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Muß Raumkrümmung sein?

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Re: Muß Raumkrümmung sein?

Beitrag von kostja » 18. Jan 2010, 08:34

Nun, nach dem Verkleben der Randkomponenten führst Du zur Klassifikation einen haufen Operationen durch und "verformst" die Mfkt. Danach schneidest Du irgendwo wieder Löcher rein. Du musst garantieren, dass dieser Vorgang (insbesondere das Rausschneiden stelle ich mir kritisch vor) stetig und stetig invertierbar ist.

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Re: Muß Raumkrümmung sein?

Beitrag von tomS » 18. Jan 2010, 08:44

Nee, wieso?

Ich mache folgendes:
1) Zählen der Ränder => merken
2) Reinkleben der Kreisscheiben
3) Verformen
4) Klassifizieren => merken
5) rückwärts Verformen
6) Rausschneiden der Kreisscheiben

Ich halte das für unkritisch.
Gruß
Tom

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Re: Muß Raumkrümmung sein?

Beitrag von kostja » 18. Jan 2010, 09:35

Klassifizieren bedeutet in diesem Fall ja, wenn Du zwei Mfkt mit den gleichen "Eigenschaften" hast, dann kannst Du einen Homöomorphismus dazwischen angeben. Das ist eine bijektive Abbildung die in beide Richtungen stetig ist. Der ursprüngliche Klassifikationssatz besagt gerade, dass die entsprechenden Mfkt mit gleicher Orientierung und Euler-Charakteristik zur entsprechenden Summe aus Tori bzw. Porj. Ebenen homöomorph sind. Wenn Du in diesem Fall nicht garantieren kannst, dass alle Umformungsschritte homöomorphismen sind, dann hast Du leider keine Klassifizierung erreicht.

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Re: Muß Raumkrümmung sein?

Beitrag von tomS » 18. Jan 2010, 11:00

Aber meine Schritte zeigen doch folgendes:

Gegeben sei eine Mannigfaltigkeit (mit Rändern)
Diese erhalte ich aus einer anderen Mannigfaltigkeit (ohne Rand, d.h. R=0)
Für letztere habe ich einen Homöomorphismus zu einer "Referenzmannigfaltigkeit"
D.h. ich kann folgenden Homöomorphismus anwenden



steht für die eingesetzen Kreisscheiben.

Damit ist aber



D.h. meine urspüngliche Mannigfaltigkeit ist homöomorph zu einer klassifizierbaren Referenzmannigfaltigkeit, aus der ich die genannten Kreisscheiben herausschneide. Was fehlt mir noch?
Gruß
Tom

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Re: Muß Raumkrümmung sein?

Beitrag von kostja » 18. Jan 2010, 12:43

tomS hat geschrieben: Was fehlt mir noch?
Nichts, wenn Du diesen Teil beweisen kannst. :-)
tomS hat geschrieben:

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Re: Muß Raumkrümmung sein?

Beitrag von tomS » 18. Jan 2010, 13:04

ich steh' auf dem Schlauch; ich bin der Meinung, das ist alles "trivial" und muss nicht bewiesen werden. Ich werde mich nochmal schlau machen ...
Gruß
Tom

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