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Feldtheorie-Frage-Antwort

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Re: Feldtheorie-Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 1. Aug 2009, 11:06

Also die Photonen durchdringen sich gegenseitig und beeinflussen sich nicht?

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Re: Feldtheorie-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 1. Aug 2009, 11:56

Ja!

Das gilt allerdings auch im Vakuum nicht mehr in der QFT - aber der Thread heißt ja Feldtheorie-Frage-Antwort und nicht Quantenfeldtheorie -Frage-Antwort
Gruß
Tom

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Re: Feldtheorie-Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 2. Aug 2009, 23:50

OK, aber was mir jetzt immer noch nicht richtig klar wurde, ist die Sache mit dem Lichtkegel. Ich habe zwar danach gegoogelt und mich auch intensiv damit befasst, habe aber bisher dennoch nur eine vage Vermutung, was es bedeuten könnte. Könntest du darauf noch eingehen, bevor wir weitermachen, wenn das wirklich so wichtig ist im weiteren Verlauf?

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Re: Feldtheorie-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 3. Aug 2009, 00:47

OK.

Wir betrachten eine Wasserwelle, d.h. die Ausbreitung einer Welle in zwei Dimensionen. Wir regen zum Zeitpunkt t°=0 eine punktförmige Welle an, die sich kreisförmig ausdehnt. Wir können für den äußersten Kreis (= die äußerste Wellenfront) annehmen, dass er sich mit konstanter Geschwindigkeit c ausdehnt und setzen

r(t) = ct

D.h. zum Zeitpunkt t hat sich die Wasserwelle radial um r(t) ausgedehnt.

Nun zeichnen wir für verschiedene Zeitpunkte t einen Kreise jeweils mit Radius r(t) auf ein Papierblätter (ein Blatt je Zeitpunkt). Die Kreise werden dabei immer größer. Nun halten wir die Papiere übereinander, und zwar so, dass ihr Abstand jeweils ct vom nullten Blatt (auf dem die Welle noch ein Punkt war) beträgt. Wenn wir die einzelnen Zeitpunkte t dicht beieinander wählen, dann ergibt die Gesamtheit aller Kreise einen Kegelmantel.

Statt des Zeichnens könnten wir auch Photographien verwenden.

In diesem Bild wird also die Zeitdimension als dritte Dimension nach oben gezeichnet, während sich die räumlichen Dimensionen wie üblich erstrecken.

Ersetzen wir die Wasserwelle durch eine sich kugelförmig ausbreitende Lichtwelle, so erhalten wir den Lichtkegel. Wir können uns das nicht mehr vorstellen, da statt der kreisförmigen Wasserwelle nun eine kugelförmige Lichtwelle (z.B. ein extrem kurzer Lichtblitz) nach außen läuft und wir für die Zeit jetzt die vierte Dimension benötigen. Aber mathematisch kann man das durchaus äquivalent behandeln.

Weil nun auch die Physiker immer wieder zu anschaulichen Bildern zurückgreifen, lassen sie oft die dritte Dimension weg und veranschaulichen die Lichtwelle ebenfalls als sich ausdehnender Kreis. Damit erhält man den Lichtkegel so wie oben den beschrieben.

Zusammenfassend:
Der Lichtkegelbeschreibt die Gesamtheit aller Punkte der Raumzeit, die ein Lichtblitz einmal durchlaufen wird (der Blitz möge von einem Punkt ausgehen und sich dann kugelförmig ausbreiten).
Zu einem festen Zeitpunkt betrachtet erscheint der Lichtkegel als Kugel (es handelt sich um genau die Punkte, die die Lichtwelle eben zu genau diesem Zeitpunkt erreicht hat)
Damit ist der Lichtkegel die Gesamtheit aller ineinanderliegenden Kugelschalen.

Wenn du das verstanden hast, dann können wir uns gemeinsam überlegen, wie man mit dem Lichtkegel Über- und Unterlichtgeschwindigkeit diskutiert.
Gruß
Tom

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Re: Feldtheorie-Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 3. Aug 2009, 11:57

Gut, jetzt ist das schon mal viel klarer, aber dennoch:

Das mit der Kugel habe ich im Moment so aufgefasst, in der Mitte ist die Qulle der Kugel und sie beginnt nun zu allen Seiten hin gleichmäßig zu expandieren, ist das falsch?


Du sagtest, der Lichtkegel beschreibt die Gesamtheit aller Punkte der Raumzeit, die ein Lichtblitz einmal durchlaufen wird. Heißt das, dass der Lichtkegel so groß werden kann, wie der Raum, in dem er sich befindet?

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Re: Feldtheorie-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 3. Aug 2009, 17:54

Ja, der Lichtkegel kann so groß werden wie der gesamte (dreidimensionale) Raum.

Wichtig ist aber, dass wir über die (vierdimensionale!) Raumzeit sprechen; dabei gibt es Punkte in der Raumzeit, die auf dem Lichtkegel liegen, welche innerhalb und welche außerhalb. Denk doch dazu nochmal über das im anderen Thread zur Weltlinie gesagt nach.
Gruß
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Re: Feldtheorie-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 3. Aug 2009, 20:20

Damit du die nächste Zeit ein bisschen was weiterdenken und -lesen hast:

Zur Konstruktion eines derartigen Diagramms:
- die horizontale Achse sei die räumliche Achse; der Maßstab sei 1 cm = 1 Lichtsekunde
- die vertikale sei die zeitliche Achse; der Maßstab sei 1 cm = 1 Sekunde
- damit ist die Lichtgeschwindigkeit c=1 (in diesem Diagramm)
- die Winkelhalbierende, d.h. die Gerade mit Steigung = 1 entspricht dann dem Lichtkegel
- größere Steigungen entsprechen Unterlichtgeschwindigkeit, kleinere dagegen Überlichtgeschwindigkeit
- ein ruhender Punkt (z.B. der Nullpunkt mit x=0) entspricht einer vertikalen Geraden durch die Raumzeit
- ein Lichtstrahl Punkt entspricht der Winkelhalbierende
- Raumzeitpunkte innerhalb des Lichtkegels können vom Nullpunkt aus prinzipiell erreicht werden (mit Lichtgeschwindigkeit oder kleinerer Geschwindigkeit)
- Raumzeitpunkte außerhalb des Lichtkegels können vom Nullpunkt aus prinzipiell nicht erreicht werden (außer mit Überlichtgeschwindigkeit, die jedoch verboten ist)
Gruß
Tom

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Re: Feldtheorie-Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 6. Aug 2009, 12:54

Bild


Also so?

Die Zeichnung liegt nur irgendwie auf der Seite, anders wäre was abgeschnitten worden, aber ich denke, den Nullpunkt kann man trotzdem ganz gut erkennen.

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Re: Feldtheorie-Frage-Antwort

Beitrag von gravi » 6. Aug 2009, 20:34

@Alexander:
Ich glaube Du hast beim Hochladen eines Bildes etwas falsch gemacht...

Bitte noch mal versuchen und die maximale Größe beachten (siehe unter "Allgemeines")

Gruß
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Alexander

Re: Feldtheorie-Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 10. Aug 2009, 19:21

Bild

So, jetzt müsste man es besser erkennen, unten links im Eck der Nullpunkt, die Winkelhalbierende vom Nullpunkt aus und die y- und x-Achse.

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Re: Feldtheorie-Frage-Antwort

Beitrag von gravi » 10. Aug 2009, 19:47

Ja, zu erkennen ist es bei genauem Hinsehen schon.
Aber etwas größer darf es schon sein... :wink:

Schönen Gruß
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Re: Feldtheorie-Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 10. Aug 2009, 20:22

Also ist es so richtig?

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Re: Feldtheorie-Frage-Antwort

Beitrag von gravi » 11. Aug 2009, 17:59

Ja, das hast Du schon richtig gemacht.
Aber in diesem Fall hättest Du die Bildgröße ruhig auf 350 x 350 Pixel stellen können anstatt auf 200, oder auf 400.
Erlaubt sind sogar 750, aber so groß muss es dann nicht immer sein.
Einfach darauf achten, dass auch Leute ohne Mikroskop etwas sehen können :lolol:

In jedem Fall aber hast Du die Zeichnung richtig angefertigt, wie von Tom vorgeschlagen. Die Diagonale ist jetzt der Lichtkegel. Alles was sich oberhalb befindet kann sich nur mit Überlichtgeschwindigkeit bewegen, die Weltlinien unterhalb kennzeichnen Bewegungen unterhalb der Lichtgeschwindigkeit.

Gruß
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Re: Feldtheorie-Frage-Antwort

Beitrag von gravi » 12. Aug 2009, 18:08

Die Beschriftung des Diagramms konnte ich nicht erkennen - bin vom umgekehrten Fall ausgegangen.
Wenn es so ist wie Tensor annimmt, dann nennt man alle Weltlinien unterhalb der Diagonale auch raumartig, die Diagonale selbst ist lichtartig und der Bereich darüber ist zeitartig. Jetzt haben wir's aber...

Gruß
gravi
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Re: Feldtheorie-Frage-Antwort

Beitrag von gravi » 13. Aug 2009, 18:29

:oops:

hatte ich übersehen. Du hast natürlich Recht!

Gruß
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Re: Feldtheorie-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 22. Aug 2009, 12:07

Hallo,

melde mich zurück :-)

Noch einige Erläuterungen: wie richtig bemerkt ist die "kausale Zukunft" des Koordinatenursprungs das Innere des Lichtkegels einschließlich der Begrenzung = des Lichtkegels selbst. D.h. dies ist der Bereich der Raumzeit. der ausgehend vom Koordinatenursprung kausal beeinflusst werden kann. Punkte innerhalb des Lichtkegels sind dabei durch Signale mit Unterlichtgeschwindigkeit erreichbar, Punkte auf dem Lichtkegel selbst durch Signale mit Lichtgeschwindigkeit. Punkte außerhalb des Lichtkegels können nicht kausal beeinflusst werden.

Den eigentliche "Lichtkegel" für zwei Raumdimensionen erhält man, wenn man das Diagramm um die vertikale t-Achse rotiert; die Winkelhalbierende für v=c=1 beschreibt dann einen Kegelmantel. Mit drei Raum- plus einer Zeitdimension kann man das leider nicht mehr veranschaulichen.

Die Bedeutung des Lichtkegels in einer (relativistischen) Feldtheorie liegt nun darin begründet, dass sich Wellen häufig mit Lichtgeschwindigkeit und damit exakt entlang des Lichtkegels ausbreiten. Betrachtet man alle Punkte der Raumzeit, die ausgehend von einer Kugelwelle um den Ursprung von eioner el.-mag. Welle erreicht werden, so gilt die Gleichung

x-ct = 0

D.h. ein Punkt mit Koordinate x wird nach einer Zeit t von der Welle erreicht; aufgelöst lautet die Gleichung

t = x/c

Im Falle der vierdimensioanle Raumzeit verallgemeinert man die Gleichung zu

(ct)² - r² = 0

r steht dabei für den dreidimensionalen Vektor

r = (x,y,z)

In einer relativistischen Feldtheorie wird die Ausbreitung von Wellen durch sogenannte Differentialgleichungen beschrieben. IM einfachsten Fall handelt es sich dabei um eine Wellengleichung der Form



Diese Gleichung beschreibt nun für eine beliebige Konfiguration u(x,t°) die Form der Welle zu einem späteren Zeitpunkt u(x,t). u(x,t°) entspricht dabei der Anfangsbedingung. Wählt man als Anfangsbedingung eine punktförmige, singuläre Anregung, so setzt sich diese ebenfalls singulär nach außen fort. Es handelt es sich dabei um eine Kugelwelle mit einer unendlich dünnen, unendlich hohen (singulären) Anregung. Die Kugelwelle ist für

r = ct

angeregt, für alle anderen Radien exakt Null. Mathematisch beschreibt man dies durch eine Dirac'sche Deltafunktion (bzw. mathematisch exakt durch eine temperierte Distribution, ein verallgemeinerter Funktionsbegriff).

Interessant dabei ist, dass diese spezielle Art der Kugelwelle eine mathematische Eigenschaft des Differentialoperators



ist; man spricht von seiner Charakteristik. D.h. dass sich jede beliebige Wellenausbreitung jeder beliebigen Wellenform durch Überlagerung derartiger singulärer Anregungen darstellen lässt, dies ist die sogenannte Methode der Greenschen Funktionen zur Lösung von Differentialgleichungen. Die inneren Linien der Feynmandiagramme, die sogenannten Propagatoren, entsprchen dabei ebenfalls einer bestimmten Sorte von Greenschen Funktionen.

In allen bekannten Feldtheorien (einschließlich der ART) lässt sich lokal ein derartiger Differentialoperator finden (möglicherweise hat er eine im Detail andere Form, aber grundsätzlich existiert immer ein derartiges Genbilde). Damit ist es möglich, die gesamte Klasse der Wellenphänomene allgemein, d.h. unabhängig von einer bestimmten Wellenform u(x,t), zu untersuchen. In die Struktur des jeweiligen Differentialoperators ist dabei auch automatisch die Kausaltität eingebaut, denn der Differentialoperator bzw. seine Charakteristik respektiert dabei ja den Lichtkegel.

Damit sollte das Thema "Lichtkegel" klar sein, oder?
Gruß
Tom

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Re: Feldtheorie-Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 28. Aug 2009, 12:57

Und wie willst weiter machen?

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Re: Feldtheorie-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 28. Aug 2009, 23:37

Gegenfrage: wie weit bist du denn mit deinen mathematischen Studien?

Viele weitere Themen erfordern, dass wir ein bisschen Mathematik betreiben, also z.B. Differential- oder Integralrechnung. Wie sieht's inzwischen damit aus?
Gruß
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Re: Feldtheorie-Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 29. Aug 2009, 11:01

Dazu habe ich zwar nichts in meinem Buch stehen, aber egal, bisher bin ich auch immer klar gekommen, sollte etwas nicht gehen, mach ich das immer wie folgt, also wenn ich die Mathematik dazu noch nicht nachvollziehen kann: ich lese mir das was du dazu geschrieben hast genau durch, denke drüber nach und versuche später, wenn ich etwas mehr weis, das nachzuvollziehen, bisher hat das immer geklappt.

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Re: Feldtheorie-Frage-Antwort

Beitrag von breaker » 1. Sep 2009, 12:53

Sollen wir vielleicht so etwas wie einen Analysis-Frage-Antwort-Thread aufmachen?

Was hast Du denn als nächstes vor, Tom, d.h. was für Kenntnisse wären erforderlich?
Ich wäre immer bereit, ein bisschen was über Mathe zu erzählen.

Alexander

Re: Feldtheorie-Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 2. Sep 2009, 13:05

Ich als Lernender wäre natürlich dabei.

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Re: Feldtheorie-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 2. Sep 2009, 20:49

Ich halte die Idee für sehr gut.

Momentan bin ich - ehrlich gesagt - etwas ratlos, wie ich vollständig ohne Mathe weitermachen soll. Daher käme das zeitlich gerade recht.

Ich würde vorschlagen, die Vorgehensweise anhand eines Online-Buches zu strukturieren - man spart da doch eine Haufen Tipparbeit, insbs. bei LaTeX.
Gruß
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Re: Feldtheorie-Frage-Antwort

Beitrag von Alexander » 24. Sep 2011, 16:47

Also, da wir ja aufgrund meiner nun etwas besseren (auch durch den weiter laufenden Analysis-Thread angeeigneten) Mathematikkenntnisse und mathematischen Denkweise gesagt haben, diesen Thread hier parallel wieder aufzunehmen, die Frage: Womit willst du in der Diskussion fortfahren?

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Re: Feldtheorie-Frage-Antwort

Beitrag von tomS » 25. Sep 2011, 15:40

Ich schlage vor, dass ich demnächst einen neuen Thread eröffen; mir schwebt vor "Elektrodynamik & Eichtheorien für Einsteiger"; dabei möchte ich die klassische Elektrodynamik zuerst in 1+1 Dimensionen diskutieren, da hier die Mathematik noch sehr übersichtlich ist; in 3+1 Dimensionen benötigt man sowohl partielle Differetialgleichungen als auch Vektoranalsysis - das kommt dann später.
Gruß
Tom

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