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Einsteinsche Feldgleichungen

Einstein über die Schulter geschaut: Fragestellungen zur Speziellen und Allgemeinen Relativitätstheorie, mathematische Methoden, Bedeutung und Interpretation
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Alexander

Einsteinsche Feldgleichungen

Beitrag von Alexander » 9. Sep 2011, 01:48

Nicht zuletzt, weil im Forum gerade eine Interessante Diskussion läuft, die die ART involviert, habe ich mich wieder mehr mit den Einsteinschen Feldgleichungen auseinander gesetzt. Da das aber lediglich heute sechs Stunden waren, wenn überhaupt, fallen meine Kenntnisse entsprechend finit aus. Das ist auch der Grund für die Fragen, die ich in diesem Thread gerne besprechen bzw. stellen würde.

Rekurrierend auf den ersten Abschnitt "Grundsätzliche Annahmen und Forderungen" (http://de.wikipedia.org/wiki/Einsteinsc ... leichungen) stellte sich mir eben eine Frage bezüglich der Aussage: "Nun ist \ T_{\mu\nu} kein beliebiger symmetrischer Tensor, da er Nabla*Energie-Impuls-Tensor = 0 erfüllen muss, d.h. die Divergenz des Energie-Impuls-Tensors muss verschwinden, damit das Gesetz der Energie- und Impulserhaltung aufrechterhalten wird."
Ich meine zwar, verstanden zu haben, warum man das ausgerechnet so formuliert, aber ich frage zur Sicherheit lieber nach: Formuliert man das daher mit Divergenz, da sie Quellen von Eigenschaften eines Tensors, also hier des Energie-Impuls-Tensors, anzeigen würde, was in diesem Falle offenbar eine Neuentstehung von Materie/Energie anzeigen würde, was ja nicht geht?

Ich sollte dazu sagen, dass ich natürlich keine profunden Kenntnisse bezüglich den mathematischen Regeln von Divergenz oder einer der anderen beiden Anwendungen des Nabla-Operators habe, aber was diese Dinge bedeuten kann man in solchen Kontexten am leichtesten erlernen, wie ich finde.


P.S.: Wenn dies eine längere Diskussion werden sollte, könnten wir doch, analog zum SRT-Frage-Antwort-Thread, einen ART-Frage-Antwort-Thread eröffnen?

Alexander

Re: Einsteinsche Feldgleichungen

Beitrag von Alexander » 10. Sep 2011, 15:57

Formuliert man das daher mit Divergenz, da sie Quellen von Eigenschaften eines Tensors, also hier des Energie-Impuls-Tensors, anzeigen würde, was in diesem Falle offenbar eine Neuentstehung von Materie/Energie anzeigen würde?

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tomS
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Re: Einsteinsche Feldgleichungen

Beitrag von tomS » 14. Sep 2011, 22:10

Alexander hat geschrieben:"Nun ist \ T_{\mu\nu} kein beliebiger symmetrischer Tensor, da er Nabla*Energie-Impuls-Tensor = 0 erfüllen muss, d.h. die Divergenz des Energie-Impuls-Tensors muss verschwinden, damit das Gesetz der Energie- und Impulserhaltung aufrechterhalten wird."

... Formuliert man das daher mit Divergenz, da sie Quellen von Eigenschaften eines Tensors, also hier des Energie-Impuls-Tensors, anzeigen würde, was in diesem Falle offenbar eine Neuentstehung von Materie/Energie anzeigen würde, was ja nicht geht?
Zunächst mal zu einer modernen Ableitung der Einsteinschen Feldgleichungen aus der sogenannten Einstein-Hilbert-Wirkung S[down]EH[/down][Geometrie, Materie, Strahlung, ...]

Diese enthält die Geometrie, den sogenannten metriaschen Tensor, also ein abstraktes geometrisches Objekt aus dem sich Abstände, Winkel usw. berechnen lassen, sowie weitere Felder, z.B. für elektromagnetische Strahlung. Diese Wirkung ist ziemlich unanschaulich, allerdings basieren praktisch alle heute untersuchten Theorien auf diesen Wirkungen. Das zentrale Prinzip ist meist ein Symmetrieprinzip, das die Struktur dieser Wirkung festlegt. Aus dieser Wirkung lassen sich nun zweierlei Dinge ableiten:

A) Feldgleichungen als sogenannte Euler-Lagrange-Gleichungen
B) erhaltene Ströme gemäß dem sogenannten Noether-Theorem

A) ist dabei eine feldtheoretische Verallgemeinerung der Ableitung einer Funktion, um ein Mimimum zu finden. Eine Lösung der Theorie ist also eine bestimmte Feldkonfiguration (hier: Metrik), die lokal die Wirkung minimiert (es kann mehrere Lösungen also mehrere Minima geben, so wie bei einer Funktion auch). Die Struktur dieser Einsteinschen Feldgleichungen lautet einfach

G = T

wobei die linke Seite nur die Metrik, die rechte neben der Metrik auch weitere Felder enthält.

B) bedeutet nun folgendes: zu jeder Symmetrie gehört eine Erhaltungsgröße. Im Falle der Rotationssymmetrie einer Wirkung kann man formal eine Erhaltungsgröße, den Drehimpuls, ableiten. Im Falle der ART ist die Symmetrie recht kompliziert, jedenfalls resultiert daraus eine erhaltenen Stromdichte, hier sogar ein Tensor T.

Man vergleiche das mit dem Elektromagnetismus: hier findet man eine Feldgleichung

dF = j

F ist der el.-mag. Feldstärkentensor, j enthält Strom-und Ladungsdichte.

A) und B) hängen zusammen. Natürlich ist die el. Ladung erhalten, formal also

dj = 0

aber das selbe folgt auch durch Ableiten der Feldgleichung.

D.h. die Stromerhaltung folgt einmal aus dem Noether-Theorem, sie erscheint aber zum anderen als Konsistenzbedingung der Feldgleichungen selbst.

Eine Verletzung der Stromerhaltung hätte zwei Folgen:

Zum einen wäre B) verletzt, d.h. es würde "Ladung aus dem Nichts" entstehen, bzw.in der ART "Energie und Impuls aus dem Nichts". Zum anderen wäre A) schlichtweg inkonsistent.

Bis hierher sollte klargeworden sein, dass man das nicht einfach so formuliert, sondern dass das aus übergeordneten Prinzipien quasi zwingend folgt. Diese Erhaltungssätze sowie das zugrundeliegende Symmetrieprinzip sind letztlich fundamentale Sätze der modernen Physik.

Nun speziell zur ART: Die Struktur der Divergenzgleichung dj=0 funktioniert nicht bei dem mathematischen Objekt T, einem Tensor zweiter Stufe (zwei Indizes). Man erhält statt dessen eine sogenannte kovariante Ableitung sowie eine kovariante Stromerhaltung

DT = 0

Man kann nun diese Gleichung nicht mehr über ein Volumen integrieren und über die Gesamtenergie in einem bestimmten Raumbereich sprechen (hatten wir hier schon an andere Stelle diskutiert), aber die fundamentale Interpretation, dass Energie nicht aus dem Nichts entstehen kann, kann man so weiterhin gelten lassen. Zu deiner Frage "Formuliert man das daher mit Divergenz, da sie Quellen von Eigenschaften eines Tensors, also hier des Energie-Impuls-Tensors, anzeigen würde, was in diesem Falle offenbar eine Neuentstehung von Materie/Energie anzeigen würde?" würde ich mit einer kleinen Korrektur mit 'ja' beantworten: man "formuliert" das nicht, man "leitet das ab". Deine Interpretation ist aber völlig richtig.
Gruß
Tom

«while I subscribe to the "Many Worlds" theory which posits the existence of an infinite number of Toms in an infinite number of universes, I assure you that in none of them am I dancing»

Alexander

Re: Einsteinsche Feldgleichungen

Beitrag von Alexander » 16. Nov 2011, 20:14

tomS hat geschrieben:Diese enthält die Geometrie, den sogenannten metriaschen Tensor, also ein abstraktes geometrisches Objekt aus dem sich Abstände, Winkel usw. berechnen lassen, sowie weitere Felder, z.B. für elektromagnetische Strahlung.
Berechnet man diese Winkel, Abstände mit einem Skalarprodukt kovarianter und kontravarianter Vektoren? Oder verwechsle ich das mit etwas Anderem?

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