Beschleunigte Ladung im Gravitationsfeld

[tomS]

Ich bin da auf eine ganz "simple" Frage gestoßen:

1) Gemäß der Maxwellschen Elektrodynamik strahlen beschleunigte Ladungen elektromagnetische Wellen ab.
2) Gemäß dem Äquivalenzprinzip der Allgemeinen Relativitätstheorie sind Gravitationsfelder und Beschleunigung lokal nicht voneinander zu unterscheiden. Ein frei fallender Beobachter spürt selbst weder Kraft noch Beschleunigung, obwohl ihn das Gravitationsfeld bzw. die Raumkrümmung "beschleunigt".

Wir betrachten nun eine im Gravitationsfeld ruhende Ladung, z.B. eine geladene Kugel die am Boden liegt.
Gemäß 1) ist die Ladung in Ruhe und unbeschleunigt (aus Sicht eines ebenfalls ruhenden Beobachters) und strahlt daher keine elektromagnetischen Wellen ab.
Gemäß 2) spürt die Ladung eine Kraft, ist daher beschleunigt und strahlt daher doch elektromagnetischen Wellen ab.

Wir können auch eine frei fallende Ladung betrachten:
Gemäß 1) ist die Ladung beschleunigt (aus Sicht eines im Bezug auf den gravitativ wirkenden Körper = z.B. die Erde ruhenden Beobachters) und strahlt daher elektromagnetischen Wellen ab.
Gemäß 2) spürt die Ladung keine Kraft, ist daher unbeschleunigt, genauso wie ein parallel frei fallender Beobachter und strahlt daher keine elektromagnetischen Wellen ab.

Wo ist jeweils der Denkfehler?

[tomS]

Ich kenne das Argument, dass die Ladung quasi aus ihrem eigenen Feld hinaus beschleunigt wird; und das ist es, was zählt.

Rechnet Wheeler das vor?

[Timm]

Wenn nun eine Ladung im Gravitationsfeld ruht, dann gibt es eine solche "Deformation" der Feldlinien nicht. Und deswegen strahlt eine im Gravitationsfeld ruhende Ladung nicht. Anders die frei fallende Ladung: da gibt es eine Deformation, und deswegen auch eine Strahlungsemission. Wesentlich ist eben, dass das Äquivalenzprinzip nicht zutrifft, weil es nicht nur um lokale Einflüsse geht.

Eine derartige Einschränkung des Äquivalenzprinzips gibt es nicht. Ein in einem Gravitationsfeld stationärer Körper ist einem im gravitationsfeldfreien Raum hyperbolisch beschleunigten Körper äquivalent, ob er nun eine Ladung trägt oder nicht.

Über die von tom aufgeworfene Fragestellung gibt es in Expertenkreisen offenbar keine einheitliche Meinung.
Zwei Beispiele:

Nach Harpaz & Soker sind die Feldlinien der stationären Ladung unter dem Einfluß der Schwerkraft deformiert und die Ladung strahlt.

http://arxiv.org/abs/physics/9910019

Radiation from a Charge in a Gravitational Field
Authors: Amos Harpaz, Noam Soker
Aus abstract: The charge radiates and the work done by the gravitational field to overcome the stress force is the source for the energy radiated by the supported (static) charge. {\it A static charge in a gravitational field radiates, as predicted by the principle of equivalence}. This mechanism is similar to the one applied to an electric charge accelerated in a free space. In this case, the electric field is not accelerated with the charge. The electric field is curved, and there is a stress force between the charge and its field. The work done in overcoming the stress force is the source of the energy radiated by the accelerated charge.

Das klingt plausibel, die Entnahme der abgestrahlten Energie aus dem Gravitationsfeld erscheint allerdings problematisch. Letztlich stellt sich die Frage der Energieerhaltung, worüber die Autoren sich jedoch ausschweigen.

Almeida et al diskutieren dieselbe Situation im rindler-frame und den hier auftretenden Horizonten:

http://docs.google.com/viewer?a=v&q=...zLJkmOJrsC4WxQ

The radiation of a uniformly accelerated charge is beyond the horizon: A simple derivation
Abstract: By exploring some elementary consequences of the covariance of Maxwell's equations under general coordinate transformations, we show that even though inertial observers can detect electromagnetic radiation emitted from a uniformly accelerated charge, comoving observers will see only a static electric field. This analysis can add insight into one of the most celebrated paradoxes of the last century.

Demnach hängt die Wahrnehmung von Strahlung einer gleichförmig beschleunigten Ladung von der Region im Minkowski Diagramm ab, in welcher sich ein Beobachter befindet.

Weitere Infos hierzu?

[Skeltek]

Soweit ich verstanden habe, wird in deinem ersten Beispiel ein Elektron entgegen dem Gravtationsfeld durch eine Spannung stationär gehalten. Der Beobachter müsste also fallend(?) Daneben sein und die Strahlung messen? Hab ich das jetzt richtig verstanden?
Im zweiten Beispiel im Weltraum, ist der Beobachter stationär und die Ladung wird beschleunigt?
Im ersten Fall fällt der beobachter im freien Fall, also könnte man schon sagen, dass die Energie aus dem auf ihn zu beschleunigten Planeten(mitsamt der Ladung) stammt?

Anderes Bezugssystem, andere Energien...
Gruß, Skel

[tomS]

Der Vergleich mit dem Unruh-Effekt trifft m.E. nicht zu, denn hier beschleunigt der Beobachter im gravitationsfeldfreien Raum.

Das Experiment sähe wie folgt aus: ein Beobachter befindet sich bezüglich eines stationären Gravitationsfeldes in Ruhe, d.h. er benutzt z.B. einen Antrieb, um seine Position zu stabilisieren. Dieser Beobachter beobachtet nun eine frei fallende Ladung. Er misst offensichtlich ein zeitlich veränderliches elektromagnetisches Feld - alleine durch die Relativbewegung der Ladung. Ein zweiter Beobachter benutzt keinen Antrieb und fällt parallel zu der frei fallenden Ladung. Die Frage ist, ob dieser Beobachter nun ein veränderliches elektromagnetisches Feld beobachtet oder nicht.

[Timm]

Der Vergleich mit dem Unruh-Effekt trifft m.E. nicht zu, denn hier beschleunigt der Beobachter im gravitationsfeldfreien Raum.

Unruh hatte sich damit befaßt, was ein im Vakuum (keine Gravitation) beschleunigter Beobachter sieht (Wärmebad).

Es geht hier nicht um den Unruh-Effek, sondern um die Frage, welcher Beobachter sieht elektromagnetische Wellen (reelle Photonen), wenn eine Ladung gleichförmig im gravitationsfeldfreien Raum beschleunigt wird, oder, was dazu äquivalent ist, sich stationär in einem homogenen Gravitationsfeld befindet. In letzterem Fall kann die Ladung auf dem Labortisch liegen oder so beschleunigt sein, daß sie stationär ist.

Nach Almeida http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cac ... mOJrsC4WxQ A. The Horizons, Fig. 1. sieht der in der Rindler Region I mitbeschleunigte Beobachter das elektrostatische Feld der auf der hyperbolischen Weltlinie befindlichen Ladung, also keine reellen Photonen. Weitere Folgerung: Ein gleichförmig beschleunigter Beobachter sieht eine inertiale Ladung strahlen! Die Gültigkeit des Äquivalenzprinzips wird in den mir bekannten papers nirgends in Abrede gestellt. Demnach sieht der in einem homogenen Gravitationsfeld stationäre Beobachter die die Strahlung einer frei fallenden Ladung, nicht hingegen die Strahlung einer ebenfalls stationären Ladung.

Soweit nach Almeida, eine der Stimmen in einem uneinheitlichen Chor. Ich hatte mich hier hinzugesellt, in der Hoffnung auf weiteren input in dieser interessanten Fragestellung.

[tomS]

Genau, es geht nicht um den Unruh-Effekt, dieser ist etwas völlig anderes.

Dann gibt es doch insgs. vier Fragestellungen bzw. experimentelle Setups:
1) frei fallende Ladung
1a) frei fallender Beobachter
1b) bzgl. Gravitationsfeld ruhender Beobachter
2) bzgl. Gravitationsfeld ruhende Ladung
2a) frei fallender Beobachter
2b) bzgl. Gravitationsfeld ruhender Beobachter

Das Gravitatiosnfeld sollte übrigens als homogen angenommen werden da sonst noch weitere Effekte ins Spiel kommen.

[Skeltek]

Eine Frage ist, ob sich ein elektrisches Feld bei einer frei fallenden Ladung radial mit c ausbreitet oder mitbewegt?
Also wenn ein Beobachter auf gleicher Höhe fällt, nimmt er eine elektrische Kraft horizontal wahr oder unter einem kleinen Winkel?

Abgesehen davon frage ich mich, wie ein Elektron überhaupt frei fallen kann? Ich dachte immer ein Elektron im freien Fall müsste ein Feld induzieren, das seiner Beschleunigung im Gravitationsfeld entgegegnwirkt? Die potentielle Lageenergie des Elektrons muss in kinetische Energie als auch in eine Rekonfiguration des Feldes drumherum fließen. Schlägt das Elektron auf der Planetenoberfläche auf, steckt nur ein Bruchteil seiner Energie in der Bewegungsgeschwindigkeit.
Deshalb dachte ich ja immer, dass es nicht möglich sei, dass ein Beobachter und Elektron im Gravtationsfeld die gleiche Beschleunigung erfahren?
Naja, vermutlich liege ich mal grob falsch...
Gruß

Achja, wenn ein Elektron im freien Fall nicht strahlt, was ist dann mit einem Elektron auf geostationärem Orbit? Das würde selber im eigenen Bezugssystem nicht strahlen , ein Beobachter auf einem Lagrangepoint würde aber ständig elektromagnetische Wellen ankommen sehen und damit seine Solarzellen betreiben? ^^
Okay, mal weg mit den Scherzen:
Meine Frage wäre, wie hoch die Fallbeschleunigung eines Elektrons im Erdorbit wäre.

[Maclane]

Kann ich mal kurz was zwischenfragen, was mit dem Thema eigentlich nichts zu tun hat, aber mir trotzdem grad durch den Kopf spukt?

Es ist immer die Rede davon, dass beschleunigte Ladungen Strahlung emittieren. Aber wie ist denn das z.B. mit einem neutralen Wasserstoff-Atom?
Das ist ja nur nach außen hin neutral, aber eigentlich besteht es ja aus zwei Ladungen - einer positiven und einer negativen. Und wenn ich dieses Atom nun beschleunige, dann müssten doch sowohl Proton als auch Elektron Strahlung abgeben...
Scheint aber so nicht zu sein. Die Autos nachts auf der Landstraße fangen ja auch nicht selber an zu leuchten.

Warum gilt diese Regel nur für "freie" Ladungen aber nicht für Ladungen, die in einem Atom gebunden sind? Wie weit müssen denn zwei Ladungen voneinander entfernt sein, damit sie Strahlung abgeben können?

Noch ne Frage: Warum leuchten Stromkabel nicht? Wenn wie im deutschen Wechselstromnetz die Elektronen 50 mal pro Sekunde ihre Richtung ändern, dann sind das doch 50 Beschleunigungsvorgänge pro Sekunde.

Sorry, wollte eure Diskussion nicht unterbrechen. Ihr könnt meine Frage beantworten, wenn Zeit ist.

Ansonsten interessante Frage von Tom! Bin gespannt, wie sich das Rätsel auflöst.

Gruß
Mac

[tomS]

Das Argument mit dem frei fallenden Elektron im Erdorbit ist sicher ein gutes Beispiel.

Das mit den Autos??? Evtl. strahlen die doch, allerdings nur minimal.

[Skeltek]

Den Beitrag hier zum beschleunigten Autos muß ich nochmal neu schreiben wegen Formulierungsschwächen.
Gruß

[Gepakulix]

Ich sehe da ein Unterschied, ob
- ob ein Objekt A mit seinem Feld Energie abstrahlt
- oder ob diese abgestrahlte Energie durch ein Obekt B (Beobachter) auch detektiert werden kann.

Das Objekt B kann abgestrahlte Energie nur messen, wenn es sich relativ zu dem abstrahlenden Objekt A mit einer Geschwindigkeit <> 0 bewegt.
Wenn ein Elektron vor meiner Radioantenne vorbeifliegt, kann ich das im Radio hören (Energie aus dem Feld des Elektrons abgesaugt).
Wenn ich mich aber gleichförmig mit demselben fliegenden Elektron bewege, kann ich nichts hören.

Mit anderen Worten:
Aus meiner Sicht ist hier die Gravitation nicht wirklich wichtig. Entscheidend ist, ob der Beobachter sich relativ zum "abstrahlenden" Objekt in Ruhe ist oder nicht.
Ein im Gravitationsfeld beschleunigte Ladung strahlt nur dann ab (aus Sicht eines Beobachters), wenn dieser Beobachter nicht in Ruhe ist zu dieser beschleunigten Ladung.

Gruss, Gepakulix

[Skeltek]

Sorry Sculletto, den letzten Absatz kannst du streichen, werds nochmal ändern damits verständlicher wird.
Den Rest werd ich auch nochmal ändern, wollts in meiner Pause nochmal editieren.

Was ich meinte mit Magnetfeldlinien haben keine Richtung war: Welches bei einer Linie die positive und welches die negative Laufrichtung ist, ist lediglich per Definition festgelegt.

[seeker]

@Mclane
Damit deine Fragen nicht untergehen hier ein kurzer Antworteinschub:

Aber wie ist denn das z.B. mit einem neutralen Wasserstoff-Atom? Das ist ja nur nach außen hin neutral, aber eigentlich besteht es ja aus zwei Ladungen - einer positiven und einer negativen. Und wenn ich dieses Atom nun beschleunige, dann müssten doch sowohl Proton als auch Elektron Strahlung abgeben... Scheint aber so nicht zu sein. Die Autos nachts auf der Landstraße fangen ja auch nicht selber an zu leuchten.

Du gibst dir genaugenommen selbst schon eine Antwort, wenn du schreibst, dass das Atom nach außen hin neutral ist.
Das bedeutet, dass sich im Fernfeld (also in größerer Entfernung) beide Ladungskomponenten genau aufheben.
Wo effektiv keine Ladung mehr ist, wird auch nichts abgestrahlt. Du kannst dir das auch so vorstellen, dass zwei Wellen (eine von den Protonen und eine von den Elektronen) abgestrahlt werden, die aber genau um 180° phasenverschoben sind und sich daher gegenseitig auslöschen.

Noch ne Frage: Warum leuchten Stromkabel nicht? Wenn wie im deutschen Wechselstromnetz die Elektronen 50 mal pro Sekunde ihre Richtung ändern, dann sind das doch 50 Beschleunigungsvorgänge pro Sekunde.

Nun, das tun sie (gewissermaßen)... nur kannst du das nicht sehen...
Es ist so: Stromkabel strahlen mit einer Frequenz von 50Hz. Das ist aber Langwellen-Radiostrahlung.
Sehen kannst du nur Strahlung in sichtbaren Bereich von etwa 780-380nm (Wellenlänge) - das entspricht einer Frequenz von etwa 385 bis 789 Terahertz.

Grüße
seeker

[Skeltek]

Hey Seeker
wenn sich 2 Wellen gegenseitig annihilieren hab ich als Erklärungsversuch fallen gelassen.
Sag dir bei Gelegenheit mal warum.

[tomS]

Mit anderen Worten:
Aus meiner Sicht ist hier die Gravitation nicht wirklich wichtig. Entscheidend ist, ob der Beobachter sich relativ zum "abstrahlenden" Objekt in Ruhe ist oder nicht.
Ein im Gravitationsfeld beschleunigte Ladung strahlt nur dann ab (aus Sicht eines Beobachters), wenn dieser Beobachter nicht in Ruhe ist zu dieser beschleunigten Ladung.

Das würde bedeuten, dass ein parallel frei fallender Beobachter keine Strahlung (also kein veränderliches el.-mag. Feld) wahrnimmt.

Nun müsste man noch definieren, was denn eigentlich ein Strahlungsfeld von einem stationären Feld einer stationären Ladung in einem frei fallenden Bezugssystem unterscheidet. Anders gesagt: ein relativ zur Ladung bewegter Beobachter wird immer ein elektromagnetisches Feld (mit Magnetanteil!) beobachten; das ist schon in der SRT so und kann durch simple Lorentztransformation erklärt werden. Wie würde denn nun derselbe Beobachter den Effekt der ART davon unterscheiden? Alleine die Anwesendheit eines (zeitlich veränderlichen) Magnetfeldes alleine reicht nicht aus. Wie unterscheidet man also ein "echtes Strahlunsgfeld" von einem Feld, das alleine durch Koordinatentransformation entsteht?

Ganz einfach: man versucht, ein Bezugssystem zu finden, in dem der Magnetfeldanteil verschwindet - wenn man ein gegeben el.-mag. Feld dahin transformiert. Aber da beißt sich die Katze in den Schwanz, oder?

[Skeltek]

Erfährt das elektrische Feld selbst eine Fallbeschleunigung?

[tomS]

Das Vorhandensein oder Nichtvorhandensein einer EM-Abstrahlung durch eine Ladung ist keine Frage des Bezugssystems. Eine wellenartige Konfiguration des EM-Feldes bleibt unter einem beliebigen Wechsel des Bezugssystems eine wellenartige Konfiguration. Keine Trafo zwischen zwei Bezugssystemen macht aus einer EM-Welle ein elektrostatisches Feld oder umgekehrt.

Ja, dem stimme ich zu. Aber wie definierst du mathematisch den Unterschied?
Meine Idee wäre einfach zu sagen, dass eine wellenartige Lösung sich in keinem frei fallenden Bezugssystem auf eine rein elektrostatische Lösung reduzieren lässt.

Anbei der Hinweis auf zwei Artikel (die ich selbst noch nicht gelesen habe)
[1] F. Rohrlich, Ann. Phys. (N.Y.) 22, 169 (1963).
[2] D.G. Boulware, Ann. Phys. (N.Y.) 124, 169 (1980).

[Timm]

Ein in einem Gravitationsfeld stationärer Körper ist einem im gravitationsfeldfreien Raum hyperbolisch beschleunigten Körper äquivalent, ob er nun eine Ladung trägt oder nicht.

ich habe nichts gegenteiliges gesagt. Allerdings habe ich darauf verwiesen, dass das Äquivalenzprinzip lokal gilt, die EM-Abstrahlung einer beschleunigten Ladung hingegen kein lokales Phänomen ist, sondern das EM-Feld in einer Umgebung involviert, die so groß ist, dass das Äquivalenzprinzip nicht mehr anwendbar ist. Die lokale Gültigkeit des Äquivalenzprinzips wird hierduch in keinster Weise eingeschränkt.

Bei einem inhomogenen Gravitationsfeld gilt das Äquivalenzprinzip sebstverständlich nur lokal. Deshalb (eingedenk der Ausdehnung eines EM-Feldes) diskutieren seriöse Autoren, dazu zähle ich Ameida et al, die Thematik unter der Annahme eines homogenen Gravitationsfeldes.

Nach Almeida http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cac ... mOJrsC4WxQ A. The Horizons, Fig. 1. sieht der in der Rindler Region I mitbeschleunigte Beobachter das elektrostatische Feld der auf der hyperbolischen Weltlinie befindlichen Ladung, also keine reellen Photonen. Weitere Folgerung: Ein gleichförmig beschleunigter Beobachter sieht eine inertiale Ladung strahlen! Die Gültigkeit des Äquivalenzprinzips wird in den mir bekannten papers nirgends in Abrede gestellt. Demnach sieht der in einem homogenen Gravitationsfeld stationäre Beobachter die die Strahlung einer frei fallenden Ladung, nicht hingegen die Strahlung einer ebenfalls stationären Ladung.

Mich würde interessieren, inwieweit Du hier zustimmen kannst. Welche Fehler siehst Du gegebenfalls in der Argumentation von Ameida? Dieser war/ist(?) übrigens an der Entwicklung der DSR beteiligt.
P.S. bin in gelinder Eile, wegen Verreisen.

[Skeltek]

Die konkrete Rechnung dürfte kompliziert sein, man kann aber eine Symmetrieüberlegung machen: wenn die Ladung ruht und sich das Gravitationsfeld zeitlich nicht ändert, kann auch das resultierende elektrische Feld nur statisch sein.

Das bedeutet dann für mich, dass falls ein Retardierungseffekt auftritt, der Beobachter den Feldmittelpunkt vom parrallel fallenden Elektron immer an der gleichen Stelle "vorrauseilend" misst? Das würde ja dann auch in keiner Strahlungsemmission enden.

Trotzdem lässt sich aus der Feststellung, daß das Feld statisch ist nicht ableiten, ob ein Retardierungseffekt auftritt oder nicht?
Irre ich mich?

[tomS]

Aber aus dem statischen Feld lässt sich ableiten,dass die Ladung nicht strahlt.

[Skeltek]

Aber aus dem statischen Feld lässt sich ableiten,dass die Ladung nicht strahlt.

Dachte das brauch ich net extra hinschreiben, weils dann klar ist daß ein Beobachter, der seine relative Position zum Elektron hält keine Änderung am Feld messen kann.
Einige Fragen sind für mich aber nach wie vor ungeklärt, wie z.B. ob das Elektron dieselbe Fallbeschleunigung erfährt wie ein elektrisch neutraler Körper. Hab den ganzen Thread nun mehrmals gelesen, konnt aber dazu keine klare Antwort finden oder hab sie übersehen.
Wenn das Elektron durch Induktion eine Kraft entgegen der Fallbeschleunigung erfährt(sagen wir mal 1/3 seiner Schwerkraft), bleibt das Feld im Bezugssystem des Elektrons auch statisch, nur die Fallbeschleunigung ändert sich.

[tomS]

m.W.n. ist die Kopplung des beschleunigten Elektrons an sein eigenes Feld bisher nicht befriedigend gelöst.

[Skeltek]

Sorry, es ist manchmal nicht nachvollziehbar, was gemeint ist, wenn jemand schreibt ein "ruhendes" Elektron. Ein entgegen dem Gravitationsfeld stationär gehaltenes Elektron hatte ich als das beschleunigte aufgefasst. Aber ich denke ich verstehe was du meinst.

Daß der vordere Teil einer Rakete weniger beschleunigt ist, ist den meisten gar nicht wirklich bewusst glaub ich. Hat mich überascht das noch von einem anderen zu hören.
Gruß

[Gepakulix]

Mal eine Grundsatzfrage zum Begriff "Abstrahlen" im Satz "Ladung strahlt Energie ab wenn sie beschleunigt wird".
Wird das hier wirklich zweifelsfrei richtig angewendet?

Aus meiner Sicht hätte man stattdessen auch andere Verben benützen können, wie
- "Beschleunigte Ladung gibt Energie ab"
- "aus dem Feld von beschleunigten Ladungen kann man Energie abzapfen"

Je nachdem welche der 3 Varianten man wählt, ergibt sich (aus meiner Sicht) dann auch unterschiedliche Antworten zur Hauptfrage in diesem Thread.

Denn:
a) "beschleunigte Ladung strahlt Energie ab": Das ist unkonditionell, und geschieht auch wenn kein Bezugspartner (kein Messgerät etc) vorhanden ist

b) "Beschleunigte Ladung gibt Energie ab". Dazu benötigt man einen Gegenpartner, welcher die Energie aufnimmt. Die Initiative ist aber noch bei der beschleunigten Ladung.

c) "Aus dem Feld beschleunigter Ladungen kann man Energie abzapfen": Auch dies geht nur mit einem Gegenpartner, welcher aber die Initiative übernimmt.

Ich kann mir kein Experiment vorstellen, das die Variante a) überprüft. Denn es braucht ja immer eine Messung (welche dazu aus dem Feld Energie herausnimmt). So ähnlich wie in der Quantentheorie, wo erst die Messung das Resultat bewirkt.


Ich kann mich an eine Anekdote von meinem Physiklehrer erinnern:
Zu Beginn des 20sten Jahrhunderts wurde in Berlin eine erste Wechselstrom -Hochspannungsleitung errichtet, welche über ein Schrebergartenrevier führte.
Die Besitzer der Schrebergarten merkten rasch, dass man eine Glühbirne mit 2 kurzen Drähten verbinden konnte (floatende Dipolantenne), und somit immer gratis Licht im Häuschen hatte.
Das wurde dann aber nach kurzer Zeit verboten, weil der Hochspannungsleitung dadurch Energie entnommen wurde.
Wenn aber die beschleunigten Elektronen in der Hochspannungsleitung ohnehin immer eine unkonditionelle Abstrahlung bewirken, dann hätte es nicht verboten werden müssen: Die Energie wäre in jedem Fall verloren gegangen.
Es war eben anders: Es war im Prinzip ein Abzapfen der Energie.

Deshalb mein Zweifel: Strahlt beschleunigte Ladung wirklich unkonditionell Energie ab?

Gruss, Gepakulix