Die Entropie in der QM ist definiert mittels des sogenannten Dichteoperators; nehmen wir an, die Zustände |n> seien mit n durchnumeriert und für jeden Zustand sei die Wahrscheinlichkeit, das System in diesem Zustand anzutreffen, gegeben durch p[down]n[/down]; dann lautet die Entropie
Nehmen wir an, wir haben einen nichtentarteten Grundzustand und die Temperatir T=0, dann ist p[down]0[/down]=1 und p[down]n[/down]=0 für alle n>0. Damit ist S=0
Nehmen wir an, wir hätten einen entarteten Grundzustand, d.h. mehrere Zustände identischer, minimaler Energie; sei Z die Anzahl dieser Zustände; dann ist p[down]i[/down]=1/N für die Zustände i=1,2,...,Z; für alle anderen wieder Null. Die Entropie ist dann
Dies ist der Wert, den die Entropie in einem QM System mit Z-fach entartetem Grundzustand annimmt.
Höhere Entropien folgen für Temperatiren T>0, da dann auch für höhere Energien E als die des Grundzustandes die p[down]n[/down]>0 sein werden.
Die genaue Art der Zustände spielt dabei keine Rolle, aber man kann typischerweise für viele Teilchen im Grundzustand von einer maximalen Verschränkung ausgehen. Die Entropie ensteht jedoch nicht durch die Verschränkung, sondern durch die Entartung. Die Verschränkung
reduziert sogar die Entropie im Vergleich zu einem klassischen System.
Betrachten wir dazu ein System aus zwei Spins (mit Fermi-Dirac-Statistik) mit den möglichen
klassischen Zuständen |++), |+-), |-+), |--). Aufgrund der Ununterscheidbarkeit der Teilchen und aufgrund der Fermi-Dirac-Statistik sind nur antisymmetrische Zustände erlaubt, symmetrische fallen weg. D.h. in unserem Fall ist nur noch |+-> erlaubt, wobei hier implizit eine Antisymmetrisierung und damit eine Verschränkung der beiden Teilchen eingebaut ist, d.h. es gilt soetwas wie |+-> = |+-) - |-+)
D.h. die Quantenstatistik reduziert die Zahl der unabhängig gezählten Zustände, im Falle der Fermi-Dirac-Statistik von 4 auf 1. (in diesem Fall wäre die Entropie wieder Null)
Im Falle der Bose-Einstein-Statistik gilt analog |+-> = |+-) + |-+), wobei außerdem |++> und |--> zusätzlich erlaubt sind.
Also nochmal zusammenfassend: die Quantenstatistik reduziert die Anzahl der unabhängig zu zählenden Zustände im vergleich zu einer klassischen Betrachtung. Dadurch entfällt die triviale Entartung durch Teilchenaustauch - sie wird einfach nicht gezählt. Die Entropie ensteht nicht durch Verschränkung, sondern durch Entartung. Die Quantenstatistik bzw. die Verschränkung
reduziert dabei die Entropie im Vergleich zu einem klassischen System.