Abenteuer-Universum

Ja, genau. Das ist eine Drehung in zwei Dimensionen. Der Winkel ist beliebig, die Drehachse bzw. der Punkt, um den gedreht wird, ist der Nullpunkt bzw. der Ursprung des Koordinatensystems. Alles andere ist dadurch eindeutig festgelegt, d.h. jeder Punkt (x,y) in der Ebene wird bei der Drehung identisch behandelt. Was könntest du denn bei einer Drehung sonst noch angeben wollen?

Und ich zerbreche mir da die letzten Tage den Kopf, naja, egal. Jezt weiß ich ja, warum ich auf nichts sinnvolles gekommen bin.

Das Besprochene über die Drehung habe ich eigentlich alles kapiert, außer wie man zur Stellung der oben zitierten Gleichung kommt, könntest du mir das noch erklären?

was meinst du mit Stellung?

Wie man einfach darauf kommt, dass das so heißen muss.

Na ja, einfach so kommt man nicht drauf.Man überlegt sich folgendes:

Zunächst hat man einen Vektor r = (x,y) mit x² + y² = r²
Man möchte den Vektor drehen, d.h. man benötigt einen neuen Vektor r' = (x',y') mit x'² + y'² = r'² = r², d.h. die Länge des Vektor soll sich nicht ändern.
Nun ist klar, dass der neue Vektor linear vom alten Vektor abhängt, d.h. wenn der alte Vektor auf die doppelte Länge gestreckt wird, dann auch der neue.
Lineare Abhängigkeit bedeutet nun, dass man für den neuen Vektor schreiben kann

x' = a[down]xx[/down] x + a[down]xy[/down] y
y' = a[down]yx[/down] x + a[down]yy[/down] y

Dabei sind die a's Koeffizienten, die die Drehung beschreiben.

Diese Beziehung kann man als Matrix schreiben:

r' = A r

Dabei fasst die Matrix A die Koeffizienten zusammen. Siehe dazu
http://de.wikipedia.org/wiki/Matrix_(Mathematik)
http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix

Nun kann man weitere Überlegungen anstellen:

1) man betrachtet zu einer Drehung die inverse Drehung = die Rückdrehung. Die inverse Matrix nennt man dabei A[up]-1[/up]. Es muss gelten

A * A[up]-1[/up] = A[up]-1[/up] * A = 1

Man findet für die Matrix die Bedingung, dass

A[up]-1[/up] = A[up]t[/up]

Man nennt A[up]t[/up] die transponierte Matrix; diese erhält man, in dem man die Koeffizienten an der Winkelhalbierenden spiegelt.

2) Außerdem muss die Drehung die Länge des Vektors invariant lassen; dies ist gleichbedeutend mit der Forderung, dass

det A = 1

Die Determinante ist dabei definiert als

det A = a[down]xx[/down] * [down]yy[/down] - a[down]yx[/down] * a[down]xy[/down]

Nimmt man diese Bedingungen zusammen, so stellt man fest, dass sich die Bedingungen an die Koeffizienten erfüllen lassen, wenn man die o.g. Winkelfunktionen Sinus und Cosinus einsetzt. Man kann mathematisch auch die Eindeutigkeit beweisen, d.h. also
i) die o.g. Koeffizienten erfüllen alle diese Bedingungen
ii) es gibt keine Koeffizienten, die diese Bedingungen erfüllen, die sich aber nicht in der o.g. Weise durch Sinus und Cosinus ausdrücken lassen

3) btw. muss die Matrix A auch eine weitere Eigenschaft erfüllen, sie muss nämlich additiv bzgl. des Drehwinkels sein. Betrachten wir eine Drehung um den Winkel α, beschrieben durch die Matrix A(α), sowie eine Drehung um den Winkel β, beschrieben durch die Matrix B(β). Natürlich gilt für Drehungen um eine feste Drehachse, dass die Hintereinanderausführung von A und B einer einzigen Drehung um den Winkel α+β entspricht, also

A(α) * B(β) = C(α+β)

C wird dabei wiederum durch die o.g. Winkelfunktionen ausgedrückt.

Insgs. handelt es sich bei der Drehung um eine sogenannte Gruppe (und die o.g. Bedingungen sind soetwas ähnliches wie die Gruppenaxiome). In unserem Fall spricht man von der SO(2). Dabei bedeutet
"2", dass wir Drehungen in der Fläche = in 2 Dimensionen betrachten
"O" dass wir orthogonale Matrizen betrachten, d.h. dass A[up]-1[/up] = A[up]t[/up]
"S" dass wir spezielle orthogonale Matrizen betrachten, die die Determinante +1 haben (-1 ginge auch, dann hätten wir aber noch eine Spiegelung mit dabei)

Nachdem man also mit einiger Mathematik das alles zusammen hat, ist es "natürlich", dass die Matrix die o.g. Form hat.

Ich habe gerade in Wikipedia etwas über die klassische Mechanik gelesen. Da hieß es einmal:

In der Relativitätstheorie ist die größte Signalgeschwindigkeit gleich der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit. Unter der Annahme, dass zur Messung physikalischer Vorgänge benötigte Uhren perfekt synchronisiert werden können, lässt sich nun der Geltungsbereich der klassischen Mechanik gegenüber der Relativitätstheorie bestimmen. Die Annahme über die Synchronisierbarkeit gilt nämlich genau dann, wenn die zu messende Geschwindigkeit v im Vergleich zur (maximalen) Signalgeschwindigkeit c, mit der die Uhren synchronisiert werden, klein ist, d. h. v \ll c .

Da bin ich mir nicht sicher, wie ich das zu verstehen habe. Meint man damit, dass bei Geschwindigkeiten, die im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit klein sind, kleinere Messungenauigkeiten nicht so gewichtig ausfallen als bei der Lichtgeschwindigkeit, bei der man sehr genau messen muss?

Nein, das ist anders zu verstehen: vergleichen wir mal zwei Formeln für die Bewegungsenergie eines Objektes (z.B. eines Autos) mit Masse m (z.B. 1000 kg) in Abhängigkeit der Geschwindigkeit v.




Die untere Formel ist nach der Theorie von Einstein korrekt; die obere kennt man seit Newton und sie ist streng genommen nicht richtig. Aber wenn die GEschwindigkeit v viel kleiner ist als c, dann kann man die Unterschiede zwischen beiden Formeln experimentell nicht nachweisen, da die Abweichungen viel zu gering sind. Man kann ein mathematisches Näherungsverfahren anweden, das die zweite Formel systematisch nach Potenzen von (v/c) entwickelt; dieses Verfahren liefert



Was bedeutet das? Nun, der erste Term sieht bekannt aus. Der zweite Term hat noch ein kleine Zahl a dabei und zusätzlich den Term (v/c)². D.h. dass der zweite Term im vergleich zum ersten einen Beitrag liefert, der um den Faktor (v/c)² unterdrückt ist. Wenn v ungefähr gleich c ist, dann ist die Näherung schlecht, da alle Terme ungefähr gleich groß sind; man befindet im relativistischen Bereich und nutzt besser die exakte Formel. Wenn aber v viel kleiner als c ist, dann ist der zweite Term gegenüber dem ersten unterdrückt. Nimm an, dass v = c/100 ist, also v = 0.01*c; dann ist aber (v/c)² = 0.0001. D.h. der zweite Term liefert nur noch ein Zehntausendstel des ersten Terms. Alle weiteren Terme mit ... sind nochmals um ein Zehntausendstel kleiner.

D.h. dass man im nichtrelativistischen Bereich den Unterschied zwischen den prinzipiell "falschen" Formeln von Newton und denen von Einstein mathematisch vernachlässigen und physikalisch nicht messen kann. Dies gilt nicht nur für die Energie sondern auch für andere Größen, z.B. den Verlauf der Zeit.

tomS hat geschrieben:Nimm an, dass v = c/100 ist, also v = 0.01*c; dann ist aber (v/c)² = 0.0001. D.h. der zweite Term liefert nur noch ein Zehntausendstel des ersten Terms. Alle weiteren Terme mit ... sind nochmals um ein Zehntausendstel kleiner.

Also dann stimmt auch die Aussage, die ich in einem Physikbuch gelesen habe, dass man ab etwa einem Prozent c von klassischen auf relativistische Formeln übhergehen muss?

Das ist die bekannte Faustregel. Sie hängt aber stark von der erzielbaren Messgenauigkeit ab. M.W.n. wird für das GPS-System sowohl eine Korrektur gemäß der speziellen als auch der allgemeinen Relativitätstheorie benötigt, obwohl die Geschwindihgkeiten sicher in einem niedrigeren Bereich als v=0.01c liegen.

I.A. dürfte die Faustregel aber gut passen.

OK.

In einem weiteren Abschnitt desselben Artikels tauchte wieder etwas auf, bei dem ich mir nicht sicher war, ob ich es so richtig verstanden habe, nämlich die Observable Ort als Vektor darzustellen, hier der Abschnitt:

http://de.wikipedia.org/w/index.php?tit ... r_Mechanik

Warum ist der Ort ein Vektor? Will man damit einen Bezug zur zeitlichen Veränderlichkeit machen?

Der Ort ist ein Vektor, weil man im dreidimensionalen Raum drei Koordinaten x, y, z benötigt, um ih zu spezifizieren. D.h. man schreibt oft für den Ortsvektor

r = (x,y,z)

oder in der Indexnotation

r = (r[down]i[/down]) mit i=1,2,3

Die zeitliche Veränderlichkeit kennzeichnet man durch das Argument (t), d.h. jede Koordinate kann eine Funktion der Zeit sein

r = r(t) = (r[down]i[/down](t))

Achso, darum ist der Ort ein Vektor.


Ich habe schon wieder eine Frage, diesmal zu einem Gesetz, von dem ich weis, was es aussagt, aber mir nicht sicher bin, wie ich damit umzugehen habe, nämlich das Gesetz von der Abnahme der Gravitationsraft mit dem Quadrat des Abstands. Kann ich das so auffassen: wenn ich den Abstand zweier Massenpunkte kenne und man annimmt, dass er 4 Meter beträgt, heitßt das dann, wenn ich die beiden Massenpunkte um 16m voneinander entferne, die Kraft schwächer wird? Aber das was ich eben geschrieben habe ist doch nicht mit 1/r² vereinbar, oder?

Doch, das ist es.

Nimm ein Beispiel, mit dem du etwas anfangen kannst, nämlich die Erde. Der Erdradius beträgt ganz grob gesagt 6000 km, die Gewichtskraft auf eine Masse von 4kg beträgt ca. 40N (N steht für Newton; exakt wären es 9.81 Newton, das ist die Erdbeschleunigung g).

Wenn du diese Masse auf den doppelten Erdarius bringst, d.h. 12000 km vom Erdmittelpunkt entfernt also in ca. 6000 km Höhe, dann wird diese Masse mit einer Kraft von nur noch 10N angezogen. Wie kommt man auf die 10N? Ganz einfach über deine Formel:

Die Gewichtskraft lautet



Dabei ist M die Masse der Erde und G die Gravitationskonstante, deren Wert uns hier nicht interessiert. Einsetzen des Erdradius ergibt



mit



Bringt man die Masse nun auf die doppelte Entfernung, so gilt



mit



In Worten: Verdopplung des Abstandes (der immer vom Erdmittelpunkt gemessen werden muss) bedeutet ein Viertel der resultierenden Kraft und somit ein Viertel der daraus resultierenden Beschleunigung.

Was hat es eigentlich mit dieser Gravitationskonstanten auf sich? Kannst du das mal ausführen?

Alexander hat geschrieben:Was hat es eigentlich mit dieser Gravitationskonstanten auf sich? Kannst du das mal ausführen?

G ist nur ein experimentell bestimmter Korrekturwert, um die Gravitationsformel so zu "verbiegen", dass diese richtige Ergebnisse liefert. - Wie viele andere Konstanten eben auch.
Meiner Meinung nach sind Konstanten oft nur ein Hinweis darauf (Ausgenommen davon sind natürlich Umrechnungen auf Grundlage verschiedener Einheitensysteme.), dass eine Formel lediglich eine Näherung darstellt, sei es, weil die korrekte Berechnung zu kompliziert ist oder weil man nicht weiss, wie die korrekte Berechnung zu erfolgen hat.

Um das noch etwas etwas weiter auszuführen:

Wenn wir uns die Gleichung



anschauen, dann kann man fragen, wie man dazu (experimentell) kommt.

Man geht zunächst vom Masse- und Kraftbegriff aus, den man schon vorher aus den newtonschen Gesetzen kennt:






Das hat mit der Trägheit der Masse zu tun und besagt u. a., dass ein Körper seinen Bewegungszustand nur ändert, wenn eine Kraft auf ihn wirkt.

Unabhängig wie man auf die Gravitationsformel kommt, kann man experimentell feststellen, dass zwei Massen nicht nur träge sind, sondern sich auch gegenseitig anziehen.
Das kann man z.B. tun, indem man zwei große Metallkugeln mit bekannten Massen (m und M) nahe (in einem bekannten Abstand r) und beweglich zueinander aufhängt und dann die Kraft F misst, mit der sie sich anziehen.

Man findet folgende Zusammenhänge:


Man sagt:"Die Anziehungskraft F zwischen zwei Massen M und m ist proportional zur Masse m".
Dies bedeutet: Wenn ich m z.B. verdopple und alles andere nicht verändere, dann verdoppelt sich auch F.
Wenn ich m z.B. verzehnfache, dann verzehnfacht sich auch F.

und

Man sagt:"Die Anziehungskraft F zwischen zwei Massen M und m ist proportional zur Masse M".
Dies bedeutet: Wenn ich z.B. M verdopple und alles andere nicht verändere, dann verdoppelt sich auch F.


Woraus folgt:

Die Anziehungskraft F zwischen zwei Massen M und m ist proportional zum Produkt aus den Massen m und M.
Wenn ich z.B. m verdopple und M verdreifache, dann versechsfacht sich die Kraft F, da 2 x 3 = 6

Außerdem findet man noch, dass auch der Abstand eine Rolle spielt, so:

Die Anziehungskraft F zwischen zwei Massen M und m ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands der Massenschwerpunkte r, bzw. ist proportional zu
Das bedeutet, dass sich z.B. die Kraft viertelt, wenn man den Abstand verdoppelt (und sonst alles gleich lässt).

Wenn man das alles zusammenfasst kommt man hierzu:



Das ist aber noch keine Gleichung - man kann damit noch keine konkreten Zahlenwerte ausrechnen. Es fehlt das "=".
Damit man ein "=" einfügen darf müssen die Einheiten und Zahlenwerte stimmen. Dafür sind die Konstanten zuständig.

Man findet:



mit



Das G ist notwendig, damit man ein "F" herausbekommt, das dieselbe Kraft F ist, die man schon aus kennt.

Erst jetzt kann man beide Formeln sinnvoll verbinden. In bestimmten Problemstellungen z.B. so:





Wichtig zu bemerken wäre noch, dass man das schon sehr genau überprüfen muss, ob so eine Konstante auch wirklich in allen möglichen Fällen konstant ist, ob man auch wirklich alle Proportionalitätsfaktoren (hier: m, M und r) schon gefunden hat.
Manchmal hat sich später auch noch herausgestellt, dass sich in solchen "Konstanten" doch noch weitere Variablen versteckt hatten.

Grüße
seeker

Hat also die Gravitationskonstante nur daher die Einheit, die sie besitzt, um die Einheiten von Mm/r² so "hinzubiegen", damit am Ende die Einheit der Kraft kg*m/s² bei rauskommt?

Wie kam man eigentlich auf den genauen Zahlenwert von G?

Alexander hat geschrieben:Hat also die Gravitationskonstante nur daher die Einheit, die sie besitzt, um die Einheiten von Mm/r² so "hinzubiegen", damit am Ende die Einheit der Kraft kg*m/s² bei rauskommt?

Könnte man so sagen, aber korrekterweise formuliert man besser so: Man stellt die Formel nach G um, und liest dann die Einheit ab.

Alexander hat geschrieben:Wie kam man eigentlich auf den genauen Zahlenwert von G?

Wie schon gesagt: Man bestimmt das über eine Drehwaage.
Schau dir mal das Bild in diesem Dokument an:
http://www.pi5.uni-stuttgart.de/lehre/h ... ersion.htm

Alexander hat geschrieben:Hat also die Gravitationskonstante nur daher die Einheit, die sie besitzt, um die Einheiten von Mm/r² so "hinzubiegen", damit am Ende die Einheit der Kraft kg*m/s² bei rauskommt?

Ich würde das "nur" weglassen und sagen: Ja!

Der Hintergrund der Konstanten ist der:

Wenn man in der Physik irgendetwas mathematisch beschreiben können will, dann muss man zuerst den beobachteten Phänomenen überhaupt erst einmal Zahlenwerte zuordnen können. Ohne diese Zahlenwerte könnte man z.B. bei einer fallenden Kugel nur sagen: "Die Kugel wird beim Fallen immer schneller." Aber wie viel schneller? Das wollen wir mit Zahlen ausdrücken können!

Dazu brauchen wir Grundeinheiten: wir müssen eichen. Im Beispiel brauchen wir zunächst eine Einheit für die Zeit und eine für den Weg.
Mehr oder weniger willkürlich sagt man nun: Eine Zeiteinheit ist eine Sekunde und eine Wegeinheit ist ein Meter. Wichtig: Man könnte auch völlig andere Abstände wählen (was die Engländer und Amerikaner unglücklicherweise auch gerne tun, z.B.: Meile, Fuß, Zoll, Galone, etc.)
Dabei orientiert man sich daran, wie gut die Einheit handhabbar ist und wie gut sie alle messen können. Das Urmeter z.B. ist ein Metallkörper und liegt in Paris. Jeder, der wissen will, was ein Meter ist, kann im Prinzip nach Paris gehen und dort eine Kopie von diesem Urmeter machen.

Aufbauend auf solchen Grundeinheiten, kann man weitere abgeleitete Größen definieren, z.B. die Geschwindigkeit V mit der Einheit m/s.

Im Falle der Kraft F ist es halt so, dass man die Kraft zuerst über den Kraftstoß definiert hat: Ein Körper bewegt sich, wenn ich ihn anstoße.
Deshalb steckt in p = m*V eigentlich die Einheit 1 mit drin: p = 1*m*V. Hätte man die Kraft zuerst über die Anziehung zweier Massen definiert, dann würde eine Konstante, wie G nicht im Massenanziehungsgesetz stecken, sondern im "F=m*a". Es würde dann z.B. heißen: F = k*m*a, mit einer Konstanten "k".

Wie gesagt: Konstanten sind Verhältnisse (zur rechnerischen Verknüpfung von sonst verschiedenen Dingen). Wo man sie hinschreibt ist eigentlich egal und folgt dem Gebot der einfachsten Handhabbarkeit und Messbarkeit und hat außerdem auch geschichtliche Gründe.

Grüße
seeker