Raumkontraktion, Zeitdilatation, Eigenzeit

[wilfried]

Liebe Freunde,

es wird so viel geschrieben über die oben genannten Begriffe. Deshalb will ich diese Begriffe etwas erläutern.

Aus der Lorentz Trafo ..ihr erinnert Euch noch?

x' = (x -vt) over (sqrt (1 -v^2 over c^2) )
y' = y
z' = z
t' = (t -(vx9 over c^2) over (sqrt (1 - v^2 over c^29 )

bzw. andersherum x= y= z = t =
folgen zwei Phänomene, die man unter den Begriffen Lorentz Kontraktion sowie Einstein'sche Zeitdilatation kennt.
Wird eine Streckenlänge :delta-gross: x' = x'1 - x'2 gemessen -die "gestrichene" Anschrift meint, das System ruht parallel zur Bewegungsrichtung des ungestrichenen Systems- markieren wir ihre Längen als:
:delta-gross: x = x1 - x2 zum Zeitpunkt t = t0.
Dann läßt sich die Lorentz Trafo schreiben:

:delta-gross: x' = ( x1 - v t0 - x2 + v t0 ) over ( sqrt (1 - v^2 over c^2))

Ich kürze weiterhin die nennerwurzel ab mit dem Begriff NW für Nenner-Wurzel

:delta-gross: x' = :delta-gross: x over NW

oder
:delta-gross: x over :delta-gross: x' :tilde: 1 - v^2 over (2 c^2) -> Gl. I

Dreht man das experiment um, für eine Längenmessung einer sich parallel zur Bewegungsrichtung bewegenden Strecke
:delta-gross: x = x1 - x2, die im ungestrichenen System ruht liefter sir im gestrichenen System zur Zeit t = t0':

:delta-gross: x = ( x1' + v t0' - x2' - v t0' ) over NW = :delta-gross: x'
over NW
oder
:delta-gross: x 'over :delta-gross: x :tilde: 1 - v^2 over (2 c^2) -> Gl. 2

Die Aussage der beiden Gleichungen Gl 1 und GL 2 werden Lorentz Kontraktion genannt.
Was bedeutet das?

[b]Eine Strecke, die in einem von 2 gleichförmig bewegten Systemen ruht, erscheint vom anderen System aus im Verhältnis NW zu 1 verkürzt[/b]


Aus der zeitlichen Beschreibung der Lorentz trafo t = t - (vx) over c^29 over NW folgt etwas vergleichbares.
Die Galilei Trafo
x' = x -vt
y' = y
z' = z
t'= t
x = x' + vt usw.
Ausgehend von dieser klassischen Trafo erhalten wir ein abweichendes Verhalten beim Vergleich von Zeitintervallen. Wir lassen uns den zeitpunkt t' durch eine Uhr im Koordanfangspunkt des gestrichenen Systems anzeigen. Wir führen einen Vergleich mit der zeitangabe t einer anderen Uhr im ungestrichenen System am Ort x durch. Dann folgt für das Zeitintervall
:delta-gross: t = t1 - t2:
:delta-gross: t = (t'1 - t'2) over NW = :delta-gross: t' over NW
oder
:delta-gross: t over :delta-gross: t' :tilde: 1 + v^2 over (2 c^2)

Und auch hier gilt wieder die Systemumkehr, wie bereits oben erzählt und vorgestellt.

Diese Aussage liefert die Zeitdilatation:

Ein Zeitintervall in einem von 2 gleichförmig gegeneinander bewegten Systemen erscheint vom anderen System aus im Verhältnis 1 zu NW verlängert

Der Grundsatz der relativität kommt in der raumkontraktion und der Zeitdilatation am schärfsten zum Ausdruck.
Jede Messung hat ihren unmittelbaren Sinn nur bezüglich des jeweiligen Bezugssystems.

Läßt man auch beschleunigte Bewegungen zu, so kann eine Zeitdifferenz zwischen mehreren beobachteten zeitdilatationen festgestellt werden.

Da Beschleunigungs- und Gravitationsfelder in der ART als gleichwertig angesehen werden, finden in SF Romanen sher groß0e Zeitunterschiede ihren Platz. Und das, weil sich die Autoren auf gravitationsabhängige, biologische "Uhren" oder periodische Prozesse berufen.

Rasetti hat die Einsteinsche Zeitdilatation bei der Beobachtung der mittleren Lebensdauer von Mesonen festgestellt.
Ausgehend vom ungestrichenen System des idischen Beobachters wurde einmal die mittlere Lebensdauer relativ zu ruhenden Mesonen gemessen (abgebremst auf v :tilde: 0 und diese Messung mit derjenigen der mittleren Lebensdauer schnell bewegter Mesonen in der kosmischen Strahlung (gestrichenes System) verglichen.
Ergebnis:

tau0 over tauv = (1.5 e-6 sec ) over (7.5 e-45 sec) = 1 / 50

Die Mesonen haben nahezu Lichtgeschwindigkeit, das hat er im Vergleich zur Zeitdilatationsgleichung
:delta-gross: t = t1 - t2 ...siehe oben festgestellt und konnte dann schreiben:

v_mneson = c ( 1 - 1/2500)

Auf grund der relativistischen Äquivalenz gleichförmig gegeneinander bewegter Systeme für ruhende Mesonen im gestrichenen wie im ungestrichenen System hat er für tau0 den gleichen Wert eingesetzt.


Die Zeitbeziehung :delta-gross: t1 = t1' - t2' läßt noch eine Auslegung zu:

Betrachten wir das ungestrichene System als das Bevorzugte. Hierin spielt sich der physikalische Vorgang ab. Wir verbinden dieses mit einem Körper, so daß dieser relativ zum ungestrichenen System ruht.
Damit ist das Zeitintervall :delta-gross: t das Intervall der Eigenzeit.
:delta-gross: t = :delta-gross: tau, welches von einem anderen system aus gemessen t' = t, die gegenüber dem ursprünglichen, gleichförmig bewegten System. verlängert erscheint.
Das bedeutet für den Asudruck

:delta-gross: tau = :delta-gross: t sqrt (1 - v^2 over c^2)

daß dieser invariant ist. zu beachten ist dieses bei der Bildung des auf die vier relativistischen Koordinaten bezogenen geschwindigkeitsvektor
v = ds over dt Fett: Vektor

v = ds over dt = ds over dt dt over d tau = ds over dt :beta:
ds over dt :beta: = d x1 over dt :beta: :alpha: 1 + d x2 over dt :beta: :alpha: 2 +
d x3 over dt :beta: :alpha: 3 + ic :beta: :alpha: 4

mit :beta: = 1 over NW

Wegen seiner vier Komponenten wird der vektor (Tensor 1. Stufe), wie er in diesem 4-dimensionalen Raumzeit Kontinuum der RT auftritt auch als Vierervektor bezeichnet.

Netten Gruß

Wilfried

[Maclane]

Das allererste, was mir jetzt in den Sinn kommt, noch bevor ich Danke sage udn mich draufstürze ist:

Wollen wir jetzt Code nutzen ala sqrt()
oder die schicke Math-Funktion, die gravi extra für uns reingebastelt hat (der Button oben links, Anleitung hier)??

Ich wäre für ansehnliche Formeln, soweit sie darstellbar sind - auch wenn die Syntax für den Poster zunächst gewöhnungsbedürftig ist.
also aus
sqrt(1-v^2 over c^2)
wird dann dieses hübsche Gebilde:
[math]#Root((1-#Frac(#Pow(v, 2), #Pow(c, 2))), 2)[/math]

Syntax dafür lautet
#Root((1-#Frac(#Pow(v, 2), #Pow(c, 2))), 2)
eingeschlossen von [math ] und [/math ] (ohne Leerzeichen)


Und jetzt, nach dieser Frage, kommt mein Danke an Wilfried.
Werds mir aber erst später genauer zu Gemüte führen, da ich ja noch mit deiner Frage beschäftigt bin. Und da ich die Maxwell-Gleichungen noch nie in der Hand hatte, weiß ich noch nicht, ob ich damit bis heute abend fertig werde...

Gruss Mac

[wilfried]

Lieber MacLane

das mit der schöneren mathe schrift ist schon in Ordnung. Wenn ich halt schreibe, dann "MAPLE" ich automatisch.

Gruß

Wilfried

[AlTheKingBundy]

Lieber Wilfried, ich bin fasziniert von der Energie, die Du in das Forum einfließen lässt. Doch eine Bitte hätte ich (sofern es die anderen genauso sehen). Dies ist in erster Linie ein Forum, wo Themen diskutiert werden. Wissenschaftliche Abhandlungen sollten woanders platziert werden. Ich kopiere den Inhalt meiner Homepage ja auch nicht in das Forum

[wilfried]

Lieber AlTheKingBundy

ich habe mir halt gedacht in meinen verregneten Ferien, wo wir diesmal daheim geblieben sind, diesem Forum ein paar Dinge "aus der Praxis" der Wissenschaft mitzuteilen.
Ich weiß, daß dies eventuell etwas füllig sein kann. Selber habe ich keine homepage und werde auch keine erstellen; ist nicht mein "Ding".

Wenn diese Abhandlungen dem Forum zu groß sind, dann werde ich halt solche Dinge nicht mehr einbringen.
Der Grund, warum ich das so schreibe ist der Genauigkeit und Präzision des Sachverhalts genüge zu tun. Und gerade bei diesen Themen reichen -zumindest für mich- ein paar Worte nicht aus.

Ich habe übrigens die letzten größeren taten als pdf dem Sysad geschickt, so daß diese aufgerufen werden können.
Frage: Ist das eine Alternative?

Gruß

Wilfried

[breaker]

Also,(wie ihr euch wahrscheinlich denken könnt ), mindestens mir wars recht, dass mal jemand solche Sachen postet.

[msueper]

ja, sehe ich auch so. Etwas Mathe kann nicht schaden. Zumindest kommt so mal "Butter bei die Fische" und wer sich damit nicht anfreunden kann, kann ja drüberweglesen.

Einzig Gravi als Admin/Owner kann entscheiden, was geht und was nicht. Aber Text ist viel kleiner als etwa ein Bild und die DB wird davon so schnell nicht überlaufen.
Martin

[Maclane]

Das mit den pdf-files ist auf jeden Fall eine Alternative.

Ich find es auch schön, mal so einen Einblick in den Alltag eines Wissenschaftlers zu bekommen, echt jetzt.
Aber Al hat auf eine Art auch recht, nämlich dass ein Forum ja in erster Linie eine Platform ist, wo Leute sich treffen und diskutieren.
Also eine fertige Diskussion einfach rein zu schreiben, geht ja irgenwie doch am Sinn vorbei.

Wer mit viel Weisheit und Wissen gesegnet ist, der sollte es ein wenig wie Sokrates machen und andere zum Fragen stellen animieren.
Denn wenn man selbst Fragen stellt - und seien sie noch so bekloppt - lernt man die Dinge viel besser, als wenn man die Antworten noch vor den Fragen präsentiert bekommt.

Nichtsdestotrotz, der Einsatz und die Mühe, die Wilfried hier einbringt, verdient meinen absoluten Respekt - alle Achtung, Hut ab und vielen vielen Dank dafür.

Gruss Mac

[wilfried]

Liebe Leute,

mir ist nach der Kritik -ich sehe das positiv!!- eine Idee gekommen, wie ich Euch ja immer wieder mal helfen kann:
Ihr wisst, mein Urlaub ist vorbei: mein Geschäft und meine Studenten haben mich wieder!!! Oh die armen...

Aber, stellt doch gerne Fragen. Ich bin bereit diese zu beantworten, werde das aber ab jetzt langfristig machen. Wisst ihr, wenn ich abends nach Haus komm, hab ich auch nicht die grioße Lust den Rechner einzuschalten.
Aber mal am Wochenende...

Wenn dann eine Antwort mal länger wird, dann mach ich das in meiner textverarbeitung und schick dem lieben Gravi eine mail mit Anhang.

Das habe ich jetzt eh mit ein paar hübschen Sachen gemacht. Mal sehen, wie das funktioniert.

Tät Euch das so entgegenkommen??

Gruß

Wilfried

[Maclane]

Hehe ja, die armen Studenten. *grins*

Aber ich hätte auch nichts dagegen, wenn du täglich hier reinschaust.
Das ist aber natürlich von deiner Zeit und Lust abhängig.

Wenn du dann am Wochenende antwortest, dann pack nicht alles in eine umfassende Antwort, sondern mach kleine verdauliche Häppchen, die weitere Fragen nach sich ziehen. Zumindest ich hätte das gern so, wenn ich es mir schon aussuchen kann.

Dann schonmal viel Spass mit den Studenten und liebe Grüße.

Mac

[wilfried]

Lieber Mac,

die Zeit des Berufslebens ist hart, grausam, und was weiss ich negatives noch..
Ich werde schon Eure Post ansehen und beantworten. Aber halt nicht in der Kürze, wie ich es jetzt getan habe. Ich denk mal am Wochenende finde ich etwas Muße und dann sehen wir ja wie das läuft.
Und wenn es etwas Mathe gibt, welches über ein annehmbares Zeilenmaß hinausgeht, dann werde ich das als pdf file dem lieben gravi schicken. Der hat ja bereits meine jetzigen pdf's ins Forum gestellt.

Ich werd mich auch bemühen auf eure Verdauung zu achten...!!!

Auch meine Antwort der Frage warum Licht den interstellaren Raum durchquert ist dabei.

habt ihr noch was rausbekommen???

Gruß
Wilfried

[Maclane]

Leider ned, ich häng immer noch fest....

Aber zur "Strafe" bekommst von mir auch ein paar Rätsel aufgetragen.
Das Rätsel aus meiner Signatur wurde ja schonmal hier im Forum aufgelöst.

Gruss Mac

[wilfried]

Lieber Mac

dann vermute ich ganz schwer Du meinst die holde "Gravitation"

Ein niedlich Wesen

Übrigens: Ein Loch ist reales Sein partiell negiert

Gruß

Wilfried

[Maclane]

Auch das ist nicht die Antwort.
Bedenke dass das Rätsel aus einer Zeit stammt, wo die Menschen noch gar nicht wussten, was Gravitation ist.

However, ein wirklich guter Versuch.
Aber dein ganzer erster Post da oben hat schon mit der Antwort zu tun.
Na wenns jetzt nicht "flutscht", hihi

Gruss Mac

[wilfried]

Lieber Mac,

dann soll es wohl Lady "Zeit" sein.

Gruß
Wilfried

[Maclane]

Aye, Du sprichst wahrhaftig.

So, und nach dem kleinen Schlenker jetzt, will ich mal versuchen, ob ich die Sachen da oben in MAPLE reingehämmert krieg, damit der mir hübsche Formeln macht.

Grundsätzlich kenn die Sachen schon, aber grad sie Geschichte mit dem Vierervektor muss ich mir nochmal durch den Kopf gehen lassen (so wie alle Formen von Vektoren).

Gruss Mac