Gravitationskraft; welche Masse?

[tomS]

Es ist mathematisch kein Problem, sondern wohl verstanden. Und es ist kein Problem für die ART, höchstens ein ästhetisches. Natürlich wäre man gerne in der Lage, mittels des Noether-Theorems eine erhaltenen Gesamtenergie zu konstruieren, einfach weil man das so gewohnt ist. Aber wenn es nicht geht, ohne dass jedoch die Theorie inkonsistent wird oder nicht mit der Realität übereinstimmt, dann ist das kein grundsätzlies Problem.

Die in meinem verlinkten Artikel beschriebene Gleichung DT = 0 ist die wesentliche Gleichung, die die Konsistenz trotzdem sicherstellt, und sie ist letztlich sogar eine stärkere Gleichung als die integrale Form.

Wenn dich der Artikel interessiert, können wir gerne die Details diskutieren, auch ohen zu viel Mathematik.

[positronium]

Wenn dich der Artikel interessiert, können wir gerne die Details diskutieren, auch ohen zu viel Mathematik.

Ja, sehr gerne, bitte. Ich habe aber von der ART, wie Du eh gesehen hast, ausser ein paar allgemein bekannten Aussagen, keine Ahnung. Mathematik stört mich nicht, ganz im Gegenteil, nur ist mein Wissen, das über die Schulmathematik hinaus geht, sehr lückenhaft und ungeübt.

[tomS]

let's test it

[positronium]

Ich habe jetzt begonnen, das nochmals genauer durchzuarbeiten.
Einschliesslich Kapitel 1.1 ist mir abgesehen von einer Kleinigkeit alles klar. Du schreibst in Formel 1.5 (E² + B²). Ist das wegen der Kopplung des magnetischen mit dem elektrischen Feld gleich E . D + H . B (also, Skalarprodukte)?

[tomS]

Du kannst natürlich auch D und H einführen und so ein paar Konstanten absorbieren. Die theoretischen Physiker haben sich aber Einheitensysteme ausgedacht, in denen diese Konstanten meist eh' verschwinden. D und H werden dann für Vakuum nie verwendet, sondern nur innerhalb von Materie; wir beschäftigen uns aber mit el.-mag. Feldern im Vakuum. Deshab nur E und B, das hast du genau erkannt.

Die Form E² + B² folgt aus der Lagrangedichte für das e.-mag Feld. In dieser rein additiven Form sieht man die Kopplung nicht; diese steckt in den Maxwellgleichungen (die wir hier nicht brauchen)

[positronium]

Gut.
Kapitel 1.2 fällt mir viel schwerer. In Formel 1.7 sollte A eine Funktion sein, die für jeden Punkt in der Raumzeit einen ebenfalls 4-dimensionalen Vektor liefert; wenn diese abgeleitet wird, sollte ein Tensorfeld F entstehen, das die Wirkung des EM-Feldes A für jeden Raumpunkt zeigt. Wie das funktioniert, verstehe ich aber nicht - was ist eine äussere Ableitung und das ? Der Wikipedia-Artikel setzt auf einem viel zu hohen Niveau an.
Und Formel 1.8 müsste aussagen, dass die Wirkung immer konstant bleibt?
Das *F in den Formeln 1.11 und 1.12 sagt mir wieder nichts. Den Teil verstehe ich aber so, dass aus den Maxwellgleichungen zwangsläufig die Kontinuitätsgleichung folgt.

edit: Stellen in die Punkte eine Ersetzungsvorschrift dar?

[tomS]

zu 1.7: A ist eine 1-Form; F eine 2-Form. Man kann dies auch als 4er-Vektor (mit einem Index) sowie 4er-Tensor zweiter Stufe (mit zwei Indizes) schreiben; ich wollte hier aber epxlizit NICHT auf Details der Mathematik eingehen, sondern nur die Struktur der Gleichungen sowie ggf. Abweichungen zwischen verschiedenen Gleichungen aufzeigen. D.h. du musst gerade NICHT mit Differentialformen arbeiten, sondern nur eine Idee bekommen, was formal da steht: die Ableitung des Potentials ist die Feldstärke!

zu 1.8: die äußere Ableitung von F ist exakt Null; das entspricht den homogenen Maxwellgleichungen (ohne Strom oder Ladung rechts) und resultiert aus der Darstellung von F mittels A, ist also letztlich eine rein algebraische Konsistenzbedingung.

zu 1.9: das Sternchen ist eine Operation (Hodge-Star), die letztlich in F (dem elektromagnetischen Feldstärkentensor) die E- und B- Felder vertauscht sowie noch ein paar Vorzeichne reinbastelt. Es ist einfach eine kompakte Darstellung der inhomogenen Maxwellgleichungen.

zur Kontinuitätsgleichung: ja, diese folgt zum einen gemäß dem Noethertheorem aus der U(1) Eichsymmetrie der Elektrodynamik (die Herleitung mittels des Noethertheorems habe ich nicht gezeigt) und zum anderen MUSS sie aus Konsistenzgründen aus diesen rein algebraischen Beziehungen folgen. Anders gesagt: wenn man das Noethertheorem und die daraus folgende Kontinuitätsglechung gar nicht kennen würde, müsste trotzdem dj=0 sein, da sonst die Maxwellgleichungen selbst inkonsistent wären.

Das ist wichtig, da im Falle der Energieerhaltung in der ART später nicht mehr klar ist, wie die Konsistenzbedingung DT=0 einerseits (so wie dj=0 hier) und das Noethertheorem (bzgl. welcher Symmetrie ???) zusammenspielen. Es geht hier nur darum, zu zeigen, wie man im Falle einer einfachen Symmetrie wie der U(1) Eichsymmetrie eine erhaltenen Gesamtladung ableitet - und wie dies später für die Gesamtenergie in der ART eben gerade nicht mehr funktioniert.

[positronium]

ich wollte hier aber epxlizit NICHT auf Details der Mathematik eingehen

OK, ich weiss nur nicht, wie ich Deinem Dokument dann folgen kann. Da stehen ja mehr Fachausdrücke drin, als ich in meinem Leben gelernt habe.
Abgesehen vom Schulstoff habe ich nur das Buch durchgearbeitet: http://www.amazon.de/Physik-Tipler/dp/3 ... 550&sr=8-2 Und das ist auch schon wieder eine Zeit her. Ich schätze mal, dass man das im Studium in den ersten 1 oder 2 Monaten lernt, weil ja vieles nur das aus der Schule etwas vertieft und mathematischer darstellt. Darüber hinaus habe ich nur hier und da etwas aufgeschnappt, vor allem einiges in Wikipedia gelesen, aber das ist eben oft schwer verständlich, weil es meist nicht didaktisch aufbereitet ist, sondern Fakten präsentiert.

[tomS]

Hm, OK, dann ist das schwierig. Ich habe ggw. keinen Plan, wie ich dir ganz ohne Mathematik erklären soll, warum es in der ART keine erhaltene Gesamtenergie gibt. Ich hatte für das Dokument schon vorausgesetzt, dass man sich etwas mit Elektrodynamik auskennt.

Zum Hintergrund: wir hatten hier schonmal eine Diskussion, wie des denn um die Gesamtenergie in der ART steht - und hatten das sozusagen nicht-mathermatisch ausgereizt; anschließend habe ich dann (für die Experten) das Paper geschrieben. Wir können das trotzdem Stück für Stück durchgehen; du musst nicht jede mathematische Abhandlung verstehen, aber evtl. den Sinn und die Bedeutung der Formeln (hast du schon mal Penrose gelesen? der versucht das auch, aber eben auf vielen hundert Seiten ...)

[positronium]

Hm, OK, dann ist das schwierig. Ich habe ggw. keinen Plan, wie ich dir ganz ohne Mathematik erklären soll, warum es in der ART keine erhaltene Gesamtenergie gibt. Ich hatte für das Dokument schon vorausgesetzt, dass man sich etwas mit Elektrodynamik auskennt.

Mir fehlen wohl noch die nötigen Grundlagen, um das ohne ausufernde Nachfragen und Recherchen nachvollziehen zu können. Es ist ja auch so, dass Du darin etliche Theorien verarbeitet und, wenn auch nicht im Detail, doch so manche mathematische Konstrukte verwendest, die ich nicht kenne. Das macht es auch nicht einfacher, die Zusammenhänge nachzuvollziehen.

Wir können das trotzdem Stück für Stück durchgehen; du musst nicht jede mathematische Abhandlung verstehen, aber evtl. den Sinn und die Bedeutung der Formeln

Ich weiss nicht, ob da ein grosser Unterschied besteht. Den Sinn einer Formel verstehe ich erst, wenn ich deren Teile verstehe...

(hast du schon mal Penrose gelesen? der versucht das auch, aber eben auf vielen hundert Seiten ...)

Kannte ich nicht; ich schaue danach. Danke!