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Rolle des Zufalls in der Physik:"Nebenrechnungen"

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Rolle des Zufalls in der Physik:"Nebenrechnungen"

Beitrag von seeker » 24. Okt 2010, 12:55

Hallo Leute!

Ich habe mal hier einen Thread aufgemacht, um Nebenthemen des Threads "Rolle des Zufalls in der Physik" besprechen zu können:
viewtopic.php?f=4&t=1694

Es ist ein Versuch etwas mehr Ordnung zu schaffen.
Ob es funktioniert werden wir sehen. Ob das in Physikalisches, Mathematisches oder ins Basisforum gehört ist mir dabei leider auch noch nicht klar.
Der Thread hier kann ja später noch verschoben werden - ich denke, wir werden sehen...
Skeltek hat geschrieben:
seeker hat geschrieben: Also: Gibt es einen guten Grund, warum ich nicht aus einer unendlichen Menge zufällig eine Zahl ziehen kann, wenn die Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden für jede Zahl gleich sein soll?
Das sollten wir per Icq oder besser Skype ausdiskutieren, bevor wir den Zusammenhang hier rein schreiben. Ich will hier nicht unnötig alles zuspammen.
viewtopic.php?f=4&t=1694&start=82

Geht bei mir im Moment nicht. Also hättest du jetzt hier die Gelegenheit dazu...

Grüße
seeker
Grüße
seeker


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Re: Rolle des Zufalls in der Physik:"Nebenrechnungen"

Beitrag von tomS » 24. Okt 2010, 13:00

OK, dann besser hier in diesem neuen Thread:

Hast du einen C++ Compiler zur Hand?

Schreib mal eine kleine Simulation, die das folgende erledigt:

{
Würfle eine beliebige ganze Zahl N
Würfle M (sehr viele) Zahlen im Intervall [1..N]
Bestimme die Häufigkeit H, dass eine gegebene Ziffer z aus [1..9] an erster Stelle steht
Berechne daraus die Wahrscheinlichkeit p = H/M
Speichere das Paar (N, p) ab
}
Wiederhole diese Schritte sehr oft

Nun zeichne den Graphen (N, p)
Gruß
Tom

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Re: Rolle des Zufalls in der Physik:"Nebenrechnungen"

Beitrag von seeker » 24. Okt 2010, 13:05

Hallo Tom! Mann, du bist aber fix!

Ich kann leider nur VB und habe damit schon einige Zeit nicht mehr gearbeitet.
Das schaffe ich heute leider nicht mehr auf die Schnelle.
tomS hat geschrieben:Würfle eine beliebige ganze Zahl N
Da fängt's doch aber schon an... Hast du einen Geigerzähler an deinen PC angeschlossen? ;a

Aber gut, vielleicht sind die Zahlen dennoch brauchbar.
Was kommt denn bei dir heraus?

Grüße
seeker
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Re: Rolle des Zufalls in der Physik:"Nebenrechnungen"

Beitrag von Skeltek » 24. Okt 2010, 17:38

Wenn ihr es statistisch wollt, wäre vielleicht folgendes einfacher:

n:=1
a:=0
b:=0
while n<10000 do
{x:=e^n // über lang kriegt man hier mit einer zufälligen Ziffer anfangende Zahlen
n:=n+1

xfängtmit1an:=x //folgend wird ermittelt, ob die Zahl x mit der Ziffer 1 beginnt
while (xfängtmit1an div 10)>10
do xfängtmit1an:= xfängtmit1an div 10
if (xfängtmit1an==1) //hier speichern wir die Anzahl der mit 1 beginnenden Zahlen in a ab, den Rest in b
do a:=a+1
else b:=b+1
}
Ziffer1AmAnfang:= a/(a+b) //a durch die Anzahl der gesammten Zahlen ist der gesuchte Quotient.



Ich hab seit 10 Jahren nichts mehr programmiert, Semikollons vergessen, die Befehle sind wohl ein Mischmasch aus mehreren Programmiersprachen. Hab daher auch grade keinen Compiler zur Hand.
Gruß
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Re: Rolle des Zufalls in der Physik:"Nebenrechnungen"

Beitrag von Skeltek » 24. Okt 2010, 17:51

seeker hat geschrieben: Also: Gibt es einen guten Grund, warum ich nicht aus einer unendlichen Menge zufällig eine Zahl ziehen kann, wenn die Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden für jede Zahl gleich sein soll?
Das hier ist ein anderes Thema, aber ich sage mal so:
Wenn man eine beliebige Zahl aus N nimmt, und diese endlich ist, wird man sich fragen, wieso diese so klein ist. Das ist als würde man aus allen Zahlen ausgerechnet die 1 ziehen. Daß man aus beliebig vielen Zahlen, ausgerechnet eine Zahl zwischen 0 und 10^7 gewürfelt hat wäre genauso kurios bzw unwahrscheinlich. Allein die Frage, wieviele Stellen eine zufällig gewählte Zahl haben soll, müsste auch erst ausgewürfelt werden. wieviele Stellen hat der Exponent? Hier beißt sich die Katze in den Schwanz.
Wenn man aus N eine zufällige Zahl zieht, ist es praktisch unmöglich, eine Zahl "nahe" der 0 zu erwürfeln. Wobei "Nähe" im Vergleich zu N selbst immer praktisch nichts ist. Wenn du symbolisch(!) den Bereich von 0 bis 1 stellvertretend für N aufmalst, würde eine endliche Zahl immer ganz links direkt an der 0 kleben.
Streng mathematisch ist die Analogie falsch, aber es macht den Sachverhalt gut deutlich, wieso es unmöglich ist, bei einer Gleichverteilung der Wahrscheinlichkeit auf alle Zahlen ausgerechnet eine Zahl nahe der 0 zu würfeln.
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Re: Rolle des Zufalls in der Physik:"Nebenrechnungen"

Beitrag von tomS » 24. Okt 2010, 20:02

Ich geb' mal einen Tip, vielleicht will Tensor darauf hinaus: Benfords Gesetz
Gruß
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Re: Rolle des Zufalls in der Physik:"Nebenrechnungen"

Beitrag von tomS » 24. Okt 2010, 23:40

Ich hab' mir die Verteilung der '1' als erster Ziffer mal elementar überlegt.

Man betrachtet zuerst die Folge
1
2 ... 9
10 ... 19
20 ... 999
100 ... 199
200 ... 9999
...

Die Anzahl der Zahlen in den jeweiligen Folgen lautet
1
8
10
80
100
800
...

Summiert mal die beiden Zahlenreihen auf, so erhält man aus den Reihen mit 10... bzw. 80... die Gesamtsummen

1
11
111
1111
...

und

8
88
888
8888
...

Die Häufigkeit der '1' nimmt dabei immer abwechselnd zu und ab. Betrachtet man die Zahlenbereiche bis

9
99
999
9999
...

so findet man die Häufigkeiten

1/9
11/99 = 1/9
111/999 = 1/9
1111/9999 = 1/9
...

Betrachtet man jedoch die Zahenbereiche bis

1
19
199
1999
...

so findet man die Häufigkeiten

1/1
11/19
111/199
1111/1999

D.h. die Wahrscheinlichkeit ist zunächst 1/1, fällt dann über den Zahlenbereich 2...9 bis auf 1/9 ab, steigt dann wieder im Bereich 10...19 auf 11/19 an, um anschließend wieder abzufallen usw. Man findet also abwechselnd maximale und minimale Wahrscheinlichkeiten

1/1
1/9
11/19
11/99
111/199
111/999

Die Wahrscheinlichkeit 1/9 tritt dabei immer als minimale Wahrscheinlichkeit auf, die maximale Wahrscheinlichkeit ist durch einen Bruch (1111...)/(1999...) gegeben. Im Grenzfall unendlich vieler Neuner konvergiert dieser Bruch gegen 5/9.

D.h. für sehr große Zahlen schwankt die Wahrscheinlichkeit, eine '1' als erste Ziffer zu finden, zwischen 1/9 und 5/9.
Gruß
Tom

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Re: Rolle des Zufalls in der Physik:"Nebenrechnungen"

Beitrag von Skeltek » 24. Okt 2010, 23:53

Danke für den interessanten Link Tom
Die Frage ist halt nu, wie man das auf 1 bis unendlich überträgt.
Wenn wir einen genügend großen Satz an Zufallszahlen haben, müsste die Wahrscheinlichkeit von 1 am Anfang nicht von der Wahl der Einheit abhängen. Wenn man z.B. galaktische Entfernungen zufällig erwürfeln würde(mehrere tausend mal und diese abspeichern), dürfte der Prozentsatz der Entfernungen, die mit 1 anfangen, ca gleich bleiben, egal was man als Grundlänge(z.B. Meter, Parsec, lichtminuten...) definiert.

Wenn man Zufallszahlen aus dem Bereich 1-99999 nimmt und 1/9 mit 1 anfangen, darf sich der Prozentsatz an Zahlen die mit 1 anfangen nicht ändern, nur weil man die Grundeinheit von km auf Meilen ändert.
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Re: Rolle des Zufalls in der Physik:"Nebenrechnungen"

Beitrag von tomS » 25. Okt 2010, 00:08

Wie meinst du das? Ich habe doch versucht, das zu tun; die Wahrscheinlichekit schwankt zwischen 1/9 und 5/9, egal wie groß der Zahlenbereich wird
Gruß
Tom

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Re: Rolle des Zufalls in der Physik:"Nebenrechnungen"

Beitrag von seeker » 25. Okt 2010, 00:46

@Tom:
Interessant...

Und wieder müssen wir aktuale ("jetzt" Unendlich) Unendlichkeiten von potentiellen (hört nie auf zu wachsen) Unendlichkeiten unterscheiden!

Was du ausführst und sagst gilt für potentielle Unendlichkeiten.
Der Effekt rührt daher, dass du immer mal wieder eine "unfaire" Ausgangsbasis (der 1 gegen die anderen Ziffern) hast.
Denn: Wenn du z.B. Mengen der Art 199999.... betrachtest, dann enthält diese Menge von vorneherein im Verhältnis mehr 1er am Anfang als andere Zahlen.
Die Grundmenge ist daher nicht homogen. Wenn man sie wachsen lässt, dann kann man sagen, dass sie meistens nicht homogen ist - und daher rühren auch die von 1/9 abweichenden Wahrscheinlichkeiten.
Aber das hast du eigentlich aus einer anderen Perspektive heraus schon gesagt...

Wie ist es nun bei einer aktualen Unendlichkeit?

Da muss man doch unbedingt davon ausgehen, dass in der Grundmenge alle Zahlen/Ziffern gleichmächtig vorhanden sind - jetzt!
...und daher darf man hier nicht Mengen von z.B. 0-19999 betrachten, sondern muss 0-9999... - Mengen betrachten.
Damit kommt bei einer aktualen Unendlichkeit hier 1/9 heraus und nichts anderes.

@Skeltek:
Skeltek hat geschrieben:Wenn man aus N eine zufällige Zahl zieht, ist es praktisch unmöglich, eine Zahl "nahe" der 0 zu erwürfeln. Wobei "Nähe" im Vergleich zu N selbst immer praktisch nichts ist. Wenn du symbolisch(!) den Bereich von 0 bis 1 stellvertretend für N aufmalst, würde eine endliche Zahl immer ganz links direkt an der 0 kleben.
Streng mathematisch ist die Analogie falsch, aber es macht den Sachverhalt gut deutlich, wieso es unmöglich ist, bei einer Gleichverteilung der Wahrscheinlichkeit auf alle Zahlen ausgerechnet eine Zahl nahe der 0 zu würfeln.
Klasse Skeltek! Das ist es! Ja, natürlich! :D
Das ist einer der Puzzlesteine, die ich für meine weiteren Überlegungen noch brauche.
Ich denke, dass ich das später vermutlich im Hauptthread ausführen werde, vielleicht auch hier.

Vorerst nur so viel:
Wenn man aus einer aktual unendlichen Menge keine endlichen Zufallszahlen ziehen kann - weil es logisch unmöglich ist und die Natur logisch unmögliche Dinge auch nicht bewerkstelligen kann, aber gleichzeitig Zufall produziert: Was sagt uns das dann über die Grundstruktur der Natur (endlich/unendlich)?


Viele Grüße
seeker
Grüße
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Re: Rolle des Zufalls in der Physik:"Nebenrechnungen"

Beitrag von tomS » 25. Okt 2010, 01:19

Um die 1/9 zu beweisen, müsstest du zeigen, dass der Grenzwert der Wahrscheinlichkeiten gegen 1/9 konvergiert, wenn der Zahlenbereich ins Unendliche wächst
Gruß
Tom

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Re: Rolle des Zufalls in der Physik:"Nebenrechnungen"

Beitrag von seeker » 25. Okt 2010, 10:07

Hmm, ganz unrecht hast du ja nicht... mir bleibt da wohl keine andere Möglichkeit überhaupt einen Beweis zu führen?
Schaun mer noch mal:

Der Grenzwert konvergiert nicht. Wie du sagtest, bildet er eine Art Welle, deren Maxima gegen 5/9 konvergieren und deren Minima bei 1/9 liegen. Wobei: Die Wellenlänge dieser Welle geht gegen unendlich, der Mittelwert (= vermutlich Wendepunkt) liegt bei 3/9 = 1/3.

Die ursprüngliche Frage war:
Wenn man eine echte Zufallszahl aus der Menge der ganzen oder reelen Zahlen nimmt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß diese mit der Ziffer '1' beginnt?

Ich darf festhalten:

1. Diese Frage ist schon an sich sinnlos, bzw. führt zu Widersprüchen.

Denn, wie Skeltek gezeigt hat, kann man keine echte Zufallszahl aus einer unendlichen Menge ziehen.
Man kann nur eine Zufallszahl aus einer beliebig großen, endlichen Menge ziehen - das ist ein Unterschied.

2. Die Frage ist gemäß unseren Rechnungen ersetzbar durch diese Frage:

Enthält die Menge der ganzen Zahlen (oder der reellen Zahlen) mehr Elemente, die mit einer "1" anfangen, als Elemente, die nicht mit einer 1 anfangen? In welchem Verhältnis stehen diese beiden Teilmengen?

Was lässt sich nun dazu sagen?
Wenn ich die ganzen Zahlen in diese beiden Teilmengen unterteile (ich kann auch 10 Teilmengen für jede Ziffer bilden), dann lässt sich sagen:
Jede dieser Teilmengen ist (abzählbar) unendlich groß! (Ausnahme: Die Menge mit dem Element Null, falls ich diese bilde.)

Es ist nun aber sinnlos zu sagen, dass die eine unendliche Teilmenge größer oder kleiner als die andere sei.
Man kann auch keinen Quotienten und keine Summe errechnen.
Man kann nur feststellen: Sie sind gleich mächtig!

Dies wiederum führt auch bei dieser alternativen Frage wieder zu der gleichen Aussage, dass die Frage an sich sinnlos ist, weil sie nicht zu beantworten ist.

Wie ist es bei den reellen Zahlen?

Ich kann die reelen Zahlen in 10 Teilmengen zerlegen (für jede Ziffer eine).
Hier erhalte ich sogar 10 Teilmengen, die alle unendlich sind - und wenn ich mich recht an unsere früheren Diskussionen erinnere, dann kann man sogar sagen:
Alle 10 Teilmengen sind nicht-abzählbar unendlich und gleich mächtig!
(Stimmst du mir zu?)



Wie ist es bei einem endlichen Intervall aus den reellen Zahlen, bei dem jede der 10 Anfangsziffern mindestens 1x vorkommt?
Nehmen wir das Intervall zwischen 0 und 19.

Was passiert, wenn ich diese Menge in 10 Teilmengen, nach der Anfangsziffer unterteile?
Ich erhalte wieder 10 Teilmengen, die alle unendlich viele Elemente enthalten.

Kann ich hier eine Zufallszahl ziehen?
Ich sage: Nein!

Begründung:
Ich kann mit den Elementen dieser Menge eine Zuordnung auf die natürlichen Zahlen(+0) durchführen und habe dennoch unendlich viele Zahlen übrig.

Wenn ich nun hier wieder eine Zufallszahl zu ziehen versuche, werde ich wieder feststellen, dass jede beliebige gezogene Zahl wieder beliebig nahe an der Null (der zugeordneten Menge) liegt und unendlich weit von unendlich "entfernt" ist, was einen Widerspruch darstellt, zu der Forderung, dass die Zahl zufällig sein soll.


Grüße
seeker
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seeker


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Re: Rolle des Zufalls in der Physik:"Nebenrechnungen"

Beitrag von tomS » 25. Okt 2010, 10:56

seeker hat geschrieben:Der Grenzwert konvergiert nicht. Wie du sagtest, bildet er eine Art Welle, deren Maxima gegen 5/9 konvergieren und deren Minima bei 1/9 liegen. Wobei: Die Wellenlänge dieser Welle geht gegen unendlich, der Mittelwert (= vermutlich Wendepunkt) liegt bei 3/9 = 1/3.
Kleine Korrektur: die Folge konvergiert nicht, daher existiert kein Grenzwert. Der Mittelwert liegt sicher nicht bei 3/9, denn der berechnet sich nicht gemäß
p = (p[down]1[/down] + p[down]N[/down]) / 2
sondern gemäß
p = (p[down]1[/down] + p[down]2[/down] + p[down]3[/down] + ... + p[down]N[/down]) / N
aber das ist hier sicher irrelevant.
seeker hat geschrieben:Die ursprüngliche Frage war:
Wenn man eine echte Zufallszahl aus der Menge der ganzen oder reelen Zahlen nimmt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß diese mit der Ziffer '1' beginnt?
Ja.

seeker hat geschrieben:Denn, ..., kann man keine echte Zufallszahl aus einer unendlichen Menge ziehen.
Man kann nur eine Zufallszahl aus einer beliebig großen, endlichen Menge ziehen - das ist ein Unterschied.
Das ist möglicherweise ein Unterschied, aber nur weil wir das nicht können, darf man doch nicht sagen, dass es prinzipiell nicht möglich ist. Ich denke vielmehr, das ist möglich.

Deine restlichen Ausführungen sind - glaube ich - hier nicht relevant. Betrachten wir dazu ein einfacheres Beispiel, nämlich die Menge der reellen Zahlen [0,2]. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl mit einer '0', '1' oder '2' beginnt sollte gleich groß sein, dennoch kann man zeigen, dass jedes beliebige Intervall [0,x] gleichviele Zahlen enthält wie das Intervall [x,2].
Gruß
Tom

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Re: Rolle des Zufalls in der Physik:"Nebenrechnungen"

Beitrag von tomS » 25. Okt 2010, 14:08

Vielleicht klinkt sich tensor hier wieder ein.

Ich habe mal folgende Experimente gemacht:

Zuerst ein Programm (A), das
a) einen Zahlenbereich würfelt und dann
b) innerhalb dieses Zahlenbereiches eine Zufallszahl würfelt

Bei häufiger Wiederholung ergibt sich die Verteilung der ersten Ziffer gemäß dem Benfordschen Gesetz:

1: 33.153700
2: 17.969800
3: 9.667500
4: 8.294600
5: 7.385500
6: 6.692400
7: 6.076600
8: 5.567600
9: 5.154100

Anschließend ein Programm (B), das einen festen Zahlenbereich nutzt und innerhalb dieses Zahlenbereiches die Zufallszahen würfelt.

Es ergibt sich eine signifikaten Abweichung vom Benfordschen Gesetz:

1: 45.692900
2: 6.785100
3: 6.789700
4: 6.770100
5: 6.756100
6: 6.801400
7: 6.788500
8: 6.806900
9: 6.802800



Hier der Code für (A)

Code: Alles auswählen

// first_number.cpp 

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <time.h>

const unsigned long N = 1000000;

int main(int argc, char * argv[] )
{
    srand( time(0) );

    unsigned long s=0;
    unsigned long r, r2;

    char str[100];
    char d;

    unsigned long hist[] = { 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 };

    for ( unsigned long n=0; n<N; n++ )
    {
        ++s;

        // Bereich mit zufälliger Obergrenze 
        r = rand();

        // Bereich mit fester Obergrenze 
        // r = 19999;

        // die Zufallszahl innerhalb des jeweiligen Bereiches
        if ( r == 0 ) continue;
        r = rand() % r;
        if ( r == 0 ) continue;

        sprintf( str, "%ld", r );

        d = str[0] - 49;

        ++hist[d];
    }

    for ( d=0; d<9; d++ )
        printf( "%c: %lf\n", d + 49, 100 * (double)hist[d] / double(N));

    return 0;
}
sowie die geänderte Stelle für (B)

Code: Alles auswählen

        ...

        ++s;

        // Bereich mit zufälliger Obergrenze 
        // r = rand();

        // Bereich mit fester Obergrenze 
        r = 19999;

        // die Zufallszahl innerhalb des jeweiligen Bereiches
        if ( r == 0 ) continue;
        r = rand() % r;
        if ( r == 0 ) continue;

        ...
Gruß
Tom

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Re: Rolle des Zufalls in der Physik:"Nebenrechnungen"

Beitrag von Skeltek » 25. Okt 2010, 14:48

seeker hat geschrieben:Was lässt sich nun dazu sagen?
Wenn ich die ganzen Zahlen in diese beiden Teilmengen unterteile (ich kann auch 10 Teilmengen für jede Ziffer bilden), dann lässt sich sagen:
Jede dieser Teilmengen ist (abzählbar) unendlich groß! (Ausnahme: Die Menge mit dem Element Null, falls ich diese bilde.)

Es ist nun aber sinnlos zu sagen, dass die eine unendliche Teilmenge größer oder kleiner als die andere sei.
Man kann auch keinen Quotienten und keine Summe errechnen.
Man kann nur feststellen: Sie sind gleich mächtig!

Dies wiederum führt auch bei dieser alternativen Frage wieder zu der gleichen Aussage, dass die Frage an sich sinnlos ist, weil sie nicht zu beantworten ist.
2m² Fläche hat gleich viele Punkte wie eine 1m² Fläche. Das bedeutet aber nicht, daß die erste Fläche gleich groß ist wie die zweite.

Das Ziehen einer endlichen Zahl bzw endenden Ziffernfolge aus N ist ungefähr so wahrscheinlich
wie beim zufälligen Ziehen einer Zahl aus dem reelen Zahlenraum eine rationale Zahl zu erwischen.
Eine zufällige Zahl aus unendlich vielen Elementen zu ziehen ist also mit Logarythmen nicht möglich. Selbst alle Zahlen, die durch geometrische Zusammenhänge und komplizierte Formeln darstellbar wären, bilden nur einen Bruchteil aller reelen zahlen.

Wobei wir wieder beim ursprünglichen Thema wären, daß ein echter reeler Wert mit numerischen Mitteln nicht erwürfelt oder dargestellt werden kann.

Gruß, Skel
ps: Ich hatte einen längeren Beitrag geschrieben, aber der ist nach dem posten einfach nicht im Forum aufgetaucht.
Wenn man einen Dartpfeil auf folgendes Diagramm wirft, ist es egal, welche Größenordnung man repräsentativ gewählt hat, man bekommt eine zufällige Zahl, die mit einer Ziffer anfängt. Dabei spiel es keine Rolle, ob man nun repräsentativ alle Zahlen von 10-9999 oder von 2500 bis 24999 für die Klasse wählt.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/d ... se_log.png
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Re: Rolle des Zufalls in der Physik:"Nebenrechnungen"

Beitrag von tomS » 25. Okt 2010, 14:52

So, jetzt habe ich nochmal ein Programm geschrieben, das sehr viele Intervallobergrenzen würfelt und für jede davon dann die Wahrscheinlichkeitsverteilung der einzelnen Ziffern "1", "2", ... berechnet; also gewissermaßenm eine Schleife über das o.g. Programm (A). Man sieht sehr schön, wie die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ziffern abwechselnd zunimmt und wieder abnimmt, auch wenn die Genauigkeit der Simulation noch etwas zu wünschen übriglässt.
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Re: Rolle des Zufalls in der Physik:"Nebenrechnungen"

Beitrag von Maclane » 25. Okt 2010, 15:03

Sorry, ich hab die Diskussion nicht ganz mitbekommen. Darf ich fragen, wozu das gut sein soll?
Wenn man das Gleiche im Binärsystem durchführt, wird man feststellen, dass JEDE Zahl mit einer "1" anfängt (außer der Null natürlich).
Also was hat man damit eigentlich gezeigt?

Das hat doch mit der Frage nach dem Zufall nichts mehr zu tun, oder?

Gruß
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Re: Rolle des Zufalls in der Physik:"Nebenrechnungen"

Beitrag von tomS » 25. Okt 2010, 15:09

Lass' es mich mal so zusammenfassen:

Naiverweise erwartet man, dass es jeweils "gleichviele" Zahlen mit den Anfangsziffern '1', '2', '3', ... gibt, dass also jeweils eine Wahrscheinlichkeit von 1/9 vorliegt. Betrachtet man jedoch konkrete Mengen natürlicher Zahlen, so stellt man fest, dass dies falsch ist, und dass die Zahl '1' deutlich häufiger vorkommt, nach meiner Argumentation bzgl. fester Intervalle zwischen 1/9 und ca. 5/9, gemäß Benfords Gesetz (und variablen Intervallen) sogar noch wesentlich häufiger, nämlich mit ca. 30%.

Die Frage ist, wo liegt der Denkfehler?
Gruß
Tom

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Re: Rolle des Zufalls in der Physik:"Nebenrechnungen"

Beitrag von seeker » 25. Okt 2010, 15:18

tomS hat geschrieben: seeker hat geschrieben:Denn, ..., kann man keine echte Zufallszahl aus einer unendlichen Menge ziehen.
Man kann nur eine Zufallszahl aus einer beliebig großen, endlichen Menge ziehen - das ist ein Unterschied.

Das ist möglicherweise ein Unterschied, aber nur weil wir das nicht können, darf man doch nicht sagen, dass es prinzipiell nicht möglich ist. Ich denke vielmehr, das ist möglich.
Diesmal darf ich aber einen (Gegen-)Beweis für diese Aussage fordern, glauben genügt nicht...

Zu deinem Diagramm:
Ja, schön! Was ich in meinem früheren Beitrag gemeint habe war, dass zwar die Kurve selbst nicht konvergiert, aber dennoch die Maxima dieser Kurve gegen 5/9 konvergieren (wenn man beliebig ferne Maxima betrachtet).

Ich würde aber einfacher rechnen. Man kann das Würfeln einfach weglassen und nur fragen:

Wenn ich von 0 ausgehend hochzähle, wie viele Zahlen mit der Anfangsziffer 1 erhalte ich relativ zur Gesamtheit der (bis dahin) gezählten Zahlen?

Zählen der Zahl E (= Anzahl der Elemente der jeweils betrachteten Menge):
0, 1, 2, 3, ....10, 11, 12,...

Zählen der Anfangs-1er (in der jeweils betrachteten Menge mit E Elementen):
0, 1, 1, 1,...2, 3, 4,...

Teilen der Anfangs-1er durch E:
0/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... 1/9, 2/10, 3/11, 4/12, ...

Dann in einem Diagramm diesen Quotienten gegen E auftragen.

--> Man erhält im Prinzip dieselbe Kurve.

Grüße
seeker
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Re: Rolle des Zufalls in der Physik:"Nebenrechnungen"

Beitrag von Skeltek » 25. Okt 2010, 15:36

Maclane hat geschrieben:Wenn man das Gleiche im Binärsystem durchführt, wird man feststellen, dass JEDE Zahl mit einer "1" anfängt (außer der Null natürlich).
Also was hat man damit eigentlich gezeigt?

Das hat doch mit der Frage nach dem Zufall nichts mehr zu tun, oder?

Gruß
Mac
Ich wollte nur deutlich machen, daß es keine Zufallszahl mehr ist, wenn man die Obergrenze für die Menge aus der man zieht genau auf z.B. 99999 festlegt. 99999 ist ein Wert, der nur so ist, weil wir im Zehnersystem rechnen. Es ist also kein zufälliger Wert, sondern ein von uns gesetzter.
ums deutlich zu machen:
Person A wählt auf der X Achse einen zufälligen Zahlenbereich aus von x1 bis x2 aus dem zufällige Zahlen gezogen werden sollen.
Person B nimmt eine X Achse und legt willkürlich Maßstab, Beschriftung und den Nullpunkt fest.
Person C nimmt beide Zettel und legt die X Achsen aufeinander.
Jetzt hast du einen zufälligen Zahlenbereich, aus dem du Zufallszahlen ziehen kannst.
Das verhindert, daß jemand aus 2000 bis 19999 oder 350 bis 3499 zieht, weil der Prozentsatz 1er von der Wahl des Zahlenbereichs abhängig wäre.
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Re: Rolle des Zufalls in der Physik:"Nebenrechnungen"

Beitrag von tomS » 25. Okt 2010, 15:48

@seeker: natürlich stimmen die exakten Rechnungen mit den Erkenntnissen aus der Simulation überein; ich wollte genau diese Übereinstimmung explizit zeigen.
Gruß
Tom

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Re: Rolle des Zufalls in der Physik:"Nebenrechnungen"

Beitrag von tomS » 25. Okt 2010, 15:49

@skeltek: egal wie du's drehst, du kommst nie auf den naiven Wert 1/9; das scheint hier die zentrale Frage zu sein.
tomS hat geschrieben:Naiverweise erwartet man, dass es jeweils "gleichviele" Zahlen mit den Anfangsziffern '1', '2', '3', ... gibt, dass also jeweils eine Wahrscheinlichkeit von 1/9 vorliegt. Betrachtet man jedoch konkrete Mengen natürlicher Zahlen, so stellt man fest, dass dies falsch ist, und dass die Zahl '1' deutlich häufiger vorkommt, nach meiner Argumentation bzgl. fester Intervalle zwischen 1/9 und ca. 5/9, gemäß Benfords Gesetz (und variablen Intervallen) sogar noch wesentlich häufiger, nämlich mit ca. 30%.

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Re: Rolle des Zufalls in der Physik:"Nebenrechnungen"

Beitrag von Skeltek » 25. Okt 2010, 17:18

tomS hat geschrieben:@skeltek: egal wie du's drehst, du kommst nie auf den naiven Wert 1/9; das scheint hier die zentrale Frage zu sein.
Glaube du verwechselst da etwas. Ich war derjenige der behauptet hat, daß 1/9 falsch ist und hab nur angeführt, wieso man 1-99 nicht stellvertretend für alle zahlen nehmen darf.
Gruß
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Re: Rolle des Zufalls in der Physik:"Nebenrechnungen"

Beitrag von tomS » 25. Okt 2010, 17:41

ja, da bin ich wohl durcheinandergekommen;

trotzdem: diese Frage bleibt, und wir sollten sie doch irgendwie positiv beantworten können, oder?
Gruß
Tom

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Re: Rolle des Zufalls in der Physik:"Nebenrechnungen"

Beitrag von Skeltek » 25. Okt 2010, 18:26

Da kommt vielleicht das zweite ins Spiel, das weiter oben ins Spiel gebracht wurde:
Eine zufällige Größe muss nach dem würfeln endlich sein, also ein zufälliges Vielfaches einer von uns vordefinierten einheit.
Andererseits muss man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung finden, die jeder endlichen Zahl eine ganz konkrete endliche Wahrscheinlichkeit zuordnet, aus unendlich vielen Größen gezogen zu werden.
Man braucht also eine Funktion, die jeder Zahl n aus N eine Wahrscheinlichkeit W(n) zuordnet. Wäre die Wahrscheinlichkeit bei allen endlichen Zahlen gleich groß gezogen zu werden, würden wir bei jedem Würfeln praktisch keine Chance haben, eine endliche Ziffernsequenz als Zahl zu ziehen.
W(n) muss also zwangsläufig für n->unendlich eine Nullfolge sein, also gegen Null konvergieren, damit sie einen endlichen Grenzwert 1 als Gesammtwahrscheinlichkeit hat.

So lässt sich jeder ganzen Zahl eine konkrete Wahrscheinlichkeit zuordnen.
W(n) ist für n->unendlich eine Nullfolge.
W(1)+W(2)+....+W(n) strebt gegen 1 für n->unendlich

Ich kann nur wiederholen, wenn die Wahrscheinlichkeiten für alle Zahlen gleich wären, hätte man sonst unendlich viele Elemente mit jeweils keiner reelen Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden. Hier ließen sich die Werte, bzw im Falle reeler Zahlen die Werte bzw Fläche nicht mal mehr zu einer Gesammtwahrscheinlichkeit von 1 aufsummieren.

Falls mich jemand sucht, ich bin ne Weile im mchat vom Forum
Zuletzt geändert von Skeltek am 25. Okt 2010, 21:16, insgesamt 1-mal geändert.
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