Doch, es gibt globale Erhaltungssätze, z.B. für die Elektrische Ladung. Dabei funktioniert nämlich der Integrationstrick weiterhin:
Üblicherweise schriebt man das mit Ladungs- und Stromdichte:
Nun integriert man über ein beliebiges, zeitartiges 3-Volumen
Das erste Integral entspricht der (erhaltenen) Gesamtladung:
Es gilt zunächst
Nun sieht man, welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, damit Q erhalten ist,
es muss nämlich gelten
Man argumentiert nun wie folgt: die rechte Seite kann man mittels des Gaussschen Integralsatzes umformen zu
Anstatt der Quellen von j
innerhalb des Integartionsvolumens V betrachtet man den Fluss von j
durch die Oberfläche von V. Diese mathematische Identität gilt exakt; auf verallgemeinerten, gekrümmten Mannigfaltigkeiten handelt es sich dabei um das Theorem von Stokes. Nun argumentiert man wie folgt: man lässt das Volumen V gegen unendlich gehen, so dass es kein "außerhalb" mehr gibt, d.h. V überdeckt das gesamte Universum. Dann findet aus physikalischen Gründen kein Fluss von j durch die Oberfläche mehr statt (bzw. es gibt keine Oberfläche mehr) und somit verschwindet das Oberflächenintegral.
Setzt man nun aber
wieder in die Kontinuitätsgleichung ein, so findet man eben das gewünschte Ergebnis
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Woran scheitert dieses Konstrukt im Falle der Energie?
Es reicht, ein spezielles Problem aufzuzeigen, nämlich anhand der kovarianten Form der lokalen Erhaltung der Energie-Impuls-Dichte.
Wir starten mit der Kontinuitätsgleichung des 4*4 Tensors T.
Weil es sich um einen Tensor zweiter Stufe (mit zwei Indizes) handelt, muss man die kovariante Ableitung verwenden, die jedoch lästigerweise Zusatzterme produziert:
Dabei sind die hier auftretenden Gammas die sogenannten Christoffel-Symbole, die auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten benötigt werden, um bei Differentationen der Krümmung Rechnung zu tragen. Sie sind selbst Funktionen der Metrik, also i.A. keine Konstanten.
Ohne nun auf die Details einzugehen, sieht man, dass das Auftreten dieser Zusatzterme aufgrund der Gammas die ganze obige Rechnung unmöglich machen, da in jedem Term diese Gammas auftreten und da es i.A. keine Möglichkeit gibt, sie loszuwerden. Man kann ein paar Spezialfälle diskutieren, z.B. eine asymptotisch flache Raumzeit. Das gilt z.B. für ein schwarzes Loch, dessen Raumzeit weit entfernt von der Singularität wie der flache Minkowskiraum aussieht. In diesem verschwinden die Gammas im Unendlichen, und tatsächlich kann man für ein SL über ein derartiges Vorgehen die Gesamtenerie bzw. die Gesamtmasse berechnen. Aber i.A. funktioniert das nicht, z.B. nicht für ein expandierendes Universum.
Am Beispiel eines SLs sieht man auch weitere Probleme. In einem SL sitzt die gesamte Masse ja im Zentrum, außerhalb liegt exaktes Vakuum vor, d.h. T=0. Würde man jetzt irgendwie dieses T einfach über den Raum integrieren, so ist der Beitrag immer exakt Null – außer von der Singularität. D.h. man muss geschickt über die Singularität integrieren (integriere mal die Funktion 1/x über x=0) so dass ein endliches Ergebnis übrig bleibt.
Nächstes Problem: Da die gesamte Masse im Zentrum sitzt, sollte es beim SL egal sein, ob man über ein unendliches oder ein endliches Volumen integriert, die Masse im Inneren ist immer die des SLs. Aber in der Praxis stellt man fest, dass für endliche Volumina die Definition des Volumens selbst problematisch ist, da es ja vom Beobachter abhängt (für einen bewegten Beobachter erscheint eine Volumen V entlang der Bewegungsrichtung gemäß der Lorentzkontraktion gestaucht aus). Dies überträgt sich auch auf die Mathematik und führt dazu, dass das Volumenintegral einen anderen Wert hat als für den ruhenden Beobachter. OK, das ist nun kein Problem, man interpretiert das Integral nicht mehr als Masse (die Ruhemasse ist in allen Bezugssystemen identisch) sondern als Gesamtenergie (und die hängt über die Lorentztransformation von der Geschwindigkeit ab). Es ist nun aber keinesfalls trivial zu zeigen, dass das so berechnete E für ein endliches Volumen V sich unter Lorentztransformation korrekt wie eine Energie verhält (es soll sich nicht irgendwie ändern, sondern exakt so, wie es die Lorentztransformation für Energie und Impuls vorsehen). Dazu gibt es nin verschiedene Ansätze, die nicht unbedingt alle auf die selben Ergebnisse führen, d.h. es gibt nicht mehr „die“ Energie oder „die“ Masse in der ART, sondern verschiedene Definitionen. Teilweise führen diese auf identische Resultate, teilweise unterscheiden sie sich um einen trivialen Faktor. Für spezielle Volumina kommen sinnvolle Dinge heraus, z.B. kann man als V einmal das Innere des Ereignishorizontes wählen, einmal das gesamte Universum. Man erhält teilweise unterschiedliche Werte je nach genauer mathematischer Definition d.h. ein SL würde zwei Beobachtern am EH bzw. im Unendlochen unterschiedlich schwer erscheinen.
Es gibt hier letztlich kein „richtiges“ bzw. eindeutiges Ergebnis mehr, sondern verschiedene Konstruktionen, die man alle physikalisch motivieren kann und deren mathematische Konsistenz außer Frage steht.
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Zurück zur elektrischen Ladung: aufgrund der Einfachen Struktur des elektrischen Stromes j (ein Viervektor = Tensor erster Stufe, kein Tensor höherer Stufe) treten hier diese Probleme nicht auf und man kann eine eindeutige und erhaltene Ladung konstruieren.
Der wesentliche Unterschied ist, dass die Ladung einer „inneren“ Symmetrie der Theorie entspricht, z.B. einer Eichsymmetrie wie der U(1) Eichsymmetrie im Falle des Elektromagnetismus, während es sich bei der Symmetrie, die zu T führt, um die Diffeomorphismeninvarianz bzw. eine Symmetrie der Raumzeit selbst handelt (die Struktur der Gleichungen ist dementsprechend unterschiedlich). D.h. dass das Konzept von inneren Symmetrien und Symmetrien der Raumzeit unterschiedlich ist; ein Grund, warum eine Vereinheitlichung der Gravitation mit anderen Theorien nicht so ganz einfach ist.