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Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

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Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von Analytiker » 5. Sep 2011, 22:00

In der Allgemeinen Relativitätstheorie gilt der Energieerhaltungssatz nicht in jedem Fall global, sondern nur lokal. Wie aber ist es mit den Raumzeitkrümmungen bestellt? Wenn man über eine vorgegebene Metrik die Krümmungen integriert, bleibt die Gesamtkrümmung dann konstant, wenn die Metrik dynamisch ist, sich also mit der Zeit ändert? Sämtliche Krümmungsinformationen einer Metrik stecken im Riemann-Tensor. Über den Ricci-Skalar sowie über den Ricci-Tensor zu integrieren würde nicht alle Krümmungsinformationen berücksichtigen. Es ist natürlich kein Leichtes über einen nichtverschwindenden Rieman-Tensor zu integrieren. Allerdings finde ich es interessant, Krümmungen aufzusummieren und zu sehen, was dabei herauskommt.

Schöne Grüße

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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von tomS » 5. Sep 2011, 22:36

Was du da vorhast ist schwierig.

Über was willst du integrieren? über dreidimensionale, raumartige Hyperflächen?
Und was willst du integrieren? R, R[down]ik[/down] oder R[down]iklm[/down]?

Im Riemann-Tensor steckt zu viel Information = zu viele Komponenten, du musst ihn also verjüngen. Dazu musst du die Formen betrachten, die du überhaupt über eine dreidimensionale Hyperfläche integrieren kannst. Und dann musst du wieder nachweisen, dass diese Integrale einen invarianten Charakter haben, also unabhängig von der exakten Wahl der dreidimensionale, raumartige Hyperflächen sind oder zumindest ein eindeutiges (kovariantes) Transformationsverhalten aufweisen. Und zuletzt müsstest du zeigen, dass es sich bei diesen Integralen um Konstanten der Bewegung handelt, d.h. dass sie sich nicht mit der Zeit ändern. Dazu müsstest die eine "Blätterung" der Raumzeit in infinitesimal benachbarte dreidimensionale, raumartige Hyperflächen einführen und zeigen, dass die Integrale für benachbarte Hyperflächen identisch sind.

Ich weiß nicht, ob du derartige mathematsiche Objekte einführen kannst.
Gruß
Tom

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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von seeker » 5. Sep 2011, 23:10

Die Frage ist jedenfalls interessant...
Kann man sich der Sache nicht auch einfacher annähern?

Aus meinem sehr geringen Verständnis heraus komme ich auf folgenden (sehr vereinfachten) Gedankengang (der vielleicht völlig am Thema vorbeigeht, sorry für meine Verständnisschwierigkeiten):

1. Raumzeitkrümmung = Energie + Impuls
2. Die Energie muss global nicht erhalten sein.

Da stellt sich mir die Frage: Wie sieht es mit dem Impuls (global) aus?

Wenn die Raumzeitkrümmung global erhalten sein soll, dann müsste doch der Impuls(-transport) evtl. Änderungen der Energiedichte bzw. Energiestromdichte exakt ausgleichen.

Die Frage wäre demnach: Ist das plausibel?

Kann man das so eingrenzen?

Grüße
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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von tomS » 5. Sep 2011, 23:38

Der Impuls (und auch der Drehimpuls) ist - ebenso wie die Energie - weder global eindeutig definierbar, noch kovariant, noch erhalten. Wenn man sich die Einstein-Gleichungen ansieht, dann ist

G = T

Es gilt DT = 0, also aus Konsistenmzgründen auch DG = 0, wobei G ein Tensor ist, der ausschließlich aus R[g] konstruiert wird (R = Riemann-Tensor, G = Metrik). Nur - die selben Probleme wie bei der Konstruktion einer erhaltenen Gesamtenergie aus T hat man bei der Konstruktion einer Erhaltungsgröße aus G.
Gruß
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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von Analytiker » 6. Sep 2011, 07:08

Es bietet sich an über den Kretschmann-Skalar zu integrieren. Er ist eine Krümmungsinvariante und in ihm steckt der Riemann-Tensor in rein kovarianter und rein kontravarianter Form.

http://www.wissenschaft-online.de/astro ... .html#kret

Die Kerr-Metrik ist sehr interessant. In Ihr nimmt der Kretschmann-Skalar sowohl positive als auch negative Werte an, wie man anhand des Schaubildes unter oben aufgeführtem Link sehen kann. Da könnte man über dem Poloidalwinkel sowie über den Radius integrieren und hätte ein Doppelintegral.

Bei Anwendung des ADM-Formalismus oder 3 + 1 Split und der Integration über Hyperflächen bestimmter Metriken könnte man interessante Einsichten gewinnen.

http://www.wissenschaft-online.de/astro ... a.html#adm

Grüße
Analytiker

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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von tomS » 6. Sep 2011, 08:20

Du kannst aber in der ART einen Skalar s(x) nur über d[up]4[/up]x integrieren, wenn du ein vernünftiges mathematisches Objekt erhalten möchtest. Wenn du über d[up]3[/up]x integrieren willst, dann kann der Integrand kein Skalar mehr sein (kennst du dich mit Differentialformen aus?). Das Problem ist zum einen, das Integral zu definieren, und zum zweiten, ihm eine vernünftige, kovariante Bedeuting zu geben. Ich schaue sowas aber gerade nach - gebe aber zu,dass ich noch keine Plan haben.
Gruß
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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von seeker » 6. Sep 2011, 12:37

Jetzt muss ich aber nochmal nachfragen:

Gibt es also in der ART global überhaupt keine Erhaltungssätze mehr?
Hat Einstein das einfach weggekippt? Falls ja: Ist das nicht unbefriedigend?

Grüße
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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von tomS » 6. Sep 2011, 13:38

Doch, es gibt globale Erhaltungssätze, z.B. für die Elektrische Ladung. Dabei funktioniert nämlich der Integrationstrick weiterhin:





Üblicherweise schriebt man das mit Ladungs- und Stromdichte:



Nun integriert man über ein beliebiges, zeitartiges 3-Volumen





Das erste Integral entspricht der (erhaltenen) Gesamtladung:



Es gilt zunächst



Nun sieht man, welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, damit Q erhalten ist,



es muss nämlich gelten



Man argumentiert nun wie folgt: die rechte Seite kann man mittels des Gaussschen Integralsatzes umformen zu



Anstatt der Quellen von j innerhalb des Integartionsvolumens V betrachtet man den Fluss von j durch die Oberfläche von V. Diese mathematische Identität gilt exakt; auf verallgemeinerten, gekrümmten Mannigfaltigkeiten handelt es sich dabei um das Theorem von Stokes. Nun argumentiert man wie folgt: man lässt das Volumen V gegen unendlich gehen, so dass es kein "außerhalb" mehr gibt, d.h. V überdeckt das gesamte Universum. Dann findet aus physikalischen Gründen kein Fluss von j durch die Oberfläche mehr statt (bzw. es gibt keine Oberfläche mehr) und somit verschwindet das Oberflächenintegral.

Setzt man nun aber



wieder in die Kontinuitätsgleichung ein, so findet man eben das gewünschte Ergebnis



-----------------------------------------

Woran scheitert dieses Konstrukt im Falle der Energie?

Es reicht, ein spezielles Problem aufzuzeigen, nämlich anhand der kovarianten Form der lokalen Erhaltung der Energie-Impuls-Dichte.

Wir starten mit der Kontinuitätsgleichung des 4*4 Tensors T.



Weil es sich um einen Tensor zweiter Stufe (mit zwei Indizes) handelt, muss man die kovariante Ableitung verwenden, die jedoch lästigerweise Zusatzterme produziert:



Dabei sind die hier auftretenden Gammas die sogenannten Christoffel-Symbole, die auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten benötigt werden, um bei Differentationen der Krümmung Rechnung zu tragen. Sie sind selbst Funktionen der Metrik, also i.A. keine Konstanten.

Ohne nun auf die Details einzugehen, sieht man, dass das Auftreten dieser Zusatzterme aufgrund der Gammas die ganze obige Rechnung unmöglich machen, da in jedem Term diese Gammas auftreten und da es i.A. keine Möglichkeit gibt, sie loszuwerden. Man kann ein paar Spezialfälle diskutieren, z.B. eine asymptotisch flache Raumzeit. Das gilt z.B. für ein schwarzes Loch, dessen Raumzeit weit entfernt von der Singularität wie der flache Minkowskiraum aussieht. In diesem verschwinden die Gammas im Unendlichen, und tatsächlich kann man für ein SL über ein derartiges Vorgehen die Gesamtenerie bzw. die Gesamtmasse berechnen. Aber i.A. funktioniert das nicht, z.B. nicht für ein expandierendes Universum.

Am Beispiel eines SLs sieht man auch weitere Probleme. In einem SL sitzt die gesamte Masse ja im Zentrum, außerhalb liegt exaktes Vakuum vor, d.h. T=0. Würde man jetzt irgendwie dieses T einfach über den Raum integrieren, so ist der Beitrag immer exakt Null – außer von der Singularität. D.h. man muss geschickt über die Singularität integrieren (integriere mal die Funktion 1/x über x=0) so dass ein endliches Ergebnis übrig bleibt.

Nächstes Problem: Da die gesamte Masse im Zentrum sitzt, sollte es beim SL egal sein, ob man über ein unendliches oder ein endliches Volumen integriert, die Masse im Inneren ist immer die des SLs. Aber in der Praxis stellt man fest, dass für endliche Volumina die Definition des Volumens selbst problematisch ist, da es ja vom Beobachter abhängt (für einen bewegten Beobachter erscheint eine Volumen V entlang der Bewegungsrichtung gemäß der Lorentzkontraktion gestaucht aus). Dies überträgt sich auch auf die Mathematik und führt dazu, dass das Volumenintegral einen anderen Wert hat als für den ruhenden Beobachter. OK, das ist nun kein Problem, man interpretiert das Integral nicht mehr als Masse (die Ruhemasse ist in allen Bezugssystemen identisch) sondern als Gesamtenergie (und die hängt über die Lorentztransformation von der Geschwindigkeit ab). Es ist nun aber keinesfalls trivial zu zeigen, dass das so berechnete E für ein endliches Volumen V sich unter Lorentztransformation korrekt wie eine Energie verhält (es soll sich nicht irgendwie ändern, sondern exakt so, wie es die Lorentztransformation für Energie und Impuls vorsehen). Dazu gibt es nin verschiedene Ansätze, die nicht unbedingt alle auf die selben Ergebnisse führen, d.h. es gibt nicht mehr „die“ Energie oder „die“ Masse in der ART, sondern verschiedene Definitionen. Teilweise führen diese auf identische Resultate, teilweise unterscheiden sie sich um einen trivialen Faktor. Für spezielle Volumina kommen sinnvolle Dinge heraus, z.B. kann man als V einmal das Innere des Ereignishorizontes wählen, einmal das gesamte Universum. Man erhält teilweise unterschiedliche Werte je nach genauer mathematischer Definition d.h. ein SL würde zwei Beobachtern am EH bzw. im Unendlochen unterschiedlich schwer erscheinen.

Es gibt hier letztlich kein „richtiges“ bzw. eindeutiges Ergebnis mehr, sondern verschiedene Konstruktionen, die man alle physikalisch motivieren kann und deren mathematische Konsistenz außer Frage steht.

-----------------------------------------

Zurück zur elektrischen Ladung: aufgrund der Einfachen Struktur des elektrischen Stromes j (ein Viervektor = Tensor erster Stufe, kein Tensor höherer Stufe) treten hier diese Probleme nicht auf und man kann eine eindeutige und erhaltene Ladung konstruieren.

Der wesentliche Unterschied ist, dass die Ladung einer „inneren“ Symmetrie der Theorie entspricht, z.B. einer Eichsymmetrie wie der U(1) Eichsymmetrie im Falle des Elektromagnetismus, während es sich bei der Symmetrie, die zu T führt, um die Diffeomorphismeninvarianz bzw. eine Symmetrie der Raumzeit selbst handelt (die Struktur der Gleichungen ist dementsprechend unterschiedlich). D.h. dass das Konzept von inneren Symmetrien und Symmetrien der Raumzeit unterschiedlich ist; ein Grund, warum eine Vereinheitlichung der Gravitation mit anderen Theorien nicht so ganz einfach ist.
Gruß
Tom

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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von tomS » 6. Sep 2011, 14:00

Ach ja, um auf das eigtl. Thema zurückzukommen: man müsste nun versuchen, analog zum elektrischen Strom einen erhaltenen Vierervektor aus der Krümmung konstruieren.

Alternativ kann man natürlich statt eines Integrals über ein dreidimensionales Volumen ein vierdimensionales Integral über die gesamte Raumzeit definieren. Dafür findet man tatsächlich sogenannte topologische Invarianten, d.h. Größen, die bei "lokalen Deformationen" der Geometrie invariat bleiben. In zwei Dimensionen ist ein einfaches Beispiel die Anzahl der Löcher in einer Fläche (Kugeloberfläche wie bei einem Wasserball: kein Loch; Schwimmreifen: ein Loch, ...; Deformationen wie z.B. Quetschen des Wasserballs sind zugelassen). Das ist interessant, aber eine etwas andere Fragestellung, da man durch das vierdimensionales Integral auch über die Zeit integriert und man somit überhaupt kein d/dt mehr hat, man also letztlich nicht mehr von Erhaltungsgrößen sprechen kann.
Gruß
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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von Analytiker » 6. Sep 2011, 16:00

Differentialformen sagen mir schon was. Bei der Tensorrechnung sind sie hilfreich und können Rechenprozesse übersichtlicher gestalten und damit auch Berechnungen vereinfachen. Von grundlegender differentialgeometrischer Bedeutung ist der Satz von Stokes. In seiner allgemeinen Form hat er eine enorme Bedeutung für die Integration von Differentialformen.

Grüße
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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von tomS » 6. Sep 2011, 17:21

Hi Analytiker,
Analytiker hat geschrieben:Bei Anwendung des ADM-Formalismus oder 3 + 1 Split und der Integration über Hyperflächen bestimmter Metriken könnte man interessante Einsichten gewinnen.
Das ist ein interessanter Ansatz - wobei ich ADM für zu eng gefasst halte. In der modernen theoretischen Physik (insbs. in der Quantengravitation) werden erweiterte Formalismen verwendet, die nur noch wenig mit dem ADM Formalismus zu tun haben (first-order formalisms, Vierbein-Felder, Umformulierung der ART als Poincare-Eichtheorie, Ashtekar-Variablen, Riemann-Cartan- statt Riemann-Mannigfaltigkeiten = nicht-verschwindende Torsion).

Dann könnte man z.B. als erweiterten Formalismus die Riemann-Mannigfaltigkeiten heranziehen, d.h. die Einstein-Cartan-Theorie (unter Einbeziehung von nicht-verschwindener Torsion und Spin-Stromdichten, die zwar prinzipiell andere Vorhersagen macht, jedoch experimentell mit der ART übereinstimmt, da die vorhergesagten Effekte durch die Spin-Ströme experimentell zu klein sind, um nachgewiesen werden zu können).

Was wäre dann zu tun: der ADM-Formalismus beginnt mit einer Foliation der als global hyperbolisch angenommenen Raumzeit (das muss nicht zwangsläufig gelten; es gibt sicher Gegenbeispiele). damit stelltman sich die Raumzeit als ene Blätterung vor,wobei jedes Blatt einer raumartigen 3-Mannigfaltigkeit entspricht, zu der eine lokal orthogonale, zeitartige Richtung existiert. Eine Erhaltungsgröße wäre dann zunächst auf einer derartigen 3-Mannigfaltigkeit zu definieren. Der globale Erhaltungssatz entspräche der Tatsache, dass die Erhaltungsgröße für alle Blätter einer bestimmten Foliation identisch ist.

Zunächst gibt es natürlich derartige "Erhaltungsgrößen", nämlich die topologischen Invarianten der 3-Mannigfaltigkeiten (unter der Annahme, dass die Dynamik der ART diese nicht zerstört - d.h. Raumzeiten mit schwarzen Löcher müssten explizit verboten werden). Dann wäre zu überlegen, welche dieser Invarianten physikalisch sinnvoll sind und ob sie sich ggf. lokal darstellen lassen (also durch ein geeignetes 3-Integral über ein geeignetes lokales Feld). Und zuletzt wäre zu überlegen, ob und wie sie von der gewählten Blätterung abhängen bzw. wie ihre Transformationseigenschaften unter einer Änderung der Blätterung sind.

Man hätte es also mit der folgenden Fragestellung zu tun:

F: M → {V[down]F[/down](t)}
Q[down]F[/down][V]

Dynamik: t → t', V → V’ aber Q[down]F[/down][V] = Q[down]F[/down][V’]

dQ[down]F[/down][V] / dt = 0


F bezeichnet eine bestimmte Blätterung (Foliation)
Q bezeichnet die Invarianten
V bezeichnet die einzelnen 3-Mannigfaltigkeiten; V = V(t), V' = V(t')

Wer kennt sich mit topologischen Invarianten von 3-Mannigfaltigkeiten aus?
Gruß
Tom

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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von seeker » 7. Sep 2011, 13:45

Ich hätte noch eine kurze Zwischenfrage:

Wenn nun gewisse Erhaltungssätze (wie z.B. die Energie) in der ART global nicht eindeutig sind, bzw. nicht definiert werden können - was bedeutet das dann?

Ist es zu erwarten, dass das eine Eigenschaft der Theorie (bzw. der dort verwendeten Mathematik) ist (was sich vielleicht durch eine zukünftige Theorie auflösen ließe) - oder erscheint es plausibel, dass das eine Eigenschaft des Universums selbst ist?

Mir ist klar, dass eine Antwort darauf möglicherweise nur eine Meinung sein kann.
In dem Fall: Was meint ihr?

Grüße
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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von tomS » 7. Sep 2011, 14:38

Das ist eine Eigenschaft der Mathematik - und nicht schlimm. Wir sind es eben gewohnt, über "Energie innerhalb eines bestimmten Raumbereiches" zu reden. Dieses Konzept "... innerhalb eines bestimmten Raumbereiches" ist in der ART aber nur mit Einschränkungen sinnvoll - wie so vieles andere auch. Ich sehe auch nicht, dass sich in derzeit diskutierten Erweiterungen bzw. Quantengravitationstheorien daran etwas Grundsätzliches ändert.

Wichtig ist,dass die Konsistenz der Theorie durch ein nach wie vor gültiges lokales Prinzip (kein Integral, sondern eine Differentialgleichung) sichergestellt wird.

Kennst du die Maxwellgleichungen sowie ihre differentielle und ihre integrale Form? Stell dir vor, du entwickelst eine Erweiterung der Theorie, z.B. im Rahmen der ART, und stellst fest, dass die integrale Form aus mathematischen Gründen nicht mehr konstruierbar ist, die differentielle Form jedoch (mit geeigneten Erweiterungen) gültig bleibt. So in etwa ist das - und das ist nicht schlimm!
Gruß
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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von seeker » 7. Sep 2011, 23:03

Na ja, so weit so gut...

An was ich (vielleicht fälschlicherweise) denke:
Ist es dann z.B. vielleicht möglich, dass ein expandierendes Universum global quasi Energie aus dem Nichts generiert - ohne dass wir diese Möglichkeit im Rahmen der ART nachweisen bzw. widerlegen können?

Grüße
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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von tomS » 7. Sep 2011, 23:18

seeker hat geschrieben:Ist es dann z.B. vielleicht möglich, dass ein expandierendes Universum global quasi Energie aus dem Nichts generiert - ohne dass wir diese Möglichkeit im Rahmen der ART nachweisen bzw. widerlegen können?
Nein. Global können wir die Energie einfach nicht mehr definieren, d.h. wir können gar nicht sagen, ob da "etwas" "mehr wird", weil wir dieses "etwas" nicht berechen können. Lokal ist die Energie-Impuls-Dichte aber erhalten - nur können wir dies nur in jedem Punkt, nicht aber für ein Volumen hinschreiben.
Gruß
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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von seeker » 7. Sep 2011, 23:54

D.h. das Universum tut global "irgendetwas", aber wir können dieses "Etwas" nicht mehr mit dem Konzept "Energie" erfassen, weil der Begriff dort versagt?

Noch anders gefragt: Können wir die globale Energie einfach nicht ausrechnen oder können wir nachweisen, dass es im Rahmen der ART gar keinen eindeutigen Wert "Energiemenge" geben kann?

Grüße
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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von tomS » 7. Sep 2011, 23:58

seeker hat geschrieben:... oder können wir nachweisen, dass es im Rahmen der ART gar keinen eindeutigen Wert "Energiemenge" geben kann?
Genau so!
Gruß
Tom

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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von seeker » 8. Sep 2011, 00:20

Jetzt! Danke! :D
Grüße
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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von tomS » 8. Sep 2011, 00:35

Um auf den Ausgangspunkt von Analytiker zurückzukommen:
Analytiker hat geschrieben:In der Allgemeinen Relativitätstheorie gilt der Energieerhaltungssatz nicht in jedem Fall global, sondern nur lokal. Wie aber ist es mit den Raumzeitkrümmungen bestellt? Wenn man über eine vorgegebene Metrik die Krümmungen integriert, bleibt die Gesamtkrümmung dann konstant, wenn die Metrik dynamisch ist, sich also mit der Zeit ändert? Sämtliche Krümmungsinformationen einer Metrik stecken im Riemann-Tensor. Über den Ricci-Skalar sowie über den Ricci-Tensor zu integrieren würde nicht alle Krümmungsinformationen berücksichtigen. Es ist natürlich kein Leichtes über einen nichtverschwindenden Rieman-Tensor zu integrieren. Allerdings finde ich es interessant, Krümmungen aufzusummieren und zu sehen, was dabei herauskommt.
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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von Timm » 8. Sep 2011, 11:26

seeker hat geschrieben: D.h. das Universum tut global "irgendetwas", aber wir können dieses "Etwas" nicht mehr mit dem Konzept "Energie" erfassen, weil der Begriff dort versagt?
sowie:
tomS hat geschrieben:
seeker hat geschrieben:Ist es dann z.B. vielleicht möglich, dass ein expandierendes Universum global quasi Energie aus dem Nichts generiert - ohne dass wir diese Möglichkeit im Rahmen der ART nachweisen bzw. widerlegen können?
Nein. Global können wir die Energie einfach nicht mehr definieren, d.h. wir können gar nicht sagen, ob da "etwas" "mehr wird", weil wir dieses "etwas" nicht berechen können. Lokal ist die Energie-Impuls-Dichte aber erhalten - nur können wir dies nur in jedem Punkt, nicht aber für ein Volumen hinschreiben.
In diesem Zusammenhang ist interessant, daß eine Reihe von Physikern von der Gesamtenergie Null des Universums ausgehen.

hier steht unter Verweis auf die Bonner Physiker Fahr und Overduin:
Fahr und Overduin plädieren dagegen dafür, die kosmologische Konstante so zu bestimmen, dass die Gesamtenergie des Universums gleich Null ist. Eine Abschätzung, die sie mit dieser Annahme durchführen, liefert für die Materiedichte des Universums einen Wert, der mit den heutigen Beobachtungen vereinbar ist.
Ein Universum, in dem sich die negative Gravitationsenergie exakt mit der Materie-Vakuum-Energie die Waage hält, bräuchte für seine Entstehung keine Energie. Es könnte selbst als Quantenfluktuation aus dem Vakuum eines höherdimensionalen Raumes hervorgegangen sein
Der Charme liegt natürlich darin, von dem mißlichen "Etwas aus Nichts" in dem Sinn abrücken zu können, als hier Energie, auch wenn sie global nicht definert ist, aus Nichts geschaffen wird. Meines Wissens vertritt auch Alan Guth die Null-Energie These des Universums.

Mir ist bewußt, ebenfalls das Titelthema verlassen zu haben und ich werde mich deshalb weiterer Kommentare dazu enthalten.

Gruß, Timm

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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von tomS » 8. Sep 2011, 13:43

Timm hat geschrieben:... In diesem Zusammenhang ist interessant, daß eine Reihe von Physikern von der Gesamtenergie Null des Universums ausgehen.
Fahr und Overduin plädieren dagegen dafür, die kosmologische Konstante so zu bestimmen, dass die Gesamtenergie des Universums gleich Null ist. ... Ein Universum, in dem sich die negative Gravitationsenergie exakt mit der Materie-Vakuum-Energie die Waage hält, bräuchte für seine Entstehung keine Energie.
Das klingt alles gut und wird tatsächlich immer wieder so gesagt ... aber es ist irreführend oder populärwissenschaftlich: man kann diese Gesamtenergie nicht eindeutig definieren (es gibt verschiedene Ansätze und Spezialfälle); es gibt auch keine allgemein akzeptierte, fundamental Definition der gravitativen Energie. Natürlich sind die Ideen gut und sollen weiterverfolgt werden, man muss aber auch mal dazusagen, wo die gesicherte Erkenntnis endet und die Spekulation anfängt. Hier bewegen wir uns eindeutig in eier Grauzone.

http://relativity.livingreviews.org/Art ... rr-2009-4/

Einfach mal das Inhaltsverzeichnis überfliegen; jedes Kapitel steht für einen Ansatz zur Defintiion einer Energie

Aus der Zusammenfassung
The Bartnik mass is a natural quasi-localization of the ADM mass, and its monotonicity and positivity makes it a potentially very useful tool in proving various statements on the spacetime, because it fully characterizes the nontriviality of the finite Cauchy data by a single scalar. However, our personal opinion is that, by its strict positivity requirement for nonflat three-dimensional domains, it overestimates the ‘physical’ quasi-local mass ...

Thus, while the Dougan–Mason mass of is zero, the Bartnik mass is strictly positive ...

The other very useful definition is the Hawking energy (and its slightly modified version, the Geroch energy). ... Although Hawking energy is a well-defined two-surface observable, it has not been linked to any systematic (Lagrangian or Hamiltonian) scenario. ... This view appears to be supported by the fact that Hawking energy has strange properties for nonspherical surfaces.

Penrose’s suggestion for the quasi-local mass ... However, the construction is not complete. First, the construction does not work for ... Nevertheless, the mass in the modified constructions encountered an inherent ambiguity in the small surface approximation.

From pragmatic points of view the Dougan–Mason energy-momenta are certainly among the most successful definitions ... However, in spite of their successes, the Dougan–Mason energy-momenta ... have some unsatisfactory properties, ... and, even for certain topological two-spheres, they are not well defined ... neither of the Dougan–Mason masses is well defined for the bifurcation surfaces of the Kerr–Newman (or even Schwarzschild) black hole ... The fact that our antiholomorphic construction gives the correct, expected results for small spheres, but unacceptable ones for large spheres near future null infinity in frames that are not center-of-mass frames ...

The idea of Brown and York that the quasi-local conserved quantities should be introduced via the canonical formulation of the theory is quite natural. ... First, the quasi-local quantities depend not only on the geometry of the two-surface , but on an arbitrarily chosen boost gauge, interpreted as a ‘fleet of observers being at rest with respect to ’, as well. This leaves a huge ambiguity in the Brown–York energy ... Since in the two Minkowski spacetimes the extrinsic curvatures can be quite different, the quasi-local energy expressions based on this prescription of the reference term can be expected to yield a nonzero value even in flat spacetime. Indeed, there are explicit examples showing this defect ... Another objection against the embedding into flat three-space is that it is not Lorentz covariant ... The Brown–York expression fails to give the Bel–Robinson ‘energy’. Finally, in contrast to the Dougan–Mason definitions, the Brown–York type expressions are well defined on marginally trapped surfaces. However, they yield just twice the expected irreducible mass, and they do not reproduce the standard round sphere expression.
Das ist ggw. der Status!
Gruß
Tom

«while I subscribe to the "Many Worlds" theory which posits the existence of an infinite number of Toms in an infinite number of universes, I assure you that in none of them am I dancing»

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Ray Light
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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von Ray Light » 8. Sep 2011, 14:48

Hallo zusammen

Hier läuft ja eine spannende Diskussion auf hohem Niveau. :)

Zu Analytikers Ausgangsfrage:

Er fragte "Wenn man über eine vorgegebene Metrik die Krümmungen integriert, bleibt die Gesamtkrümmung dann konstant, wenn die Metrik dynamisch ist, sich also mit der Zeit ändert?"
Hier ist die Frage, was überhaupt mit "Krümmungen" gemeint ist. Über welche Objekte, die eine Krümmungsinformation beinhalten soll integriert werden: über Christoffel-Symbole? Über Krümmungsinvarianten, wenn ja welche?

Ein Beispiel (sicher das wichtigste) für eine dynamische Metrik ist das expandierende Universum, beschrieben durch die Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker-Raumzeit. Hierbei wird die Gesamtkrümmung über einen Term (Omega_k) in den Friedmann-Gleichungen definiert. Die Friedmann-Gleichungen sind letztendlich die Einstein-Gleichungen der ART, spezifiziert auf die Annahmen für ein expandierendes Universum (Energie-Impuls-Tensor für eine ideale Flüssigkeit etc.).
Wie die astronomischen Messungen (Hintergrundstrahlung etc.) ergeben haben, ist Omega_k null (mit den unvermeidlichen Messfehlern, die Raum für nicht-flache Universen lassen - ist aber kein Mainstream). Das heißt, dass die so definierte Gesamtkrümmung verschwindet und wir in einem flachen Universum leben, das die Sätze der Euklidischen Geometrie erfüllt (Summe aller Winkel im Dreieck beträgt 180 Grad).

Der Ricci-Skalar ist eine weitere Krümmungsgröße der ART, die man benutzen kann, um Krümmung zu berechnen und zu studieren. Verschwindet dieser Skalar, so spricht der Relativist von einer Ricci-flachen Metrik.

Übrigens ist nicht nur der Riemann-Tensor (und davon abgeleitete Krümmungsinvarianten wie der Kretschmann-Skalar) eine wertvolle Größe, wenn man Krümmungen von Raumzeiten in der ART untersucht, sondern auch der Weyl-Tensor (ein komplizierter Tensor 4. Stufe), siehe http://www.wissenschaft-online.de/astro ... tml#weyten
Es gibt hier ebenfalls sog. Weylsche Krümmungsinvarianten und man kann die Eigenschaften des Weyl-Tensors für eine bestimmte Metrik berechnen und dazu benutzen, um z.B. Raumzeiten in charakteristische Gruppen einzuteilen (Petrov-Klassifikation).

Zur Erhaltung der Energie:

Die Energieerhaltung gilt für viele Raumzeiten in der ART, aber es ist nicht möglich einen allgemein gültigen Satz für beliebige, gekrümmte Raumzeiten zu formulieren. Es ist eine längere Geschichte, die Argumentation nachzuvollziehen, aber es gibt dazu einiges in der Standardliteratur nachzulesen. Eine recht formelfreie und gut lesbare Argumentationslinie findet man hier

http://math.ucr.edu/home/baez/physics/R ... gy_gr.html
(wiedermal hat John Baez seine Finger im Spiel; er ist verantwortlich für viele gute Papers zur ART)

Unter diesem Link gibt es am Ende Hinweise auf sehr brauchbare, vertiefende Literatur zum Thema.

Kern der Argumentationslinie ist, dass es schwierig ist, eine Formulierung des Energieerhaltungssatzes in gekrümmten Raumzeiten zu finden, die in differentieller UND integraler Form (Stichwort Gaußscher Satz) übereinstimmen. Es gelingt durch die Einführung von Pseudo-Tensoren. Einstein hat das selbst damals ausgerechnet. Mehr dazu unter o.g. Link.

-

Tom hat vollkommen zu recht auf die Divergenzfreiheit des Energie-Impuls-Tensors hingewiesen. Diese Eigenschaft ist im Prinzip der Energieerhaltungssatz der ART (in differentieller Schreibweise). Demgegenüber steht ja - gemäß linker Seite der Einstein-Gleichung - "etwas Geometrisches". Dieser Punkt wurde in hier im Thread noch nicht angesprochen, daher möchte ich darauf hinweisen, dass die geometrische Entsprechung des Energieerhaltungssatzes die Aussage nach E. Cartan ist: "Der Rand eines Randes ist null.". Zeigen kann man das mit den Bianchi-Identitäten, und ich habe hier etwas dazu geschrieben:

http://www.wissenschaft-online.de/astro ... 2.html#bia

Auch hier sei auf das Kapitel 15 im Standardwerk "Gravitation" von Misner, Thorne, Wheeler (="MTW") hingewiesen, wo das vertiefend und sehr schön erklärt wird.

Beste Grüße,
Ray Light

PS: Bin übrigens in diesem Monat seit fünf Jahren im Forum dabei - sorry, dass ich mich zunehmend rarer mache. Bekomm' ich jetzt trotzdem 'ne Torte oder so? ;)
Wir haben verlernt uns zu wundern.

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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von gravi » 8. Sep 2011, 16:48

Dann meinen herzlichen Glückwunsch!
Hier ist auch gleich die Torte:
torte.jpg
torte.jpg (37.73 KiB) 10628 mal betrachtet
Hab aber schon mal ein Stück probiert :wink:

Ich möchte aber Danke sagen für die vielen und wertvollen Beiträge!

Beste Grüße
gravi
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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von Timm » 8. Sep 2011, 18:35

Danke für den Link, schon die schiere Anzahl der Energie Definitionen unterstreicht, was Du sagst.
tomS hat geschrieben:Das klingt alles gut und wird tatsächlich immer wieder so gesagt ... aber es ist irreführend oder populärwissenschaftlich: man kann diese Gesamtenergie nicht eindeutig definieren (es gibt verschiedene Ansätze und Spezialfälle);
Die Bonner Physiker werden mit "plädieren dafür ... Abschätzung ... Annahme" in Verbindung gebracht. Als wissenschaftliche Erkenntnis wird die Null Energie des Universums zwar nicht verkauft (auch nicht in populärerwissenschaftlicher Verpackung), aber ich frage mich, wie schon eine solche Annahme vertretbar ist, wenn doch unter Physikern ein breiter Konsens besteht, daß die Energie des Universums nicht definiert ist. Eine nicht definierte Größe kann nicht Null sein. Hast Du dafür eine Erklärung? Kein Physiker läßt sich doch gerne widerlegen, auch das könnte in populärwissenschaftlichen Medien ausgewalzt werden.

Gruß, Timm

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Re: Inwieweit bleibt die Gesamtkrümmung erhalten?

Beitrag von Analytiker » 8. Sep 2011, 18:54

Es sollte natürlich über Krümmungsinvarianten integriert werden, Christoffelsymbole sind nicht mal Tensoren, aber sie kommen in ihnen vor. Der Weyl-Tensor ist natürlich interessant, weil er die Verzerrungen der Raumzeit aufgrund von Gezeitenkräften erfasst.

Fragen der Gesamtkrümmung sind untrennbar mit der Topologie verknüpft. Topologische Invarianten spielen bei der Gesamtkrümmungsberechnung eine wichtige Rolle.

Sinnvoll wäre es über das vierdimensionale Volumen der Raumzeit zu integrieren. Die Raumzeit ist eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit und Raum und Zeit sind eng miteinander verwoben.

Die Frage nach der Topologie des Universums ist nach wie vor nicht beantwortet. In der September-Ausgabe von bild der wissenschaft handelt die Titelgeschichte von in Frage kommenden Topologien des Universums. Der Artikel ist lesenswert und interessant, auch wenn er nicht sehr in die Details eingeht.

Beste Grüße,
Analytiker

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