Zur Natur der Singularitäten in der ART
Verfasst: 5. Nov 2009, 22:29
Hallo zusammen,
zunächst einige empfehlenswerte Links zu den Singularitäten:
http://www.wissenschaft-online.de/astro ... .html#sing
http://www.wissenschaft-online.de/astro ... .html#koor
Im folgenden außerdem eine knappe Darstellung einiger wesentlicher Punkte der ART, insbs. zu den Singularitäten:
Es handelt sich zunächst um eine Theorie (in diesem Fall die Allgemeiner Relativitättstheorie). Man nennt dieses mathematisch-physikalische Gebäude Theorie, obwohl es inzwischen sehr viele extrem gute experimentelle Bestätigungen gibt. Dennoch kann man sicher nie alle beliebigen Experimente an allen Orten im Universum durchführen - und man kennt evtl. noch gar nicht alle experimentellen Möglichkeiten im Rahmen der ART. Daher besteht immer die Möglichkeite, dass sie sich zwar nicht gerade als falsch aber eben nur als begrenzt gültig erweist. Und daher bleibt man beim Begriff Theorie.
Im Falle der ART sind die Hinweise auf ihre begrenzte Gültigkeit weniger experimenteller als vielmehr theoretischer = mathematischer Natur. Die Theorie sagt nämlich die Existenz von Singularitäten voraus, und damit einen Bereich, in dem sie selbst nicht mehr gültig ist. Ein schwarzes Loch sowie der Urknall dürfen nur mit Vorsicht wörtlich = physikalisch interpretiert werden. Die Physiker sind sich heute ziemlich einig, dass die ART eigentlich nicht ein schwarzes Loch im Sinne einer Singularität, sondern statt dessen ihr eigenes Scheitern vorhersagt. Man erwartet, dass eine umfassendere Theorie die ART ersetzt und die Singularitäten eliminiert. In weiten Bereichen werden die Vorhersagen übereinstimmen, in manchen (wie z.B. nahe dem Zentrum eines Schwarzen Lochs oder kurz nach dem Urknall) werden die Vorhersagen abweichen bzw. der Gültigkeitsbereich der Theorie erweitert werden.
Die ART fußt auf einigen physikalischen Prinzipien. Diese werden in mathematische Gleichungen "verpackt", d.h.die Theorie besteht zum einen aus einem Satz von Gleichungen (streng genommen sogar nur einer) sowie einigen Regeln, wie diese Gleichungen anzuwenden sowie zu interpretieren sind; letzteres unterscheidet die Physik von der Mathematik. Die berühmte Gleichung E=mc² ist ohne weitere Worte (die ihren physikalischen Gehalt erklären) sinnlos und inhaltsleer.
Diese Regeln erlauben es nun, aus der zentralen Gleichung neue Gleichungen abzuleiten und diese wiederum physikalisch zu interpretieren. Diese Interpretation führt im Sinne der o.g. Regeln zu der sogenannten Singularität.
Ohne mathematisch zu sehr ins Detail gehen zu wollen hier eine kurze Skizze: Man geht aus von einem Objekt namens Wirkung S[g,X]. g bezeichnet dabei die Raumzeit, d.h. ihre Geometrie, Krümmung sowie ihre vollständige zeitlichiche Entwicklung. X steht für die gesamte Materie, ihre Wechselwirkung, Verklumpung, Energie, Dichte, Druck usw. Alle Aussagen der ART lassen sich aus der Forderung ableiten, dass die Zahl S[g,X] einen kleinstmöglichen Wert annehmen muss. Das ist vergleichbar mit einer Gebirgslandschaft, in der man möglichst tiefe Täler sucht. Alledings wird ein Tal nicht durch zwei Koordinaten (Längen- und Breitengrad) sowie Höhe über dem Meeresspiegel beschrieben, sondern durch unendlich viele Koordinaten, symbolisiert durch g und X sowie der "Höhe" S[g,X]. Für die konkrete Gleichung, die ein Tal beschreibt, erhält man ebenfalls symbolisch G[g] = T[X]. G bezeichnet dabei ein Objekt, das die Krümmung der Raumzeit enthält, T ein Objekt, das Energie, Impuls und Dichte der Materie beschreibt. Diese Gleichung lässt nun sehr viele Lösungen (Täler) zu. Ein einfaches Beispiel ist ein völlig leeres, expandierendes Universum. Ein anderes Beispiel ist ein Universum, das vollständig von Staub oder Gas (also Materie nicht so dicht wie z.B. Wasser) erfüllt ist. Nun kann man generell eine Materieansammlung X sowie die daraus resultierende Gravitationskraft bestimmen. Man stellt dabei fest, dass die Gravitationskraft einer kugelförmigen Materieverteilung ausschließlich von der Gesamtmasse abhängt. Wäre unsere Sonne bei identischer Masse doppelt so groß, würde sich die Erde trotzdem unverändert mit der selben Geschwindigkewit auf der selben Umlaufbahn befinden. Nun kann man untersuchen, was passiert, wenn man eine Materieansammlung gegebener Masse immer weiter komprimiert, so dass die Dichte immer weiter ansteigt. Physikalisch würde dies z.B. bedeuten, dass der o.g. Staub sich unter der eigenen Anziehungskraft zusammenzieht, also eine immer dichtere Wolke bildet. Nun steht aber der Anziehungskraft auch immer eine Abstoßung gegenüber. Z.B. stoßen sich elektrisch geladenen Teilchen gegenseitug ab und verhindern, dass sich Atome beliebig dicht zusammenballen. Überschreitet die Dichte der Materie allerdings eine bestimmte kritische Dichte, so gibt es keine bekannte Abstoßungskraft mehr, die den vollständigen Kollaps vermeiden könnte (man geht allerdings davon aus, dass eine die ART ablösende Theorie der Quantengravitation eine neue Abstoßungskraft enthält). D.h. nun aber, dass die Theorie für eine derartige Materiedichte vorhersagt, dass die Materie zu einer Singularität kollabiert, wobei in diesem einen singulären Punkt die gesamte Materie mit unendlicher Dichte komprimiert wäre.
Diese Beschreibung lässt sich Schritt für Schritt anhand von Gleichungen nachvollziehen, die die fundamentalen Objekte g, X, G[g] und T[X] enthalten. Zuletzt erhält man eine Gleichung, in der alle mathematischen Objekte wohldefiniert und sinnvoll sind, solange man sie nicht an exakt dem einen singulären Punkt betrachtet. Beschreibt man die Dichte der Erde, so stellt man fest, dass die Dichte abhängig ist von dem Punkt, an dem man sie gerade misst (die Dichte in der Lufthülle ist wesentlich geringer als die im Wasser und diese ist wiederum eringer als die von Gestein oder gar Erz). In der ART kann man diese Variation der Dichte mathematisch beschreiben. Diese Beschreibung führt letztlich dazu, dass die mathematischen Objekte, die für die Dichte, den Druck, die Krümmung (= Stärke der Gravitationskraft) stehen, vernünftige Werte annehmen, außer an einem Punkt, der Singularität; dort werden sie unendlich!
Abschließend sei noch angemerkt, dass es zwei verschiedene Arten von Singularitäten gibt, nämlich reine Koordinatensingularitäten (z.B. am Ereignishorizont eines Schwarzen Lochs) sowie die oben diskutierten physikalischen Singularitäten (z.B. im Zentrum eines schwarzen Lochs oder beim Urknall). Die Koordinatensingularitäten sind lediglich ein Zeichen für eine unglückliche Wahl eines Koordinatensystems. Betrachtet man z.B. statt der Entfernung S zweier Orte A und B die Zeit T, die man von einem zum anderen mit einer bestimmten Geschwindigkeit benötigt, so kann man eigentlich ganz gut zwischen Entfernung S und Zeit T umrechnen. Man tut dies ja auch, wenn man von Lichtjahr spricht, hier ist ebenfalls eine Länge gemeint. Fährt man nun aber von A nach B und steht dabei im Stau, so steht in der Formel zur Berechnung der Zeit der Kehrwert der Geschwindigkeit 1/v(s), wobei s die bis zum Stau zurückgelegte Strecke bezeichnet; dummerweise ist im Stau aber v(s) = 0 und 1/0 ist nicht definiert; die Berechnung hat hier also eine Koordinatensingularität, d.h. sie ist zur Beschreibung dieser Situation ungeeignet. Man kann aber weiterhin die Abstände von A und B sowie die Stelle s des Staus angeben, es liegt also nicht wirklich eine Singularität vor, sondern nur eine ungünstige Beschreibung. Ein anderes Beispiel übernehme ich aus der Wikipedia: Von einer Koordinatensingularität spricht man, wenn ein Koordinatensystem ... für einen bestimmten Punkt keine eindeutigen Koordinaten angeben kann. So sind ... an Nord- und Südpol der Erde eindeutige Angaben zur geografischen Länge weder möglich noch erforderlich, da sich alle Längenkreise in diesem Punkt schneiden. Anders als eine echte Singularität ist eine Koordinatensingularität für einen Beobachter [am Nordpol] ohne Auffälligkeit, da sie nur aufgrund einer „Unzulänglichkeit“ des Koordinatensystems erscheint; sie verschwindet bei Anwendung eines geeigneteren Koordinatensystems.
Ich hoffe, das erleichtert den Einsteig.
zunächst einige empfehlenswerte Links zu den Singularitäten:
http://www.wissenschaft-online.de/astro ... .html#sing
http://www.wissenschaft-online.de/astro ... .html#koor
Im folgenden außerdem eine knappe Darstellung einiger wesentlicher Punkte der ART, insbs. zu den Singularitäten:
Es handelt sich zunächst um eine Theorie (in diesem Fall die Allgemeiner Relativitättstheorie). Man nennt dieses mathematisch-physikalische Gebäude Theorie, obwohl es inzwischen sehr viele extrem gute experimentelle Bestätigungen gibt. Dennoch kann man sicher nie alle beliebigen Experimente an allen Orten im Universum durchführen - und man kennt evtl. noch gar nicht alle experimentellen Möglichkeiten im Rahmen der ART. Daher besteht immer die Möglichkeite, dass sie sich zwar nicht gerade als falsch aber eben nur als begrenzt gültig erweist. Und daher bleibt man beim Begriff Theorie.
Im Falle der ART sind die Hinweise auf ihre begrenzte Gültigkeit weniger experimenteller als vielmehr theoretischer = mathematischer Natur. Die Theorie sagt nämlich die Existenz von Singularitäten voraus, und damit einen Bereich, in dem sie selbst nicht mehr gültig ist. Ein schwarzes Loch sowie der Urknall dürfen nur mit Vorsicht wörtlich = physikalisch interpretiert werden. Die Physiker sind sich heute ziemlich einig, dass die ART eigentlich nicht ein schwarzes Loch im Sinne einer Singularität, sondern statt dessen ihr eigenes Scheitern vorhersagt. Man erwartet, dass eine umfassendere Theorie die ART ersetzt und die Singularitäten eliminiert. In weiten Bereichen werden die Vorhersagen übereinstimmen, in manchen (wie z.B. nahe dem Zentrum eines Schwarzen Lochs oder kurz nach dem Urknall) werden die Vorhersagen abweichen bzw. der Gültigkeitsbereich der Theorie erweitert werden.
Die ART fußt auf einigen physikalischen Prinzipien. Diese werden in mathematische Gleichungen "verpackt", d.h.die Theorie besteht zum einen aus einem Satz von Gleichungen (streng genommen sogar nur einer) sowie einigen Regeln, wie diese Gleichungen anzuwenden sowie zu interpretieren sind; letzteres unterscheidet die Physik von der Mathematik. Die berühmte Gleichung E=mc² ist ohne weitere Worte (die ihren physikalischen Gehalt erklären) sinnlos und inhaltsleer.
Diese Regeln erlauben es nun, aus der zentralen Gleichung neue Gleichungen abzuleiten und diese wiederum physikalisch zu interpretieren. Diese Interpretation führt im Sinne der o.g. Regeln zu der sogenannten Singularität.
Ohne mathematisch zu sehr ins Detail gehen zu wollen hier eine kurze Skizze: Man geht aus von einem Objekt namens Wirkung S[g,X]. g bezeichnet dabei die Raumzeit, d.h. ihre Geometrie, Krümmung sowie ihre vollständige zeitlichiche Entwicklung. X steht für die gesamte Materie, ihre Wechselwirkung, Verklumpung, Energie, Dichte, Druck usw. Alle Aussagen der ART lassen sich aus der Forderung ableiten, dass die Zahl S[g,X] einen kleinstmöglichen Wert annehmen muss. Das ist vergleichbar mit einer Gebirgslandschaft, in der man möglichst tiefe Täler sucht. Alledings wird ein Tal nicht durch zwei Koordinaten (Längen- und Breitengrad) sowie Höhe über dem Meeresspiegel beschrieben, sondern durch unendlich viele Koordinaten, symbolisiert durch g und X sowie der "Höhe" S[g,X]. Für die konkrete Gleichung, die ein Tal beschreibt, erhält man ebenfalls symbolisch G[g] = T[X]. G bezeichnet dabei ein Objekt, das die Krümmung der Raumzeit enthält, T ein Objekt, das Energie, Impuls und Dichte der Materie beschreibt. Diese Gleichung lässt nun sehr viele Lösungen (Täler) zu. Ein einfaches Beispiel ist ein völlig leeres, expandierendes Universum. Ein anderes Beispiel ist ein Universum, das vollständig von Staub oder Gas (also Materie nicht so dicht wie z.B. Wasser) erfüllt ist. Nun kann man generell eine Materieansammlung X sowie die daraus resultierende Gravitationskraft bestimmen. Man stellt dabei fest, dass die Gravitationskraft einer kugelförmigen Materieverteilung ausschließlich von der Gesamtmasse abhängt. Wäre unsere Sonne bei identischer Masse doppelt so groß, würde sich die Erde trotzdem unverändert mit der selben Geschwindigkewit auf der selben Umlaufbahn befinden. Nun kann man untersuchen, was passiert, wenn man eine Materieansammlung gegebener Masse immer weiter komprimiert, so dass die Dichte immer weiter ansteigt. Physikalisch würde dies z.B. bedeuten, dass der o.g. Staub sich unter der eigenen Anziehungskraft zusammenzieht, also eine immer dichtere Wolke bildet. Nun steht aber der Anziehungskraft auch immer eine Abstoßung gegenüber. Z.B. stoßen sich elektrisch geladenen Teilchen gegenseitug ab und verhindern, dass sich Atome beliebig dicht zusammenballen. Überschreitet die Dichte der Materie allerdings eine bestimmte kritische Dichte, so gibt es keine bekannte Abstoßungskraft mehr, die den vollständigen Kollaps vermeiden könnte (man geht allerdings davon aus, dass eine die ART ablösende Theorie der Quantengravitation eine neue Abstoßungskraft enthält). D.h. nun aber, dass die Theorie für eine derartige Materiedichte vorhersagt, dass die Materie zu einer Singularität kollabiert, wobei in diesem einen singulären Punkt die gesamte Materie mit unendlicher Dichte komprimiert wäre.
Diese Beschreibung lässt sich Schritt für Schritt anhand von Gleichungen nachvollziehen, die die fundamentalen Objekte g, X, G[g] und T[X] enthalten. Zuletzt erhält man eine Gleichung, in der alle mathematischen Objekte wohldefiniert und sinnvoll sind, solange man sie nicht an exakt dem einen singulären Punkt betrachtet. Beschreibt man die Dichte der Erde, so stellt man fest, dass die Dichte abhängig ist von dem Punkt, an dem man sie gerade misst (die Dichte in der Lufthülle ist wesentlich geringer als die im Wasser und diese ist wiederum eringer als die von Gestein oder gar Erz). In der ART kann man diese Variation der Dichte mathematisch beschreiben. Diese Beschreibung führt letztlich dazu, dass die mathematischen Objekte, die für die Dichte, den Druck, die Krümmung (= Stärke der Gravitationskraft) stehen, vernünftige Werte annehmen, außer an einem Punkt, der Singularität; dort werden sie unendlich!
Abschließend sei noch angemerkt, dass es zwei verschiedene Arten von Singularitäten gibt, nämlich reine Koordinatensingularitäten (z.B. am Ereignishorizont eines Schwarzen Lochs) sowie die oben diskutierten physikalischen Singularitäten (z.B. im Zentrum eines schwarzen Lochs oder beim Urknall). Die Koordinatensingularitäten sind lediglich ein Zeichen für eine unglückliche Wahl eines Koordinatensystems. Betrachtet man z.B. statt der Entfernung S zweier Orte A und B die Zeit T, die man von einem zum anderen mit einer bestimmten Geschwindigkeit benötigt, so kann man eigentlich ganz gut zwischen Entfernung S und Zeit T umrechnen. Man tut dies ja auch, wenn man von Lichtjahr spricht, hier ist ebenfalls eine Länge gemeint. Fährt man nun aber von A nach B und steht dabei im Stau, so steht in der Formel zur Berechnung der Zeit der Kehrwert der Geschwindigkeit 1/v(s), wobei s die bis zum Stau zurückgelegte Strecke bezeichnet; dummerweise ist im Stau aber v(s) = 0 und 1/0 ist nicht definiert; die Berechnung hat hier also eine Koordinatensingularität, d.h. sie ist zur Beschreibung dieser Situation ungeeignet. Man kann aber weiterhin die Abstände von A und B sowie die Stelle s des Staus angeben, es liegt also nicht wirklich eine Singularität vor, sondern nur eine ungünstige Beschreibung. Ein anderes Beispiel übernehme ich aus der Wikipedia: Von einer Koordinatensingularität spricht man, wenn ein Koordinatensystem ... für einen bestimmten Punkt keine eindeutigen Koordinaten angeben kann. So sind ... an Nord- und Südpol der Erde eindeutige Angaben zur geografischen Länge weder möglich noch erforderlich, da sich alle Längenkreise in diesem Punkt schneiden. Anders als eine echte Singularität ist eine Koordinatensingularität für einen Beobachter [am Nordpol] ohne Auffälligkeit, da sie nur aufgrund einer „Unzulänglichkeit“ des Koordinatensystems erscheint; sie verschwindet bei Anwendung eines geeigneteren Koordinatensystems.
Ich hoffe, das erleichtert den Einsteig.