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Frage zur Krümmung der Raumzeit

Einstein über die Schulter geschaut: Fragestellungen zur Speziellen und Allgemeinen Relativitätstheorie, mathematische Methoden, Bedeutung und Interpretation
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Frage zur Krümmung der Raumzeit

Beitrag von tomS » 30. Dez 2009, 10:09

Hallo zusammen,

man kann ja aus einer Lösung der Einsteingleichungen verschiedene Krümmungsinvarianten ableiten. Zum Beispiel findet man für den Kretschmann-Skalar in der Schwarzschildmetrik



D.h. man kann daraus einen Radius



berechnen. Dies wäre sozusagen der "Radius einer Kugel" im Abstand r vom Gravitationszentrum, wobei dieser Radius die Krümmung des Raumes beschreibt.

Nun kann man die Krümmung des Raumes aber auch durch die Abweichung der Winkelsumme im Dreieck von 180° bzw. alternativ durch die Abweichung des Verhältnisses von Umfang und Radius eines Kreises von beschreiben.

Kennt jemand für letzteres eine allgemeine Formel?
Gruß
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Re: Frage zur Krümmung der Raumzeit

Beitrag von tomS » 30. Dez 2009, 11:34

R[down]S[/down] steht für den Schwarzschildradius des betrachteten Objektes.

Der Riemannsche Krümmungstensor enthält aber auch "zu viel" Informationen, da er ha viele Symmetrien aufweist.

Du hast recht, skalare Größen reichen i.A. zur Beschreibung der Krümmung nicht aus (man sieht dies bereits bei der Krümmung einer Fläche, für die man in jedem Punkt eine Krümmunsgellipsoid berechnen kann).

Trotzdem sind skalare Größen interessant, da man häufig eine anschauliche geometrische Interpretation zur Verfügung hat.

In meinem Falle des Winkels wäre doch evtl. folgender Ansatz erfolgversprechend:



Dabei ist das Integral längst eines Kreises mit Radius r zu nehmen. Was meinst du?
Gruß
Tom

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Re: Frage zur Krümmung der Raumzeit

Beitrag von tomS » 30. Dez 2009, 21:53

Also zunächst hab ich da wohl einen Faktor verschlampt ...
tensor hat geschrieben:Was soll denn genau am Kreis integriert werden, die infinitesimalen Bogenstücke?
Ja, genau.

tensor hat geschrieben:Um ein Maß für die Krümmung ausgehend vom Kreisumfang zu erhalten, ist es sinnvoll den Umfang eines euklischen Kreises in Beziehung zu dem gekrümmten Kreis zu setzen.
Dann vergleiche ich aber zwei Mannigfaltigkeiten miteinander. Mein Integral kommt ohne Referenzmannigfaltigkeit aus. Mal sehen, ob ich daraus eine Invariante ableiten kann.
Gruß
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Re: Frage zur Krümmung der Raumzeit

Beitrag von tomS » 30. Dez 2009, 23:16

Funktioniert doch (Korrektur siehe unten)!

Ich gehe aus von der Schwarzschildmetrik



Daraus ergibt sich unmittelbar die -Komponente der Metrik zu

. Die genaue Form von f(r) ist uninteressant.

Nun berechne ich



Ich wähle für C eine geschlossene Kurve mit Radius r entlang des Äquators. Damit gilt



Ich benutze dabei, dass entlang der Kurve nur eine Ableitung einen Beitrag liefert, nämlich



Damit ist



... siehe nächster Beitrag
Gruß
Tom

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Re: Frage zur Krümmung der Raumzeit

Beitrag von tomS » 30. Dez 2009, 23:38

Der Fehler liegt darin, die Koordinate r als Radius zu betrachten; der Radius muss natürlich genauso über ein Wegintegral definiert werden.

Ich betrachte eine Kurve, die den Nullpunkt (r=0) mit einem Punkt auf dem Äquator mit Radialkoordinate r verbindet. Man erhält für die Länge R



Dabei habe ich die Funktion f(r) für die Schwarzschildlösung eingesetzt



Das Integral kann der "Wolfram online integrator" oder eben Mathematica lösen: http://integrals.wolfram.com/

Aber zunächst steckt da noch ein Fehler drin. Ich darf für das Integral nicht die Untergrenze 0 einsetzen, denn da ist die Metrik ja singulär. Man könnte nun die (reguläre) Innenraumlösung anstückeln, oder bereits hier eine Näherung annehmen, die man aufgrund der komplizierten Formeln sowieso nutzen wird. Man setzt nämlich an, dass die betrachtete Kurce c weit außerhalb des Schwarzschildradius verläuft. Dann kann man den kleinen Beitrag der Innenraumlösung vernachlässigen und lediglich den Außenraum ab x=1 betrachten:



Lösen des Integrals, Anwenden der o.g. Näherung (d.h. Vernachlässigung aller Terme, die konstant sind oder mit 1/r skalieren) liefert



Zuletzt berechnen wir noch



So - das war's!

Für kleine Radien ist die Formel sicher falsch; sie liefert für einen Koordinatentradius ca. gleich dem Dreifachen des Schwarzschilderadius ein Minimum und für den Schwarzschildradius selbst identisch , d.h. das Ergebnis wie für den flachen Raum! Aber wie gesagt, die Formel gilt sicher nur für große Radien. Hier zeigt sich, dass die Formel asymptotisch das korrekte Verhalten zeigt, für unendlich großen Radius konvergiert die Formel gegen .

Nun gibt es noch eine kleine Lästigkeit: man muss das Ergebnis eigentlich durch den physikalischen Radius R, nicht durch die Radialkoordinate r ausdrücken; leider lässt sich aber R(r) nicht nach r auflösen, allerdings zeigt der numerische bzw. graphische Vergleich, dass die Korrekturen beim Übergang von r zu R klein sind.

Noch ein Problem ist, dass die o.g. Formel keinerlei geometrische Allgemeingültigkeit beanspruchen kann, denn sie gilt (neben der Tatsache, dass sie nur eine Näherung darstellt) nur für spezielle Kreislinien, nämlich für solche, die den Ursprung der Schwarzschildmetrik als Zentrum haben. Eigentlich müsste man Kreise beliebiger Lage betrachten und deren Radius gegen Null schrumpfen lassen. Trotzdem sollte grundsätzlich klar geworden sein, dass die Schwarzsschildmetrik zu einer Abweichung von dem bekannten Gesetz führt.
Gruß
Tom

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Re: Frage zur Krümmung der Raumzeit

Beitrag von tomS » 31. Dez 2009, 01:21

Hallo Tensor, ich hab meinen vorigen Beitrag korrigiert und ergänzt
Gruß
Tom

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Re: Frage zur Krümmung der Raumzeit

Beitrag von tomS » 2. Jan 2010, 00:30

Man kann die selbe Rechnung übrigens auch für FRW-Universen durchführen. Dabei unterscheidet man wie üblich die Fälle k>0 (positive Krümmung), =0 (flach), <0 (negative Krümmung); der Fall k=0 ergibt sich auch durch Grenzwertbetrachtung aus den beiden anderen Fällen

Dabei sind dann die Winkel gleich



bzw.



Wie üblich kann man k durch Skalierung in r bzw. R absorbieren und behält lediglich das Vorzeichen +1, 0, -1. D.h. letztlich gilt



bzw.



Nun kann man für große Skalenfaktoren a(t) bzw. kleine R jeweils eine Taylorentwicklung durchführen. Die erste Ordnung entspricht dem flachen Raum; in dritter Ordnung ergibt sich die jeweilige Abweichung zu Winkeln größer bzw. kleiner als 360° für negative bzw. positive Krümmung.

Im Falle a(t) = 0, d.h. für den Urknall selbst, sind die Ausdrücke nur definiert, wenn man gleichzeitig R gegen Null gehen lässt (vernünftig). Im Falle a(t) > 0 und R gegen Null, also unendlich kleine Kreise, findet man mit der o.g. Taylorentwicklung wieder das Ergebnis des flachen Raumes, d.h. die Abweichungen von 360° existieren nicht für infinitesimale Kreise.

D.h. dass man leider keine neuen Krümmunsginvarianten ableiten kann, denn eine Invariante dürfte ja nicht von der Größe der Kreise abhängen. Die Krümmunsginvarianten sind sozusagen "verborgen"; sie stecken in der "Form" der Funktionen. Man erhält ja für die drei Fälle k>0, =0 und <0, d.h. nach Reskalierung zu +1, 0, -1, drei unterschiedliche funktionale Abhängigkeiten

k=+1: sin
k=0: 1
k=-1: sinh


--------------------------------------------------------

Ich gebe noch die Zwischenergebnisse der Integrale (vor der Resaklierung für k=+1, 0, -1) an:







Aus diesen gewinnt man r explizit durch Auflösen.
Gruß
Tom

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