Na ja, einfach so kommt man nicht drauf.Man überlegt sich folgendes:
Zunächst hat man einen Vektor
r = (x,y) mit
x² + y² = r²
Man möchte den Vektor drehen, d.h. man benötigt einen neuen Vektor
r' = (x',y') mit
x'² + y'² = r'² = r², d.h. die Länge des Vektor soll sich nicht ändern.
Nun ist klar, dass der neue Vektor linear vom alten Vektor abhängt, d.h. wenn der alte Vektor auf die doppelte Länge gestreckt wird, dann auch der neue.
Lineare Abhängigkeit bedeutet nun, dass man für den neuen Vektor schreiben kann
x' = a[down]xx[/down] x + a[down]xy[/down] y
y' = a[down]yx[/down] x + a[down]yy[/down] y
Dabei sind die a's Koeffizienten, die die Drehung beschreiben.
Diese Beziehung kann man als Matrix schreiben:
r' = A r
Dabei fasst die Matrix
A die Koeffizienten zusammen. Siehe dazu
http://de.wikipedia.org/wiki/Matrix_(Mathematik)
http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix
Nun kann man weitere Überlegungen anstellen:
1) man betrachtet zu einer Drehung die inverse Drehung = die Rückdrehung. Die inverse Matrix nennt man dabei
A[up]-1[/up]. Es muss gelten
A * A[up]-1[/up] = A[up]-1[/up] * A = 1
Man findet für die Matrix die Bedingung, dass
A[up]-1[/up] = A[up]t[/up]
Man nennt
A[up]t[/up] die transponierte Matrix; diese erhält man, in dem man die Koeffizienten an der Winkelhalbierenden spiegelt.
2) Außerdem muss die Drehung die Länge des Vektors invariant lassen; dies ist gleichbedeutend mit der Forderung, dass
det A = 1
Die Determinante ist dabei definiert als
det A = a[down]xx[/down] * [down]yy[/down] - a[down]yx[/down] * a[down]xy[/down]
Nimmt man diese Bedingungen zusammen, so stellt man fest, dass sich die Bedingungen an die Koeffizienten erfüllen lassen, wenn man die o.g. Winkelfunktionen Sinus und Cosinus einsetzt. Man kann mathematisch auch die Eindeutigkeit beweisen, d.h. also
i) die o.g. Koeffizienten erfüllen alle diese Bedingungen
ii) es gibt keine Koeffizienten, die diese Bedingungen erfüllen, die sich aber nicht in der o.g. Weise durch Sinus und Cosinus ausdrücken lassen
3) btw. muss die Matrix
A auch eine weitere Eigenschaft erfüllen, sie muss nämlich additiv bzgl. des Drehwinkels sein. Betrachten wir eine Drehung um den Winkel α, beschrieben durch die Matrix
A(α), sowie eine Drehung um den Winkel
β, beschrieben durch die Matrix
B(β). Natürlich gilt für Drehungen um eine feste Drehachse, dass die Hintereinanderausführung von
A und
B einer einzigen Drehung um den Winkel
α+β entspricht, also
A(α) * B(β) = C(α+β)
C wird dabei wiederum durch die o.g. Winkelfunktionen ausgedrückt.
Insgs. handelt es sich bei der Drehung um eine sogenannte Gruppe (und die o.g. Bedingungen sind soetwas ähnliches wie die Gruppenaxiome). In unserem Fall spricht man von der SO(2). Dabei bedeutet
"2", dass wir Drehungen in der Fläche = in 2 Dimensionen betrachten
"O" dass wir orthogonale Matrizen betrachten, d.h. dass
A[up]-1[/up] = A[up]t[/up]
"S" dass wir spezielle orthogonale Matrizen betrachten, die die Determinante +1 haben (-1 ginge auch, dann hätten wir aber noch eine Spiegelung mit dabei)
Nachdem man also mit einiger Mathematik das alles zusammen hat, ist es "natürlich", dass die Matrix die o.g. Form hat.