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4-dimensionale relativistische Elektrodynamik

Allgemeine physikalische Fragestellungen, z.B. Newtonsche Mechanik, Elektrodynamik, Thermodynamik...
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wilfried
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4-dimensionale relativistische Elektrodynamik

Beitrag von wilfried » 24. Aug 2006, 16:16

Liebe Freunde,

ich möchte mal versuchen etwas die Grundlage zur Kosmologie zu erläutern: die Elektrodynamik im 4 dimensionalem Raum.

Fett bedeutet. Vektor folgende Werte an:

v1 = dx/dt

Die MWG enthalten in ihrer 3-d Gestalt die vektor Differentialoperatoren Rotation -das ist das vektorielle oder äußere Produkt des vektoroperators Nabla mit einem Feldstärkevektor. Alternativ dazu die Differentialform, deren Koeffizienten einen antisymmetrischen oder schiefsymmetrischen bzw. alternierenden Tensor 2. Stufe bilden. Die Übertragung in höhere Dimensionen ist möglich.
Es wird jetzt eiine 4. Dimension eingeführt, eine zur Zeit proportionale imaginäre Raumkoordinate.
Die MWG lassen sich mittels des Vektorpotentials A im 3-D Raum nach B und E auflösen.
B = :my: H = rot A im Englich steht für rot der Begriff curl
rot (partial A over partial t = - rot E
Durch Integration:
E = - partial A over partial t - grad V V ist diie Potentialfunktion

Es wird eine Eichung durchgeführt:

div A + 1 over c^2 partial V ove partial t = 0
Damit genügen die Potentiale A und V den Beziehungen:
Eichbeziehungen:

1 over c^2 partial^2 A/partial t^2 - Laplacian A = :my: :rho: v

1 over c^2 partlal^2 V over partial t^2 - Laplacian V = :rho: over :epsilon:

Mit den relativistischen Konstanten x1 x2 x3 ict nehmen die Komponenten des Geschwindigkeitsvektors v folgende Werte an:

v1 = d x1 over dt :beta:
v2 = d x2 over dt :beta:
v3 = d x3 over dt :beta:
v4 = d x4 over dt = i c :beta:

Ihre Multiplikation mit :rho: over :beta: liefert dann die 4-er Stromdichte:
:theta: 1 = :rho: v1
:theta: 2 = :rho: v2
:theta: 3 = :rho: v3
:theta: 4 = i c :rho:
Für eine Darstellung mit der Ladungsdichte folgt exakt der gleiche formalismus.
Wenn die erste der Eichbeziehungen durch :my: dividiert wird, die zweite durch i c :epsilon: dividiert wird, dann stehen auf der rechten Seite dieser eichbeziehungen die Komponenten der Viererstromdichte. Dann müssen auch die linken Seite vier relativistische Komponenten enthalten, die als 2, Ableitungen der Komponenten des durch :my: dividierten vierdimensionalen Viererpotentials V zu deuten sind.Für diese schreibt man jetzt:
A1
A2
A3
A4 = - 1 over (ic) V oder V = ( A , V over (ic)
Die letzte Niederschrift ist eine abkürzende Symbolik nach Sommerfeld.
Mit den 4 Komponenten des Viererpotentials bilden wir die Pfaffsche Differentialform:

:omega-klein: A = ∑ Ai dxi
Dann wird daraus das äußere Differential berechnet:
d :omega-klein: A = Aij [dxi dxj]

Hier merkt man, wie sich schleiched die Tensorschreibweise durchsetzt
Wir erhalten für das Vektorpotential Aij damit:
A12 = partial A2 over partial x1 - partial A 1 over partial x2 = B3
A23 = partial A3 over partial x2 - partial A2 over partial x3 = B1
A13 = partial A3 over partial x1 - partial A1 over partial x3 = -B2
A24 = partial A4 over partial x2 - partial A2 over partial x4 = 1 over (i c) E2
A14 = partial A4 over partial x1 - partial A1 over partial x4 = 1 over (ic) E1
A34 = partial A4 over partial x3 - partial A3 over partial x4 = 1 over (ic) E3

Das sind die 6 strikten Komponenten eines antisymmetrischen Tensors 2. Stufe im vierdimensionalem Raum.
Als Komponentenschema geschrieben:

0 A12 A13A14
-A12 0 A23A24
Aij = -A13 -A23 0A34 = (B, 1 over (ic) E)
-A14 -A24 A340

Diese Gl nenntt sich magnetischer Feldtensor. Ein zweiter antisymmetrischer T. 2.Stufe läßt sich aus diem mag.FeldT gewinnen, wenn die duale Zuordnung zwischen Tensoren gleicher Anzahl strikter Koordinanten berücksichtigt werden. Damit ist der zum mag.Feldstärke T. duale auch ein T 2. Stufe

Und mit dieser vorgehensweise wird dann auch der elektrische feldstärketensor ermittelt..
Ich verziichte jetzt dardrauf, das wird sonst zu lang.

Jetzt habe ich mal gezeigt, wie aus der dreidimensionalen Betrachtung die Grundlage zur gesamten Kosmologie gelegt wird.

Ich hoffe, daß nun der begriff der 4-er oder 6er 9er Komponetne etwas klarer geworden ist.

Netten Gruß

Wilfried[/math]
Die Symmetrie ist der entscheidende Ansatz Dinge zu verstehen:
-rot E - dB / (c dt) = (4 pi k ) / c
rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
div B = 4 pi rho_m
div E = 4 pi rho_e

msueper
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Beitrag von msueper » 24. Aug 2006, 18:25

Hallo,
DANKE!! Du gibst Dir echt Mühe mit uns Laien.
Werd mir übers Wochenende mal alle Deine Programm-Schnipsel antun. Als Gastarbeiter und Wochenendheimfahrer habe ich leider unter der Woche wenig Zeit und noch weniger Gelegenheit.
Grüße, Martin

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