zur Herleitung der Formel m
1·m
2/r² kann ich was sagen, weil es nicht allzu lange her ist, dass wir das in der Schule hatten:
Also, zuerst ist ihm der Apfel auf den Kopf gefallen, das wirst du schon gehört haben. Dann hat er sich Gedanken darüber gemacht, warum der Apfel eigentlich runterfällt und ist darauf gekommen, dass dafür die gleiche Kraft verantwortlich ist, die auch die Planeten auf ihren Bahnen um die Sonne hält (also Gravitation).
Das muss man jetzt nur noch in eine Formel fassen:
Masse hat Gravitation, also hat mehr Masse mehr Gravitation. Wenn man nun beschreiben will, wie stark sich zwei Massen anziehen, muss man sie verknüpfen. Im einfachsten Fall sieht das so aus: F
G=m
1·m
2.
Jetzt wird ja aber die Kraft mit zunehmendem Abstand immer schwächer. Wenn wir den Abstand als Radius r bezeichnen sähe unsere neue Formel so aus: F
G=m
1·m
2/r.
Es könnte aber auch F
G=m
1·m
2/r² oder F
G=m
1·m
2/4r oder ähnlich heißen. Das muss man genauer bestimmen.
Und das geht mit dem Mond. Aber fangen wir vorne an:
Der Mond ist ungefähr 60 Erdradien vom Erdmittelpunkt entfernt (=384000km), hat ein einundachzigstel der Erdmasse (7,41·10^22kg) und bewegt sich in einem Monat einmal um die Erde. Daraus errechnet sich eine Geschwindigkeit des Mondes von ungefähr 1000 m/s.
Ich hoffe, ihr hattet die Kreisbewegung schon. Die Zentripetalkraft ist in diesem Fall natürlich die Erdanziehung. Rechnen wir die mal aus: F
Z=mv²/r.
Wenn man die Werte einsetzt gibt das:
F
Z=(7,41·10^22kg·(1000m/s)²)/384000000m=1,93·10^20N
Aus F = m·a ergiebt sich dann, dass der Mond eine Beschleunigung zur Erde hin von 0,0027m/s² erfährt.
Die Beschleunigung, die wir auf der Erdoberfläche (also einen Erdradius vom Mittelpunkt entfernt) erfahren, ist, wie du vielleicht weißt, 9,81m/s².
9,81/0,0027=3600 --> die Beschleunigung auf der Erdoberfläche ist 3600 mal stärker als in der Entfernung des Mondes. Nun ist der Mond, wie schon gesagt, 60 Erdradien vom Erdmittelpunkt entfernt. Und 3600 ist das Quadrat von 60. Was sagt uns das?
Die Gravitationskraft nimmt mit 1/r
²ab. Also:
F
G = m
1·m
2/r².
Noch würde diese Formel aber viel zu große Werte liefern. Deswegen musste noch ein Faktor davor. Newton konnte den genauen Wert nicht wissen, aber er wusste sicher, dass er kleiner sein musste, als 1, denn wenn er 1 wäre, dann würden zwei Gewichte mit je 1 Kilogramm Masse in einem Meter Abstand auf einer Eisfläche (also so gut wie ohne Reibung) mit 1m/s² aufeinander zubeschleunigen. Der später bestimmte Wert der sog. Gravitationskonstante ist 6,67·10^-11 m³/kg·s²
War das zuviel auf einmal? 
