koordinatensystem ein beliebiger Beobachter mit Vierergeschwindigkeit

uμ = (u0, ui)

ω = uμ kμ

Betrachten wir den selben Beobachter sowie das selbe Lichtsignal in einem anderen Koordinatensystem. Es gilt

ω = u'μ k'μ

für beliebige Koordinatensysteme.
Es liegt ein Lichtsignal k und ein beliebiger, jedoch fester Beobachter u vor. Dieser Beobachter misst eine Frequenz ω. In der o.g. Formel zur Berechnung von ω ist der kinematische Dopplereffekt sozusagen automatisch eingebaut. Das Koordinatensystem ist dabei i.A. nicht mit dem Ruhesystem des Beobachters identisch (die räumlichen Komponenten ui verschwinden nicht). Natürlich könnte es dem Ruhesystem eines weiteren, hier nicht genannten Beobachters entsprechen.

Ich möchte nun auf den Unterschied zwischen i) Beobachter- und ii) Koordinatenabhängigkeit eingehen.

i) Ein anderer Beobachter B hätte bzgl. des selben Koordinatensystems eine andere Vierergeschwindigkeit uB. Er würde für das selbe Lichtsignal k eine andere Frequenz ωB messen.

in) Der selbe Beobachter wie oben (ohne oberen Index B) hätte bzgl. eines anderen Koordinatensystems eine andere Vierergeschwindigkeit u'. Er würde für das selbe Lichtsignal k' jedoch wieder die selbe Frequenz ω messen.

Es ist wichtig, diesen Unterschied zu verstehen. Er wird leider in vielen Darstellungen zur SRT und zur LT völlig verwischt. Während der Übergang zwischen zwei Beobachtern einen physikalischen Unterschied ausmacht - zwei verschiedene Beobachter erhalten zwei unterschiedliche Messergebnisse - ist der Übergang zwischen zwei Koordinatensystemen physikalisch völlig irrelevant - für die vom selben Beobachter gemessene Frequenz erhält man aus Berechnungen in unterschiedlichen Koordinatensystemen den selben Wert ω.

Um das zu verstehen, muss man m.E. die o.g. Formulierung verwenden, so dass der Unterschied zwischen der gemessene Frequenz ω und der 0-Komponente k0 klar wird. Außerdem muss unterscheiden zwischen der Einführung eines neuen Beobachter mit uB einerseits und der LT des alten Beobachters zu u'.

Das ganze ist so verwirrend, weil (in der SRT) häufig gesagt wird, dass man in das Bezugsystems eines anderen Beobachters mittels LT transformiert. Das ist zwar mathematisch korrekt, hat jedoch physikalisch einen anderen Gehalt.

Um das zu zeigen gehe ich nochmal aus von der ursprünglichen Gleichung

ω = uμ kμ

Nun betrachten wir wieder die zwei Fälle mit i) anderem Beobachter B sowie ii) selbem Beobachter jedoch anderem Koordinatensystem.

Für i) bzw. ii) gilt

ωB = uBμ kμ

ω = u'μ k'μ

i) Konstruiert man nun den neuen Beobachter B mittels LT, so wirkt letztere nur auf u, nicht jedoch auf k; ii) kostruiert man ein neues Koordinatensystem mittels LT, so wirkt letztere auf u und k. In diesem Sinne ist i) physikalisch relevant, da eine physikalisch andere Situation mit neuem Beobachter beschrieben wird, ii) physikalisch irrelevant, da weiterhin die selbe Situation vorliegt.

[Betrachtet man die Koordinatensysteme K, K', K'', ... im Sinne (ii) als Ruhesysteme weiterer gedachtet Beobachter C, C', C'', ..., so bedeutet die LT im Falle (ii), dass alle diese gedachten Beobachter darin übereinstimmen, dass der reale Beobachter die Frequenz ω misst.]

Die verallgemeinerte Invarianz unter Koordinatentransformationen, in der ART die Diffeomorphismeninvarianz, bedeutet, dass die Observable ω unter beliebigen Diffeomorphismen invariant ist, d.h. dass die Berechnung in beliebigen Koordinatensysteme K, K', K'', ... immer zum selben Wert ω führt.

Nochetwas zur Verwirrung bzgl. LT.: In der SRT werden LTs zwischen verschiedenen Beobachtern sowie verschiedenen Koordinatensystemen oft gleichgesetzt (zur Kritik s.o.). In der ART muss man Koordinatentransformationen = Diffeomorphismen einerseits sowie Lorentztransformationen andererseits sauber trennen. Letztere kann lediglich dazu dienen, zwischen zwei Koordinatensystemen mit Ursprung am selben Ort der Raumzeit zu transformieren (lokale Rotationen und Boosts). Allerdings ist die Gruppe der Lorentztransformationen in diesem Sinne nur eine winzige Untergruppe der Diffeomorphismen, die keiner Einschränkung außer ausreichender Glattheit unterliegen, und die insbs. keinen Bezug zu Beobachtern haben müssen.
Gruß
Tom

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Re: Zu einigen Begriffen der ART

Beitrag von tomS » 18. Feb 2017, 10:00

Ich möchte anlässlich der Diskussion in viewtopic.php?f=7&t=3454 nochmal auf diese Erklärung hinweisen.

tomS hat geschrieben:
29. Jan 2017, 12:49
... Nochetwas zur Verwirrung bzgl. LT.: In der SRT werden LTs zwischen verschiedenen Beobachtern sowie verschiedenen Koordinatensystemen oft gleichgesetzt (zur Kritik s.o.). In der ART muss man Koordinatentransformationen = Diffeomorphismen einerseits sowie Lorentztransformationen andererseits sauber trennen. Letztere kann lediglich dazu dienen, zwischen zwei Koordinatensystemen mit Ursprung am selben Ort der Raumzeit zu transformieren (lokale Rotationen und Boosts). Allerdings ist die Gruppe der Lorentztransformationen in diesem Sinne nur eine winzige Untergruppe der Diffeomorphismen, die keiner Einschränkung außer ausreichender Glattheit unterliegen, und die insbs. keinen Bezug zu Beobachtern haben müssen.
Es geht mir insbs. darum, die Vermengung von Beobachter und Koordinatensystem aufzulösen.

Der Beobachter hat eine physikalisch ausgzeichnete Rolle. Er ist es, der physikalische Bobachtungen durchführt und Observablen misst.

Koordinatensysteme sowie koordinatensystemabhängige Größen sind unphysikalische, rein mathematische Hilfskonstrukte, um physikalische Beobachtungen zu berechnen.

Insbs. kann man zwar einem Beobachter immer ein mitbewegtes Koordinatensystem zuordnen, also sozusagen "sein Koordinatensystem", aber man kann seine Beobachtungen auch in anderen Koordinatensystemen, evtl. auch denen von anderen Beobachtern berechnen. Verwendet man zur Berechnung der Beobachtung eines Beobachters das Koordinatensystem eines anderen Beobachters, dann bedeutet dies nicht, dass man die Beobachtung dieses anderen Beobachters berechnet. Man verwendet lediglich ein neues Koordinatensystem. Dass dieses mit einem hypothetischen Beobachter assoziiert werden kann ist irrelevant.

Für ein grundsätzliches Verständnis ist es m.E. am besten, die Beziehung zwischen Beobachter und Koordinatensystem (zunächst) vollständig aufzugeben. Auch sollte man nicht von "aus Sicht des Beobachters" schreiben, wenn man lediglich dessen Koordinatensystem meint. "Aus Sicht ..." meint eine Beobachtung, kein Koordinatensystem.

Wir können gerne für ein schwarzes Loch die verschiedenen Koordinatensysteme einerseits sowie die Beobachter andererseits diskutieren.
Gruß
Tom

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Re: Zu einigen Begriffen der ART

Beitrag von seeker » 18. Feb 2017, 23:25

tomS hat geschrieben:
29. Jan 2017, 12:49
Ich möchte nun auf den Unterschied zwischen i) Beobachter- und ii) Koordinatenabhängigkeit eingehen.

i) Ein anderer Beobachter B hätte bzgl. des selben Koordinatensystems eine andere Vierergeschwindigkeit uB. Er würde für das selbe Lichtsignal k eine andere Frequenz ωB messen.

in) Der selbe Beobachter wie oben (ohne oberen Index B) hätte bzgl. eines anderen Koordinatensystems eine andere Vierergeschwindigkeit u'. Er würde für das selbe Lichtsignal k' jedoch wieder die selbe Frequenz ω messen.

Es ist wichtig, diesen Unterschied zu verstehen.
tomS hat geschrieben:
18. Feb 2017, 10:00
Es geht mir insbs. darum, die Vermengung von Beobachter und Koordinatensystem aufzulösen.

Der Beobachter hat eine physikalisch ausgzeichnete Rolle. Er ist es, der physikalische Bobachtungen durchführt und Observablen misst.

Koordinatensysteme sowie koordinatensystemabhängige Größen sind unphysikalische, rein mathematische Hilfskonstrukte, um physikalische Beobachtungen zu berechnen.
Ich dachte, das sei mir völlig klar. Ist ja auch ganz einfach zu verstehen, dazu braucht man keine höhere Mathematik: Physikalisch relevant/real sind stets nur Ereignisse. Und Ereignisse finden stets lokal bei einem Beobachter statt. Koordinatensysteme oder noch allgemeiner mathematische Berechnungen dienen hier allein dazu die Beobachtungen des Beobachters zu erklären oder vorherzusagen. Deshalb ist es auch zunächst einmal herzlich egal welches KS bzw. welchen Berechnungsweg man dazu nimmt, so lange man richtig rechnet und ein eindeutiges Ergebnis herauskommt.

Ich verstehe auch das hier:
tomS hat geschrieben:
18. Feb 2017, 10:00
Insbs. kann man zwar einem Beobachter immer ein mitbewegtes Koordinatensystem zuordnen, also sozusagen "sein Koordinatensystem", aber man kann seine Beobachtungen auch in anderen Koordinatensystemen, evtl. auch denen von anderen Beobachtern berechnen.
Aber das vestehe ich nicht:
tomS hat geschrieben:
18. Feb 2017, 10:00
Verwendet man zur Berechnung der Beobachtung eines Beobachters das Koordinatensystem eines anderen Beobachters, dann bedeutet dies nicht, dass man die Beobachtung dieses anderen Beobachters berechnet. Man verwendet lediglich ein neues Koordinatensystem. Dass dieses mit einem hypothetischen Beobachter assoziiert werden kann ist irrelevant.
Natürlich muss man, wenn man das tut, hinterher noch eine weitere Rechnung durchführen, wo man dann wieder auf die Eigenzeit dieses anderen Beobachters umrechnet, da diese für die physikalisch relevanten Beobachtungen entscheidend ist, aber ansonsten? Wo ist das Problem? Wieso ist das Ergebnis der Rechnung dann irrelevant?
Vielleicht hab ich den Satz auch nicht verstanden, wie er verstanden werden wollte?
Ich habe verstanden:
"Wenn ein Beobachter A die Beobachtungen eines anderen Beobachters B berechnen will, und dazu sein eigenes mitbewegtes KS verwendet, dann funktioniert das i.A. nicht!"
Wieso denn das?
Grüße
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Re: Zu einigen Begriffen der ART

Beitrag von tomS » 18. Feb 2017, 23:54

Zu deinem letzten Punkt: so ist das nicht gemeint.

Gegeben seien zwei Beobachter B und B' sowie assoziierte Koordinatensysteme K und K', z.B. mitbewegt, Schwarzschildkoordinaten, ... Im folgenden ist die Existenz von B' irrelevant [zudem: man kann jedem Beobachter immer ein Koordinatensystem zuordnen, aber man kann nicht jedem Koordinatensystem auch einen Beobachter zuordnen]

B führt eine Beobachtung durch und berechnet den Wert seiner Observablen OK(B) in seinem Koordinatensystem K. Man kann jedoch auch das Koordinatensystem K' verwenden um OK'(B) = OK(B) berechnen - vorausgesetzt beide überdecken den für O relevanten Bereich der Raumzeit - d.h. der Wert der Observablen O(B) ist unabhängig vom zur Berechnung verwendeten Koordinatensystems; diese Unabhängigkeit ist Voraussetzung dafür, dass es sich bei O um eine Observable handelt. Insbs. bedeutet die Verwendung von K' nicht, dass O(B') berechnet wird (sondern dass z.B. B' mittels K' die Observable für B berechnet).

Bsp.: ein frei ins SL fallender Beobachter B' verwendet "seine" Raindropkoordinaten K', um den Wert der Frequenz O(B) zu berechnen, den der statische Beobachter B für ein Lichtsignal von B' an B misst.
Gruß
Tom

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Re: Zu einigen Begriffen der ART

Beitrag von seeker » 19. Feb 2017, 09:07

Achso.
Das ist ja dann gerade das, was ich auch gesagt habe:
seeker hat geschrieben:
18. Feb 2017, 23:25
Natürlich muss man, wenn man das tut, hinterher noch eine weitere Rechnung durchführen, wo man dann wieder auf die Eigenzeit dieses anderen Beobachters umrechnet, da diese für die physikalisch relevanten Beobachtungen entscheidend ist
Oder doch nicht?

Wenn man das nicht tut, dann kommt nicht direkt das heraus, was B' beobachtet, sondern das, was B von B' beobachtet, würde ich meinen.
tomS hat geschrieben:
18. Feb 2017, 23:54
Insbs. beudeutet die Verwendung von K' nicht, dass O(B') berechnet wird (sondern dass z.B. B' mittels K' die Observable für B berechnet).
Ich würde daher eher sagen, dass die Verwendung von K' i.A. nicht direkt zur rechnerischen Vorhersage von O(B') führt, wohl aber durch eine weitere Rechnung genau dies erreicht werden kann.

Allerdings:
Wenn man nur die schiere Anzahl von Ereignissen in bestimmten Szenarien wissen will (dabei z.B. nur "Unendlich viele oder endliche viele Ereignisse?" wissen will, nicht aber irgendwelche RZ-Koordinaten), sollte das KS, sofern halbwegs sinnvoll, gar keine Rolle spielen: Es muss dann in jedem KS diesbezüglich dasselbe herauskommen (mal abgesehen von evtl. undefinierten Bereichen oder Punkten in einem oder in beiden KS, die für das betrachtete Szenario relevant sind), eben weils ja nur ein KS ist. Daher ist zur Klärung nur einer solchen Frage unter diesen Bedingungen dann auch keine Zusatzberechnung notwendig, man kann hier i.A. frei irgendein KS wählen.
Ja?

Noch eine Nebenbemerkung:
tomS hat geschrieben:
18. Feb 2017, 23:54
Gegeben seien zwei Beobachter B und B' sowie assoziierte Koordinatensysteme K und K'. Im folgenden ist die Existenz von B' irrelevant
Das klingt für mich seltsam. Mit "gegeben seien zwei Beobachter" nimmt man logisch die Existenz zweier Beobachter an.
Mit "Im folgenden ist die Existenz von B' irrelevant ..." negiert man eben diese Existenz eines der Beobachter.
Das ist widersprüchlich, auch dann, wenn man nur wissen will, was z.B. B von B' beobachtet.
Denn wenn B' gar nicht existierte oder irrelevant wäre, dann könnte B selbstverständlich keine Beobachtung von B' machen und nie gemacht haben.
Das einzige was ich da logisch noch sehe ist, dass B' seine Existenz 'schon' beendet haben kann, obwohl B 'noch' Beobachtungen von B' macht.
(Ich weiß! Mir fällt grad keine bessere Formulierung ein. Wichtig ist hier, dass die Kausalität gewahrt bleibt, in dem Sinne möchte ich hier 'schon' und 'noch' verstanden wissen.)
Eine andere Möglichkeit das zu formulieren wäre, zu sagen, dass die weitere Existenz des entfernten B' für die Berechnungen von B zur Vorhersage seiner Beobachtungen irrelevant sei.
Aber dann muss man eben die Möglichkeit in Betracht ziehen, dass diese rechnerischen Vorhersagen dann auch falsch sein können (z.B. verschwinde B' aus irgendeinem Grund unterwegs unerwartet, dann können die Vorhersagen von B ab einem bestimmten Punkt falsch sein), also ist die Existenz von B' auch hier i.A. doch relevant.
Grüße
seeker


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Re: Zu einigen Begriffen der ART

Beitrag von tomS » 19. Feb 2017, 11:15

Ich bin mir mehr denn je unsicher, ob du die Bedeutung von Observable richtig verstanden hast.
seeker hat geschrieben:
19. Feb 2017, 09:07
Achso.
Das ist ja dann gerade das, was ich auch gesagt habe:
seeker hat geschrieben:
18. Feb 2017, 23:25
Natürlich muss man, wenn man das tut, hinterher noch eine weitere Rechnung durchführen, wo man dann wieder auf die Eigenzeit dieses anderen Beobachters umrechnet, da diese für die physikalisch relevanten Beobachtungen entscheidend ist
Oder doch nicht?
Wenn eine Observable O(B) vorliegt, dann wurde eine Berechnung durchgeführt, die den Wert einer messbaren Größe O (z.B. Anzahl Signale, Frequenz, ...) für einen Beobachter B spezifiziert. Da muss nichts mehr für diesen Beobachter umgerechnet werden.
seeker hat geschrieben:
19. Feb 2017, 09:07
Wenn man das nicht tut, dann kommt nicht direkt das heraus, was B' beobachtet, sondern das, was B von B' beobachtet, würde ich meinen.
Nein, eben genau nicht.

O(B) ist das, was B beobachtet. OK(B) ist die Berechnung von O(B) im Koordinatensystem K, und OK'(B) ist die Berechnung von O(B) im Koordininatensystem K'. Beide Berechnungen liefern das selbe Ergebnis (Diffeomorphismeninvarianz, d.h. Unabhängigkeit der Observablen von der Wahl des Koordinatensystems). Deshalb gilt O(B) = OK(B) = OK'(B).

Wenn B' in seinem Koordinatensystem K' diese Berechnung anstellt, dann berechnet er nicht, was er = B' von B beobachten würde, sondern er berechnet wieder, was B beobachtet.

Was B' beobachten würde bezeichne ich mit O(B'), und das ist einfach etwas völlig anderes als O(B). Die Wahl von K bzw. K' hat nichts mit dem Einnehmen der Perspektive B oder B' zu tun.
seeker hat geschrieben:
19. Feb 2017, 09:07
tomS hat geschrieben:
18. Feb 2017, 23:54
Insbs. beudeutet die Verwendung von K' nicht, dass O(B') berechnet wird (sondern dass z.B. B' mittels K' die Observable für B berechnet).
Ich würde daher eher sagen, dass die Verwendung von K' i.A. nicht direkt zur rechnerischen Vorhersage von O(B') führt, wohl aber durch eine weitere Rechnung genau dies erreicht werden kann.
Es ist egal, welches K, K', K'', ... du verwendest. Fakt ist, dass O(B') eine skalare, koordinatensystemunabhängige Größe ist, die lediglich vom gewählten Beobachter B' abhängt. Du kannst O(B') in beliebigen Koordinatensystemen berechnen. Jedes K, K', K'', ... führt direkt zur rechnerischen Vorhersage von O(B').
seeker hat geschrieben:
19. Feb 2017, 09:07
Allerdings:
Wenn man nur die schiere Anzahl von Ereignissen in bestimmten Szenarien wissen will (dabei z.B. nur "Unendlich viele oder endliche viele Ereignisse?" wissen will, nicht aber irgendwelche RZ-Koordinaten), sollte das KS, sofern halbwegs sinnvoll, gar keine Rolle spielen ...
Das gilt für alle Observablen, so ist Observable gerade definiert! Die Wahl des Koordinatensystems spielt für die Berechnung und den Wert einer Observable (Anzahl Lichtimpulse, beobachtete Frequenz, gemessenes Volumen und Energieinhalt in stationären Raumzeiten, ...) nie eine Rolle.
seeker hat geschrieben:
19. Feb 2017, 09:07
Es muss dann in jedem KS diesbezüglich dasselbe herauskommen ... eben weils ja nur ein KS ist. Daher ist zur Klärung nur einer solchen Frage unter diesen Bedingungen dann auch keine Zusatzberechnung notwendig, man kann hier i.A. frei irgendein KS wählen.
Ja?
Ja.
Gruß
Tom

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Re: Zu einigen Begriffen der ART

Beitrag von tomS » 19. Feb 2017, 11:21

seeker hat geschrieben:
19. Feb 2017, 09:07
Noch eine Nebenbemerkung:
tomS hat geschrieben:
18. Feb 2017, 23:54
Gegeben seien zwei Beobachter B und B' sowie assoziierte Koordinatensysteme K und K'. Im folgenden ist die Existenz von B' irrelevant
Das klingt für mich seltsam. Mit "gegeben seien zwei Beobachter" nimmt man logisch die Existenz zweier Beobachter an.
Mit "Im folgenden ist die Existenz von B' irrelevant ..." negiert man eben diese Existenz eines der Beobachter.
Nein, ich negiere sie nicht, ich sage lediglich , dass es irrelevant ist, ob dieser Beobachter tatsächlich existiert; er kannn existieren, muss aber nicht. In der nachfolgenden Argumentation kommt er auch nicht vor.
seeker hat geschrieben:
19. Feb 2017, 09:07
Das ist widersprüchlich, auch dann, wenn man nur wissen will, was z.B. B von B' beobachtet.
Ich betrachte aber nicht, was B von B' beobachtet. Ich betrachte, was B beobachtet, z.B. ein Lichtsignal. Dazu ist B' irrelevant.
seeker hat geschrieben:
19. Feb 2017, 09:07
Denn wenn B' gar nicht existierte oder irrelevant wäre, dann könnte B selbstverständlich keine Beobachtung von B' machen und nie gemacht haben.
dito.


Lies bitte nochmal, was ich geschrieben habe:
tomS hat geschrieben:
18. Feb 2017, 23:54
Gegeben seien zwei Beobachter B und B' sowie assoziierte Koordinatensysteme K und K', z.B. mitbewegt, Schwarzschildkoordinaten, ... Im folgenden ist die Existenz von B' irrelevant [zudem: man kann jedem Beobachter immer ein Koordinatensystem zuordnen, aber man kann nicht jedem Koordinatensystem auch einen Beobachter zuordnen]

B führt eine Beobachtung durch und berechnet den Wert seiner Observablen OK(B) in seinem Koordinatensystem K. Man kann jedoch auch das Koordinatensystem K' verwenden um OK'(B) = OK(B) berechnen - vorausgesetzt beide überdecken den für O relevanten Bereich der Raumzeit - d.h. der Wert der Observablen O(B) ist unabhängig vom zur Berechnung verwendeten Koordinatensystems; diese Unabhängigkeit ist Voraussetzung dafür, dass es sich bei O um eine Observable handelt. Insbs. bedeutet die Verwendung von K' nicht, dass O(B') berechnet wird (sondern dass z.B. B' mittels K' die Observable für B berechnet).
B' kommt in der Argumentation nicht vor, daher ist seine Existenz irrelevant. Das einzige was ich zu B' schreibe ist, dass
tomS hat geschrieben:
18. Feb 2017, 23:54
... insbs. die Verwendung von K' nicht [bedeutet], dass O(B') berechnet wird, sondern dass z.B. B' mittels K' die Observable für B berechnet
Damit ist B' jedoch kein Beobachter im eigtl. Sinn, denn er führt keine Beobachtung durch. Er sitzt einfach gemütlich am Schreibtisch ohne irgendetwas zu beobachten und berechnet einen Wert O(B), den B misst. Aus irgendwelchen Gründen verwendet er dazu seine Koordinaten K', also OK'(B) = O(B).

Halte doch bitte die Wahl von K und K' einerseits sowie B und B' andererseits auseinander.


Ein zentraler Satz steht leider versteckt in Klammern:
tomS hat geschrieben:
18. Feb 2017, 23:54
zudem: man kann jedem Beobachter immer ein Koordinatensystem zuordnen, aber man kann nicht jedem Koordinatensystem auch einen Beobachter.
Gruß
Tom

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Re: Zu einigen Begriffen der ART

Beitrag von seeker » 21. Feb 2017, 12:38

OK, schauen wirs uns konkret an...

Nehmen wir wieder das Szenario mit dem SL, wo B stationär in großer Entfernung zum SL bleibt und B' sich von der gemeinsamen Position von B aus ins SL falllen lässt.
B' schickt in gleichen Eigenzeitabständen Signale (einzelne Photonen) in Richtung B, B detektiert diese Signale.
Der zu generierende Messwert der beiden sei die empfangene bzw. ausgesendete Signalfrequenz f, also Photonen/Zeiteinheit.
Deshalb messen beide noch ihre jeweilige Eigenzeit t und t' und berechnen aus beidem f und f'.

Wir können festhalten, dass sowohl die Messung des Photoneneingangs/- ausgangs als auch die der Eigenzeiten lokal stattfinden und KS-unabhängig sind, d.h. die Messwerte f/f' sind fix, sind wie sie sind. So weit so gut.

Nun möchte B berechnen (er kennt zunächst nur f), welche Signalfrequenz f' von B' gemessen wird.
Wenn er dazu nun Schwarzschildkoordinaten verwendet, dann kommt dabei ein Wert heraus, der die Einheit t hat (das ist die Eigenzeit von B), f' trägt aber die Einheit t'.
Deshalb ist hier eine weitere Rechnung notwendig: t->t'

Wenn er aber Eddington-Finkelstein-Koordinaten verwendet, dann kommt dabei gleich ein Wert mit der Einheit t' heraus (das ist die Eigenzeit von B') und er muss keine weitere Rechnung durchführen.

Und deshalb hatte ich das hier geschrieben:
seeker hat geschrieben: Natürlich muss man, wenn man das tut, hinterher noch eine weitere Rechnung durchführen, wo man dann wieder auf die Eigenzeit dieses anderen Beobachters umrechnet, da diese für die physikalisch relevanten Beobachtungen entscheidend ist.
Gemeint war hier, wenn B Schwarzschildkoordinaten verwendet.

...und das hier:
seeker hat geschrieben:Wenn man das nicht tut, dann kommt nicht direkt das heraus, was B' beobachtet, sondern das, was B von B' beobachtet, würde ich meinen.
Hier war gemeint, dass B aus seiner Messung die Frequenz f berechnet und damit das, was er von B' sieht/beobachtet, nämlich ihn erreichende Photonen, die von B' stammen.

Was ist daran nun falsch?
Grüße
seeker


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Re: Zu einigen Begriffen der ART

Beitrag von tomS » 21. Feb 2017, 13:28

seeker hat geschrieben:
21. Feb 2017, 12:38
Nehmen wir wieder das Szenario mit dem SL, wo B stationär in großer Entfernung zum SL bleibt und B' sich von der gemeinsamen Position von B aus ins SL falllen lässt.
B' schickt in gleichen Eigenzeitabständen Signale (einzelne Photonen) in Richtung B, B detektiert diese Signale.
Der zu generierende Messwert der beiden sei die empfangene bzw. ausgesendete Signalfrequenz f, also Photonen/Zeiteinheit.
Deshalb messen beide noch ihre jeweilige Eigenzeit t und t' und berechnen aus beidem f und f'.

Wir können festhalten, dass sowohl die Messung des Photoneneingangs/- ausgangs als auch die der Eigenzeiten lokal stattfinden und KS-unabhängig sind, d.h. die Messwerte f/f' sind fix, sind wie sie sind. So weit so gut.
Also B sendet in seinem Eigenzeitintervall [t , t + Δt] N einzelne Photonen und berechnet f = N / Δt. B‘ analog.

Die Werte t , Δt, N, f sowie t’ , Δt’, N‘, f‘ sind Observable.

OK.
seeker hat geschrieben:
21. Feb 2017, 12:38
Nun möchte B berechnen (er kennt zunächst nur f), welche Signalfrequenz f' von B' gemessen wird.
Wenn er dazu nun Schwarzschildkoordinaten verwendet, dann kommt dabei ein Wert heraus, der die Einheit t hat (das ist die Eigenzeit von B), f' trägt aber die Einheit t'.
Deshalb ist hier eine weitere Rechnung notwendig: t->t'

Wenn er aber Eddington-Finkelstein-Koordinaten verwendet, dann kommt dabei gleich ein Wert mit der Einheit t' heraus (das ist die Eigenzeit von B') und er muss keine weitere Rechnung durchführen.
f und f‘ sind zwei unterschiedliche Observablen, das hat nichts mit einer Umrechnung zwischen Koordinatensystemen zu tun! (und t bzw. t‘ haben nichts mit Einheiten zu tun; die Einheit ist jeweils Sekunde).

Wenn B auf Basis seiner Observablen t , Δt, N, f die Observablen t’ , Δt’, N‘, f‘ berechnen möchte, dann benötigt er dazu noch weitere Angaben (Abstand, Bewegungszustand von B‘, …). Wenn er all diese Angaben kennt, dann berechnet er einfach diese Observablen t’ , Δt’, N‘, f‘., und das kann er in jedem beliebigen Koordinatensystem tun.
seeker hat geschrieben:
21. Feb 2017, 12:38
Und deshalb hatte ich das hier geschrieben:
seeker hat geschrieben: Natürlich muss man, wenn man das tut, hinterher noch eine weitere Rechnung durchführen, wo man dann wieder auf die Eigenzeit dieses anderen Beobachters umrechnet, da diese für die physikalisch relevanten Beobachtungen entscheidend ist.
Gemeint war hier, wenn B Schwarzschildkoordinaten verwendet.

...und das hier:
seeker hat geschrieben:Wenn man das nicht tut, dann kommt nicht direkt das heraus, was B' beobachtet, sondern das, was B von B' beobachtet, würde ich meinen.
Hier war gemeint, dass B aus seiner Messung die Frequenz f berechnet und damit das, was er von B' sieht/beobachtet, nämlich ihn erreichende Photonen, die von B' stammen.

Was ist daran nun falsch?
Ich weiß nicht wirklich was falsch ist, aber irgendwie habe ich den Eindruck, du hast's noch nicht richtig verstanden.

Können wir das bitte nochmal anhand meines o.g. einfachen Beispiels mit den Lichtfrequenzen besprechen? Das Beispiel hat den Vorteil, dass die Formeln allesamt trivial sind und bereits dastehen. In dem von dir gewählten Beispielen ist die Mathematik sehr aufwändig und man sieht den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Gruß
Tom

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Re: Zu einigen Begriffen der ART

Beitrag von seeker » 21. Feb 2017, 16:01

tomS hat geschrieben:
21. Feb 2017, 13:28
f und f‘ sind zwei unterschiedliche Observablen,
Natürlich sind das unterschiedliche Observablen!
tomS hat geschrieben:
21. Feb 2017, 13:28
das hat nichts mit einer Umrechnung zwischen Koordinatensystemen zu tun!
Natürlich hat das nichts mit Koordinatensystemen zu tun!
tomS hat geschrieben:
21. Feb 2017, 13:28
Wenn B auf Basis seiner Observablen t , Δt, N, f die Observablen t’ , Δt’, N‘, f‘ berechnen möchte, dann benötigt er dazu noch weitere Angaben (Abstand, Bewegungszustand von B‘, …). Wenn er all diese Angaben kennt, dann berechnet er einfach diese Observablen t’ , Δt’, N‘, f‘., und das kann er in jedem beliebigen Koordinatensystem tun.
Ja, auch das. Aber B muss zusätzliche Berechnungen anstellen, wenn er das wissen will (weil er nunmal nicht B' ist).
Und das kann dann einfacher oder komplizierter sein, das ist alles.
tomS hat geschrieben:
21. Feb 2017, 13:28
Ich weiß nicht wirklich was falsch ist, aber irgendwie habe ich den Eindruck, du hast's noch nicht richtig verstanden.
Na ja, ich weiß ehrlich gesagt immer noch nicht recht, auf was du hinaus willst (das über das Obige hinausgeht). Gibt es etwas?
Grüße
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Re: Zu einigen Begriffen der ART

Beitrag von tomS » 21. Feb 2017, 16:07

Reset - ich versuch's nochmal neu - bis gleich ...
Gruß
Tom

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Re: Zu einigen Begriffen der ART

Beitrag von tomS » 21. Feb 2017, 16:21

Ich versuche nochmal auf den alten Beitrag zurückzugreifen und grundsätzlich zu erklären, was eine Observable ist. Ich stelle dabei zunächst die Verwendung von Koordinatensystemen zurück, um herauszustellen, dass Observablen physikalisch realen Gehalt haben, während Koordinatensysteme, d.h. Koordinaten und weitere koordinatensystemabhängige Größen, lediglich mathematische Hilfsgrößen darstellen. Ich verwende eine Variante des Beispiels mit der Lichtfrequenz, da die Mathematik einfacher ist und da wir weniger Größen benötigen als in deinem Beispiel.

Wir betrachten beliebige Beobachter B (ich verwende später speziell S und F, nicht B und B‘, da ich den Strich ausschließlich für die Unterscheidung von Koordinatensystemen K‘, K‘‘, … verwenden möchte)

Gegeben sei Licht mit Wellenzahlvektor k (ich verzichte auf Koordinaten), das von den Beobachtern B an den jeweiligen Raumzeit-Punkten PB und mit Bewegungszuständen uB wahrgenommen bzw. gemessen wird (ich verzichte wieder auf Koordinaten). Man kann sich z.B. die Absorption eines Photons durch ein Messgerät als elementares Ereignis einer Messung vorstellen.

Die Observable für diese Art von Messungen ist die Frequenz ω.

Diese Frequenz ω ist keine intrinsische Eigenschaft des Lichts alleine. Sie bezieht sich immer auf diese Beobachtung, also auf einen Beobachter B an einem bestimmten Ort P und insbs. mit einem bestimmten Bewegungszustand u.

D.h. die vollständige Bezeichnung lautet formal

ωB(k) = ω(PB, uB, k) =〈uB(P); k〉

Die Notation ωB(k) besagt, dass k von B beobachtet wird und daraus diese Observable ωB(k) resultiert. Die Notation ω(PB, uB, k) spezifiziert genauer, dass sich der Beobachter B am Raumzeitpunkt PB im Bewegungszustand uB befindet. 〈uB(P); k〉besagt, dass die Observable mathematisch dadurch definiert ist, dass man die Größe k am Punkt P auf uB projiziert. Erst durch diese mathematische Operation wird eine Observable definiert.

P selbst ist ein „Ereignis“, d.h. z.B. das Absorbieren eines Photons durch den Beobachter; genau dadurch wird der Raumzeitpunkt P definiert [das ist wichtig; es ist in der ART nicht physikalisch sinnvoll zu sagen, der Beobachter befinde sich an einem Ort mit Koordinaten …; ein Ereignis meint etwas, das konkret geschieht und über das sich alle Beobachter einig sind: „B absorbiert das Photon“; der Raumzeitpunkt P wird eben gerade dadurch definiert, dass genau dort der Beobachter das Photon absorbiert]. u und k sind – als mathematische Objekte – sogenannte Vierervektoren, die für sich selbst keine Observablen sondern lediglich mathematische Hilfsgrößen darstellen (s.o.)

Nun müssen wir zwischen verschiedenen Observablen unterscheiden.

Ich führe zwei konkrete Beobachter S und F ein; S sei wie üblich stationär, F falle frei ins SL. S befinde sich zunächst bei P; F falle an S exakt bei P vorbei, d.h. sie befinden sich zu einer „Zeit“ am selben „Ort“, dem Raumzeitpunkt P (ich führe keine Koordinaten für Ort und Zeit ein). „Später“ (ich verzichte auf die Angabe einer Eigenzeit, da wir diese zur Konstruktion nicht explizit benötigen) befinde sich S an einem anderen Raumzeit Q, F befinde sich bei R.

S und F beobachten Licht von einem entfernten Stern – genauer: eine bestimmte Spektrallinie aus diesem Licht. Dieses Licht wird als elektromagnetische Welle mit einem Wellenzahlvektor k beschrieben, das die Raumzeit ausfüllt (ich verzichte auf Szenarien wo die Beobachter selbst diese Lichtsignale emittieren oder reflektieren, da dies vom Wesentlichen ablenkt). Die elementaren Mess-Ereignisse sind die Absorption jeweils eines Photons durch einen Beobachter S bei P bzw. Q sowie F bei P bzw. R.

Die vier Observablen lauten nun

ω(PS, uS, k) =〈uS(P); k〉
ω(PF, uF, k) =〈uF(P); k〉
ω(QS, uS, k) =〈uS(Q); k〉
ω(RF, uF, k) =〈uF(R); k〉

Die ersten beiden Observablen beschreiben die Beobachtung eines Photons am Ort P durch die beiden Beobachter S bzw. F. Die dritte Observable beschreibt die Beobachtung eines Photons am Ort Q durch den Beobachter S. Die vierte Observable beschreibt die Beobachtung eines Photons am Ort R durch den Beobachter F.

Ich hoffe es wird klar, dass es sich um vier verschiedene Beobachtungen und daher vier verschiedene Observablen handelt. In den ersten beiden Fällen muss man physikalisch noch dazusagen, dass nicht beide Beobachter dasselbe Photon absorbieren können, sondern nur zwei identische Photonen.

Abschließend möchte ich noch mal betonen, dass die Berechnung einer dieser vier Observablen auf Basis einer anderen Observablen sowie weiterer Inputs nichts mit Koordinatensystemen bzw. Koordinatentransformationen zu tun hat. Ich habe bisher noch keine Koordinatensysteme eingeführt, und ich bin frei, jedes beliebige Koordinatensystem zu benutzen – wenn das jeweilige Ereignis in diesem Koordinatensystem enthalten ist; z.B. ist das vierte Ereignis nicht in den äußeren Schwarzschild-Koordinaten enthalten, wenn sich R innerhalb des Horizontes befindet; in diesem Fall wären die Schwarzschild-Koordinaten ungeeignet.

Außerdem möchte ich noch darauf hinweisen, dass wenn ich im Folgenden Koordinatensysteme einführe, es einen absoluten Spezialfall darstellt, dass die Koordinatenzeit gerade der Eigenzeit eines der o.g. Beobachter entspricht. Wir haben genau zwei physikalische Beobachter S und F vorliegen, wir wissen jedoch rein mathematisch, dass (überabzählbar?) unendlich viele mögliche Koordinatensysteme zulässig sind.

Sind wir uns soweit einig?
Gruß
Tom

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Re: Zu einigen Begriffen der ART

Beitrag von seeker » 21. Feb 2017, 23:54

Ja, sind wir.

Anmerkungen:
tomS hat geschrieben:
21. Feb 2017, 16:21
Diese Frequenz ω ist keine intrinsische Eigenschaft des Lichts alleine. Sie bezieht sich immer auf diese Beobachtung, also auf einen Beobachter B an einem bestimmten Ort P und insbs. mit einem bestimmten Bewegungszustand u.
Ich würde sogar sagen, dass ω eine Erscheinung ist, es ist die Wirkung des Lichts auf den Beobachter. Und wie sich diese Wirkung darstellt hängt von beiden gemeinsam ab, wie sie relativ zueinander in Beziehung treten.
tomS hat geschrieben:
21. Feb 2017, 16:21
P selbst ist ein „Ereignis“, d.h. z.B. das Absorbieren eines Photons durch den Beobachter
Ich würde eher umgekehrt sagen: "Das Ereignis definiert P bzw. legt P fest", aber P ist nicht das Ereignis... (sagst du ja dann selbst auch so)
tomS hat geschrieben:
21. Feb 2017, 16:21
das ist wichtig; es ist in der ART nicht physikalisch sinnvoll zu sagen, der Beobachter befinde sich an einem Ort mit Koordinaten …
Ja, das nicht. Koordinaten brauche ich erst, wenn ich quantitative Aussagen machen möchte, die sich auf andere Orte beziehen.

Dennoch würde ich sagen "Der Bobachter befindet sich an einem Ort und zu einer Zeit", aber eben einen ohne Koordinaten, ohne irgendwelche Aussagen über irgendetwas um den Beobachter 'drum herum'. Dabei ist der Ort einfach ein (isolierter) dimensionsloser Punkt, deshalb machen auch Koordinaten dort wenig Sinn: Welches KS wollte man einem einzelnen Punkt zuordnen? Und die Zeit ist einfach seine Gegenwart. Wenn ich nun noch akzeptiere, dass diese Gegenwart vergeht, also eine Eigenzeit existiert, dann wird aus dem isolierten Punkt eine isolierte 1-dimensionale Linie auf der der Punkt wandert. Gut, da kann ich mir dann eine Skala für die Eigenzeit raussuchen, aber da würd ichs mir dann einfach machen und Koordinaten sind das dann auch noch nicht (und das ist glaub ich auch nicht unser Problem grad).
tomS hat geschrieben:
21. Feb 2017, 16:21
Ich hoffe es wird klar, dass es sich um vier verschiedene Beobachtungen und daher vier verschiedene Observablen handelt.
Ja.
tomS hat geschrieben:
21. Feb 2017, 16:21
Abschließend möchte ich noch mal betonen, dass die Berechnung einer dieser vier Observablen auf Basis einer anderen Observablen sowie weiterer Inputs nichts mit Koordinatensystemen bzw. Koordinatentransformationen zu tun hat.
Ja. Also das kann schon etwas mit KS zu tun haben, aber eben nur insofern diese als Hilfsmittel für solche Berechnungen benutzt werden, aber mehr nicht.
tomS hat geschrieben:
21. Feb 2017, 16:21
Außerdem möchte ich noch darauf hinweisen, dass wenn ich im Folgenden Koordinatensysteme einführe, es einen absoluten Spezialfall darstellt, dass die Koordinatenzeit gerade der Eigenzeit eines der o.g. Beobachter entspricht.
Auch das ist mir klar.


Wie gesagt: Aus meiner Sicht sind wir uns soweit einig.
Grüße
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Re: Zu einigen Begriffen der ART

Beitrag von tomS » 22. Feb 2017, 00:54

Super.

Wenn wir und soweit einig sind, dann können wir formal Koordinatensysteme einführen. Wir betrachten wieder die Observable ωB(k), konstruiert für einen Beobachter B im Punkt P, und führen mit dem letzten Gleichheitszeichen Vierervektoren u und k sowie die Metrik g ein

ωB(k) =〈uB(P); k〉= gμν uμ kν

In dieser Notation können wir die Abhängigkeit von Koordinatensystemen K, K', K'', ... notieren:

ωB(k) = gμν uμ kν = g'μν u'μ k'ν = g''μν u''μ k''ν

Wir stellen fest:
- unterschiedliche Koordinatensysteme liefern die selbe Observable ωB(k)
- desweiteren ändert der Wechsel von Koordinatensystemen nichts an B (und P)
- der Übergang zu einem anderen Beobachter und damit zu einer anderen Observable erfolgt nicht durch Wechsel des Koordinatensystems
- eine Zuordnung von Koordinatensystemen zu Beobachtern (z.B. als deren lokal mitbewegte Bezugsysteme mit Eigenzeit = Koordinatenzeit) ist als Spezialfall möglich, jedoch nicht notwendig

Auch OK?
Gruß
Tom

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Re: Zu einigen Begriffen der ART

Beitrag von seeker » 22. Feb 2017, 08:28

tomS hat geschrieben:
22. Feb 2017, 00:54
- unterschiedliche Koordinatensysteme liefern die selbe Observable ωB(k)
Hmm... unsere Observable war aber zuerst da. Deshalb würde ich eher sagen: Wir können nun unterschiedliche KS sozusagen über ωB(k) drüberlegen, die Observable darin einbetten. Nun gibt es eine Umgebung von ωB(k), der Zahlenwerte zugeordnet werden können. Es ist aus dieser Sicht völlig selbstverständlich, dass die Wahl des KS beliebig ist.
Die Zahlenwerte sind nur am Punk P fix, also nicht wählbar. Insofern 'liefern' verschiedene KS alle ωB(k) (das muss ja gerade unsere Forderung an die KS sein, dass sie das tun), aber eigentlich sind sie in P zu ωB(k) 'passend'.
tomS hat geschrieben:
22. Feb 2017, 00:54
- der Wechsel von Koordinatensystemen ändert nichts an B (und P)
Wie auch? (s.o.)
Das ist wie wenn ich einen Punkt auf einem ansonsten weißen/leeren Blatt Papier habe und nun verschiedene durchsichtige Folien mit dort verschiedenen eingezeichneten Koordinatensystemen (Linienmustern) auf mein Papier drauflege. An meinem Punkt selbst ändert das gar nichts.
tomS hat geschrieben:
22. Feb 2017, 00:54
- der Übergang zu einem anderen Beobachter B erfolgt nicht durch Wechsel des Koordinatensystems
Keine Ahnung. Wir haben noch keinen zweiten Beobachter B'. Es ist aber nicht zu erwarten. (Was soll "Übergang" überhaupt bedeuten?)
Aber lass uns doch einen zweiten Beobachter aus dem Hut ziehen:

Jetzt haben wir sozusagen zwei verschiedene Punkte P und P' auf unserem ansonsten leeren Blatt Papier.
Und jetzt möchte man natürlich gerne wieder ein KS drüberlegen, das aber diesmal beide Punkte 'fittet'.
Und ich glaube genau das ist das Problem: Das wird im Allgemeinen nicht gehen.
Grüße
seeker


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Re: Zu einigen Begriffen der ART

Beitrag von tomS » 22. Feb 2017, 10:52

seeker hat geschrieben:
22. Feb 2017, 08:28
tomS hat geschrieben:
22. Feb 2017, 00:54
- unterschiedliche Koordinatensysteme liefern die selbe Observable ωB(k)
Hmm... unsere Observable war aber zuerst da. Deshalb würde ich eher sagen: Wir können nun unterschiedliche KS sozusagen über ωB(k) drüberlegen, die Observable darin einbetten. Nun gibt es eine Umgebung von ωB(k), der Zahlenwerte zugeordnet werden können. Es ist aus dieser Sicht völlig selbstverständlich, dass die Wahl des KS beliebig ist.
Die Zahlenwerte sind nur am Punk P fix, also nicht wählbar. Insofern 'liefern' verschiedene KS alle ωB(k) (das muss ja gerade unsere Forderung an die KS sein, dass sie das tun), aber eigentlich sind sie in P zu ωB(k) 'passend'.
Ich komme mit deiner Formulierung nicht klar: die Observable wird nicht "eingebettet", und man "ordnet nicht einer Umgebung Zahlenwerte zu". Welche Zahlenwerte sollen "am Punkt P fix sein"?

Schau dir die Definition der Observablen mal an:

ωB(k) =〈uB(P); k〉

In einem vereinfachten 2-dim. Modell, gezeichnet auf einem weißen Blatt Papier, sind dies einfach zwei Vektorpfeile u und k, sowie

ωB(k) = |u| |k| cos(u,k)

also der Betrag von u mal dem Betrag von k mal dem Cosinus des Winkels zwischen u und k. Dieser Ausdruck ist natürlich unabhängig davon, ob man eine transparente Folie mit einem kartesischen oder einem Polarkoordinatensystem darüberlegt.

seeker hat geschrieben:
22. Feb 2017, 08:28
tomS hat geschrieben:
22. Feb 2017, 00:54
- der Wechsel von Koordinatensystemen ändert nichts an B (und P)
Wie auch? (s.o.)
Das ist wie wenn ich einen Punkt auf einem ansonsten weißen/leeren Blatt Papier habe und nun verschiedene durchsichtige Folien mit dort verschiedenen eingezeichneten Koordinatensystemen (Linienmustern) auf mein Papier drauflege. An meinem Punkt selbst ändert das gar nichts.
Sehr gutes Bild.

seeker hat geschrieben:
22. Feb 2017, 08:28
tomS hat geschrieben:
22. Feb 2017, 00:54
- der Übergang zu einem anderen Beobachter B erfolgt nicht durch Wechsel des Koordinatensystems
Keine Ahnung. Wir haben noch keinen zweiten Beobachter B'. Es ist aber nicht zu erwarten. (Was soll "Übergang" überhaupt bedeuten?)
Bitte den zweiten Beobachter nicht B' nennen; der Strich ist für Koordinatensysteme reserviert.

Na ja, weiter oben hatten wir schon verschiedene Beobachter

ωS(k) =〈uS(P); k〉
ωF(k) =〈uF(P); k〉

Man betrachtet damit einen anderen Bewegungszustand u am selben Punkt P (oder evtl. sogar an einem anderen Punkt Q, R, ...). Übergang von S nach F am selben Punkt P bedeutet also die Wahl eines anderen u.

seeker hat geschrieben:
22. Feb 2017, 08:28
Aber lass uns doch einen zweiten Beobachter aus dem Hut ziehen:

Jetzt haben wir sozusagen zwei verschiedene Punkte P und P' auf unserem ansonsten leeren Blatt Papier.
Bitte den zweiten Punkt nicht P' nennen.

Ansonsten: ja, klar, neue Punkte Q, R, ... mit anderen Beobachtern an diesen Punkten führt zu anderen Observablen.
seeker hat geschrieben:
22. Feb 2017, 08:28
Und jetzt möchte man natürlich gerne wieder ein KS drüberlegen, das aber diesmal beide Punkte 'fittet'.
Und ich glaube genau das ist das Problem: Das wird im Allgemeinen nicht gehen.
Was meinst du mit "das beide Punkte fittet"? Dass beide Punkte in ein und dem selben Koordinatensystem enthalten sind?

Ja, das wird i.A. nicht funktionieren, aber das ist unproblematisch. Die Differentialgeometrie und die Riemannsche Mannigfaltigkeit, die als Modell für die Raumzeit dient, stellen sicher, dass man auch mit verschiedenen Koordinatensystemen arbeiten kann.

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Gruß
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Re: Zu einigen Begriffen der ART

Beitrag von seeker » 22. Feb 2017, 17:31

tomS hat geschrieben:
22. Feb 2017, 10:52
Ich komme mit deiner Formulierung nicht klar: die Observable wird nicht "eingebettet", und man "ordnet nicht einer Umgebung Zahlenwerte zu". Welche Zahlenwerte sollen "am Punkt P fix sein"?
Na ja, ich schau da vielleicht etwas anders drauf und verwende etwas andere Wörter, als du es gewohnt bist.
Ich meinte eben genau das:
tomS hat geschrieben:
22. Feb 2017, 10:52
In einem vereinfachten 2-dim. Modell, gezeichnet auf einem weißen Blatt Papier, sind dies einfach zwei Vektorpfeile u und k, sowie

ωB(k) = |u| |k| cos(u,k)

also der Betrag von u mal dem Betrag von k mal dem Cosinus des Winkels zwischen u und k.
Genau das ist fix (gleich welches KS ich drüberlege, muss das gegeben sein).
Mit dem Punkt allein habe ich aber zunächst noch keine Umgebung, ich habe nur diesen Punkt. Und wenn ich nun noch eine Umgebung dieses Punktes einführen möchte, quantitativ ins Bild hineinholen will, dann kann ich das dadurch tun, dass ich ein KS wähle und drüberlege. Das KS ist dabei sozusagen an meinem Punkt 'festgenagelt' (es muss in P die Observable reproduzieren, 'fitten'), während der Punkt umgekehrt im KS sozusagen eingebettet ist (aus demselben Grund). Und ein KS führt man ja ein, damit man quantitative Aussagen machen kann, d.h. aber nichts anderes, als dass man damit verschiedenen Punkten im KS Zahlenwerte zuordnen kann (wie und warum ist hier doch noch egal).
Jetzt haben wir also irgendein KS, das einen einzigen physikalisch relevanten Punkt enthält: unsere Observable ωB(k).
So ungefähr stelle ich mir das im Moment vor, das Bild kann im Verlauf hier weiter verfeinert werden.
Bedenke: Ich denke und lerne sehr stark in Bildern, weniger völlig abstrakt.
tomS hat geschrieben:
22. Feb 2017, 10:52
Was meinst du mit "das beide Punkte fittet"? Dass beide Punkte in ein und dem selben Koordinatensystem enthalten sind?
Ganz genau.
tomS hat geschrieben:
22. Feb 2017, 10:52
Ja, das wird i.A. nicht funktionieren, aber das ist unproblematisch. Die Differentialgeometrie und die Riemannsche Mannigfaltigkeit, die als Modell für die Raumzeit dient, stellen sicher, dass man auch mit verschiedenen Koordinatensystemen arbeiten kann.
Das dachte ich mir.

OK?
Grüße
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Re: Zu einigen Begriffen der ART

Beitrag von tomS » 22. Feb 2017, 18:17

Du benötigst nicht unbedingt ein Koordinatensystem zur Beschreibung der Umgebung sowie für quantitative Aussagen. Es gibt durchaus koordinatenfreie (jedoch oft sehr abstrakte) Methoden.

Und die Observable "ist" nicht der Punkt im Koordinatensystem, bzw. es "enthält" nicht die Observable. Der Punkt ist z.B. definiert durch "das Photon wird hier und jetzt von einem Detektor registriert". Die Observable ist die Frequenz, die der Detektor misst und anzeigt.

Mathematisch handelt es sich bei einer Familie von Observablen〈u(P); k〉in P und u(P) um eine (hier speziell bilineare) Abbildung des Vektorfeldes k in die reellen Zahlen.
Gruß
Tom

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Re: Zu einigen Begriffen der ART

Beitrag von seeker » 23. Feb 2017, 11:07

tomS hat geschrieben:
22. Feb 2017, 18:17
Du benötigst nicht unbedingt ein Koordinatensystem zur Beschreibung der Umgebung sowie für quantitative Aussagen. Es gibt durchaus koordinatenfreie (jedoch oft sehr abstrakte) Methoden.
Das habe ich erwartet, dass das so ist. Aber wenn ich ein KS einführe dann...
tomS hat geschrieben:
22. Feb 2017, 18:17
Und die Observable "ist" nicht der Punkt im Koordinatensystem, bzw. es "enthält" nicht die Observable. Der Punkt ist z.B. definiert durch "das Photon wird hier und jetzt von einem Detektor registriert". Die Observable ist die Frequenz, die der Detektor misst und anzeigt.
Und sie ist ωB(k) =〈uB(P); k〉. Und sie ist ein Konzept.
Wir haben also einmal die tatsächliche physikalisch-messtechnisch-rechnerische Generierung der Observablen selbst und dann noch ihre abstrakte Darstellung.
Wieso hast du ein Problem damit, wenn ich das so sehe, dass diese abstrakte Darstellung in etwas größeres/anderes eingebettet wird/werden kann (wenn ich doch gleichzeitig sage, dass dann die Observable primär ist, nicht das KS)?
Dann nennen wir es halt Abbildung.

Sag mal, betreiben wir hier nicht evtl. Haarspalterei? Ist das denn wirklich so wichtig, welche Worte man hier benutzt?
Mit Worten lässt sich trefflich streiten, mit Worten ein System bereiten, an Worte lässt sich trefflich glauben, von einem Wort lässt sich kein Jota rauben...
Wo wollten wir denn eigentlich hin?

Wie würdest du eigentlich den Unterschied zwischen "Messgröße", "Messwert" und "Observable" beschreiben - bei konkreten Fällen, z.B. hier, bei der Ermittlung dieser Frequenz?
Grüße
seeker


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Re: Zu einigen Begriffen der ART

Beitrag von tomS » 23. Feb 2017, 12:51

seeker hat geschrieben:
23. Feb 2017, 11:07
tomS hat geschrieben:
22. Feb 2017, 18:17
Du benötigst nicht unbedingt ein Koordinatensystem zur Beschreibung der Umgebung sowie für quantitative Aussagen. Es gibt durchaus koordinatenfreie (jedoch oft sehr abstrakte) Methoden.
Das habe ich erwartet, dass das so ist. Aber wenn ich ein KS einführe dann...
... dannn?
seeker hat geschrieben:
23. Feb 2017, 11:07
Wieso hast du ein Problem damit, wenn ich das so sehe, dass diese abstrakte Darstellung in etwas größeres/anderes eingebettet wird/werden kann (wenn ich doch gleichzeitig sage, dass dann die Observable primär ist, nicht das KS)?
Der Begriff "Einbettung" hat eine spezifisch mathematische Bedeutung.
seeker hat geschrieben:
23. Feb 2017, 11:07
Dann nennen wir es halt Abbildung.
Ja.
seeker hat geschrieben:
23. Feb 2017, 11:07
Sag mal, betreiben wir hier nicht evtl. Haarspalterei? Ist das denn wirklich so wichtig, welche Worte man hier benutzt?
Ja, weil es sonst zu Missverständnissen kommt.
seeker hat geschrieben:
23. Feb 2017, 11:07
Wo wollten wir denn eigentlich hin?
Zu einem gemeinsamen Verständnis.
seeker hat geschrieben:
23. Feb 2017, 11:07
Wie würdest du eigentlich den Unterschied zwischen "Messgröße", "Messwert" und "Observable" beschreiben - bei konkreten Fällen, z.B. hier, bei der Ermittlung dieser Frequenz?
Eine Messgröße bezeichnet etwas, was einer Messung zugänglich ist: Eigenzeit, Frequenz, ...
Ein Messwert bezeichnet einen Wert, der aus einer konkreten Messung eine Messgröße hervorgeht: 3 sek., 511 keV
Eine Observable bezeichnet die mathematische Modellierung einer Messgröße τ[C] = ∫C dτ, ω =〈u(P); k〉
(ohne zu behaupten, dass ich diese Unterscheidung immer sauber durchgehalten habe)

Ich denke aber, wir sind uns inhaltlich einig.
Gruß
Tom

«while I subscribe to the "Many Worlds" theory which posits the existence of an infinite number of Toms in an infinite number of universes, I assure you that in none of them am I dancing»

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