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Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von tomS » 8. Sep 2011, 19:10

Lass uns doch mal generell folgende Fragestellungen unterscheiden:
A) die Topologie der Raumzeit, also letztlich 3+1 dimensionale Invarianten
B) die durch Foliation induzierte Topologie von 3-dimensionalen raumartigen Untermannigfaltigkeiten M³(t); nur in diesem Fall kann man von 'Erhaltungsgrößen' sprechen, denn nur hier ist soetwas wie d/dt sinnvoll definierbar
Sowohl bei A) als auch B) kann man entweder rein geometrische Objekte (Krümmung, ...), oder erweiterte Objekte (Faserbündel, Eichfelder) betrachten.

Ich finde B) interessant, da es sich eben um topologische Erhaltungsgrößen handelt, die bei einer Zeitentwicklung der Foliation invariant bleiben.

Für A) fällt mir als einfachsten Beispiel (in zwei Dimensionen) der Satz von Gauss-Bonnet ein. Er besagt, dass das 2-dim. Integral über die Gaussche Krümmung der sog. Euler-Charakteristik der 2-dim. Mannigfaltigkeit entspricht.



Man kann ihn natürlich in abgewandelter Form für eine 2+1 dim. Raumzeit anwenden, wenn man für diese wiederum eine Foliation einführt. Dann ist für jede 2-dim. Untermannigfaltigkeit der Satz von Gauss-Bonnet anwendbar - und man kann einen Erhaltungssatz formulieren.



wobei t der durch die Foliation induzierte Zeitkoordinate entspricht.

Eine erste Idee wäre also, dies auf eine 3+1 dim. Raumzeit zu verallgemeinern. Aber das klappt nicht, da der Satz nur für Räume mit dim=2n, also Raumzeiten mit dim=2n+1 formulierbar ist.

Aber ich denke die Richtung ist klar: finde topologische Invarianten für 3-Mannigfaltigkeiten, die sich in integraler Form darstellen lassen. Die 3-Mannigfaltigkeiten sind dabei durch eine Foliation der Raumzeit definiert.

Erste Anwendung: was geschieht, wenn die 4-dim. Raumzeit eine Singularität (ein SL) entwickelt? Wie berhält sich die topologische Invariante an der Stelle, wo die Foliation die Singularität entwickelt.
Gruß
Tom

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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von Ray Light » 8. Sep 2011, 19:57

@gravi
Danke für die Torte! :)
Schmeckt virtuell.

@Tom
Ohne es gerechnet zu haben, denke ich, dass klar ist, was mit einer solchen "topologischen Invariante" in einer Krümmungssingularität passieren wird: sie wird wohl divergieren. Käme aber auf einen Versuch an, sich solch eine Größe zu beschaffen und es einmal für Schwarzschild auszurechnen.

Ich habe die Erfahrung gemacht, dass die Differentialgeometer und Mathematiker da schon so einiges berechnet haben, was wir als Physiker noch gar nicht entdeckt und gewertschätzt haben. Es lohnt also auch diese Literatur (Bücher und Papers) zu konsultieren.

Zurzeit arbeite ich mit "Geometrie der Raumzeit" von Rainer Oloff (Verlag Vieweg und Teubner 2010; 1. Auflage 1999) und bringe es hier gerne ein, sollte ich da weitere heiße Spuren finden. Das Werk macht einen recht brauchbaren Eindruck, auch für Einsteiger, aber an die Mathematik der Differentialgeometrie muss man sich 'rantrauen. Kapitel 8 hat den Titel "Krümmung" und widmet sich neben dem Riemann-Tensor auch der Gaußschen Krümmung (die mit dem Ricci-Skalar zusammenhängt) und der inneren sowie äußeren Geometrie. Sehr gut ist, dass er auch das sehr effiziente Cartan-Kalkül mit Zusammenhangs- und Krümmungsformen einführt.

Beste Grüße,
Ray
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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von Analytiker » 8. Sep 2011, 20:39

An das Buch "Geometrie der Raumzeit" von Rainer Oloff kann ich mich erinnern. Vor einigen Jahren entlieh ich es mir mal aus einer Bibliothek. Das Buch ist gut struktruriert und empfehlenswert für diejenigen, die sich näher mit der Relativitätstheorie beschäftigen möchten.

Man kann natürlich über dreidimensionale Hyperflächen integrieren und sehen was dabei herauskommt. Bei der Analyse von Raumzeiten können auch Penrose-Diagramme hilfreich sein.

http://www.wissenschaft-online.de/astro ... 2.html#pen

Grüße
Analytiker

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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von tomS » 8. Sep 2011, 20:58

Ray Light hat geschrieben:Ohne es gerechnet zu haben, denke ich, dass klar ist, was mit einer solchen "topologischen Invariante" in einer Krümmungssingularität passieren wird: sie wird wohl divergieren. Käme aber auf einen Versuch an, sich solch eine Größe zu beschaffen und es einmal für Schwarzschild auszurechnen.

Ich habe die Erfahrung gemacht, dass die Differentialgeometer und Mathematiker da schon so einiges berechnet haben, was wir als Physiker noch gar nicht entdeckt und gewertschätzt haben. Es lohnt also auch diese Literatur (Bücher und Papers) zu konsultieren.

Zurzeit arbeite ich mit "Geometrie der Raumzeit" von Rainer Oloff (Verlag Vieweg und Teubner 2010; 1. Auflage 1999) und bringe es hier gerne ein, sollte ich da weitere heiße Spuren finden. Das Werk macht einen recht brauchbaren Eindruck, auch für Einsteiger, aber an die Mathematik der Differentialgeometrie muss man sich 'rantrauen. Kapitel 8 hat den Titel "Krümmung" und widmet sich neben dem Riemann-Tensor auch der Gaußschen Krümmung (die mit dem Ricci-Skalar zusammenhängt) und der inneren sowie äußeren Geometrie. Sehr gut ist, dass er auch das sehr effiziente Cartan-Kalkül mit Zusammenhangs- und Krümmungsformen einführt.

Beste Grüße,
Ray
Bzgl. der Divergenz bin ich nicht sicher. Man könnte auch - wie es die Topologen gerne machen - eine kleine Kreisscheibe rausschneiden. Dann muss man aber berandete Mannigfaltigkeiten betrachten! Eine geeignete Invariante wäre vorher und nachher endlich, ändert sich aber unstetig. Eine topologische Invariante kann sich ja eigtl. gar nicht ändern - nur eben wenn sich die Topologie ändert - und das ist immer unstetig. Überleg dir das mal für den zweidimensionalen Fall des Gauss-Bonnet-Theorems in der 2+1 dim. RT mit einer "nicht zu stark divergenten" Krümmung an einer Singularität.

Der Oloff kenne ich nicht.Ich habe mich früher eher mit Eichtheorien und Faserbündeln beschäftigt, da habe ich noch den Nakahara: "Geometry, Topology and Physics" im Regal stehen. Cartan-Kalkül ist da Pflicht.

Und ja - in vielen Fällen sind die Mathematiker da weiter als wir Physiker denken - Ausnahme sind vielleicht Atiyah und Witten.
Gruß
Tom

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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von Skeltek » 9. Sep 2011, 01:06

Ich stelle mir die Frage, ob es eine Gesammtkrümmung überhaupt geben kann. Wenn nur ein Teilabschnitt des Universums an unserer Position als existent gemessen werden kann, ist es dann überhaupt sinnvoll, die für uns nicht existenten Bereiche außerhalb der Hubblesphäre in unsere Betrachtungen mit einzubeziehen?
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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von tomS » 9. Sep 2011, 02:01

Skeltek hat geschrieben:Ich stelle mir die Frage, ob es eine Gesammtkrümmung überhaupt geben kann. Wenn nur ein Teilabschnitt des Universums an unserer Position als existent gemessen werden kann, ist es dann überhaupt sinnvoll, die für uns nicht existenten Bereiche außerhalb der Hubblesphäre in unsere Betrachtungen mit einzubeziehen?
Das ist eine interessante Frage.

Zunächst muss man Topologie und Dynamik auseinanderhalten: Eine topologische Invariante wie sie z.B. im Gauss-Bonnet-Theorem als Integral über eine 2-Mannigfaltigkeit berechnet wird, gilt unabhängig von der jeweiligen Geometrie Dynamik auf der 2-Mannigfaltigkeit. D.h. wenn eine derartige 2-Mannigfaltigkeit mit einer beliebigen Form (und Krümmung) gegeben ist und man daraus das Geschlecht bzw. die Euler-Charakteristik berechnet, dann bleibt diese Berechnung gültig, unabhängig davon, wie sich die Krümmung der Fläche entwickeln wird und unabhängig davon, welche Dynamik genau die weitere Entwicklung bestimmt. Demzufolge ist auf dieser Ebene soetwas wie eine Hubblesphäre noch gar definierbar, denn diese bezieht sich ja auf eine konkrete Dynamik, a) gemäß der sich die Mannigfaltigkeit entwickelt und b) gemäß der die Lichtausbreitung definiert ist.

Dann muss man aber sagen, dass globale bzw. nicht-lokalisierbare Größen seltsam anmuten.

Zuletzt zeigt sich in der modernen Physik (insbs. ART und Eichtheorien) bzw. der zugrundeliegenden Mathematik jedoch, dass es eine tiefen Zusammenhang zwischen globalen, topologischen Invarianten und lokalen Größen (wie der Krümmung im Falle des Gauss-Bonnet-Theorems) gibt.
Gruß
Tom

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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von gravi » 9. Sep 2011, 19:25

Ich habe mal eine recht naive Zwischenfrage:
Seit WMAP wissen wir doch ziemlich sicher, dass wir in einem flachen Universum mit euklidischer Geometrie leben.
Kann man da global überhaupt noch von Krümmungen sprechen?

Übrigens ein wenn auch spätes Herzliches Willkommen unserem Analytiker!
Du hast hier einen Super- Einstieg vollbracht, der gleich alle Experten aktivierte.
Klasse! :sup:

Gruß
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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von Analytiker » 9. Sep 2011, 20:53

Danke für das Lob!

Messdaten des Weltraumteleskops Planck, welche präziser als die von WMAP sind, deuten eher auf ein leicht gekrümmtes Universum hin. Es wird aber weiterhin ausgewertet werden. Natürlich ist ein flaches Universum nicht ausgeschlossen. In der Septemberausgabe von bild der wissenschaft befasst sich die Titelgeschichte mit dem Aussehen des Universums.

Schöne Grüße

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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von tomS » 9. Sep 2011, 22:29

Das Universum könnte großräumig die mittlere Krümmung Null haben, aber in kleineren Bereichen ist die Krümmung sicher positiv. Bei einem unendlichen (mathematisch: nicht-kompakten) Universum scheitert die Berechnung des Integrals über die Krümmung daran, das das Integral divergiert
Gruß
Tom

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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von Analytiker » 10. Sep 2011, 10:24

Es wäre interessant herauszufinden wie mehrere Krümmungsquellen interagieren und korrespondieren und weitere Krümmungen propagieren. Analytische Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen beschreiben ein homogenes und isotropes Universum oder befassen sich mit Ein-Körper-Problemen. Was darüber hinausgeht, ist ein Fall für numerische Verfahren.

Beim Schwarzschild-Loch nimmt der Kretschmann-Skalar nur positive Werte an und divergiert bei r = 0. Beim Kerr-Loch treten sowohl positive als auch negative Werte auf, es kommt zur Divergenz, wenn r = 0 und zugleich theta = pi/2 erfüllt sind. Die Frage ist, würden sich positive und negative Werte so weit wegheben, dass bei einer Integration über ein Volumen das Integral konvergieren würde?

http://iopscience.iop.org/0004-637X/535 ... 4.fg2.html

Grüße
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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von tomS » 10. Sep 2011, 14:56

Der Ansatz, über verschiedene 4er-Krümmungsskalar, wie Ricci-Skalar, Kretschmann-Skalar, Chern-Pontryagin-Skalar, Euler-Skalar, ... zu integrieren ist natürlich erstmal sinnvoll. Aber man muss dabei bedenken, dass ein d³x Integral über einen Viererskalar nicht zwingend ein Objekt mit einer vernünftigen kovarianten Transformationseigenschaft erzeugt. M.E. muss man für ein d³x Integral, dessen Zeitentwicklung man betrachten will, einen 3er-Skalar auf einer raumartigen Hyperfläche finden, d.h. bzgl. der auf der 3-Mannigfaltigkeit induzierten Krümmung. Dann ist da immer die Frage, ob das d³x Integral in einer nicht-kompakten Raumzeit überhaupt existiert (also endlich ist). Zuletzt wäre außerdem die Zeitentwicklung dieses Objektes interessant.
Gruß
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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von Analytiker » 10. Sep 2011, 16:15

Bei Schwarzen Löchern über den Ricci-Skalar zu integrieren wäre trivial, denn sein Wert beträgt dort global 0. Man könnte auch den Kretschmann-Skalar über die Raumzeit integrieren und erhielte ein Vierfachintegral. Ich könnte mir vorstellen, dass bei einem maximal rotierenden Kerr-Loch sich die positiven und negativen Krümmungswerte des Kretschmannskalars, über ein Vierfachintegral aufsummiert, aufheben würden und das Vierfachintegral den Wert 0 annähme. Die Formel für den Kretschmann-Skalar bezüglich der Kerr-Metrik findet sich unter folgendem Eintrag weiter unten

http://www.wissenschaft-online.de/astro ... tml#rieten

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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von tomS » 10. Sep 2011, 16:39

Die Krümmungsskalare für die Schwarzschild- und die Kerrmetrik sind "trivial", da diese statisch bzw. zumindest stationär sind. Interessant wird es erst für kosmologische Lösungen, bei denen keine Zeittranslationsinvarianz existiert (kein zeitartiges Killngvektorfeld), da dann ggf. Zeitabhängigkeit vorliegt
Gruß
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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von Analytiker » 10. Sep 2011, 18:52

Der Kretschmann-Skalar für die Robertson-Walker-Metrik ist unter folgendem Link zu finden.

http://grtensor.phy.queensu.ca/Griihelp/grDalias.help

Intuitiv kann man annehmen, dass die Krümmung mit fortschreitender Expansion abnimmt, jedoch wächst das Volumen mit der Expansion. Die Frage ist nun, ob sich Volumenzuwachs und Krümmungsabnahme gegenseitig aufheben.

Grüße
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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von Analytiker » 10. Sep 2011, 19:19

Der Kretschmann-Skalar der Robertson-Walker-Metrik kann allerdings bei sehr schneller Expansion trotz Volumenzuwachs auch zunehmen und würde im Falle eines Big Rip divergieren.

Grüße
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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von tomS » 11. Sep 2011, 10:37

Im Falle eines 4-dim. deSitter Raumes ist R = 4Λ; ein Integral also divergent

Nochmal: die vierdimensionalen Skalare bringen uns nichts; wir müssen - so wie du zu Beginn vorgeschagen hast - den ADM Formalismus und die Skalare auf den 3-Mannifaltigkeiten betrachten
Gruß
Tom

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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von Analytiker » 12. Sep 2011, 17:07

Die FLRW-Metrik wird als erste Näherung zur Entwicklung des Universums benutzt. Da es sich um eine diagonale Metrik handelt, ist es doch wohl einfach einen 3 + 1 Split vorzunehmen. Die Hyperflächen sind, vom Fall k = 0, wo keine Krümmung vorliegt, abgesehen, so vermute ich konstant gekrümmt. Die Zeit steckt im Skalenfaktor drin. Man könnte den Kretschmann-Skalar der Hyperflächen bilden, der aber wie vermutet in jedem Punkt gleich ist und vom Kretschmann-Skalar die Zeitableitung bilden. Dann sieht man, wie die Krümmung sich ändert.

Grüße
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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von tomS » 12. Sep 2011, 17:18

genau so; und wenn ich Zeit habe, rechne ich das aus - oder schaue es nach :-)

ich gehe aber davon aus, dass derartige 3-Integrale über nicht-kompakte Mannigfaltigkeiten i.A. divergieren und man so keine Erhaltungsgtößen definieren kann.
Gruß
Tom

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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von Analytiker » 12. Sep 2011, 18:48

Warum sollten derartige 3-Integrale über nicht-kompakte Mannigfaltigkeiten divergieren. Es wären dann zwar ein uneigentliches Integral, aber die divergieren nicht zwingend. Man könnte einen Quotienten infinitesimaler Größe aus Volumen und Krümmung bilden.

Grüße
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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von tomS » 12. Sep 2011, 20:34

Analytiker hat geschrieben:Warum sollten derartige 3-Integrale über nicht-kompakte Mannigfaltigkeiten divergieren. Es wären dann zwar ein uneigentliches Integral, aber die divergieren nicht zwingend.
Bei unendlichem Volumen und nicht-verschwindendem, konstanten Integranden divergiert es zwingend.
Analytiker hat geschrieben:Man könnte einen Quotienten infinitesimaler Größe aus Volumen und Krümmung bilden.
Ja, aber ich erinnere dich an den (deinen :-) Titel: "Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?"

Mir ging es bisher darum, analog zu topologischen Invarianten Größen zu finden, die auf einer großen Klasse von Mannigfaltigkeiten definiert und eben erhalten sind, nicht nur in einigen Spezialfällen. Dazu erscheinen mir solche "künstlichen" Ansätze nicht geeignet.

Ich habe bisher keine topologischen Invarianten gefunden, die als Integral über nicht-kompakte Mannigfaltigkeiten definiert sind und ohne Eichfelder, Faserbündel usw. auskommen.Ich gebe aber noch nicht (ganz) auf :-]
Gruß
Tom

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