Der Fehler liegt darin, die Koordinate r als Radius zu betrachten; der Radius muss natürlich genauso über ein Wegintegral definiert werden.
Ich betrachte eine Kurve, die den Nullpunkt (r=0) mit einem Punkt auf dem Äquator mit Radialkoordinate r verbindet. Man erhält für die Länge R
} = \int_0^r dr \frac{1}{\sqrt{1-\frac{R_S}{r}}} = R_S \int_0^{r/R_S} dx \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x}}})
Dabei habe ich die Funktion f(r) für die Schwarzschildlösung eingesetzt
 = \frac{1}{1-\frac{R_S}{r}})
Das Integral kann der "Wolfram online integrator" oder eben Mathematica lösen:
http://integrals.wolfram.com/
Aber zunächst steckt da noch ein Fehler drin. Ich darf für das Integral nicht die Untergrenze 0 einsetzen, denn da ist die Metrik ja singulär. Man könnte nun die (reguläre) Innenraumlösung anstückeln, oder bereits hier eine Näherung annehmen, die man aufgrund der komplizierten Formeln sowieso nutzen wird. Man setzt nämlich an, dass die betrachtete Kurce c weit außerhalb des Schwarzschildradius verläuft. Dann kann man den kleinen Beitrag der Innenraumlösung vernachlässigen und lediglich den Außenraum ab x=1 betrachten:
Lösen des Integrals, Anwenden der o.g. Näherung (d.h. Vernachlässigung aller Terme, die konstant sind oder mit 1/r skalieren) liefert
Zuletzt berechnen wir noch
 = \frac{U(r)}{R(r)} = \frac{2\pi r}{r + \frac{R_S}{2} \ln\frac{r}{R_S}} = \frac{2\pi}{1 + \frac{\ln x}{2x} })
So - das war's!
Für kleine Radien ist die Formel sicher falsch; sie liefert für einen Koordinatentradius ca. gleich dem Dreifachen des Schwarzschilderadius ein Minimum und für den Schwarzschildradius selbst identisch
, d.h. das Ergebnis wie für den flachen Raum! Aber wie gesagt, die Formel gilt sicher nur für große Radien. Hier zeigt sich, dass die Formel asymptotisch das korrekte Verhalten zeigt, für unendlich großen Radius konvergiert die Formel gegen
.
Nun gibt es noch eine kleine Lästigkeit: man muss das Ergebnis eigentlich durch den physikalischen Radius R, nicht durch die Radialkoordinate r ausdrücken; leider lässt sich aber R(r) nicht nach r auflösen, allerdings zeigt der numerische bzw. graphische Vergleich, dass die Korrekturen beim Übergang von r zu R klein sind.
Noch ein Problem ist, dass die o.g. Formel keinerlei geometrische Allgemeingültigkeit beanspruchen kann, denn sie gilt (neben der Tatsache, dass sie nur eine Näherung darstellt) nur für spezielle Kreislinien, nämlich für solche, die den Ursprung der Schwarzschildmetrik als Zentrum haben. Eigentlich müsste man Kreise beliebiger Lage betrachten und deren Radius gegen Null schrumpfen lassen. Trotzdem sollte grundsätzlich klar geworden sein, dass die Schwarzsschildmetrik zu einer Abweichung von dem bekannten Gesetz
führt.
