Zeitdilatation und Längenkontraktion SRT

[Skeltek]

Springender Post, der zu unserem Meinungskonflikt geführt hat war doch folgender:

... was ich meinte ist, beide Bezugssysteme sind gleichberechtigt und eine zeitliche Dilatation nicht feststellbar, bis sich die beiden wieder treffen.
Zwei Zwillinge, die sich voneinander mit nahezu Lichtgeschwindigkeit bewegen:
Derjenige, der seinen Kurs geändert hat, ist der jüngere.

...

Nicht die Gravitation bewirkt die Zeitdilatation, sondern der Bezugssystemwechsel.

Sehe ich nicht so.

Zunächst mal hast du recht, dass korrekterweise die Zeitdilatation IMMER bzgl. zweier Eigenzeiten formuliert sein muss und dass dazu beide Beobachter sich wieder treffen müssen. Man kann dies aber durch einen Trick immer sicherstellen: wenn sie sich nicht mehr treffen, verbindet man ihre Weltlinen durch lichtartige Kurven, entlang derer die Eigenzeitinformstionen ausgetauscht werden. Entlang dieser lichtartigen Kurven vergeht keine Eigenzeit. Dies entspräche dem Fall, dass beide Beobachter (die sich nicht treffen) anschließend mit Lichtgeschwindigkeit aufeinander zufliegen, wobei für keinen mehr Eigenzeit vergeht. So müssen z.B. Aussagen bzgl. Satellit und Erdboden interpretiert werden, die sich auch nicht mehr treffen.
...

In dem ich sage, daß der Körper auf dessen Weltlinie eine Beschleunigung stattfindet(was ich hier mit Bezugssystemwechsel meine/Änderung der Richtung des Bewegungsvektors), beim sich wieder treffen weniger Eigenzeitprogression erfahren hat.
Du widersprichst und möchtest für den Fall dass sie sich nicht mehr wieder treffen die beiden durch lichtartige Kurven miteinanderverbinden und vergleichen.
Nun war für mich einfach fraglich, welche kausal getrennten Ereignisse auf den beiden Weltlinien du nun jeweils durch lichtartige Kurven miteinander in Bezug bringen möchtest um eine Eigenzeitdifferenz festzustellen.

Natürlich müssen sie sich nicht wieder treffen, allerdings ist es trotzdem davon abhängig, welche zwei Punkte auf den Weltlinien du jeweils miteinander vergleichst.
Man kann natürlich durch Bezugssysteminvariante Überlegungen immer jeweils zwei Punkte mit selber Eigenzeit paarweise miteinader verbinden, aber das macht doch den Sinn der Überlegung zunichte?
Es gibt ja eine ganze Menge Punkte auf der jeweils anderen Linie C2, die in der unbestimmten Zukunft eines Punktes auf C1 liegen?
Oder willst du die Verhältnisse von (Eigenzeit)/(Gesammtlänge der 4dim Kurve) miteinander vegleichen? Die ist ja BS-invariant betrachtet wieder von der Krümmung der Linien abhängig(wo ich jetzt nicht mehr sehen kann, wo der Widerspruch zu meiner ursrünglichen Aussage sein soll?).

[tomS]

Springender Post, der zu unserem Meinungskonflikt geführt hat war doch folgender:

Nicht die Gravitation bewirkt die Zeitdilatation, sondern der Bezugssystemwechsel.

In dem ich sage, daß der Körper auf dessen Weltlinie eine Beschleunigung stattfindet(was ich hier mit Bezugssystemwechsel meine ...)

Oder willst du die Verhältnisse von (Eigenzeit)/(Gesammtlänge der 4dim Kurve) miteinander vegleichen? ...

Ich glaube, wir nähern uns an.

Ich störe mich an dem Begriff "Bezugssystemwechsel".

Es liegt eine beliebige, zeitartige Kurve C durch die Raumzeit M vor. Sowohl C, insbs. die Geschwindigkeit entlang C sowie die Geometrie (Krümmung, Geometrie) der Raumzeit M in der C verläuft führen zur Zeidilatation. Ich möchte bei Änderung der Bewegungsrichtung, Beschleunigung o.ä. nicht von Bezugssystemwechsel sprechen, denn der Astronaut definiert für sich gar kein Bezugssystem; er beschleunigt die Rakete und schaut dabei auf die Uhr - mehr nicht. Ein Bezugssystemwechsel setzt voraus, dass man für jeden Punkt entlang der Kurve Bezugssysteme (frei fallend = inertial) definiert und die Zeitdilatation diesbezüglich berechnet. Das kann man tun, ist allerdings nicht der Kern des Phänomens, sondern nur eine Rechenvorschrift. Die Zeidilatation existiert ohne diese Rechenvorschrift.

Die Länge der Strecke Nürnberg - New York existiert auch ohne Einführung eines Bezugssystems; und unterschiedliche Routen haben unterschiedliche Längen ebenfalls ohne Bezugssystem. In einem idealen Ozean ohne Strömung, Wellen etc. kann man diese Entfernung mittels eines Logs ohne jegliche Koordinaten entlang der Route vermessen. Lediglich die Geometrie der Erde sowie die gewählte Kurve sind für die Länge der Kurve verantwortlich.

Dann noch eine Präzisierung: das Verhältnis (Eigenzeit)/(Gesammtlänge der 4dim Kurve) ist immer gleich Eins; die Länge der Kurve C ist identisch mit der Eigenzeit entlang C.

[tomS]

Man braucht für ein Integral mindestens 2 Größen.

Nein, für ein Linienintegral benötigt man nur die Länge entlang der Kurve C. Schau die mein o.g. Integral an.

Deine weiteren Aussagen passen, und bestätigen, dass man kein Koordinatensystem benötigt.

Was gefällt dir an folgender Erklärung nicht?

Die Länge der Streckenlänge "Nürnberg - New York" existiert auch ohne Einführung eines Bezugssystems (Koordinatensystems), und unterschiedliche Routen von Nürnberg nach New York haben unterschiedliche Längen ebenfalls ohne Bezugssystem. In einem idealen Ozean ohne Strömung, Wellen etc. kann man diese Entfernung mittels eines Logs ohne jegliche Koordinaten entlang der Route vermessen. Lediglich die Geometrie der Erde sowie die gewählte Kurve sind für die Länge der Kurve verantwortlich.

Und wo steckt in dieser Erklärung das Koordinatensystem, Längen- und Breitengrage?

[Skeltek]

Was gefällt dir an folgender Erklärung nicht?

Die Länge der Streckenlänge "Nürnberg - New York" existiert auch ohne Einführung eines Bezugssystems (Koordinatensystems), und unterschiedliche Routen von Nürnberg nach New York haben unterschiedliche Längen ebenfalls ohne Bezugssystem. In einem idealen Ozean ohne Strömung, Wellen etc. kann man diese Entfernung mittels eines Logs ohne jegliche Koordinaten entlang der Route vermessen. Lediglich die Geometrie der Erde sowie die gewählte Kurve sind für die Länge der Kurve verantwortlich.

Und wo steckt in dieser Erklärung das Koordinatensystem, Längen- und Breitengrage?

Bei einem nicht-entarteten Dreieck ABC ist ohne BS nicht feststellbar, welche der Strecken die kürzeste ist. Je nach BS ist eine andere Strecke kürzer.

Dann noch eine Präzisierung: das Verhältnis (Eigenzeit)/(Gesammtlänge der 4dim Kurve) ist immer gleich Eins; die Länge der Kurve C ist identisch mit der Eigenzeit entlang C.

Dachte das gilt nur für eine infinitesimal kleine Umgebung des Objektes, dessen Eigenzeit ermittelt wird, bzw deren eigenes lokales BS.
Der Bewegungsvektor des Objektes hat in der Raumzeit die Länge 1, davon ist die Zeitkomponente nur 1, wenn sie senkrecht auf dem BS steht(das tut sie ja nur für das lokale BS des Objektes selbst); oder irre ich mich jetzt bei der Interpretation des üblichen Rechenmodels?
Ist eine der räumlichen Vektorkomponenten ungleich Null, so ist die Zeitkomponente doch zwangsläufig kleiner Eins?

[tomS]

Bei einem nicht-entarteten Dreieck ABC ist ohne BS nicht feststellbar, welche der Strecken die kürzeste ist. Je nach BS ist eine andere Strecke kürzer.

Sag mal, drücke ich mich wirklich so undeutlich aus ??

Zwei Autos fahren auf zwei verschiedenen Routen C und C' von P nach Q. Die zurückgelegte Strecken S bzw. S' ergeben sich aus 'Zahl der Radumdrehungen' * 'Radumfang'; die Zeiten T und T' erhält man durch einen Blick auf die Uhren; die (mittleren) Geschwindigkeiten durch V = S/T bzw. V' = S'/T'. Das alles kann man ohne Koordinaten (geogr. Länge und Breite, Straßenatlas, ...) definieren, messen und berechnen. Es gibt in der ganzen Beschreibung kein (x,y) oder (x',y') und keine Koordinatenzeit (GMT, MEZ, ...).

S, S', T, T', ... sind dabei keine Koordinaten; sie definieren keine Landkarte, sie gelten nur entlang der Routen C und C'. Ein Koordinatensystem in einem Atlas benötigt Wertepaare (x,y), die Länge S ist nur eine einzige skalare Größe. Verschiedene Atlanten können unterschiedliche Koordinatensysteme enthalten, ich kann sie benutzen oder es bleiben lassen, ich kann die Route ohne Atlas, Navi ... mit verbundenen Augen zurücklegen. Ich kann keine Orte angeben (zumindest nicht als Koordinaten x,y).

Aber S hat einen eindeutigen Wert, den ich jederzeit ermitteln kann.

Jetzt klar ??

Dann noch eine Präzisierung: das Verhältnis (Eigenzeit)/(Gesammtlänge der 4dim Kurve) ist immer gleich Eins; die Länge der Kurve C ist identisch mit der Eigenzeit entlang C.

Dachte das gilt nur für eine infinitesimal kleine Umgebung des Objektes, dessen Eigenzeit ermittelt wird, bzw deren eigenes lokales BS.

Schauen wir uns Eigenzeit τ und Koordinatenzeit t mal für eine diagonale, nicht-flache Metrik g an. Es gilt

dτ[up]2[/up] = g[down]tt[/down] dt[up]2[/up] + g[down]xx[/down] dx[up]2[/up]

Die Eigenzeit = die Länge der Kurve erhält man durch Integration über dτ.

Für die Geschwindigkeit gilt v = dx/dt

Also erhält man mittels Division durch dt

(dτ/dt)[up]2[/up] = g[down]tt[/down] + g[down]xx[/down] v[up]2[/up]

[tomS]

Bei einem nicht-entarteten Dreieck ABC ist ohne BS nicht feststellbar, welche der Strecken die kürzeste ist. Je nach BS ist eine andere Strecke kürzer.

Woher kommt diese Länge C eigentlich her besser gesagt wie kommt sie denn zustande? Es muss doch ein Verhältnis da sein wie s=v*t oder sowas in der Art über ein Integral.

Sagt mal, drücke ich mich wirklich so undeutlich aus ??

Das Integral habe ich oben angegeben. In der 4-dim. Raumzeit entspricht die Länge der Eigenzeit (geeignet skaliert), im folgenden Beispiel einfach der Länge einer Route.

Zwei Autos fahren auf zwei verschiedenen Routen C und C' von P nach Q. Die zurückgelegte Strecken S bzw. S' ergeben sich aus 'Zahl der Radumdrehungen' * 'Radumfang'; die Zeiten T und T' erhält man durch einen Blick auf die Uhren; die (mittleren) Geschwindigkeiten durch V = S/T bzw. V' = S'/T'. Das alles kann man ohne Koordinaten (geogr. Länge und Breite, Straßenatlas, ...) definieren, messen und berechnen. Es gibt in der ganzen Beschreibung kein (x,y) oder (x',y') und keine Koordinatenzeit (GMT, MEZ, ...).

S, S', T, T', ... sind dabei keine Koordinaten; sie definieren keine Landkarte, sie gelten nur entlang der Routen C und C'. Ein Koordinatensystem in einem Atlas benötigt Wertepaare (x,y), die Länge S ist nur eine einzige skalare Größe. Verschiedene Atlanten können unterschiedliche Koordinatensysteme enthalten, ich kann sie benutzen oder es bleiben lassen, ich kann die Route ohne Atlas, Navi ... mit verbundenen Augen zurücklegen.

Aber S hat einen eindeutigen, definierbaren, messbaren und berechenbaren Wert, den ich im Auto jederzeit ermitteln kann: 'Zahl der Radumdrehungen' * 'Radumfang'. Und ich kann so auch die Länge zweier Routen vergleichen, indem ich sie abfahre und S, S', ... messe.

Jetzt klar ??

Dann noch eine Präzisierung: das Verhältnis (Eigenzeit)/(Gesammtlänge der 4dim Kurve) ist immer gleich Eins; die Länge der Kurve C ist identisch mit der Eigenzeit entlang C.

Dachte das gilt nur für eine infinitesimal kleine Umgebung des Objektes, dessen Eigenzeit ermittelt wird, bzw deren eigenes lokales BS.

Schauen wir uns Eigenzeit τ und Koordinatenzeit t mal für eine diagonale, nicht-flache Metrik g an. Es gilt

dτ[up]2[/up] = g[down]tt[/down] dt[up]2[/up] + g[down]xx[/down] dx[up]2[/up]

Die Eigenzeit = die Länge der Kurve erhält man durch Integration über dτ.

Für die Geschwindigkeit gilt v = dx/dt

Also erhält man mittels Division durch dt

(dτ/dt)[up]2[/up] = g[down]tt[/down] + g[down]xx[/down] v[up]2[/up][/quote]

[Skeltek]

Bei einem nicht-entarteten Dreieck ABC ist ohne BS nicht feststellbar, welche der Strecken die kürzeste ist. Je nach BS ist eine andere Strecke kürzer.

Sag mal, drücke ich mich wirklich so undeutlich aus ??

Zwei Autos fahren auf zwei verschiedenen Routen C und C' von P nach Q...
...
Jetzt klar ??

Ja, das ist mir schon klar. Das Dreieck war eher eine Anspielung darauf, wenn zwei Objekte zwei unterschiedliche Strecken in der Raumzeit zurücklegen AB und AC. Dann ist die verstrichene Eigenzeit der Objekte von den Entfernungen von A zu B und A zu C abhängig.

[tomS]

Na, dann können wir das ja jetzt beenden, oder?

[Skeltek]

Von mir aus, auch wenn ich denke, daß wir seit 2 Seiten aneinander vorbei reden und eine der beiden Parteien nicht weiss worauf die andere hinaus will.

[tomS]

Ich versuche mal, meine wesentlichen Gedanken aus dieser Diskussion zusammenzufassen.

Kernaussage: Zeitdilatation resultiert aus der koordinatenfreien Definition und dem Vergleich von Eigenzeiten entlang zweier zeitartiger Kurven.

In der ART sollte die Zeitdilatation immer bezugssystem- bzw. koordinatenunabhängig mittels zweier Eigenzeiten formuliert werden (dazu muss man Raumzeitkurven C,C' zweier Beobachter B,B' mit gemeinsamen Start- und Endpunkt betrachten); ausgehend von der SRT werden jedoch oft irreführenderweise Koordinatenzeiten benutzt, wobei zumeist unklar bleibt, inwieweit diese auch Eigenzeiten physikalischer Beobachter entsprechend müssen. Es wird suggeriert, dass Zeitdilatation etwas mit Koordinatenzeiten und / oder Bezugssystemwechsel zu tun hat; das ist nicht korrekt.

Anhand des von mir eingeführten Linienintgrals erkennt man, dass die Zeitdilatation aufgrund unterschiedlicher Weltlinien C, C' (genauer: der Geschwindigkeiten entlang C, C') durch Bereiche mit unterschiedlichem Gravitationsfeld resultiert. Die Darstellung bleibt explizit koordinatenfrei (die Einführung eines gemeinsamen Koordinatensystems ist möglich, allerdings ist bzgl. dieses Systems nie von Zeitdilatation die Rede) Die koordinatenfreie Darstellung zeigt, dass die Zeitdilatation bzgl. zweier physikalischer Beobachter B, B'' nie von der Wahl eines Koordinatensystems (verbunden mit B, B' o.a. Beobachtern) abhängt. Insbs. definieren die beiden Beobachter B, B' die ihre Eigenzeiten T, T' messen und vergleichen, selbst noch kein Koordinatensystem.

Die Verwendung von Koordinatenzeiten zur Definition von Zeidilatation ist häufig auf Spezialfälle beschränkt:
1) Im Falle der Schwarzschildmetrik wird die Zeitdilatation oft bzgl. der Koordinatenzeit (in Schwarzschildkoordinaten) dargestellt; dabei handelt es sich streng genommen um die Eigenzeit eines idealisieren, ruhenden Beobachters im Unendlichen. Im Allgemeinen ist dies so nicht zutreffend, man muss stattdessen zwei reale, physikalische Beobachter sowie deren Weltlinien einführen (z.B. ein Satellit oder eine Rakete sowie ein ruhender Beobachter auf der Erde). Dann ist die Koordinatenzeit physikalisch irrelevant (nicht messbar).
2) Der idealisierte Beobachter im Unendlichen "ohne Zeitdilatation" ist auf asymptotisch flache Raumzeiten beschränkt.
3) Hat man zwei Beobachter B, B' entlang zweier verschiedenen Kurven, so kann jeder für sich lokal ein (mitbewegtes) Koordinatensystem definieren. I.A. ist ein solches jedoch nicht global und insbs. nicht für den jeweils anden Beobachter gültig. Beispiele sind Koordinatensysteme mit Horizonten, die die Beobachter (vorübgehend) trennen, z.B. bei der Betrachtung von beschleunigten Beobachtern (Rindler-Koordinaten). Die beiden (mitbewegten) Bezugssysteme, definiert durch die Beobachter, können nicht (direkt) miteinander in Beziehung gesetzt werden.

Die allgemeine Formulierung vermeidet den Rückgriff auf derartige Bezugssysteme und umgeht somit diese Einschränkungen (und für praktische Rechnungen benutzt man gerade nicht das i.A. sehr komplizierte Koordinatensystem eines bewegten Beobachters, sondern ein drittes Referenzsystem; so sind z.B. i.A. auch die Schwarzschildkoordinaten zu verstehen).

Wir verabschieden uns also von Koordinatenzeiten und betrachten ausschließlich Eigenzeiten T, T', T'', ... entlang von Weltlinien C, C', C'', ... Diese Eigenzeiten, gemessen auf entlang den Weltlinien mitbewegten Uhren, sind koordinatensystemunabhängige, invariante Größen. Beliebige andere Beobachter B1, B2, B3, ... ordnen den Weltlinie C, C', C'', ... jeweils die selbe Eigenzeit T, T', T'', ... zu. Damit sind sowohl die Eigenzeiten als auch die Eigenzeitdifferenzen (Zeitdilatation) zweier Weltlinien C und C' unabhängig von den Beobachtern B1, B2, ... definiert, berechenbar sowie prinzipiell messbar. Zwei Beobachter B, B' mit Weltlinien C, C' stimmen bzgl. ihrer Eigenzeiten T, T' sowie der Zeitdilatation T-T' untereinander überein. Auch alle anderen Beobachter B1, B2, ... erhalten für die Eigenzeiten T, T' sowie die Zeitdilatation T-T' der Beobachter B, B' die selben, invarianten Ergebnisse.

Zusammenfassend: der wesentliche Punkt ist, dass Eigenzeiten sowie Zeitdilatation invariant bzw. unabhängig von Bezugs- bzw. Koordinatensystemen definiert und gemessen werden können; sie charakterisieren ausschließlich intrinsische Eigenschaften von Weltlinien, der "Transport von Längen- und Zeitkoordinaten zwischen verschiedenen Koordinatensystemen" oder der "Wechsel zwischen Bezugssystemen" ist dazu nicht notwendig. Wichtig ist die Unterscheidung von Koordinatenzeiten und Eigenzeiten; letztere ist eine invariante physikalische Messgröße, die Koordinatenzeit ist dagegen nur eine unphysikalische Hilfsgröße. Dies wird leider in den üblichen Darstellungen nicht klar, da man immer wieder Eigenzeiten mit Koordinatenzeiten assoziiert bzw. Zeitdilatation als Relation zwischen Eigen- und Koordinatenzeiten darstellt.

[Skeltek]

Ja, das habe ich ja auch nicht bestritten(was du aber zu glauben schienst).
Meine Kernaussage war, daß die Differenz der Eigenzeitunterschiede vom Verlauf und Form der Weltlinien von A nach B abhängig ist. Die sind auch koordinatensystemunabhängig darstellbar.
Nach ds²=dt²-dx²-dx²-dz² ist bei festem ds² die Ableitung der Eigenzeit von den Ableitungen der Richtungsvektoren abhängig.

[tomS]

Zumindest wir beide sind uns einig ;-)

[tomS]

haben wir so aneinander vorbeigeredet?
stimmst du meinem letzten Beitrag zu?

[tomS]

Ich brauche für die Zeitdilatation kein Koordinatensystem, weil ich sie anders verstehe.

passt

... weil eine Beschleunigung eine Änderung in bezug auf die Raumzeit bewirkt. Das ist schon ein Bezugssystemwechsel. Nur zu beschleunigen und auf die Uhr zu schauen macht weder die Eigenzeit noch die Zeitdilatation invariant, sie existieren da noch nicht, man kann sie hier noch nicht als solche definieren.

Dann hasst du es doch grundsätzlich nicht verstanden.

"weil eine Beschleunigung eine Änderung in bezug auf die Raumzeit bewirkt" => ich verstehe nicht genau, was die Beschleunigung "bewirken" soll und was du mit "im Bezug auf" meinst
"das ist schon ein Bezugssystemwechsel" => du kannst es so sehen, musst aber nicht
"nur zu beschleunigen und auf die Uhr zu schauen macht weder die Eigenzeit noch die Zeitdilatation invariant" => das habe ich so nicht gesagt; ich sage nur, dass es nicht mehr als das braucht
"... sie existieren da noch nicht, man kann sie hier noch nicht als solche definieren" => doch, kann man; ich habe die mathematische Definition hingeschrieben und sie mehrfach erläutert!!

[tomS]

1) Wenn ich von meinem Haus direkt die Straße runter, an der Schule vorbei, über die Burg und dann links zu meiner Schwiegermutter laufe, beträgt die Stecke ca. 1 km.
2) Wenn meine Frau mit dem Auto fährt, dabei zunächst ... und zuletzt am Gymnasium parkt, beträgt die Strecke ca. 1.5 km.
3) Die Differenz beträgt 0.5 km

1+2) sind bezugssystem- und koordinatenunabhängige Darstellungen der Kurve und deren Länge
3) ist eine bezugssystem- und koordinatenunabhängige Definition der Längendifferenz

Genauso funktioniert das mit Eigenzeiten und Zeitdilatation.

[tomS]

Ich habe eine Lichtuhr und zähle die Ticks während ich mich von P nach Q bewege; das Alien hat ebenfalls eine Lichtuhr und zählt die Ticks; bei P und Q vergleichen wir die Anzahl der Ticks; fertig.

Es gibt nur die Raumzeit, Kurven, Ticks und die Differenz der Anzahl der Ticks. Keine Koordinaten- oder Bezugssysteme.

[Skeltek]

Ich habe eine Lichtuhr und zähle die Ticks während ich mich von P nach Q bewege; das Alien hat ebenfalls eine Lichtuhr und zählt die Ticks; bei P und Q vergleichen wir die Anzahl der Ticks; fertig.

Es gibt nur die Raumzeit, Kurven, Ticks und die Differenz der Anzahl der Ticks. Keine Koordinaten- oder Bezugssysteme.

Exakt alles völlig richtig. Es steht nur nicht dabei, wovon es abhängig ist, bei wem mehr ticks vergangen sind ^^
Wir könnten jetzt die Sache noch etwas verkomplizieren, indem wir die Längenkontraktion ins Spiel bringen

[tomS]

Ich habe eine Lichtuhr und zähle die Ticks während ich mich von P nach Q bewege; das Alien hat ebenfalls eine Lichtuhr und zählt die Ticks; bei P und Q vergleichen wir die Anzahl der Ticks; fertig.

Es gibt nur die Raumzeit, Kurven, Ticks und die Differenz der Anzahl der Ticks. Keine Koordinaten- oder Bezugssysteme.

Exakt alles völlig richtig. Es steht nur nicht dabei, wovon es abhängig ist, bei wem mehr ticks vergangen sind ^^

Es geht um eine Koordinatensystem- und Beobachterunabhängige (B1,B2,...) unabhängige Definition und Messung der Zeitdilatation der Weltlinien von Tom sowie dem Alien. Das habe ich damit (sowie mit anderen Beiträgen davor) erledigt.

Positive hat immer noch irgendein Problem damit, dass das funktionieren könnte. Solange das nicht gelöst ist, brauchen wir auch nicht explizit zu berechnen, wovon das abhängt.

OK, wenn wir das später tun, stellen wir fest, dass die Eigenzeit (Zeitdilatation) abhängig ist von der jeweiligen Weltlinie (der entsprechenden Differenzen der Eigenzeiten). Bezieht man die Berechnung auf Koordinatensysteme, so sieht man die Abhängigkeit von der lokalen Geschwindigkeit entlang der Weltlinie sowie der Geometrie der Raumzeit die die Weltlinie durchläuft. Koordinatensystemunabhängig betrachtet handelt es sich bei der Eigenzeit (Zeitdilatation) einfach um die Länge der Weltlinie (Differenz der Längen der Weltlinien). Letzteres ist also wieder eine koordinatensystemunabhängige Definition.

@positive: wir drehen uns da irgendwie im Kreis; deine Einwände gehen an der Sache vorbei:

"Erst wenn er seine Eigenzeit in eine Relation zu irgendwas bringt, kann er davon sprechen, dass sie invariant ist." => genau anders herum; die Tatsache, dass eine Größe invariant bedeutet, dass man sie sozusagen auf nichts beziehen muss; und bzgl. der Eigenzeit ist das trivial, es handelt sich um die Zeit, die entlang einer Weltlinie gemessen wird; ein weiterer Bezug ist nicht notwendig

"Dasselbe mit der Zeitdilatation. In der Raumzeit selber sind sie nicht existent" => doch, natürlich; Tom und das Alien bewegen sich entlang ihrer jeweiligen Weltlinien durch durch die Raumzeit; die Zeitdilatation entspricht der Differenz der Längen der Weltlinien; wiederum ist ein weiterer Bezug nicht notwendig.

Auf was genau möchtest du denn die Eigenzeit des Aliens beziehen, um sie invariant zu definieren? Und auf was möchtest du die Zeidilatation beziehen?

[Skeltek]

Dann hab ich das wohl falsch verstanden gehabt. Ich dachte invariant bedeutet, daß es egal ist aus welchem BS man es betrachtet und es phänomenologisch immer dasselbe Resultat liefert.

[tomS]

Dann hab ich das wohl falsch verstanden gehabt. Ich dachte invariant bedeutet, daß es egal ist aus welchem BS man es betrachtet und es phänomenologisch immer dasselbe Resultat liefert.

Das stimmt doch. Invariant bedeutet Bezugs- bzw. Koordinatensystemunabhängig.

Ich beobachte auf meiner mitgeführten Uhr meine Eigenzeit. Jeder andere Beobachter in einem anderen Bezugssystem mit einer anderen Uhr und einer anderen Eigenzeit beobachtet jedoch auf meiner Uhr den selben Wert für meine Eigenzeit wie ich. Die Eigenzeit ist letztlich nur die Länge einer Kurve in der vierdimensionalen Raumzeit, und die ist sicher eine Invariante (sieht man der Formel auch an)

[Skeltek]

Es geht doch darum:
Man bezieht sich bei der Berechnung der Eigenzeitdifferenzen auf ein BS, welches ist egal.
Es macht einen Unterschied ob man für die Berechnung kein BS braucht oder die Wahl des BS keine Rolle spielt.

[tomS]

Mir geht es nicht um ein Koordinatensystem. Das ist egal.

gut

"Erst wenn er seine Eigenzeit in eine Relation zu irgendwas bringt, kann er davon sprechen, dass sie invariant ist." => genau anders herum; die Tatsache, dass eine Größe invariant bedeutet, dass man sie sozusagen auf nichts beziehen muss; und bzgl. der Eigenzeit ist das trivial, es handelt sich um die Zeit, die entlang einer Weltlinie gemessen wird; ein weiterer Bezug ist nicht notwendig Nein, solange du auf deiner Weltlinie von P nach Q fliegst, kannst auch nur du und die Besatzung die Eigenzeit invariant nennen. Das Alien oder jemand anders noch nicht.

Die Eigenschaft, dass es sich bei einer Größe um eine Invariante handelt, folgt aus der mathematischen Definition der Größe. Insofern ist jede Eigenzeit eine Invariante, ohne dass das irgendjemand nachschaut, misst oder prüft.

Du sprichst lediglich die Fragestellung an, ob und wie man diese Eigenschaft überprüfen kann.

"Dasselbe mit der Zeitdilatation. In der Raumzeit selber sind sie nicht existent" => doch, natürlich; Tom und das Alien bewegen sich entlang ihrer jeweiligen Weltlinien durch durch die Raumzeit; die Zeitdilatation entspricht der Differenz der Längen der Weltlinien; wiederum ist ein weiterer Bezug nicht notwendig. Nein, solange du und das Alien euch beide nicht in Q trefft, ist die Zeitdilatation nicht existent.

Zunächst mal hast du recht.

Nehmen wir jedoch an, ich habe zwei Kurven C von P nach Q sowie C' von P' nach Q'. Dann kann man die beiden Eigenzeiten entlang C und C' dennoch vergleichen, indem man P mit P' sowie Q mit Q' lichtartig verbindet (sowohl theoretisch als auch experimentell mittels Lichtsignalen).

Aber das verkompliziert die Situation und ist nicht das, was die Zeitdilatation im Kern aussagt.

Auf was genau möchtest du denn die Eigenzeit des Aliens beziehen, um sie invariant zu definieren? Und auf was möchtest du die Zeidilatation beziehen? Auf das Treffen in Punkt Q ...

Habe ich oben schon kommentiert.

Du kannst deine Eigenzeit ja invariant nennen wie ich oben schon gesagt habe, aber die Invarianz bestätigt dir das Alien.

Habe ich oben schon kommentiert.

Invarianz garantiert mir die Mathematik; die experimentelle Prüfung ist nicht Thema des Formalismus.

Du musst sozusagen aus deinem Bezugssystem raus um dir die Betätigung zu holen.

Nein, das kann man indirekt auch aus der Entfernung erledigen (jedes astrophysikalischen Experiment bestätigt indirekt die ART, den Formalismus und damit die Eigenschaft der Invarianz.

Deine Weltlinie ist egal, sie ist nur eine andere Perspektive auf die Raumzeit, solange es in Q nicht zu einem Verlgleich kommt, ist ... auch die Eigenzeit nicht existent.

Nein. Meine Eigenzeit hängt von nichts ab außer meiner Weltlinie durch die Raumzeit. Wozu muss ich da was vergleichen?

Deine Formulierung ist irreführend, es klingt so als wenn alles so gegeben wäre und es keine Relation zu anderen Beobachtern gäbe. Du hast die Lichtuhr und die tickt, ist aber noch keine Definition von Eigenzeit in dem Sinne hier, weil du keine Beobachter außer der Besatzung hast. Die Eigenzeit steht erstmal alleine da sozusagen.

Ja. Genau das ist die Bedeutung von Eigenzeit.

Mir ist schon klar, dass man das auch messen und überprüfen muss, und dass in der Praxis natürlich Bezüge zu anderen Beobachtern existieren. Aber die mathematische Definition von Eigenzeit benötigt das alles nicht.

[tomS]

Du hast die da eine private Auslegung von "invariant" zurechtgelegt.

http://en.wikipedia.org/wiki/Proper_time

In relativity, proper time is the elapsed time between two events as measured by a clock that passes through both events. The proper time depends not only on the events but also on the motion of the clock between the events. ... In terms of four-dimensional spacetime, proper time is analogous to arc length in three-dimensional (Euclidean) space. ... The formal definition of proper time involves describing the path through spacetime that represents a clock, observer, or test particle, and the metric structure of that spacetime. Proper time is the pseudo-Riemannian arc length of world lines in four-dimensional spacetime.

[tomS]

Ich habe nie behauptet, dass es ohne zwei Events ginge; ich hatte sie P und Q genannt. Aber die beiden Events lege ich alleine fest ... Jetzt ... Und jetzt wieder ... das war's

[tomS]

Nein, das Raumzeitintervall zwischen diesen beiden Ereignissen ist invariant. Ob du's nun glaubst ... oder weißt ... oder nicht ...