Einstein-Cartan-Theorie - Verletzung der Energieerhaltung

[tomS]

Hallo,

zur Einstein-Cartan-Theorie der Gravitation:

Auf die ECT bin ich gestoßen, als mich vor Jahren mit der Definition von Krümmung und Torsion auseinandergesetzt habe. Da der Gültigkeitsbereich der ART eingeschränkt ist, hat mich natürlich interessiert, was für Erweiterungen möglich sind. Eine mögliche Erweiterung ist eben, Torsion ins Spiel zu bringen, die in der ART nicht auftaucht, weil die Gravitation, wenn man von der kosmologischen Konstante absieht, allein durch die Metrik bestimmt wird.

Bemerkenswert ist, dass wenn Torsion ins Spiel kommt, die kürzesten Verbindungen in einer Mannigfaltigkeit nicht mehr die geradesten sind wie in der ART. Egal wie eine Riemannsche oder Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit gekrümmt ist, die kürzesten Verbindugnen sind auch die geradesten. In der ECT sind bei nicht verschwindender Torsion die geradesten Verbindungen nicht die kürzesten.

Tensor bietet auch zwei Links dazu an:

http://www.joergresag.privat.t-online.d ... hap517.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/Einstein%E ... tan_theory

Der Wikipedia-Artikel ist sehr gut; die wesentlichen Gleichungen lauten

G = P
S = s

div P = einige kleine Terme aus Krümmung und Torsion
div s = – antisymmetrischer Teil von P

G ist der (erweiterte) Einstein-Tensor der Riemannschen-Cartanschen Mannigfaltigkeit
S ist der modifizierte Torsionstensor (entspricht dies der Contorsion?)

P ist der Energie-Impuls der Materiefelder
s ist der Spin-Tensor der Materiefelder

div entspricht der kovarianten Ableitung (Divergenz) des jeweiligen Tensorfeldes definiert über die affine Zusammenhangsform (einer Verallgemeinerung des Levi-Cevita-Zusammenhangs für nicht torsionsfreie Mannigfaltigkeiten)

D.h. dass weiterhin die Materiefelder die Geometrie der Mannigfaltigkeit definieren, dass sie also die Quelle für Krümmung und (neu !) Torsion sind. Strukturell sind diese ersten beiden Gleichungen also denen der AQRT sehr ähnlich. Die geometrische Struktur der Mannigfaltigkeit ist dabei dahingehend erweitert, dass P und somit auch der Ricci-Tensor R nicht mehr symmetrisch sind.

Der wesentliche Punkt ist jedoch, dass weder für Energie und Impuls noch für den Spin der Materiefelder Erhaltungssätze gelten! D.h. die dritte und vierte Gleichung

div P = einige kleine Terme aus Krümmung und Torsion
div s = – antisymmetrischer Teil von P

modifizieren die entsprechenden Gleichungen der ART

div P = 0
s = S = 0

Was bedeuten denn nun diese nicht mehr erhaltenen Größen s und P? Wie ist es zu verstehen, dass Energie, Impuls und Spin in die Krümmung bzw. Torsion der Raumzeitstruktur übergehen können und somit nicht mehr erhalten ist? Gibt es Grenzfälle bzw. Symmetrien, so dass unter bestimmten Voraussetzungen doch wieder globale Erhaltungssätze gelten? Zeigen beiden Theorien nur mikroskopisch, d.h. also in Bereichen der Quantengravitation verschiedenen Verhalten, oder gibt es Experimente, die es erlauben, generell zwischen ECT und ART zu unterscheiden?

[tomS]

Bzgl. der Kleinheit der Effekte stimme ich dir zu; trotzdem ist es spannend, dass hier die Energie-Impuls-Erhaltung nicht mehr gilt - weder makroskopisch noch mikroskopisch für die Dichten.

[tomS]

Die ECT ist die natürliche Basis für die kanonische Quantisierung der Gravitation, z.B. die LQG:
- man betrachtet nicht die metrische Formulierung, sondern den Vierbeinformalismus
- die Betrachtung von Spin-1/2 Teilchen legt die Einführung reiner Spindichte nahe
- die ART erscheint als Spezialfall der ECT, d.h. letztere sollte ggf. über die Dynamik auf die ART führen

In der QM mit einem wohldefinierten Energieoperator H gilt immer:

dH/dt = 0

Damit gilt für physikalische Zuständ mit fester Energie auch

H|phys) = E|phys)
dE/dt = 0

Was ich damit sagen will ist, dass dieses "Borgen" der Energie aus dem Vakuum nicht so wörtlich zu nehmen ist; die Energieerhaltung gilt weiterhin exakt!

In der QG lässt sich aus H jedoch nicht der uns vertraute Energiebegriff ableiten. Tatsächlich "verschwindet" der klassische Zeitbegriff aus der QG (bzw. bereits in der ART). Für den Operator H gilt

h(x)|phys) = 0

Um H zu konstruieren müsste man h(x) über eine Drei-Mannigfaltigkeit integrieren. Das scheitert jedoch an der an anderer Stelle diskutierten Problematik, dass sich kein invariantes Integral über T°° definieren lässt. Damit gltl bereits in der ART keine globale Energieerhaltung mehr.

In der ECT Theorie "verschwindet" jedoch sogar die lokale Energieerhaltung.

[tomS]

Dazu bräuchten wir mal einen Experten. Vielleicht tut sich da was auf ...

Ich habe ja an andere Stelle mal zu dem THema "Definition der Energie in der ART" geschrieben. Mir erscheint das ziemlich hinfällig, weil ich ja die ECT als Verallgemeinerung der ART betrachten kann und damit diese Frage im Kontext der ECT lösen muss.