Metrik oder Zusammenhang

[wilfried]

Lieber tensor,

ich denke die Metrik hat ihre Bedeutung zwar erhalten, aber sie teil sie mit dem neueren geometrischen Verständnis, auf das ja die LQG fusst, der Gravitheorie.

Gruß

Wilfried

[AlTheKingBundy]

hi tensor, ich habe deinen begriff zusammenhang im zusammenhang mit deinem gesagten nicht ganz verstanden. was meinst du genau damit? die metrik selbst ist ja durch die energie-masse-verteilung über den energie-impuls-tensor bestimmt. meintest du das?

[Ray Light]

Hallo zusammen.

Das ist in der Tat eine interessante Frage, die tensor aufgeworfen hat. Zusammenhang meint er hier übrigens nicht so wie in der landläufigen Bedeutung (so wie in seinem Zitat), sondern im strengen Sinne der Differentialgeometrie.

Hier unterschiedet man metrische und affine Zusammenhänge (engl. connections), die in der ART gleich sind und Christoffel-Symbol oder Levi-Civita-Zusammenhang genannt werden.

Man kann aber beliebig kompliziertere Zusammenhänge konstruieren, wie tensor andeutet, die entsprechend neue Theorien etablieren. So hat bereits Einstein selbst 1928 hier neue Ansätze formuliert, die unter dem Begriff Fernparallelismus (engl. teleparallel gravity) zusammengefasst werden:

http://www.mpe.mpg.de/~amueller/lexdt_f03.html#fern

Der Zusammenhang dieser Gravitationstheorie ist nicht mehr der Levi-Civita-Zusammenhang, sondern der Weitzenböck-Zusammenhang. Im Ansatz ist das zwar verschieden von der ART, entpuppt sich aber als äquivalente Formulierung

In diesem Papier

http://xxx.uni-augsburg.de/abs/gr-qc/9602013

werden weitere Realisierungen von Zusammenhängen vorgestellt, z.B. auf S.4, Gl. (1) der Weyl-Zusammenhang. Hier kommt ein weiteres Vektorfeld ins Spiel. Man erkennt hier tensors Aussage, das nun nicht mehr der Zusammenhang allein aus der Metrik folgt, weil das nur der erste Term ist. Man muss nun auch das Vektorfeld spezifizieren. Interessanterweise wird es hier mit dem Vektorpotential A der klassischen Elektrodynamik in Verbindung gebracht und zeigt damit Ansätze zur Verknüpfung von ART und Elektrodyanmik. Leider scheiterte diese "Weyl-Theorie" in der Physik, bietet aber brauchbare Konzepte für die Eichtheorien.

Auf S.7, Gl. (6) in o.g. Papier gibt es einen weiteren Zusammenhang. Das ist die Einstein-Cartan-Theorie. Hier kommt der Torsionstensor in den Zusatztermen dazu .

Zur Ausgangsfrage:
Mit diesen Ausführungen wird klar, dass der Zusammenhang eine größere Bedeutung hat, als die Metrik. Fundamental bei einer Theorie ist (sicherlich nicht nur) aus meiner Sicht der Lagrangian bzw. alternativ Hamiltonian bzw. alternativ die Feldgleichung.

Gruß,
Ray

[AlTheKingBundy]

vielen dank an euch beide. ich kenne mich mit dem mathematischen gebäude der ar recht gut aus, das habe ich aber noch nicht gewusst. höchst interessant sind die symmetrieverhältnisse der indizes. per se ist der metriktensor aufgrund seines ansatzes über das wegelement symmetrisch in seinen indizes. eine spannende frage ist, was passiert, wenn man auch antisymmetrische komponenten berücksichtigt. ich glaube einstein hat sich zum ende seines lebens daran die zähne ausgebissen.

vollständig festgelegt ist die metrik jedoch nicht, wenn der energie-impuls-tensor bekannt ist. es gibt ähnlich, wie in der maxwellschen theorie auch "eichfreiheiten" also unbestimmtheiten. auch ist die form der metrik stark von der wahl der koordinaten abhängig.

und anders herum: natürlich kann man über den ricci-tensor bei bekannter metrik die komponenten des energie-impuls-tensors festlegen, sie sind ja über einsteins gleichungen miteinander verknüpft. allerdings gehen die qualitativen informationen des energie-impuls-tensors verloren, d.h. man kann seine inhalte nicht mehr aufschlüsseln (woher stammen massen und energien z.b.)

[Ray Light]

Hallo zusammen,

tensor schrieb:

Eine Frage aber bleibt bestehen, nämlich ob es erforderlich ist, dass ein Zusammenhang automatisch eine passende Metrik impliziert oder ob Metrik und Zusammenhang in einer realistischen Physik völlig unabhängig voneinander sein können.

Die Antwort auf diese Frage ist, dass der Zusammenhang grundlegender ist, als die Metrik. Das belegen ja die Beispiele in dem verlinkten Papier.

Es hängt eben davon ab, welche Eigenschaften man der Theorie auferlegt. So hat sich Einstein entschieden seine Gravitationstheorie derart auszugestalten, dass der Paralleltransport von Tensoren auf Levi-Civita-Zusammenhängen beruht. Damit hat er automatisch eine torsionsfreie Gravitationstheorie angesetzt. Das ist jedoch ein Postulat.

Ebensogut kann man als Gravitationstheoretiker verlangen, dass die Gravitation Torison enthalte; dann setzt man einen anderen Zusammenhang als den Levi-Civita-Zusammenhang an. Die Aufgabe besteht dann darin, diese alternative Gravitationstheorie an der Natur zu testen. Genau das geschieht ja derzeit in der Erforschung von Gravitationstheorien.

Zu den Christoffel-Symbolen ("Gammas"):
Richtig, die Christoffel-Symbole sind keine Tensoren. Exakt aus diesem Grund ist es möglich ein Koordinatensystem zu finden, in dem sie verschwinden. Was bedeutet das? Anschaulich ist dieses speziell ausgezeichnete, lokale (!) System dasjenige, das frei fällt, d.h. in dem die Effekte der Gravitation lokal hinweg transformiert werden konnten. Das geht aber nur lokal - wie es das Einsteinsche Äquivalenzprinzip fordert.

Zur Allgemeinheit des Konzepts:
ART ist viel mehr als die Berechnung der Christoffel-Symbole nach dem üblichen Schema. In einem guten und modernen ART-Buch sind die viel allgemeineren Konzepte der Differentialgeometrie dargestellt. Es geht ja dabei um den Paralleltransport von Tensoren auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, d.h. wie verändert sich der Tensor, wenn ich ihn von einem Punkt der Mannigfaltigkeit auf einen anderen verschiebe.

Vetraut ist uns diese Prozedur bei der Verschiebung von Vektoren auf flachen Mannigfaltigkeiten. Dann geht es recht einfach, und wir können z.B. Dreiervektoren miteinander addieren, multiplizieren etc.

Bei gekrümmten Mannigfaltigkeiten ist das nicht mehr so trivial und erfordert gerade die hier diskutierten Zusammenhänge. In der Differentialgeometrie spricht man viel allgemeiner vom affinen Zusammenhang, der eine bilineare Abbildung von einem auf einen anderen Tensor ist. Der Zusammenhang ist in n Dimensionen durch n^2 Zusammenhangs-1-Formen oder n^3 skalare Felder oder Zusammenhangskoeffizienten darstellbar.

In der ART (n = 4) gibt es entsprechend 16 Zusammenhangs-1-Formen und 64 Zusammenhangskoeffizienten. In einer lokalen Basis reduzieren sich diese 64 Zusammenhangskoeffizienten auf die Komponenten des symmetrischen Christoffel-Symbols.

Zur ART und Physik:
Das Konzept ist viel allgemeiner, als es den Anschein hat. Kovariante Ableitung und Zusammenhang treten auch in der Teilchenphysik auf. Hier identifiziert man die Zusammenhangs-1-Formen mit den Eichfeldern! Konkret sind die Teilchen W^+, W^- und Z, die Austauschteilchen der schwachen Kraft, die Eichfelder einer SU(2) Lie-Gruppe. Diese drei Eichfelder sind Zusammenhangs-1-Formen dieser Theorie.
Analog sind die acht Austauschteilchen der starken Kraft, die Gluonen der QCD, die acht Zusammenhangs-1-Formen der Farb-SU(3).

Was ich damit zeigen will: Es gibt eine ganz tief liegende Verbindung zwischen den differentialgeometrischen Aspekten der ART und der Teilchenphysik.

tensor schrieb:

Aus ästhetischen Gründen favorisiere ich den Gedanken, dass die Metrik sich vollständig aus dem Zusammenhang ergibt, der Zusammenhang sich aber nicht vollständig aus der Metrik ergeben muss.

Genauso verhält es sich auch.

Gruß,
Ray