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ART ohne Vorkenntnisse

Einstein über die Schulter geschaut: Fragestellungen zur Speziellen und Allgemeinen Relativitätstheorie, mathematische Methoden, Bedeutung und Interpretation
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positronium
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ART ohne Vorkenntnisse

Beitrag von positronium » 6. Jun 2016, 16:48

Hallo allerseits,

dieser Thread soll dazu dienen, dass wir Laien ohne Vorkenntnisse etwas über die ART lernen können.
Im folgenden werde ich einiges grundlegendes über die ART niederschreiben, so wie ich das bisher verstanden zu haben glaube, und setze darin nur Schulmathematik voraus - manches davon weiss ich, anderes mag falsch sein, also bitte mit Vorsicht geniessen. Vielleicht kann ja Tom darüber schauen, und die Freigabe erteilen. :wink: Ich werde versuchen, besonders auf solche Dinge hinzuweisen, die mir nicht selbstverständlich erschienen, und natürlich Fragen stellen.


Dimensionen

Erst einmal ist festzuhalten, dass die ART Raum und Zeit in der Raumzeit vereinigt. Deshalb haben wir es mit einem 4-dimensionalen Raum zu tun. Jeder Punkt P und Vektor in diesem Raum wird also mit vier Zahlen gekennzeichnet.
Laut Konvention ist die erste Koordinate die Zeit t; die anderen drei Koordinaten sind räumlich, und können z.B. auch als Kugelkoordinaten (besonders geeignet bei Planeten, Sternen und Schwarzen Löchern) angegeben werden.
Es gilt also z.B.: oder auch


Raum, Krümmung, Mannigfaltigkeit

Das war noch ganz einfach, aber schon kommen wir zu einer Besonderheit: Der Raum der ART ist gekrümmt, und deshalb funktioniert unser Konzept aus dem Alltag nicht, einfach in X-, Y- und Z-Richtung zu messen, und so einen Punkt bzw. eine Koordinate anzugeben! - Man kann sich das so vorstellen, als hätte man ein glattes Blech, auf dem man nach der klassischen Vorstellung mit den Koordinaten X und Y arbeiten kann. Schlägt man aber eine Beule hinein, verlängert sich der Weg durch die Beule, und die Entfernungen auf der Oberfläche des Blechs stimmen nicht mehr mit den idealisierten Koordinaten X/Y überein. Das ist Krümmung.

Um dieses Problem zu lösen, behält man die idealisierten Koordinaten bei, und legt Rechenregeln fest, um von diesen ausgehend die Krümmung darstellen zu können. Das ganze heisst dann Mannigfaltigkeit.
Der oben eingeführte Punkt P befindet sich also nicht im Universum; er ist nur eine unphysikalische Hilfsgrösse, die eigentlich ausserhalb des uns bekannten Raumes liegt.
Ich habe dazu eine (naive) Zeichnung angefertigt:
au art.png
au art.png (10.37 KiB) 8631 mal betrachtet
Die blaue Linie ist eine Dimension des gekrümmten Universums mit einem Schwarzen Loch (schwarze dicke Linie) und einem Ereignishorizont EH.
Rot sind unsere idealisierten Koordinaten eingezeichnet.
Wenn man die Längen a1 und b1 von den (roten) Koordinaten in das Universum umrechnet, können diese anders sein - b2 ist hier im Universum deutlich länger als der Koordinatenabstand.

Die Zeichnung verdeutlicht darüber hinaus das Phänomen der Koordinatensingularität. Hat man die roten Koordinaten gewählt, stösst man am Ereignishorizont eines Schwarzen Lochs offensichtlich auf Probleme - scheinbare Raum-Zeit-Umkehrung. Wenn man andere, für diesen Fall besser geeignete Koordinaten wählt - die grünen - hat man keine Schwierigkeiten in der Berechnung.
Das zeigt die Mathematikabhängigkeit sehr schön auf, finde ich.


Es gibt also idealisierte Koordinaten, die ausserhalb des Universums liegen; im Universum gibt es hingegen keine. Es gibt aber sehr wohl Vektoren in beiden Systemen. Vektoren V im idealisierten Koordinatensystem nennt man kontravariant; man schreibt dann . Wobei das µ die Zahlen 1 bis 4 annimmt, und für die Koordinaten (t, x, y, z) oder beispielsweise (t, r, theta, phi) steht. Es gilt als V1=t, V2=x usw..
Entsprechend gibt es Vektoren im Universum, die man kovariant nennt, und geschrieben werden. Hier gilt für µ das gleiche.

Zwischen und muss man natürlich umrechnen können - das ist ja der Sinn des ganzen. Diese Umrechnung erfolgt mit der Metrik.


Metrik

Für jeden Ort (t,x,y,z) gibt es eine Metrik, und sie ist im Prinzip nichts anderes als eine 4x4 Matrix g (also mit 16 Einträgen), die einen Vektor (mit 4 Einträgen) transformiert.
Natürlich muss diese Transformation in beide Richtungen erfolgen können, und deshalb gibt es davon auch eine inverse Transformation.
Es gilt:

Wenn man also g invertiert, schreibt man mu und nu statt oben unten bzw. statt unten oben hin.

Eine Besonderheit beim Rechnen ist die Einsteinsche Summenkonvention (https://de.wikipedia.org/wiki/Einsteins ... konvention), die nichts anderes als eine Kurzschreibweise ist.

Damit kann man die Transformation so schreiben:

Das ist abgesehen von der Position der Indizes nichts anderes als in der Schulmathematik:


Zurücktransformiert wird mit


Feldgleichungen

Für die Einsteinschen Feldgleichungen



(und meine Fragen) fehlt jetzt nur noch ein Objekt: Der Riemanntensor R - Lambda und kappa sind wohl weniger interessant, und den Energie-Impuls-Tensor T als Erzeuger der Krümmung spare ich mir noch auf.

Gelesen habe ich: Rmikp ist ein Tensor 4. Stufe, bei n=4 Dimensionen hat er also n^4=256 Einträge. Er wird durch Tensorverjüngung zu und weitere Verjüngung zu in obiger Gleichung.


Fragen :D
1. Ist obiges so weit richtig? - Wenn etwas falsch ist, dann ändere oder lösche ich das.
2. Warum ist der Riemanntensor ein Tensor 4. Stufe? - Mir fällt dazu nur ein, dass R so allgemein definiert wurde, dass die Metrik auch richtungsabhängig sein könnte, aber das ist wohl unphysikalisch.
3. Wird R verjüngt, damit diese vermutete Richtungsabhängigkeit eliminiert wird? Werden durch Tensorverjüngung soz. alle Richtungen aufsummiert?
4. Dass der zweite Term ein negatives Vorzeichen hat, erscheint mir sinnvoll, damit die Metrik positiv ist, aber woher kommt der Faktor 1/2? Und warum gibt es an der Stelle noch den Ricci-Skalar? - Man könnte ja jetzt einfach hingehen, und alle möglichen Kombinationen mit dazu schreiben, also auch z.B.
5. Was enthält der Riemanntensor? Natürlich sehe ich auf Wikipedia die Definition mit den Christoffelsymbolen, aber offen gesagt wirkt das auf mich wie ein einziges Durcheinander. Natürlich lese ich auch wieder auf Wikipedia, dass es sich bei den Christoffelsymbolen um "Hilfsgrößen zur Beschreibung der kovarianten Ableitung" handelt. Deren Verwendung macht dann natürlich Sinn, um Geodäten in der gekrümmten Raumzeit in die (t,x,y,z)-Koordinaten umzurechnen, aber was kodieren die?

Pippen
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Re: ART ohne Vorkenntnisse

Beitrag von Pippen » 7. Jun 2016, 03:46

Wenn ich mir das so ansehe, dann frage ich mich, ob es nicht einfacher oder zumindest nicht komplizierter wäre, die intuitive Newton-Physik herzunehmen und dann durch allerlei Parameter so abzuändern, dass sie passt. Dann wäre die ART zwar nett, aber nutzlos oder anders gefragt: Was kann die ART, was man mit Newton + zig Parametern nicht kann?

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Re: ART ohne Vorkenntnisse

Beitrag von tomS » 7. Jun 2016, 08:17

Pippen hat geschrieben: Was kann die ART, was man mit Newton + zig Parametern nicht kann?
Endliche und konstante Lichtgeschwindigkeit, SRT als lokaler Spezialfall, Lichtablenkung, Rotverschiebung, gravitative Zeitdilatation, ...
Gruß
Tom

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positronium
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Re: ART ohne Vorkenntnisse

Beitrag von positronium » 13. Jun 2016, 15:48

Ich versuche 'mal etwas weiter zu kommen, obwohl ich noch manche Verständnisprobleme habe.


Beschreibung der Raumkrümmung

Der Ansatz für die ART ist einerseits, Newtons auf Kraftwirkung basierende Gravitationstheorie durch Raumgeometrie zu ersetzen (gerade Linien werden so verbogen, dass sie das gleiche Verhalten zeigen, wie es Gravitationskraft verursachen würde), und andererseits alles relativ, also aus Beobachtersicht zu beschreiben.
Daraus ergeben sich zwei zu betrachtende Objekte: Zum einen den Beobachter, und zum anderen das Verhalten von Objekten relativ zu ihm - von diesen nimmt man allerdings nur ein beliebiges heraus, durch dessen Beliebigkeit man aber wieder auf alle schliessen kann.

Den Beobachter ersetzt man durch einen Punkt P; weil in der Raumzeit gerechnet wird, muss sich dieser Punkt in der Raumzeit immer bewegen - selbst wenn er in x, y und z stillsteht, bewegt er sich in Richtung t. Diese Bewegung ist gemäss der Forderung (Kraft->Krümmung) im Universum immer geradlinig (=Geodäte), wegen der Krümmung des Raumes aber nicht in der zugrundeliegenden mathematischen Basis. Entlang der Geodäte beschreibt man die Position von P mit . ist eine reelle Zahl, welche die vierdimensionale Entfernung vom Punkt bis zu auf dieser gekrümmten Linie angibt.

Das andere zu betrachtende Objekt, nennen wir es hier einfach Q, liegt relativ zu bei n. n ist ein Vektor von nach .

Krümmung des Raumes besteht immer lokal, also man fragt: wie stark ist der Raum an einem bestimmten Punkt gekrümmt. Von muss man deshalb nur wissen, wie sich bei verhält. Die momentane Richtung von bei ist ein Vektor, der als u bezeichnet wird. Es gilt also . (Das bezeichnet die Ableitung, also die momentane Richtung der Kurve bei bzw. am Punkt . - Ableitungen sind den meisten wohl aus der Schule bekannt: https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung)

Von jetzt an kann man sich auf die beiden Vektoren u und n konzentrieren, also, wenn man obige Definitionen kennt. Diese beiden und deren Veränderung beschreiben die Krümmung des Raumes.
Man betrachtet also, wie ein Parallelogramm (u, n) im flachen Raum (ohne Gravitation) in alle möglichen Richtungen verbogen wird.
au art2.png
au art2.png (14.89 KiB) 8507 mal betrachtet
Man muss demnach "nur" ermitteln, wie die beiden eigentlich jeweils gerade verlaufenden Linien (rot und grün) in Wirklichkeit aufeinander zulaufen, voneinander weg laufen, ob sie sich umeinander winden, also wie sich grün relativ zu rot entwickelt.
Auf den ersten Blick scheint das nicht so arg kompliziert, ist aber mathematisch höchst unappetitlich. :shock:

Dafür schaut man sich an, wie sich u entlang der roten Linie in Abhängigkeit von verändert, also wie stark die rote Linie am Punkt gekrümmt ist. Und dann schaut man, wie stark sich diese Krümmung in Richtung n verändert. Das Ergebnis besagt, wie sich die beiden Linien relativ zueinander entwickeln.
Diese beiden Operationen nennt man kovariante Ableitung, die ich aber noch nicht ganz verstanden habe; deshalb meine

Fragen
6. Ist obiges so weit richtig? - Wenn etwas falsch ist, dann ändere oder lösche ich das.
7. Mir ist zwar klar, dass man für die kovariante Ableitung eine Richtungsableitung braucht, aber wie funktioniert das mit dem Basiswechsel? In meinem Buch wird an der Stelle nur geschrieben, dass allein die Richtungsableitung nur in einem "local Lorentz frame" ausreicht, aber dann wird recht schnell eine Formel aus dem Ärmel gezaubert:

Was bedeutet und bewirkt diese Formel? - Meine Vermutung ist eine Projektion der lokalen Basis auf die Krümmungsrichtung (irgend etwas mit Ableitungen der Metrik?), aber ich verstehe es nicht.
Ich bin mir sogar bei der Notation unsicher, denn wie könnte das funktionieren, wenn T ein Tensor erster Stufe ist? :oops:

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