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Entropie bei verschränkten Teilchen

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monarch87
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Entropie bei verschränkten Teilchen

Beitrag von monarch87 » 19. Apr 2012, 20:23

Hey Jungs!

Hab man ne Frage zur Thermodynamik bzw. Entropie:

Also ich hab gelernt,dass ein System aus 2 Teilchen eine höhere E. hat als eins aus 1 und eins aus 3 höher als 2 usw...

So wenn wir nun verschränkte Teilchen erzeugen, wie sieht es dann mit der Entropie aus? Ich denk ma sie steigt an, aber sie müsste doch weniger stark ansteigen als in einem System was aus 2 nicht verschränkten Teilchen besteht, was wiederrum sich auch auf die Enthalpie auswirkt oder?

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Re: Entropie bei verschränkten Teilchen

Beitrag von tomS » 19. Apr 2012, 21:11

Ein System aus n Teilchen hat nur dann eine Entropie S > 0, wenn dabei eine Unordnung vorliegt. Ein System aus n (verschränkten) Teilchen im Grundzustand hat die Entropie Null.
Gruß
Tom

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monarch87
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Re: Entropie bei verschränkten Teilchen

Beitrag von monarch87 » 19. Apr 2012, 21:23

Was bedeutet hier denn Unordnung dann?

Ich meine auch wenn wir sagen wir 2 Teilchen hätten und aus diesen 2mal 2 Verschränkte erzeugen.
Also aus einem System mit 2 Teilchen eins mit 4 Teilchen macht von den halt jeweils 2 miteinander verschränkt sind
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rick
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Re: Entropie bei verschränkten Teilchen

Beitrag von rick » 20. Apr 2012, 00:06

Hat die Entropie, was mit der Informationstheoretischen Entropie zu tun ? Wunder mich nur gerade, weil der Name gleich ist.

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Re: Entropie bei verschränkten Teilchen

Beitrag von tomS » 20. Apr 2012, 07:22

Die Entropie in der QM ist definiert mittels des sogenannten Dichteoperators; nehmen wir an, die Zustände |n> seien mit n durchnumeriert und für jeden Zustand sei die Wahrscheinlichkeit, das System in diesem Zustand anzutreffen, gegeben durch p[down]n[/down]; dann lautet die Entropie



Nehmen wir an, wir haben einen nichtentarteten Grundzustand und die Temperatir T=0, dann ist p[down]0[/down]=1 und p[down]n[/down]=0 für alle n>0. Damit ist S=0

Nehmen wir an, wir hätten einen entarteten Grundzustand, d.h. mehrere Zustände identischer, minimaler Energie; sei Z die Anzahl dieser Zustände; dann ist p[down]i[/down]=1/N für die Zustände i=1,2,...,Z; für alle anderen wieder Null. Die Entropie ist dann



Dies ist der Wert, den die Entropie in einem QM System mit Z-fach entartetem Grundzustand annimmt.

Höhere Entropien folgen für Temperatiren T>0, da dann auch für höhere Energien E als die des Grundzustandes die p[down]n[/down]>0 sein werden.

Die genaue Art der Zustände spielt dabei keine Rolle, aber man kann typischerweise für viele Teilchen im Grundzustand von einer maximalen Verschränkung ausgehen. Die Entropie ensteht jedoch nicht durch die Verschränkung, sondern durch die Entartung. Die Verschränkung reduziert sogar die Entropie im Vergleich zu einem klassischen System.

Betrachten wir dazu ein System aus zwei Spins (mit Fermi-Dirac-Statistik) mit den möglichen klassischen Zuständen |++), |+-), |-+), |--). Aufgrund der Ununterscheidbarkeit der Teilchen und aufgrund der Fermi-Dirac-Statistik sind nur antisymmetrische Zustände erlaubt, symmetrische fallen weg. D.h. in unserem Fall ist nur noch |+-> erlaubt, wobei hier implizit eine Antisymmetrisierung und damit eine Verschränkung der beiden Teilchen eingebaut ist, d.h. es gilt soetwas wie |+-> = |+-) - |-+)

D.h. die Quantenstatistik reduziert die Zahl der unabhängig gezählten Zustände, im Falle der Fermi-Dirac-Statistik von 4 auf 1. (in diesem Fall wäre die Entropie wieder Null)

Im Falle der Bose-Einstein-Statistik gilt analog |+-> = |+-) + |-+), wobei außerdem |++> und |--> zusätzlich erlaubt sind.

Also nochmal zusammenfassend: die Quantenstatistik reduziert die Anzahl der unabhängig zu zählenden Zustände im vergleich zu einer klassischen Betrachtung. Dadurch entfällt die triviale Entartung durch Teilchenaustauch - sie wird einfach nicht gezählt. Die Entropie ensteht nicht durch Verschränkung, sondern durch Entartung. Die Quantenstatistik bzw. die Verschränkung reduziert dabei die Entropie im Vergleich zu einem klassischen System.
Gruß
Tom

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Re: Entropie bei verschränkten Teilchen

Beitrag von Timm » 22. Apr 2012, 06:40

Super Erläuterung, Tom.
Könntest Du noch den Bogen zum SL schlagen? Hier ist die Entropie eng verknüpft mit der Zahl der Mikrozustände (Planckeinheiten) auf der Schwarzschildflaeche. Spricht man hier auch von Entartung?

Gruss, Timm

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Re: Entropie bei verschränkten Teilchen

Beitrag von tomS » 22. Apr 2012, 08:37

Im Falle des SLs ist das entwas spekulativer, weil man die Mikrozustände nicht so genau kennt. Es gibt aber zwei sehr konkrete Ansätze, die Horizont-Zustände der LQG sowie die Fuzzballs der Stringtheorie. In beiden Fällen hat man eine Abweichung von der klassischen Geometrie. Die Entropie eines Makrozustandes (definiert durch Masse, Drehimpuls und Ladung) wird letztlich durch die Anzahl der Mirozustände definiert, die gerade diesen Makrozustand definieren.
Gruß
Tom

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Re: Entropie bei verschränkten Teilchen

Beitrag von rick » 22. Apr 2012, 15:04

Ah, cool, also ist es im Prinzip die gleiche Definition :D, wenn man den Erwartungswert in meiner Formel ausschreibt. Nur das man anscheinend den natürlichen Logarithmus nimmt? Bei uns wird der Log zur Basis 2 genommen, damit man dann Bit als Einheit rausbekommt :).

Dieser Dichteoperator ist dann einfach nur eine Wahrscheinlichkeitsdichte für Zustände des Systems oder? Ok und die Interpretation ist anscheinend anders, in der Informationstheorie gibt die Entropie sozusagen den mittleren Informationsgehalt eines Symbols einer ZV bzw. Quelle an.

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Re: Entropie bei verschränkten Teilchen

Beitrag von tomS » 22. Apr 2012, 17:13

rick hat geschrieben:Ah, cool, also ist es im Prinzip die gleiche Definition :D, wenn man den Erwartungswert in meiner Formel ausschreibt. Nur das man anscheinend den natürlichen Logarithmus nimmt? Bei uns wird der Log zur Basis 2 genommen, damit man dann Bit als Einheit rausbekommt :).
Ja, das ist ja bis auf einen unwesentlichen Faktor unerheblich.
rick hat geschrieben:Dieser Dichteoperator ist dann einfach nur eine Wahrscheinlichkeitsdichte für Zustände des Systems oder?
Nein, der Dichteoperator sieht komplizierter aus, ich habe ihn hier nicht ausgeschrieben.

Nehmen wir quantenmechanische Zustände |n>, üblicherweise eine Basis, also vollständige, orthogonormierte Zustände. Dann ist der Dichteoperator definiert durch



Dabei stehen die p's für die Wahrscheinlichkeit, dass das System in dem jeweiligen Zustand |n> ist. |n> kann dabei (wenn n eigtl. für mehrere Teilchen steht) auch ein verschränkter Zustand sein. Mittels des Dichteoperators kann man nun Wahrscheinlichkeiten für Zustände, Observablen und u.a. auch die Entropie berechnen.

Im Falle eines thermodynamischen Systems sind die p's üblicherweise durch eine Maxwell-Boltzmann-, Bose-Einstein- oder Fermi-Dirac-Statistik gegeben.
Gruß
Tom

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