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Lorentz-Transformationen

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Beitrag von Higgs » 1. Okt 2013, 16:36

Die Gleichung der Lorentz-Transformation für die Zeit ist --> t' = gamma (Lorentz-Faktor) * (t-v/c^2*x) wobei x=v*t ist. Ich habe das im Buch "Der Physikverführer" gelesen. Jetzt konnte ich erfolgreich mit der Formel t' = gamma (Lorentz-Faktor) * (t-v/c^2*x) die Zeitdilatation berechnen. Dafür musste man wie schon gesagt x=v*t berechnen.

Was bedeutet jetzt aber x=v*t und woher kommt diese Formel?

Ich weiß, dass sie etwas mit der Position der Uhr zu tun hat, die sich mit der Geschwindigkeit v bewegt.

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Re: Lorentz-Transformationen

Beitrag von positronium » 1. Okt 2013, 17:12

Higgs hat geschrieben:Was bedeutet jetzt aber x=v*t und woher kommt diese Formel?
Das ist einfach die Position zu einer bestimmten Zeit bzw. die Positionsveränderung, also x=Ort, v=Geschwindigkeit und t=Zeit. Wenn man sich die Zeit t lang mit der Geschwindigkeit v bewegt, verändert man seine Position x entsprechend v*t.

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Re: Lorentz-Transformationen

Beitrag von Higgs » 1. Okt 2013, 17:22

Aber woher weiß man, dass man die Formel x=v*t für die Berechnung der Formel t' = gamma (Lorentz-Faktor) * (t-v/c^2*x) benötigt?
Hat die Formel x=v*t eine Bezeichnung? Ich habe schon danach gesucht, aber habe die Formel auch in Wiki nicht gefunden.

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Re: Lorentz-Transformationen

Beitrag von positronium » 1. Okt 2013, 18:16

Das sieht komplizierter aus als es ist - man kann das schöner schreiben:
Du schreibst:
mit x=v*t gilt:
Hier klammert man am besten gleich t aus:
Wenn man den Lorentzfaktor einsetzt, erhält man:
Und das entspricht:
Damit das noch schöner aussieht, kann man c=1 setzen und erhält:

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Re: Lorentz-Transformationen

Beitrag von Higgs » 1. Okt 2013, 18:35

Du fügst also die Gleichung x=v*t in die Gleichung t' = gamma (Lorentz-Faktor) * (t-v/c^2*x) ein?

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Re: Lorentz-Transformationen

Beitrag von positronium » 1. Okt 2013, 18:50

Ja, so ist das auch gemeint. Dann erhält man das, was z.B. auch auf http://de.wikipedia.org/wiki/Zeitdilatation steht. Ich weiss auch gar nicht, warum der Autor Deines Buches das in der Form schreibt.

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Re: Lorentz-Transformationen

Beitrag von Higgs » 2. Okt 2013, 16:07

Ich müsste nochmal nachhacken.

Woher kennt man die Formel x=v*t ? Ich konnte sie bisher im Internet nicht finden. Woher weiß man, dass x=v*t ist?

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Re: Lorentz-Transformationen

Beitrag von positronium » 2. Okt 2013, 16:16

Das liegt doch auf der Hand. Wenn Du mit dem Auto zuhause losfährst, also am Ort x=0 und Du fährst mit 50km/h eine halbe Stunde lang, dann bist Du beim Ort x=50km/h*1/2h=25km, der eben genau 25km entfernt liegt.

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Re: Lorentz-Transformationen

Beitrag von Higgs » 3. Okt 2013, 12:45

Ich habe mal eine Beispielaufgabe:

Eine Reise mit einem Raumschiff zu einem Stern, welcher 4 Lichtjahre entfernt ist. Die Geschwindigkeit des Raumschiffs beträgt 0,5*c. Die Reisedauer bezogen auf einen Erdbeobachter beträgt 8 Jahre.

Jetzt möchte ich rechnen mit der Formel t' = gamma (Lorentz-Faktor) * (t-v/c^2*x).

Zuerst rechne ich: x=v*t also x=4

Dann: t'=1,1547*(8-0,5/1^2*4)

Ergebnis: t'=6,928 a (Jahre).

Die Reisedauer erscheint dem Beobachter im Raumschiff auf 6,928 Jahre verkürzt.

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Re: Lorentz-Transformationen

Beitrag von positronium » 3. Okt 2013, 14:01

Higgs hat geschrieben:Eine Reise mit einem Raumschiff zu einem Stern, welcher 4 Lichtjahre entfernt ist. Die Geschwindigkeit des Raumschiffs beträgt 0,5*c. Die Reisedauer bezogen auf einen Erdbeobachter beträgt 8 Jahre.
In dem Text steht ja alles aus der Formel x=vt drin: 4Lj=0.5c*8j
Higgs hat geschrieben:Jetzt möchte ich rechnen mit der Formel t' = gamma (Lorentz-Faktor) * (t-v/c^2*x).

Zuerst rechne ich: x=v*t also x=4

Dann: t'=1,1547*(8-0,5/1^2*4)

Ergebnis: t'=6,928 a (Jahre).

Die Reisedauer erscheint dem Beobachter im Raumschiff auf 6,928 Jahre verkürzt.
Genau.
Aber wie oben erwähnt, kannst Du das mit weniger Rechenaufwand erreichen:

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Re: Lorentz-Transformationen

Beitrag von Higgs » 4. Okt 2013, 16:45

In einem anderen Beitrag zu einem ähnlichen Thema hat tomS geschrieben, dass die Lorentz-Transformation für die Zeit, also die Formel --> t' = gamma (Lorentz-Faktor) * (t-v/c^2*x) und die Formel t'=t*sqrt(1-v^2/c^2) nichts miteinander zu tun haben. Stimmt das?
So wie ich es jetzt verstanden habe, lässt sich die Formel der Zeitdilatation doch prima aus den Lorentz-Transformationen herleiten.
Und ich konnte auch mit der Formel t' = gamma (Lorentz-Faktor) * (t-v/c^2*x) die Zeitdilatation bei konstanter Geschwindigkeit berechnen.

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Re: Lorentz-Transformationen

Beitrag von positronium » 4. Okt 2013, 17:01

Higgs hat geschrieben:In einem anderen Beitrag zu einem ähnlichen Thema hat tomS geschrieben, dass die Lorentz-Transformation für die Zeit, also die Formel --> t' = gamma (Lorentz-Faktor) * (t-v/c^2*x) und die Formel t'=t*sqrt(1-v^2/c^2) nichts miteinander zu tun haben. Stimmt das?
Ich weiss leider nicht, welchen Beitrag Du meinst, und kann dem nicht folgen. Grundsätzlich muss ich aber schreiben, dass Du im Zweifelsfall Tom glauben solltest, weil der etwa 1000mal so viel Ahnung hat wie ich. Vielleicht geht er ja hierauf noch ein.

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Re: Lorentz-Transformationen

Beitrag von tomS » 4. Okt 2013, 18:02

Higgs hat geschrieben:In einem anderen Beitrag zu einem ähnlichen Thema hat tomS geschrieben, dass die Lorentz-Transformation für die Zeit, also die Formel --> t' = gamma (Lorentz-Faktor) * (t-v/c^2*x) und die Formel t'=t*sqrt(1-v^2/c^2) nichts miteinander zu tun haben. Stimmt das?
So wie ich es jetzt verstanden habe, lässt sich die Formel der Zeitdilatation doch prima aus den Lorentz-Transformationen herleiten.
Es stimmt beides ;-)

In der SRT entsprechen Koordinatenzeiten t, t', t'' ... den Eigenzeiten T, T', T'', ... von inertialen Beobachtern B, B', B'', ... die jeweils konstantes x, x', x'' ... aufweisen. D.h. die Beobachter fallen jeweils mit einem Inertialsystem zusammen. Und die Lorentztransformation ist ja gerade die Koordinatentransformation zwischen verschiedenen Inertialsystemen.

Aber das ist ja nur die halbe Wahrheit. Es gibt ja auch nicht-inertiale, also beschleunigte Beobachter (bzw. in der ART nicht-frei-fallende Beobachter), die (fast) beliebigen Weltlinien folgen. Auch und insbs. für diese Beobachter interessiert uns die Eigenzeit - aber diese entspricht weder in der SRT noch in der ART einer Koordinatenzeit! D.h. die Klasse der Beobachter ist größer als die der Inertialsysteme. Und somit kann für diese Beobachter i.A. deren Eigenzeit nicht aus der Lorentztransformation abgeleitet werden. Stattdessen muss man eine "infinitesimale" Zeitdilatation für variable Geschwindigkeit v(t) über ein infinitesimalen Zeitintervall dt (Koordinatenzeit) benutzen und dieses integrieren. Man benötigt das Koordinatensystem demnach nur noch als Rechenhilfe, aber die physikalische Eigenzeit eines beliebig bewegten Beobachters ist unabhängig von der Hilfsgröße "Koordinatenzeit" auf dessen Uhr physikalisch real.

Deswegen plädiere ich immer dafür, nicht zu sehr auf den Koordinaten und Lorentztransformationen herumzureiten, sondern physikalische Eigenzeiten in den Mittelpunkt zu stellen.
Gruß
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Re: Lorentz-Transformationen

Beitrag von Higgs » 4. Okt 2013, 18:25

Vereinfacht gesagt, lässt sich also rein rechnerisch die Zeitdilatation aus der Lorentz-Transformation herleiten. Nur muss man aufpassen, wenn man von Eigenzeiten und Koordinatenzeiten spricht.

Bei den Effekten Zeitdilatation und Längenkontraktion ist doch der Lorentz-Faktor ausschlaggebend.
Zur Zeitdilatation kann man sagen: In bewegten Systemen vergeht die Zeit langsamer. Der Faktor der Zeitdilatation, also das Verhältnis der Zeitdauer in bewegtem und ruhendem System, ist der Lorentzfaktor γ.

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Re: Lorentz-Transformationen

Beitrag von tomS » 4. Okt 2013, 18:46

Higgs hat geschrieben:Vereinfacht gesagt, lässt sich also die Zeitdilatation aus der Lorentz-Transformation herleiten ...
... dann und nur dann, wenn es sich um die Eigenzeit eines inertialen Beobachter mit v=const. handelt, und wenn keine Raumzeitkrümmung vorliegt.
Gruß
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Re: Lorentz-Transformationen

Beitrag von Higgs » 5. Okt 2013, 07:06

Bei der Beispielaufgabe, die ich angebracht hatte und bei der mir Positronium geholfen hat, hat es doch funktioniert mit der Berechnung der Zeitdilatation anhand der Lorentz-Transformation.
Also gehe ich mal davon aus, dass es sich bei den 8 Jahren Reisedauer bezogen auf einen Erdbeobachter um die Eigenzeit handelt. Die Geschwindigkeit v beträgt in meinem beispiel 0,5*c. Also handelt es sich um eine konstante Geschwindigkeit.
Daher konnte man rechnerisch die Zeitdilatation anhand der Lorentz-Transformation ermitteln.

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Re: Lorentz-Transformationen

Beitrag von tomS » 5. Okt 2013, 09:48

Higgs hat geschrieben:Bei der Beispielaufgabe, die ich angebracht hatte und bei der mir Positronium geholfen hat, hat es doch funktioniert mit der Berechnung der Zeitdilatation anhand der Lorentz-Transformation.
Ja, weil ein Spezialfall vorliegt: der bewegte Beobachter ist (abschnittsweise) auch ein inertialen Beobachter mit v(t) = const.

i.A. gilt dies aber nicht.

Die Eigenzeit eines Beobachters B entspricht geometrisch der Länge S[C] seiner Weltlinie C durch die vierdimensionale Raumzeit. Man berechnet für zwei sich zweimal treffende, ansonsten jedoch beliebige Weltlinien C deren invariante Länge S[C] zwischen den beiden Schnittpunkten. Die Eigenzeiten entlang T[C] sind proportional zu S[C]. Die Zeitdilatation bedeutet letztlich nur die Tatsache, dass verschiedene Weltlinien verschiedene Längen haben können.

Die folgende Formel für S[C] bzw. T[C] gilt auch für nicht-konstante Geschwindigkeiten v(t)
image.jpg
t bezeichnet dabei eine Koordinatenzeit, die nicht mit einer Eigenzeit zusammenfallen muss. Entscheidend ist, dass man diese Formel auch für zwei nicht-inertiale Beobachter mit jeweils nicht-konstantem v(t) verwenden kann. t ist dann nur noch eine (unphysikalische) Hilfsgröße.

Die vorletzte Formel gilt dabei auch noch in voller Allgemeinheit in der ART; erst in der letzten Umformung setzen wir den Spezialfall flacher Raumzeit - bei jedoch weiterhin beliebiger, variabler Geschwindigkeit v(t) - voraus.
Gruß
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Re: Lorentz-Transformationen

Beitrag von tomS » 10. Dez 2014, 17:00

Die Formel kann man nicht experimentell in einem System beweisen oder widerlegen, denn es handelt sich um eine reine DEFINITION. Man misst dt, dx, dy und dz und berechnet ds²; wozu benötigt man da ein Experiment?

Betrachtet man dagegen den Wechsel von Koordinatensystemen Bezugssystemen, dann ist so ziemlich jedes Experiment zu einer Theorie, der die RT zugrundeliegt, ein Experiment, das auch die Gültigkeit der dieser Formel zugrundeliegenden Geometrie prüft: elektromagnetische Wellen, Synchrotronstrahlung, Myonenzerfall, Konstruktion und Funktion von Beschleunigern, Experimente am LHC, ... Beispiel: jedes Teilchen im LHC befindet sich in seinem eigenen Ruhesystem; der LHC befindet sich ebenfalls in seinem Ruhesystem, das sich jedoch von dem der beteiligten Teilchen unterscheidet; die Vorhersagen der Ergebnisse werden jetzt unter der Annahme der Lorentzinvarianz berechnet; insbs. werden verschiedene Bezugssysteme zur Berechnung verwendet, also wird die Gültigkeit der Lorentztransformation bei Bezugssystemwechsel und damit die Anwendbarkeit der o.g. Formel bestätigt.

Darüberhinaus existiert eine analoge Formel für die Energie, nämlich (mc²)² = E² - (pc)², die ebenfalls bestätiugt wird.
Gruß
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Re: Lorentz-Transformationen

Beitrag von breaker » 10. Dez 2014, 17:20

in Klassische Mechanik zB. haben wir
s=v*t
Wie ist denn v definiert?

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Re: Lorentz-Transformationen

Beitrag von breaker » 10. Dez 2014, 17:32

Ich weiß -.-
Die Frage war an Zarathustra gerichtet.

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Re: Lorentz-Transformationen

Beitrag von breaker » 10. Dez 2014, 17:41

Nene, keine Ausflüchte. Wie ist sie definiert? Bist Du mit der Definition von Yukterez einverstanden?

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Re: Lorentz-Transformationen

Beitrag von gravi » 10. Dez 2014, 19:14

Ich möchte mich hier kurz einmal einschalten.

1. Wir sind hier im Forum eigentlich per "du". Wenn aber jemand die Sie- Form bevorzugt, ist das seine (ihre) Sache. Man grenzt sich damit aber auffällig von anderen Mitgliedern ab bzw. distanziert sich von ihnen.

2. Es ist müßig, ständig Tom zur Diskussion aufzufordern. So wie es scheint, ist er nicht gewillt hier mit dir zu diskutieren. Seine Erfahrungen mit dir aus dem Physikerboard sind bekannt.

Daher meine Bitte: Wie in der Begrüßungsmail verdeutlicht, gehen wir hier respektvoll und freundlich miteinander um. Du hast sicherlich schon bemerkt, dass die Forenmoderation sehr darauf achtet, dass es auch so bleibt.

Damit weiterhin viel Spaß bei den weiteren Diskussionen!

Gruß
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Re: Lorentz-Transformationen

Beitrag von tomS » 10. Dez 2014, 19:21

Man kann ds nicht unabhängig von dt und dx messen, also kann man die Formel auch nicht überprüfen. Das ist aber nicht schlimm, denn es handelt sich nicht um eine Vorhersage der Theorie, sondern eine Definition.
Gruß
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Re: Lorentz-Transformationen

Beitrag von breaker » 10. Dez 2014, 19:42

Aber du bist klüger als Einstein. Alles klar.

(so, das war das letzte Mal. Ich halte meinen Mund.)

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Re: Lorentz-Transformationen

Beitrag von tomS » 10. Dez 2014, 19:49

Zarathustra hat geschrieben:Ich habe die Geschwindigkeit (214m/s) und die Zeit (8 Sekunde) angegeben.Was fehlt noch?

Ich verstehe die Sache mit der Definition nicht.Was ist definiert und wie?
Wie hast du v gemessen? wie hast du s gemessen? und wie t?
Gruß
Tom

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