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14. Elektro-schwache WW I

Übersichtsartikel zur Elementarteilchenphysik und zur Quantenfeldtheorie
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tomS
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14. Elektro-schwache WW I

Beitrag von tomS » 23. Jul 2009, 23:54

[anker]14[/anker]14. Elektro-schwache WW I

In diesem ersten Kapitel zur el.-schw. WW sollen die wesentlichen theoretischen Konzepte und strukturelle Grundlagen erläutert werden.

Die Mathematik der QCD ist zwar kompliziert, aber im Grunde sehr elegant: Ausgehend von wenigen Zeilen, der Lagrangedichte (eine Zeile!) sowie den daraus abgeleiteten Gleichungen zur Beschreibung der Quark- und Gluondynamik sowie einem (einzigen!) freien Parameter, der Kopplungskonstante g bzw. Λ lässt sich alles weitere, insbs. alle oben beschriebenen Ableitungen streng aus dieser Theorie herleiten.

Wenn wir uns nun von der QCD zur elektroschwachen Wechselwirkung hinwenden, dann müssen wir uns auf einiges gefasst machen. Alleine für die Lagrangedichte benötigt man bei kompakter Notation ca. eine DIN A4 Seite. Wer’s nicht glaubt, der ist herzlich eingeladen, mal in der englischsprachigen Wikipedia unter „Electroweak interaction“ nachzulesen.

Was zunächst wie ein Nachteil aussieht, wird euch wohl eher zum Vorteil gereichen, da ich (aus Faulheitsgründen) im Folgenden praktisch vollständig auf Formeln verzichten werde :-)

In der elektroschwachen Wechselwirkung ist die Theorie leider wenig elegant. Zwar stoßen wir hier wieder auf dieselben Grundprinzipien (Quantenfeldtheorie, Eichsymmetrie), allerdings benötigen wir noch wesentlich mehr Zutaten bzw. Annahmen:
- die Fermionen haben je nach Chiralität unterschiedliche Eigenschaften
- wir müssen das Higgs-Feld einführen
- die Gruppenstruktur ist komplizierter: U(1) * SU(2)
- bei der Brechung der U(1)*SU(2) Symmetrie wird diese zu einer neuen U(1)’ * SU(2)’ gemischt
- es treten weiterhin zwei Kopplungskonstanten auf, eine für die U(1), eine für die SU(2)
- die Vektorbosonen bekommen teilweise eine Masse
- die Quarkzustände mischen, z.B. erhält ein d-Quark eine kleine s-Quark-Beimischung usw.
- die CP- Symmetrie ist verletzt
- einige prinzipiell mögliche Prozesse wie die neutralen Ströme werden nicht beobachtet
- obwohl es sich um eine Theorie der Flavors handelt, wird deren Zahl f=6 (entspr. der drei Generationen) nicht erklären

Insgs.hat man den Eindruck, dass ausgehend von einer eleganten Theorie alle möglichen zusätzlichen Ideen hergenommen wurden, um etwas Funktionierendes hinzubasteln. Erstaunlicherweise ist diese so wenig elegante Theorie mit ihren ca. 20 (!) freien Parametern trotzdem extrem erfolgreich was die Reichhaltigkeit und Präzision ihrer Vorhersagen betrifft.

[anker]14-1[/anker]14.1 Die Entdeckung der schwachen WW

Die schwache WW wurde ursprünglich in der Kernphysik entdeckt; dort ist sie für den radioaktiven β-Zerfall (von Protonen über ein Positron) bzw. Neutronen (über ein Elektron) verantwortlich. Aufgrund der beobachteten Verletzung des Energieerhaltungssatzes forderte Pauli, dass an diesen Prozessen ein weiteres, extrem leichtes und nur sehr schwach wechselwirkendes Teilchen, das Neutrino, beteiligt sein müsse, das (noch unbeobachtet) die fehlende Energie wegträgt. Tatsächlich gelang der Nachweis der von Pauli vorhergesagten Neutrinos.

Zunächst nahm man an, dass vier Fermionen

Neutron -› Proton + Elektron + Elektron-Antineutrino

im β-Zerfall direkt miteinander wechselwirken (Fermi-Modell). Bereits in diesem Modell zeigen sich einige wesentliche Eigenschaften der schwachen WW, so z.B. die Schwäche der WW verglichen mit anderen WWs sowie die Mischung von u und s-Quarks (die benötigt wird, um einige Mesonzerfälle zu erklären). Allerdings hat das Modell einige Probleme: die Wirkungsquerschnitte für Streuprozesse wachsen für große Energie Q wie Q², was zur Verletzung der Unitarität führt (Wahrscheinlichkeiten größer als Eins!); eine systematische Störungstheorie in Feynmandiagrammen ist nicht möglich, da die Theorie nicht renormierbar ist, d.h. Unendlichkeiten enthält, die nicht konsistent beseitigt werden können.

[anker]14-2[/anker]14.2 Die Einführung der Vektormesonen

Statt einer direkten WW zwischen den vier am β-Zerfall beteiligten Teilchen (jetzt ausgedrückt durch elementare Quarks statt der Nukleonen) wird ein massives, intermediäres W-Boson eingeführt:

down-Quark -› up-Quark + W-Minus
W-Minus -› Elektron + Elektron-Antineutrino

Entsprechend gibt es einen up-Quark Zerfall, der über ein intermediäres W-Plus erfolgt.

Für hohe Energien erhält man das korrekte Verhalten 1/Q². Für niedrige Energien reproduzieren die W-Boson die Eigenschaften der Vier-Fermion-WW, d.h. ihre Anwesendheit verrät sich lediglich durch den Wert und Kleinheit der Kopplungskonstanten im o.g. Fermi-Modell.

Damit wird die Verletzung der Unitarität für die transversalen Polarisationen vermieden, nicht jedoch für die longitudinale Polarisation, was wiederum zu einer nichtrenormierbaren Theorie führt. Der tiefere Grund ist, dass die Masse der W-Bosonen zu einem Term führt, der explizit die Eichinvarianz bricht. D.h. die W-Bosonen dürfen eigentlich weiterhin nur in zwei transversalen Polarisationen auftreten, um die Renormierbarkeit zu retten.

Generell gilt: Massenterme für Eichbosonen sind verboten; sie führen zu inkonsistenten Theorien!

Warum überhaupt massebehaftete Eichbosonen?

Masselose Bosonen wie das Photon haben einen Propagator

G(p) ~ 1/p²

Dem entspricht im Ortsraum ein Potential

U(r) ~ 1/r

Für massive Bosonen ändert sich der Propagator zu

G(p) ~ 1/[p² - m²]

und das Potential zu

U(r) ~ exp(-mr)/r

Dieser exponentielle Abfall führt zu einer extrem kurzreichweitigen Kraft, die sich bei kleinen Impulsen q² praktisch wie eine punktförmige WW verhält; je größer die Masse m, desto schwächer die WW; bei q=0 gilt

G(p) ~ 1/m²

[anker]14-3[/anker]14.3 Die Gruppenstruktur der elektroschwachen Eichtheorie

In den 60iger Jahren entstand die Idee, eine vereinheitlichte Eichtheorie für die elektromagnetische und die schwache WW zu entwickeln. Die SU(2) alleine beinhaltet zwar bereits drei Eichbosonen, d.h. die beiden W-Bosonen sind vorhanden, es gibt jedoch mathematische Gründe, warum das dritte Eichboson nicht dem Photon entsprechen kann.

Die minimale Eichgruppe ist demnach die U(1)*SU(2). Demnach gibt es neben den zwei geladenen Eichbosonen W+ und W- zwei elektrisch neutrale Eichbosonen, die wir vorübergehend W³ und B nennen wollen. Es wird sich zeigen, dass im Zuge der Brechung der Symmetrie eine Mischung zwischen dem neutralen B aus der U(1) und dem ebenfalls neutralen W³ aus der SU(2) auftritt. D.h. die U(1) entspricht noch nicht der U(1) der el.-mag. WW, ihr Eichboson B entspricht noch nicht dem Photon.

[anker]14-4[/anker]14.4 Chirale Fermionen

Die schwache WW unterscheidet zwischen rechts- und linkshändigen Fermionen, d.h. sie verletzt explizit die Parität, d.h. die Symmetrie unter Raumspiegelungen. Die linkshändigen Fermionen koppeln als Dubletts bzgl. der SU(2) über den sogenannten „schwachen Isospin“ an die W+ und W- Bosonen sowie an das W³. Außerdem koppeln sie über die sogenannte „schwache Hyperladung“ an das B. Die rechtshändigen Fermionen koppeln ausschließlich als Singuletts an das B, d.h. sie tragen keinen schwachen Isospin.

Die linkshändigen Fermionen treten also als Dubletts, die rechtshändigen dagegen als Singuletts auf! Aufgrund dieser Gruppenstruktur stellt man fest, dass rechtshändige Neutrinos ausschließlich als Singuletts an die elektrische Ladung koppeln würden – da sie aber selbst keine Ladung tragen, entfällt diese Kopplung. Damit würden rechtshändige Fermionen – so sie überhaupt existieren – vollständig von allen anderen Feldern entkoppeln, d.h. sie würden an keinerlei WW teilnehmen. Damit sind sie physikalisch unbeobachtbar bzw. werden in der endgültigen Theorie nicht enthalten sein.

[anker]14-5[/anker]14.5 Der Weinberg-Winkel

Im bisher beschriebenen Modell existieren zwei neutrale Bosonen, das W³ das dem dritten Generator der SU(2) entspricht, sowie das B aus der U(1). Beide tragen identische Quantenzahlen und können daher mischen. Die Mischung wird über eine zweidimensionale Rotation beschrieben, der dabei auftretende Drehwinkel wird Weinberg-Winkel θ genannt.

Damit werden schließlich die physikalischen Felder A(x) des Photons sowie Z(x) des Z° wie folgt definiert:

Z(x) = W³(x) cosθ + B(x) sinθ
A(x) = -W³(x) sinθ + B(x) cosθ

Über diese Rotation entsteht aus der SU(2) * U(1) eine neue Gruppe SU(2)’ * U(1)’, wobei der dritte Generator der SU(2) sowie der Generator der U(1) als Mischung auftreten.

Warum diese Rotation notwendig ist sehen wir bei der Betrachtung des Higgs-Mechanismus.

[anker]14-6[/anker]14.6 Der Higgs-Mechanismus

Der Higgs-Mechanismus dient dazu, den Eichbosonen eine Masse zu geben, jedoch gleichzeitig Unitarität und Renormierbarkeit zu retten.

Man führt dazu ein Higgs-Feld als Dublett ein; dabei handelt es sich eigentlich um zwei komplexe Felder Φ¹(x) und Φ²(x), also vier reelle Felder. Dieses Feld hat eine nichttriviale Selbstwechselwirkung

V(Φ) = -μ |Φ|² + λ (|Φ|²)² / 4

Das Minimum des Potentials liegt nun nicht bei |Φ|² = 0 sondern bei

|Φ|² = v²/2 = 2μ² / λ

v wird dabei als neue Bezeichnung für den Vakuumerwartungswert eingeführt. Die eigentlichen Oszillationen finden nun nicht mehr um den Wert |Φ|² = 0 statt. Der Vakuumerwartungswert v zeichnet nun eine Richtung im Φ-Raum aus; diese Richtung ist zufällig, weswegen man von spontaner Symmetriebrechung spricht; man wählt o.B.d.A.

Φ¹(x) -› Φ¹(x)
Φ²(x) -› [v + H(x) + iχ(x)] / √2

Dabei beschreiben Φ¹(x) und χ(x) Oszillationen entlang des Potentialminimums, d.h. sie entsprechen drei masselosen Bosonen, den sogenannten Goldstone-Bosonen. Diese entstehen generell bei der spontanen Brechung einer kontinuierlichen Symmetrie. H(x) beschreibt dagegen Oszillationen orthogonal zur Potentialmulde und entspricht einem massiven Boson.

Schreibt man nun die Wechselwirkungsterme zwischen dem Higgsfeld Φ und den Eichfeldern W±, W³ und B mittels der neuen Felder um, so erhält man Wechselwirkungsterme der Form

e²v²/(4 sin²θ) W(x)²
e²v²/(4 cos²θ sin²θ) Z(x)²

aus denen man die Massen direkt ablesen kann:

m(W) = ev / (2 sinθ)
m(Z) = ev / (2 cosθ sinθ)

D.h. v² ≠ 0 führt auf einen Massenterm für die physikalischen W und Z° Bosonen. Der Weinbergwinkel ist dabei so gewählt, dass ein Eichboson, das Photon, masselos bleibt, und zugleich die Kopplungen des W- und des Z die richtigen physikalischen Werte erhalten.

Außerdem treten komplizierte Kopplungen zwischen den physikalischen Higgsfeldern und den Eichfeldern auf. Alle Terme, in denen Φ¹(x) und χ(x) auftreten, kann man jedoch durch eine geeignete lokale SU(2) Eichtransformation zum Verschwinden bringen; d.h., dass diese drei Felder keine physikalischen Freiheitsgrade repräsentieren, sondern lediglich den Eichfreiheiten der SU(2) entsprechen. Man bezeichnet sie als would-be Goldstone-Bosonen; übrig bleibt lediglich ein massebehaftetes, physikalisches Higgs-Boson H(x).

Damit können wir nun die Freiheitsgrade vor und nach der Durchführung des Higgs-Mechanismus vergleichen:

Vorher:
- Vier reelle Felder aus Φ¹(x) und Φ²(x).
- Acht transversale Polarisationen aus den vier Eichfeldern W±(x), W³(x) und B(x).

Nachher:
- Ein reelles Feld H(x).
- Acht transversale Polarisationen aus den Eichfeldern W±(x), Z(x) und A(x).
- Drei longitudinale Polarisationen aus den Eichfeldern W±(x) und Z(x).

Die Zahl der Freiheitsgrade bleibt also unverändert – so wie es sein muss. Die drei would-be Goldstone-Bosonen treten quasi als longitudinale Polarisationen der massiven Eichbosonen wieder in Erscheinung.

Interessant ist, dass man sämtliche freie Parameter der Theorie bis auf μ über Vergleiche mit Experimenten bestimmen kann. D.h. insbs. kann der Vakuumerwartungswert v sowie der Weinbergwinkel θ bestimmt werden. Dazu betrachtet man den Niederenergielimes Q²=0 und vergleicht die so gewonnen Werte mit denen bekannten Ergebnissen aus der Fermi-Theorie. Damit wurden die Massen der Eichbosonen korrekt vorhergesagt. Sowohl die Erfinder dieses Modells der elektroschwachen WW – Glashow, Salam und Weinberg – als auch der Entdecker der Eichbosonen – Rubbia von CERN – erhielten dafür jeweils Nobelpreise.

Einzig verbleibender freier Parameter der Theorie ist

μ² = m(H)/2

Damit kann ausgerechnet die Masse des Higgsteilchens nicht vorhergesagt werden!

Allerdings tritt das Higgsteilchen auch als virtuelles Teilchen in Prozessen auf, die klassisch betrachtet „ohne Higgs“ ablaufen – und hinterlässt so seine Spuren. Dabei sind die Quantenkorrekturen zu den experimentell beobachtbaren Größen i.A. von der Masse m(H) abhängig. Anhand dieser Effekte ist es möglich, die Masse des Higgs zumindest innerhalb eines gewissen Energiebereiches einzuschränken; Massen außerhalb dieses Bereiches (der vollständig vom LHC überdeckt wird) wären somit inkonsistent mit anderen Ergebnissen der el.-schw. Theorie.

[anker]14-7[/anker]14.7 Fermionmassen

Da in der el.-schw. Theorie der Fermionsektor eine chirale Struktur aufweist (rechts- und linkshändige Fermionen verhalten sich unterschiedlich) sind auch die üblichen Massenterme für Fermionen verboten. Ein Massenterm wie z.B. in der QED oder QCD koppelt rechts- an linkshändige Fermionen und bricht dabei explizit die chirale Symmetrie, der zwei globale Symmetrien im rechts- und im linkshändigen Sektor der Theorie entspricht. (diese Brechung der chiralen Symmetrie ist nicht zu verwechseln mit einem dynamischen Effekt in der QCD) Hier führt diese Brechung unmittelbar zu einer Brechung der Eichsymmetrie U(1)*SU(2), die ja eben an rechts- und linkshändige Fermionen unterschiedlich koppelt. Diese mathematische Struktur führt letztendlich im Zuge der Quantisierung zu einer inkonsistenten Theorie, weswegen die üblichen Massenterme hier verboten sind.

Stattdessen müssen auch die Fermionmassen über eine Kopplung der Fermionen an das Higgs dynamisch erzeugt werden. Im Gegensatz zur Kopplung der Eichbosonen treten hier jedoch ausschließlich freie Parameter auf, die nicht anderweitig experimentell bestimmbar wären, d.h. die Massen der Fermionen können in der el.-schw. Theorie (im Gegensatz zu den Massen der Vektorbosonen) nicht vorhergesagt werden!
Gruß
Tom

Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper

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