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Problem mit Lorentztransformation

Einstein über die Schulter geschaut: Fragestellungen zur Speziellen und Allgemeinen Relativitätstheorie, mathematische Methoden, Bedeutung und Interpretation
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sanchez
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Re: Problem mit Lorentztransformation

Beitrag von sanchez » 2. Feb 2015, 14:48

Hallo Leute,
Ich bin neu hier
Hallo Yukterez,

Du gibst an, dass das (blaue oder rote) Photon wenn es nach unten abbiegt,
mit der Geschwindigkeit sqr (c² - v²) unterwegs ist.
Das finde ich ein bisserl seltsam, denn der Läufer bewegt sich horizontal mit der
Geschwindigkeit v und das Photon bewegt sich vertikal mit Geschwindigkeit c.
Wenn ich jetzt beide Geschwindikeitsvektoren nehme (einer horizontal, einer vertikal->stehen senkrecht zueinander ->sind die Katheten)
und versuche die resultierende Geschwindigkeit zu ermitteln habe ich( nach Pythargoras):
V (result) = sqr (v² + c²) (entspricht der Geschwindigkeit zwischen einem ruhenden Läufer und senkrecht und horizontal dazu bewegenden Photon
-wenn man das darf?).

Die zweite Animation funktioniert doch recht gut (ist aus Sicht des Läufers). Der Läufer erfährt hier eine Längenkontraktion.
Das die Photonen so springen in deiner Animation hat damit zu tun, dass die Photonen die sich senkrecht zum Läufer
bewegen eine andere Wellenlänge haben, wie die deren Bewegungsrichtung parallel zum Läufer ist.

Die Eigenschaft die Licht mit Geschwindigkeit verbindet, ist der relativistische Dopplereffekt.
Und hierbei darf man dann auch mit c+v arbeiten.
http://de.wikipedia.org/wiki/Doppler-Ef ... hne_Medium

Wenn der Läufer die Geschwindigkeit eine Photons misst dass ihm entgegenkommt, hat es die Geschwindigkeit c.
Aber es erfährt eine Blauverschiebung, da sich der Läufer der Quelle näher.
Ich interpretiere mal die Ecken in diesem Quadrat als Spiegel (d.h. sie entsprechen je einer Quelle).
Ich hoffe mal, das hilft weiter.

Grüsse sanchez

sanchez
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Re: Problem mit Lorentztransformation

Beitrag von sanchez » 3. Feb 2015, 11:45

Hallo Yukterez,

ich habe mir ein paar Gedanken gemacht, zu der Frage,
„Gefragt ist nun die Zeit und der Ort an dem die beiden Photonen den Läufer überholen.“

Das blaue Photon:
Wenn sich blaues Photon und Läufer treffen, haben beide in der Summe das ganze Quadrat
Abgelaufen, also 4 Lichtsekunden (LS) (zum gleichen Zeitpunkt t).

Geschwindigkeiten v(Photon) = c, v(Läufer) = 0,5*c

Daraus folgt:
v(Photon) * t + v(Läufer) * t = 4 LS
t * (v(Photon) + v(Läufer)) = 4 LS
t = 4 Ls / (v(Photon) + v(Läufer))
oder
t = 4 LS /(c + 0,5*c) ist der Zeitpunkt wo sie sich treffen

Das rote Photon:
Hierbei ist es wie beim Achilles Schildkrötenparadoxon. Mit dem Unterschied, dass die Strecke hier ein Rundkurs ist.
Ist das rote Photon am Startpunkt vom Läufer (nach einmal ums Quadrat), ist der Läufer eine Strecke weiter, ist das Photon dort angekommen,
hat der Läufer wieder ein kleines Stück Wegstrecke zurückgelegt, usw.
Das ergibt eine undendliche Reihe, nähert sich aber einem festen Wert an.

http://de.wikipedia.org/wiki/Achilles_u ... childkröte (komisch geht so nich, siehe unten*)

Laut wiki ist der Zeitpunkt an dem das rote Photon den Läufer eingeholt hat:
t = W / (v(achilles) – v(Schildkröte)) //mit W = Vorsprung
t= 4 LS / (v(Photon) - v(Läufer))
oder
t= 4 LS / (c – 0.5*c)

Das wären dann die gesuchten Zeitpunkte. Die Strecken kriegt man auch noch irgendwie hin.
Ich bin mir aber nicht sicher, muss man da noch Lorentzkontrakion irgendwo einbauen?
Ich glaube nicht, wir haben nur v.

P.S. *Ich weiss nicht was das System für ein Problem mit dem Link hat.
Einfach Achilles und die Schildkröte bei wikipedia eingeben.

p.p.s Ach ja schön, wie ich sehe haben wir die gleichen Ergebnisse blaues Photon 2,66sec und rotes Photon 8 sec

Nur wie sieht es aus der Perspektive des Läufers aus.
(echt toll, dass man seine Beiträge so lang editieren kann)

Grüsse sanchez

FKM
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Re: Problem mit Lorentztransformation

Beitrag von FKM » 3. Feb 2015, 20:04

Yukterez hat geschrieben:.. das Richtige, durch die Abbremsung und Beschleunigung des Läufers beim Abbiegen machen die Photonen im Limit tatsächlich einen "überlichtschnellen" Sprung (siehe Ruslans Antwort auf Stackexchange)
Ich bin zwar kein Fachmann, aber ich denke der "springende Punkt" ist der Wechsel des Bezugssystem, wenn der Läufer nach links abbiegt.
Wenn der Läufer sich auf einen Punkt (im Raum) zu bewegt, dann erscheinen spätere Ereignisse (aus Sicht eines ruhenden Beobachters) in seinem Koordinatensystem gleichzeitig, als wenn er sich quer zu dem Punkt bewegt (Relativität der Gleichzeitigkeit).

Der "überlichtschnelle Sprung" oder Zeitsprung beim Bezugssystemwechsel ist allerdings nie beobachtbar, weil er immer exakt durch Lichtlaufzeit-Effekte ausgeglichen wird. Das macht man sich besser am Zwillingsparadoxon klar: bewegen sich zwei Zwillinge voneinander weg, dann sehen sie sich gegenseitig in Zeitlupe (γ + v/c*γ), bewegen sie sich aufeinander zu, dann im Zeitraffer (γ - v/c*γ).
Zuletzt geändert von FKM am 4. Feb 2015, 00:49, insgesamt 1-mal geändert.

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Re: Problem mit Lorentztransformation

Beitrag von sanchez » 3. Feb 2015, 22:05

Hallo Leute,

@FKM
Hör mal du zitierst mich. Aber das Zitat habe ich nirgendswo geschrieben. Und Yurterez hat mich so auch nicht zitiert.
Das verfälscht die Diskussion ungemein. Lass das in Zukunft bleiben.


@Yukterez
sanchez hat geschrieben:Das blaue Photon:
Wenn sich blaues Photon und Läufer treffen, haben beide in der Summe das ganze Quadrat
Abgelaufen, also 4 Lichtsekunden (LS) (zum gleichen Zeitpunkt t)
Yukterez hat geschrieben: Wenn Läufer und blaues Photon sich treffen hat der Läufer 1⅓ Seitenlängen abgefahren und das blaue Photon 2⅔.
Ist doch schön, 1*1/3 Seitenlänge plus 2* 2/3 = 4 Seitenlänge :da eine Seitenlänge 1 Lichtsekunde sind 4 Seitenlänge-> 4 Lichtsekunden
Wir haben das gleiche Ergebnis.

Ich muss mich entschuldigen, die Formel die ich für das rote Photon verwendet habe,
ist von einem Link im wikipedia Artikel „Achilles und die Schildkröte“ - unten im Weblink "Matheplanet-Artikel" --oder hier

http://matheplanet.com/default3.html?ca ... 5C3%25B6te

Da sind mehrere Reihen, damit kann ich leider nicht rechnen, ausser der Formel am Ende:
Zeitpunkt t = Vorsprung W / ( (v(Schildkröte) – v(Achilles) )

Aber Yuk sind wir einer Meinung, wenn ich sage, das es sich beim roten Photon, um ein Achill Schildkröte Wettrennen handelt.
Langsamer Läufer hat einen Vorsprung und wird irgendwann von dem schnelleren Photon eingeholt.


Deine Reihe kürzt du auf cx / (c-v)- ist ja recht kurz. Naja, wer es mag.

Kannst du mir den Zeitpunkt nennen, wann ein Läufer, der mit einer Geschwindigkeit 0,8*C unterwegs ist, vom roten Photon eingeholt wird?

Grüsse sanchez

FKM
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Re: Problem mit Lorentztransformation

Beitrag von FKM » 4. Feb 2015, 00:55

sanchez hat geschrieben:@FKM
Hör mal du zitierst mich. Aber das Zitat habe ich nirgendswo geschrieben. Und Yurterez hat mich so auch nicht zitiert.
Das verfälscht die Diskussion ungemein. Lass das in Zukunft bleiben.
Sorry, das war ein Tippfehler. Ich wollte mich auf den letzten Satz im letzten Posting von Yukterez beziehen.

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Re: Problem mit Lorentztransformation

Beitrag von sanchez » 4. Feb 2015, 19:59

@FKM
Ja, das kann passieren. Nichts für ungut.

@Yukterez
Auf der zur Strecke ruhenden Uhr nach 4/(1-0.8 ) = 4*5 = 20 sek und nach der Uhr des Läufers nach 20*√(1-0.8²) = 20*0.6 = 12 sek.
Für das blaue Photon ersetzt du alle 0.8 durch -0.8 und erhältst 2.'2 sek im ruhenden und 1.'3 sek im bewegten System.
Mit diesen Rechnungen bin ich einverstanden.
Hier haben wir die Zeitpunkte, vom ruhenden und bewegten Beobachter aus gesehen.

Was fehlt sind die Orte, vom ruhenden und bewegten (also mit Längenkontraktion) aus gesehen.
Kannst du die bitte posten?

Zu deiner Animation (rechte Animation) mit Längenkontraktion: Es verhält sich, wie FKM angedeutet hat. Du machst einen Wechsel des Bezugssytems. Wenn dein Läufer um die Ecke geht, erst dann verkürzt du die Strecke. Wende doch einfach die Längenkontraktion auf alle Seiten des Quadrates schon von Anfang an an. Wenn du mit einem Stift, bei der rechten Animation, auf dem Monitor den Weg des Läufers nachzeichnen würdest, würdest du ein längenkontrahiertes Quadrat bekommen.

Grüsse sanchez

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Re: Problem mit Lorentztransformation

Beitrag von sanchez » 5. Feb 2015, 18:29

Hallo Yukterez,
Du hast geschrieben:
Sicher nicht, dann bekäme ich ja falsche Laufzeiten für die rechtwinkelig zum Läufer fliegenden Photonen heraus.
Das kommt davon, wenn man Photonen eine Geschwindigkeit ungleich c gibt.
Wie schon wikipedia sagt:
(Eintrag: „Spezielle Relativitätstheorie“)
„So hat die Lichtgeschwindigkeit in jedem Bezugssystem denselben Wert.“
Und (Eintrag: „Lichtgeschwindigkeit“)
„Teilchen ohne Ruhemasse, wie die Photonen, bewegen sich stets mit dieser Grenzgeschwindigkeit.“
->Hier meine Antwort zur vorherigen Frage: Die Orte für die zwei Ereignisse: Das Aufeinandertreffen des blauen Photons mit dem Läufer und das Eingeholt werden des Läufers von dem roten Photon; aus Sicht des Läufer System (mit Längenkontraktion)

Längenkontraktion:
Geschwindigkeit v = 0,8c
Der Gammafaktor beträgt bei 0,8c => sqrt ( 1- 0,64c²/c²) = sqrt (0,36) = 0,6 bedeutet, der Weg im bewegten System ist 60% der Orginallänge.
Der Umfang der Quadrates reduziert sich von 4 Lichtsekunden * 0,6 = 2,4 LS

Fall 1: das blaue Photon. Der Läufer kommt dem Photon entgegen.
Im Ruhesystem begegnen sich Läufer und Photon nach 2,2 sek.
Strecke(ruhend) = 0,8c * 2,2 sec= 1,76 LS
Strecke(bewegt) = 1,76 LS * 0,6(gamma) = 1,056 LS

Fall 2: das rote Photon. Der Läufer wird vom Photon eingeholt.
Im Ruhesystem bei 20LS
Strecke(ruhend) = 0,8c * 20 LS = 16LS
Im bewegten System: 16LS * 0,6(gamma) = 9,6LS

Das bedeutet im bewegten System sind die Kantenlängen des Quadrates verkürzt und gleichzeitig sind die Strecken die der Läufer zurücklegt, um entweder einem Photon zu begegnen bzw. von hinten her eingeholt zu werden ebenso verkürzt.

-Anmerkung: Yukterez falls du mal eine Animation machst nach diesem Schema hier, mit verkleinerten Quadrat, wirst du feststellen das beide das gleiche zeigen: Wenn im ruhenden System das rote Photon die linke Ecke trifft, dann auch im gleichen Moment in der Animation des bewegten Systems. Im direkten Vergleich der Animationen würden die Photonen in der bewegten-System- Animation langsamer laufen als in der anderen. Das ist in Ordnung, weil man das bewegt System durch die Brille der Zeitdilatation sieht.

Ein kleine Eselsbrücke: Die beiden Animationen sind identisch, nur zeigt die eine das Ganze in einem kleineren Maßstab, der von der Läufergeschwindigkeit abhängt.
Du kannst auch oben die linke Animation auf dem Monitor anschauen, und einfach mal 2m Rückwärts gehen, und dann wieder die Animation anschauen. Alles ein bisschen kleiner, aber sonst das gleiche.

Grüsse sanchez

Gepakulix
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Re: Problem mit Lorentztransformation

Beitrag von Gepakulix » 5. Feb 2015, 20:28

Das Phänomen der "Gleichzeitigkeit" scheint mir in dem Gedankenexperiment von Yukterez nicht richtig berücksichtigt.
In der RT stimmen Zeitangaben von einem Beobachter immer, wenn er die Zeit direkt bei der eigenen Uhr ablesen kann.

Für oertlich entfernte Punkte muss der Beobachter aber die 'Gleichzeitigkeit' berücksichtigen, wenn der die dortige Zeit beschreibt.
Diese Gleichzeitigkeit aendert sich augenblicklich, wenn der Beobachter selber beschleunigt (seine Geschwindigkeit aendert, bzw sein eigenes Bezugssystem verändert).

Um konkret zu werden:
Angenommen, der Läufer setzt seine Uhr auf 0, im Moment wo er den rechten oberen Punkt verlässt.
Dann weiss er, dass das Rote Photon den linken oberen Punkt erreicht im Zeitpunkt τ1 (korrekte Formel von Yukterez).
Dieser Zeitpunkt τ1 könnte man auf einer Uhr messen, welche
- in dem Moment im oberen linken Punkt ist wo dort auch gerade das Rote Photon vorbeikommt,
- und welche selber mit derselben Geschwindigkeit sich bewegt wie der Läufer (also im gleichen Bezugssystem ist)!!

Im Gegensatz dazu würde eine im linken-oberen Punkt ruhende Uhr eine ganz andere Zeit angeben (betreffend der Ankunft vom Roten Photon).
Es gibt also 2 verschiedene Zeitangaben, bezueglich dem Zeitpunkt wo das Rote Photon den linken oberen Punkt passiert hat.
Das ist solange noch kein Widerspruch, als man das Bezugssystem nicht aendert.

Im Moment wo der Läufer den linken oberen Punkt erreicht bremst er aber ab und verändert sein Bezugssystem.
Somit wechselt er auch zwischen den beiden Zeitangaben: Der vom Läufer berechnete Wert τ1 ist somit ab diesem Zeitpunkt falsch.

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Re: Problem mit Lorentztransformation

Beitrag von Gepakulix » 5. Feb 2015, 21:09

Yukterez hat geschrieben:
Gepakulix hat geschrieben:Das Phänomen der "Gleichzeitigkeit" scheint mir in dem Gedankenexperiment von Yukterez nicht richtig berücksichtigt.
Du meinst die alte Animation, oder? In der Neuen ist sie doch korrekt berücksichtigt?
Ja, du hast recht: diese 2te Berechnung/Animation hatte ich übersehen. :D

Soweit ich sehe stimmt es jetzt.
Oder gibt es aus deiner Sicht immer noch eine Unstimmigkeit?

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Re: Problem mit Lorentztransformation

Beitrag von sanchez » 6. Feb 2015, 10:44

Hallo Yukerez,

so ich habe meine Lösung zu diesem Problem dargestellt.
Du hast die Zeitdilatation beigesteuert (Yukterez » 3. Feb 2015, 22:49 ),
und ich die Längenkontraktion (sanchez » 5. Feb 2015, 18:29 ).
Ich halte das so für stimmig. Danke, ich habe dazu gelernt.

Du hast dem Quadrat im Ruhesystem einen Umfang von 4 Lichtsekunden gegeben, Seitenlänge 1 Lichtsekunde.

Ich favorisiere den 2,4 LS Umfang des Quadrates im bewegten System, Seitenlänge 0,6 Lichtsekunden.
Das heißt, das Photon hat im bewegten System nach 1 Sekunde 0,6 Lichtsekunden zurückgelegt (eine Seite des Quadrats).
(zu berücksichtigen das die Uhr im bewegt system langsamer tickt
--> es sieht so aus als ob die Photonen langsamer fliegen, aber eine kürzere Streck fliegen)
Zeitdilatation und Längenkontraktion treten immer zusammen auf. Dadurch ist auch im bewegt System Photon mit v = s/t = c.
Photon: (Länge(0) * gammafktor) / ( Zeit (0) * gammfaktor) = c

Du hast den Photonen Relativgeschwindigkeiten gegeben, obwohl sie stets mit v= c unterwegs sind (mich stört Photon mit Geschwindigkeit c+v).


Zu deinem letzten Post:
Wie ich sehe, bleibst du deiner bisherigen Ansicht treu.
Ja stimmt so in der Abbildung, es ist keine Gleichzeitigkeit zu sehen. Die rechte Darstellung ist aber nicht so, wie ich es darstellen würde.

Grüsse sanchez

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Re: Problem mit Lorentztransformation

Beitrag von sanchez » 8. Feb 2015, 20:35

Hallo Yukterez,
Bei dem Quadrat mit 4 Ls haben wir v=c/2, warum willst du unbedingt auf 0.8c umsteigen?
Du hast für deine Animation die Geschwindigkeit des Läufers recht glücklich gewählt.
Bei 0,5c erreicht der Läufer die erste Ecke, während das rote Photon unten links ankommt.
Aber wende mal 0,8c auf den Läufer an. Wenn dann der Läufer um die obere linke Ecke abbiegt, ist der Läufer mit dem roten Photon auf der gleichen Seite. Dann würde sich nach deiner Rechnung die Geschwindigkeit des roten Photons von sqrt(c²-v²) auf c+v ändern. Dann hast du neben den Ortssprüngen auch noch Geschwindigkeitssprünge.
Wenn das System des Läufers gezeigt wird und der Läufer v hat, wie viel muss dann das Photon deiner Meinung nach haben um relativ zum Läufer c zu haben? Das Photon hat im Läufersystem eine Differenzgeschwindigkeit von c+v relativ zur Strecke, da die Strecke mit v auf ihn zukommt während das Photon mit c von ihm losgeht. So einfach ist das!
Warum gibst du dem roten Photon die Geschwindigkeit v+c?
Warum nicht Photon = c und Läufer= v.
Vielleicht hast du vorrausgesetzt, daß das rote Photon vom Läufer stammt, und so Eigengeschwindigkeit Läufer=v sich mit Geschwindigkeit Photon c addiert.
Da muss ich das Gedankenexperiment etwas umbauen. Lass uns in die linke obere Ecke einen Photodetektor setzen.
Und an unserem Startpunkt sei eine stationäre Photonemquelle und im Läufer ist die gleiche. Beide senden also Licht der gleichen Wellenlänge aus.
Im Moment des Starts sendet der Läufer ein Photon aus und auch die ruhende Photonenquelle sendet ebenso ein Photon aus. Da sich das Licht in jedem Bezugssystem mit der Lichtgeschwindigkeit c ausbreitet, kommen beide Photonen gleichzeitig im Detektor an. Aber ---> die beiden Photonen sind unterschiedlich, obwohl von identischen Photonenquellen

Denn der Läufer hat sich auf den Detektor zubewegt. Das führt zum Dopplereffenkt. In diesem Fall eine Blauverschiebung. Die Wellenlänge wird kürzer und die Frequenz höher. Denn die Signalquelle bewegt sich auf Detektor zu.

Wikipedia sagt für Beobachter bewegt, Signalquelle in Ruhe die Formel:
f(Beobachter) = f(signalquelle) * ( 1 + v/c)
Was auch für Beobachter in Ruhe und Signalquelle in Bewegung gilt; wie es bei uns der Fall ist.

Geschwindigkeit der Signalquelle hat keinen Einfluss auf die Photonengeschwindigkeit, wohl aber auf dessen Wellenlänge und Frequenz (denn c = Wellenlänge * Frequenz) entspricht der Farbe.

Wo? Hier? Kannst ja mal zeigen wie du das darstellen würdest.
Die rechte Animation wäre bei mir ein kleines Quadrat mit verkürzten Seiten. (Je grösser Läufergeschwindigkeit um so kürzer die Seiten).
Die Verhältnisse müssen stimmen. Hat ein Photon 8/3 der Seite im linken Quadrat abgelaufen, dann muss das Photon auch im kleinen Quadrat 8/3 der Seite abgelaufen haben.

Grüsse sanchez

p.s. Wie kann man hier mathematische Notation verwenden, sqrt() und so was?
Zuletzt geändert von sanchez am 8. Feb 2015, 21:27, insgesamt 1-mal geändert.

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Re: Problem mit Lorentztransformation

Beitrag von sanchez » 8. Feb 2015, 21:55

Hallo,

-"linkes Bild"
jo host mie, da hab i mir versaubeutelt.
Kann passieren-

Und wie kommst du auf Photonengeschwindigkeit von c+v ?


Güsse sanchez

p.s. wenn du mir ein Animationprogramm gibst, dann mach mir nen kleines Quadrat.

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Re: Problem mit Lorentztransformation

Beitrag von sanchez » 9. Feb 2015, 19:41

Hallo Yukterez,
Yukterez hat geschrieben:
sanchez hat geschrieben:Und wie kommst du auf Photonengeschwindigkeit von c+v ?

Das ist die Differenzgeschwindigkeit die das Photon im System des Läufers relativ zur Strecke hat.
Also im System des Läufers... ist die Seite des Quadrats verkürzt, und dann irgendwie relativ zur Strecke? Das verstehe ich nicht.

Oder ist es doch so wie in deinem Eingangspost:
Yukterez hat geschrieben:In dessen rechter oberer Ecke platziere ich einen Läufer, der das Quadrat mit der Geschwindigkeit v = c/2 gegen den Uhrzeigersinn abläuft.
Dieser sendet zu Beginn des Experiments ein rotes Photon mit c nach vorne, und ein blaues nach hinten.
Deswegen hatte ich den Eindruck, du addierst Lichtgeschwindigkeit mit der Läufergeschwindigkeit beim roten Photon und im Falle des blauen Photon subtrahierst du Läufergeschwindigkeit von Lichtgeschwindigkeit.
Übrigens: Differenzgeschwindigkeit = Relativgeschwindigkeit: http://de.wikipedia.org/wiki/Relativgeschwindigkeit
(aber das gilt für Körper wie etwa Raumschiffe)
Also stelle mal das bitte klar.
Ich habe nicht die Zeit und Lust mich in so ein Animationsprogramm einzulernen.
Schick mir doch einfach die Parameter der linken, ruhenden System Animation.
Ich werde sie dann so abändern, und dir zusenden, wie es im bewegten System sein soll.

Grüsse sanchez
Zuletzt geändert von sanchez am 9. Feb 2015, 19:53, insgesamt 2-mal geändert.

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Re: Problem mit Lorentztransformation

Beitrag von sanchez » 4. Dez 2015, 23:50

Hallo yukterez,
Photonen haben unabhängig davon, ob ich mich auf die Strahlenquelle zubewege bzw. von der Strahlenquelle wegbewege stets die gleiche Geschiwindigkeit, nämlich c (in jedem Bezugsystem).
Egal wie ich mich im Raum bewege.
Was sich ändert, ist allein die Frequenz der Photonen.

grüsse sanchez

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Re: Problem mit Lorentztransformation

Beitrag von Alberich » 7. Dez 2015, 17:26

Mit einem Äther als Medium wäre die Diskussion überflüssig:
Sind Emitter und Absorber gekoppelt, so bleibt c immer die an beiden Eckpunkten gemessene Lichtgeschwindigkeit. Jedoch sind Wellenlänge und Frequenz über die Strecke dann geschwindigkeitsabhängig, doch so, dass ihr Produkt stets konstant bleibt.
Wie beim Schall bestimmt das Medium die Signalgeschwindigkeit.
MfG
Alberich
Kühner als das Unbekannte zu erforschen, kann es sein, das Bekannte zu bezweifeln
(Alexander von Humboldt)
Denken, statt denken lassen.

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