Abenteuer-Universum

Lokal ist, was sich in einem lokalen Koordinatensystem (einer Karte) abspielt. Man kann aber den Torus nicht umunden, ohne das lokale Koordinatensystem zu verlassen.

Bei der Kugel kann man im Prinzip das selbe Experiment machen (einen Lichtstrahl nach vorne schicken und einen nach hinten). Das sollte sogar einfacher gehen, weil es egal ist, in welche Richtung man sich bewegt.
Allerdings hat man bei der Sphäre notwendigerweise Krümmung. Deshalb hab ich den Torus gewählt.

Wenn ich mal wieder was sagen darf ;-)

Ich habe letztlich in meinem Beitrag alles wesentliche schon geschrieben, aber ich sag's gerne nochmal:

Räumlich entspricht das Universum einem kompakten Kreis. Ein Beobachter, der in entgegengesetzte Lichtsignale aussendet, kann unterscheiden, ob er sich entlang des Kreises bewegt oder nicht. Wenn er sich nicht bewegt, treffen beide Lichtsignale gleichzeitig bei ihm ein. Wenn er sich bewegt, eilt er einem Lichtsignal entgegen, welches dann vor dem anderen, von dem er sich wegbewegt, bei ihm eintrifft. Stellt euch einfach eine Kreisrinne vor, auf der ihr herumlauft, während ihr in beide Richtungen sehr schnelle Kugeln wegrollt. Mehr steckt da nicht dahinter.

Es gibt also ein ausgezeichnetes Bezugssystem der absoluten Ruhe!

Lokal können verschiedene Beobachter den Bewegungszustand nicht feststellen, durch die Beobachtung der umlaufenden Lichtstrahlen können sie jedoch durchaus tun.

Meine Aussage, dass die Lorentzinvarianz lokal gilt, jedoch global gebrochen ist, ist kein Widerspruch, sondern gibt genau diesen Sachverhalt wieder. Im Übrigen ist die LI auch in der ART i.A. global gebrochen, jedoch lokal (sogar als Eichsymmetrie im Tangentialraum) gültig; Ausnahme ist die global flache und topologisch triviale Minkowski-Geometrie.

Es ist also durchaus eine Aussage über den topologisch nicht-trivialen Fall möglich, allerdings eben nur, wenn man auch globale Beobachtungen durchführt.

Synchronisation und Gleichzeitigkeit werden auch komplizierter. Für den ruhenden Beobachter ist die gedachte Linie der Gleichzeitigkeit wiederum ein kompakter Kreis; die LT vermischt jedoch Raum- und Zeitkooridnaten, d.h. dass die gedachte Linie der Gleichzeitigkeit für einen bewegten Beobachter eine nicht-kompakte Schraubenlinie wird.

So, ich hoffe, das erklärt die wesentlichen Zusammenhänge. Oder ist noch etwas offen?

tomS hat geschrieben:Es gibt also ein ausgezeichnetes Bezugssystem der absoluten Ruhe!

tomS hat geschrieben:So, ich hoffe, das erklärt die wesentlichen Zusammenhänge. Oder ist noch etwas offen?

Ja, klar!

Also, wenn dem so ist, kann man dann nicht im Prinzip, durch ähnlich geartete Experimente wie das mit den Lichststrahlen, ermitteln ob das Universum räumlich geschlossen ist oder nicht?
Und: Wären dann nicht gewisse Effekte im frühen Universum zu erwarten, die bei einem räumlich geschlossenes Universum zu einer anderen Entwicklung führen als bei einem räumlich unendlich ausgedehnten Universum?
(Hintergrundfrage: Wie ist das nun bei räumlich unendlich ausgedehnten, flachen Universen genau? Ich gehe davon aus, dass dort das Relativprinzip auch global gelten kann.)

Und direkt zu dem, was du sagt: Läuft das nicht darauf hinaus, dass die lokale Betrachtungsweise incl. dem Relativitätsprinzip nur eine Näherung darstellt?

Grüße
seeker

seeker hat geschrieben:Also, wenn dem so ist, kann man dann nicht im Prinzip, durch ähnlich geartete Experimente wie das mit den Lichststrahlen, ermitteln ob das Universum räumlich geschlossen ist oder nicht?

Mit Betonung auf "Im Prinzip", ja.

seeker hat geschrieben:Wären dann nicht gewisse Effekte im frühen Universum zu erwarten, die bei einem räumlich geschlossenes Universum zu einer anderen Entwicklung führen als bei einem räumlich unendlich ausgedehnten Universum?

Das ist eine interessante Frage.

seeker hat geschrieben: Wie ist das nun bei räumlich unendlich ausgedehnten, flachen Universen genau? Ich gehe davon aus, dass dort das Relativprinzip auch global gelten kann.

Ja, das hat Tom hier geschrieben:

TomS hat geschrieben:Im Übrigen ist die LI auch in der ART i.A. global gebrochen, jedoch lokal (sogar als Eichsymmetrie im Tangentialraum) gültig; Ausnahme ist die global flache und topologisch triviale Minkowski-Geometrie.

Ich hab noch eine Frage.
Was ist, wenn ein Beobachter sich nicht auf einer Kreislinie bewegt, sondern auf einer nicht geschlossenen Kurve? Dann kann er mit Deiner Metnode nicht bestimmtn, ob er sich bewegt, oder nicht, weil er unter Umständen seine Lichtstrahlen nie wieder trifft...

seeker hat geschrieben:Also, wenn dem so ist, kann man dann nicht im Prinzip, durch ähnlich geartete Experimente wie das mit den Lichststrahlen, ermitteln ob das Universum räumlich geschlossen ist oder nicht?

Im Prinzip ja; insbs. muss das Universum natürlich klein genug sein.

seeker hat geschrieben:Und: Wären dann nicht gewisse Effekte im frühen Universum zu erwarten, die bei einem räumlich geschlossenes Universum zu einer anderen Entwicklung führen als bei einem räumlich unendlich ausgedehnten Universum?

Ja; sowohl die Topologie als auch die Geometrie haben einen Einfluss auf das erlaubte Spektrum der primordialen Gravitationswellen, das man wiederum indirekt im CMB identifizieren möchte.

seeker hat geschrieben:Hintergrundfrage: Wie ist das nun bei räumlich unendlich ausgedehnten, flachen Universen genau? Ich gehe davon aus, dass dort das Relativprinzip auch global gelten kann.

Im Minkowski-Raum ja.

seeker hat geschrieben:Und direkt zu dem, was du sagt: Läuft das nicht darauf hinaus, dass die lokale Betrachtungsweise incl. dem Relativitätsprinzip nur eine Näherung darstellt?

So würde ich das nicht sagen. Lokal, d.h. in jedem endlichen Bereich gilt die LI absolut exakt. Global gilt sie nicht. Das ist keine einfache Näherung.

breaker hat geschrieben:Ich hab noch eine Frage.
Was ist, wenn ein Beobachter sich nicht auf einer Kreislinie bewegt, sondern auf einer nicht geschlossenen Kurve? Dann kann er mit Deiner Metnode nicht bestimmtn, ob er sich bewegt, oder nicht, weil er unter Umständen seine Lichtstrahlen nie wieder trifft...

Moment. Ein inertialer Beobachter kann sich nur auf einer Kreislinie bewegen, wobei der Grenzfall v=0 enthalten ist. Alle anderen Bewegungen können nicht in einem Inertialsystem realisiert sein. Es geht ja gerade darum, dass aus allen, unendlich vielen Beobachtern eine Klasse von Beobachtern (die in absoluter Ruhe) ausgezeichnet sind. Beliebige andere Bewegungen sind möglich, aber da kann der Beobachter durch Messung der Beschleunigung seine Bahnkurve bestimmen.

Wie kann er seine Beschleunigung messen?

breaker hat geschrieben:Wie kann er seine Beschleunigung messen?

Dafür gibt es Sensoren.
Bei Objekten, bei denen die Kraft nur auf einen Teil des Objekts wirkt, muss der Impuls im Objekt übertragen werden, und das ist natürlich messbar.

tomS hat geschrieben:Mit dem Torus-Universum haben wir echt ein Fass aufgemacht.

Es ist ja bald Bescherung. Vielen Dank für deine lehrreichen Erläuterungen und die daraus entstandene, fesselnde Diskussion.

tomS hat geschrieben:OK, insgs. können wir feststellen, dass das

FKM hat geschrieben:

• Prinzip der Relativität - alle Intertialsystem sind äquivalent

lokal weiterhin gültig bleibt, jedoch durch die nicht-triviale Geometrie global gebrochen wird.

Dass es ein ausgezeichnetes Intertialsystem gibt, dass man auch durch Beobachtungen ermitteln kann, war mir mit den Posting vom 23.12, 01:20 klar. Skeptisch bin ich noch, ob man in einer flachen Raumzeit einfach sagen kann, dass die LI lokal gilt, aber nicht mehr global, ohne sich Widersprüche einzuhandeln.

positronium hat geschrieben:

breaker hat geschrieben:Wie kann er seine Beschleunigung messen?

Dafür gibt es Sensoren.
Bei Objekten, bei denen die Kraft nur auf einen Teil des Objekts wirkt, muss der Impuls im Objekt übertragen werden, und das ist natürlich messbar.

Ja ok, aber warum soll die Bewegung entlang einer offenen Kurve beschleunigt sein und entlang einer geschlossenen nicht?

Jetzt bin ich verwirrt.
Ein Beobachter kann sich doch überhaupt nicht auf einer kreisförmigen, geschlossenen Weltlinie im Torus bewegen?
Dazu müsste er doch unendlich schnell sein?

Die Kreislinie habe ich so verstanden, dass sie eine gedachte ausgezeichnete Gegenwartsebene darstellt, die den Torus räumlich umspannt und die sich in Richtung Zukunft bewegt (sowas tut die Gegenwart halt).
Ein ruhender Beobachter würde sich irgendwo stationär auf diesem Kreis befinden und sich mit dieser Linie mit c in Richtung Zukunft bewegen (also senkrecht nach oben), also auf dem bewegten Kreis bleiben.
Seine ausgesandten Lichtstrahlen würden dagegen Spiralbahnen im RZ-45°-Winkel verfolgen und (wenn's passt) irgendwann (nach einer Umrundung) wieder mit ihm zusammentreffen.

Wenn der Beobachter sich bewegen würde, wäre seine Linie nicht mehr senkrecht nach oben, sondern schräg nach oben, also auch ein Stück seitwärts in Raum-Richtung, wodurch ihn die zwei Lichtimpulse nach ihrer Umrundung zu unterschiedlichen Zeiten treffen würden.
Hab ich das falsch verstanden?

seeker hat geschrieben:Läuft das nicht darauf hinaus, dass die lokale Betrachtungsweise incl. dem Relativitätsprinzip nur eine Näherung darstellt?

tomS hat geschrieben:So würde ich das nicht sagen. Lokal, d.h. in jedem endlichen Bereich gilt die LI absolut exakt. Global gilt sie nicht. Das ist keine einfache Näherung.

Hmm... aber muss es da nicht einen nicht-scharfen Übergang geben zwischen lokal und global? Wie groß darf ich meine lokale Betrachtungsweise in einem räumlich endlich ausgedehnten Universum werden lassen?

Was ich auch noch nicht verstehe:

breaker hat geschrieben:Lokal ist, was sich in einem lokalen Koordinatensystem (einer Karte) abspielt. Man kann aber den Torus nicht umunden, ohne das lokale Koordinatensystem zu verlassen.

Wieso? Ich definiere ein KS auf einer endlichen Fläche und klebe dann die Ränder zusammen. Das KS umspannt dann das gesamte Universum ohne Unstetigkeit.
Wieso kann ich es dann nicht umrunden ohne das KS zu verlassen?
Wo ist hier der Unterschied zwischen lokal und global?

Ansonsten: Cooler Thread! Man lernt ne Menge dazu!

Grüße
seeker

seeker hat geschrieben:Ein Beobachter kann sich doch überhaupt nicht auf einer kreisförmigen, geschlossenen Weltlinie im Torus bewegen?
Dazu müsste er doch unendlich schnell sein?

Die Kreislinie habe ich so verstanden, dass sie eine gedachte ausgezeichnete Gegenwartsebene darstellt, die den Torus räumlich umspannt und die sich in Richtung Zukunft bewegt (sowas tut die Gegenwart halt).
Ein ruhender Beobachter würde sich irgendwo stationär auf diesem Kreis befinden und sich mit dieser Linie mit c in Richtung Zukunft bewegen (also senkrecht nach oben), also auf dem bewegten Kreis bleiben.
Seine ausgesandten Lichtstrahlen würden dagegen Spiralbahnen im RZ-45°-Winkel verfolgen und (wenn's passt) irgendwann (nach einer Umrundung) wieder mit ihm zusammentreffen.

Wenn der Beobachter sich bewegen würde, wäre seine Linie nicht mehr senkrecht nach oben, sondern schräg nach oben, also auch ein Stück seitwärts in Raum-Richtung, wodurch ihn die zwei Lichtimpulse nach ihrer Umrundung zu unterschiedlichen Zeiten treffen würden.

Ich denke, du hast das alles korrekt wiedergegeben.

Die Raumzeit ist ein Torus. Der Raum ist ein Kreis mit Umfang L.

Ich kann mich entlang des Kreises im Raum bewegen. Wenn ich mich mit konstanter Geschwindigkeit v bewege, erreiche ich nach T = L/v den Ausgangspunkt x = 0 mod L. im Raum. Meine Bahnkurve im Raum ist also ein Kreis, meine Weltlinie entspricht jedoch einer offene Spirale non (0,0) nach (L = 0, T). Die gedachte Gleichzeitigkeitslinie mit t = 0 = const. ist ein Kreis in der Raumzeit; sie entspricht nicht der Bahnkurve, entlang der t ja fortschreitet.

seeker hat geschrieben:Wie groß darf ich meine lokale Betrachtungsweise in einem räumlich endlich ausgedehnten Universum werden lassen?

Ich definiere ein KS auf einer endlichen Fläche und klebe dann die Ränder zusammen. Das KS umspannt dann das gesamte Universum ohne Unstetigkeit.
Wieso kann ich es dann nicht umrunden ohne das KS zu verlassen?

Ein KS bzw. eine Karte enthält jeden Punkt der Mannigfaltigkeit genau einmal. Da wir hier eine triviale Topologie R * S1 haben, reicht die Betrachtung der 1-dim. Untermannigfaltigkeit = des Kreises aus. Betrachte den Punkt x=0 in einem Koordinatensystem. Nun würdest du annehmen, dass der Punkte wiederum mit x=L im selben KS auftaucht, und das darf nicht sein. D.h. deine Karte basiert nicht auf [0,L] sondern entspricht einer offenen Umgebung ]a,b[ mit 0 < a< b < L und umspannt somit nicht den gesamten Kreis. Der nicht abgedeckte Bereich [a,b] wird mittels einer zweiten Karte abgedeckt.

Die lokale LI gilt uneingeschränkt innerhalb einer Karte. Beim umrunden des Kreises muss jedoch zwingend ein Kartenwechsel stattfinden. Die Wahl der Karten ist (fast) beliebig. Es gibt keinen Punkt in der RZ, wo die LI nicht mehr gültig ist, es gubt eben nur globale Effekte, wo dies zum tragen kommt.

FKM hat geschrieben:Skeptisch bin ich noch, ob man in einer flachen Raumzeit einfach sagen kann, dass die LI lokal gilt, aber nicht mehr global, ohne sich Widersprüche einzuhandeln.

Was sollten das für Widersprüche sein?

Noch eine Betrachtung: statt des Raumes S1 betrachten wir den Torus T2 = S1 * R und definieren darauf wieder Karten. Eine mögliche Wahl ist die Karte ]a,b[ * R sowie eine zweite für den freibleibenden Streifen. Diese erste Karte ist optimal für einen Beobachter bei x = const. mit a < x < b. Ein sich mit v = const. bewegender Beobachter wird diese Karte jedoch verlassen. Er könnte (ausgedrückt in den ursprünglichen Koordinaten) eine Karte ]a' + vt, b' + vt[ * R wählen, auf der seine Weltlinie verbleibt. Nun allerdings verlässt der erste Beobachter mit x = const. diese Karte.

Es ist also nicht mehr möglich, für zwei beliebig bewegte Beobachter Karten auf der RZ so zu definieren, dass beide zu Beginn t=0 sowie für alle späteren Zeiten t>0 auf der selben Karte bleiben.

Evtl. finde ich dazu noch ein Paper, wo das zusammengefasst wird.

breaker hat geschrieben:...warum soll die Bewegung entlang einer offenen Kurve beschleunigt sein und entlang einer geschlossenen nicht?

Wenn der räumliche Teil des Universums Sn (n>0) ist, führt jede unbeschleunigte Bewegung zu einer Kreislinie, weil die Krümmung überall gleich ist. Natürlich könnte man noch in Bewegungsrichtung beschleunigen, was die Kreislinie erhalten würde. Wenn man aber die Kreislinie verlassen will, muss man von dieser weg beschleunigen.

@Tom: Danke.

Noch ein Gedanke:

seeker hat geschrieben:Wenn der Beobachter sich bewegen würde, wäre seine Linie nicht mehr senkrecht nach oben, sondern schräg nach oben, also auch ein Stück seitwärts in Raum-Richtung, wodurch ihn die zwei Lichtimpulse nach ihrer Umrundung zu unterschiedlichen Zeiten treffen würden.

Das heißt aber auch, dass sich unsere zwei Beobachter über die Form ihres Universums nicht einig wären: Der ruhende Beobachter würde behaupten, dass es in Raumrichtung kreisförmig wäre, der bewegte Beobachter würde behaupten, dass es eiförmig wäre. (Einig wären sie sich allerdings über die geschlossene Topologie ihres Universums!)

D.h.: Die Form des Universums ist relativ! Relativ zum Beobachter.

tomS hat geschrieben:Die lokale LI gilt uneingeschränkt innerhalb einer Karte. Beim umrunden des Kreises muss jedoch zwingend ein Kartenwechsel stattfinden. Die Wahl der Karten ist (fast) beliebig. Es gibt keinen Punkt in der RZ, wo die LI nicht mehr gültig ist, es gubt eben nur globale Effekte, wo dies zum tragen kommt.

OK. Es handelt sich bei dieser Unstetigkeit (bei entsprechender KS-Wahl) aber nur um genau einen einzigen Punkt, so wie bei dem Winkel-KS auf einem Kreis ein Punkt doppelt vorkommt, nämlich 0°/360°: Wenn man die 360° überschreitet, "springt" man unstetig auf 0° - oder?
"Global" bedeutet dann: schlichtweg die gesamte Struktur, "Lokal": die gesamte Struktur minus mindestens 1 Punkt.

Grüße
seeker

tomS hat geschrieben:Die lokale LI gilt uneingeschränkt innerhalb einer Karte.

Ist denn eine Karte nicht ein Tangentialraum? Wenn sie ein solcher ist, hätte seeker doch mit der Näherung Recht. - In einem kleinen Gebiet könnte man näherungsweise ohne Krümmung rechnen, global aber nicht.

TomS hat geschrieben: Die Raumzeit ist ein Torus. Der Raum ist ein Kreis mit Umfang L.

Oh, dann haben wir die ganze Zeit von unterschiedlichen Dingen geredet
Ich meinte, der Raum solle ein Torus sein und die Raumzeit dann z.B. .

Aber das Beispiel, in dem der Raum ein Kreis ist, ist natürlich auch interessant und wahrscheinlich sogar ein besseres Beispiel, weil einfacher. Allerdings könnte man dann auch einfach nehmen, oder? Gewinnt man irgendwas, wenn man die Zeitdimension aufwickelt?

seeker hat geschrieben:OK. Es handelt sich bei dieser Unstetigkeit (bei entsprechender KS-Wahl) aber nur um genau einen einzigen Punkt, so wie bei dem Winkel-KS auf einem Kreis ein Punkt doppelt vorkommt, nämlich 0°/360°: Wenn man die 360° überschreitet, "springt" man unstetig auf 0° - oder?

Ja, das ist genau richtig!

seeker hat geschrieben: "Global" bedeutet dann: schlichtweg die gesamte Struktur, "Lokal": die gesamte Struktur minus mindestens 1 Punkt.

Im Falle des Kreises - Ja.

Bei ein- bzw. zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten kann man sich das wunderbar bildlich vorstellen. Ein Koordinatensystem zu wählen bedeutet, einen Teil der Mannigfaltigkeit glatt zu bügeln. Nun stellen wir uns mal anhand von 3 Beispielen die Frage, was der größte Teil ist, der sich noch glattbügeln lässt:

1. Kreis
Den ganzen Kreis kann man sicherlich nicht geradebiegen, ohne ihn auseinanderzuschneiden. Ein kleines Segment des Kreises aber sehrwohl. Das größte Segment des Kreises, das man noch gerade biegen kann, ist offenbar der Kreis minus einen einzelnen Punkt.

2. Torus
Reicht es hier, einen einzigen Punkt zu entfernen, damit wir den Torus flach bügeln können? Sicher nicht!Wir müssen ihn entlang zwei senkrecht zueinander liegenden Kreisen aufschneiden. Dann kann man ihn einfach aufklappen und erhält ein Rechteck (siehe das Bild).
Der größte Teil des Torus, der sich durch eine Karte abdecken lässt, ist also der Torus minus zwei Kreise. 3. Kugel
Es ist erstaunlich, aber obwohl die Kugel zweidimensional ist, reicht es auch hier, einen einzigen Punkt zu entfernen. Dann lässt sie sich eben bügeln. Dass dies tatsächlich möglich ist, zeigt die stereografische Projektion: http://de.wikipedia.org/wiki/Stereografische_Projektion

seeker hat geschrieben:Der ruhende Beobachter würde behaupten, dass es in Raumrichtung kreisförmig wäre, der bewegte Beobachter würde behaupten, dass es eiförmig wäre. (Einig wären sie sich allerdings über die geschlossene Topologie ihres Universums!)

Sie würden den Umfang das Universums anders angeben.

seeker hat geschrieben:Es handelt sich bei dieser Unstetigkeit (bei entsprechender KS-Wahl) aber nur um genau einen einzigen Punkt, so wie bei dem Winkel-KS auf einem Kreis ein Punkt doppelt vorkommt, nämlich 0°/360°: Wenn man die 360° überschreitet, "springt" man unstetig auf 0° - oder?
"Global" bedeutet dann: schlichtweg die gesamte Struktur, "Lokal": die gesamte Struktur minus mindestens 1 Punkt.

Ja, aber man kann diesen einen Punkt nicht explizit benennen; er befindet sich jedenfalls nie in deiner lokalen Umgebung.

positronium hat geschrieben:Ist denn eine Karte nicht ein Tangentialraum? Wenn sie ein solcher ist, hätte seeker doch mit der Näherung Recht. - In einem kleinen Gebiet könnte man näherungsweise ohne Krümmung rechnen, global aber nicht.

Eine Karte und ein Tangentialraum sind zwei verschiedene Konzepte. Eine Karte ist zunächst mal nur eine bijektive Abbildung zwischen Mannigfaltigkeit und Euklidischen bzw. Minkowski-Raum. In unserem Fall gibt es mindestens zwei Karten. Ein Tangentialraum existiert dagegen zunächst mal in jedem einzelnen Ort. Im flachen Fall kann man diese Tangentialräume untereinander identifizieren, dadurch sind Karten und Tangentialräume sozusagen identifizierbar. Grundsätzlich muss man sie aber unterscheiden.

Man kann aber im vorliegenden Fall sicher ohne Krümmung rechnen.

breaker hat geschrieben:

TomS hat geschrieben: Die Raumzeit ist ein Torus. Der Raum ist ein Kreis mit Umfang L.

Oh, dann haben wir die ganze Zeit von unterschiedlichen Dingen geredet :shock:
Ich meinte, der Raum solle ein Torus sein und die Raumzeit dann z.B. .

Aber das Beispiel, in dem der Raum ein Kreis ist, ist natürlich auch interessant und wahrscheinlich sogar ein besseres Beispiel, weil einfacher. Allerdings könnte man dann auch einfach nehmen, oder? Gewinnt man irgendwas, wenn man die Zeitdimension aufwickelt?

Ich denke, durch höhere Tori Tn = S1 * S1 * ... S1 und RZ = Tn * R kommen weitere Windungszahlen hinzu, aber die grundsätzliche Problematik bleibt die selbe.

breaker hat geschrieben:Ein Koordinatensystem zu wählen bedeutet, einen Teil der Mannigfaltigkeit glatt zu bügeln.

Wobei man andere geometrische Eigenschaften in die Metrik stecken muss.

tomS hat geschrieben:

positronium hat geschrieben:Ist denn eine Karte nicht ein Tangentialraum? Wenn sie ein solcher ist, hätte seeker doch mit der Näherung Recht. - In einem kleinen Gebiet könnte man näherungsweise ohne Krümmung rechnen, global aber nicht.

Eine Karte und ein Tangentialraum sind zwei verschiedene Konzepte. Eine Karte ist zunächst mal nur eine bijektive Abbildung zwischen Mannigfaltigkeit und Euklidischen bzw. Minkowski-Raum. In unserem Fall gibt es mindestens zwei Karten. Ein Tangentialraum existiert dagegen zunächst mal in jedem einzelnen Ort. Im flachen Fall kann man diese Tangentialräume untereinander identifizieren, dadurch sind Karten und Tangentialräume sozusagen identifizierbar. Grundsätzlich muss man sie aber unterscheiden.

Zunächst ist das richtig, aber im Prinzip hat positronium nicht ganz unrecht:
http://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsch ... oordinaten