Exotische vierdemsionale Räume

[tomS]

Hallo zusammen,

Mich treibt schon seit einiger Zeit etwas ziemlich Exotisches aus der Mathematik bzw. die möglichen physikalischen Konsequenzen um.

Frage:
Ist der vierdimensionale Raum, in dem wir gewöhnlich Theorien und Gleichungen (Maxwell, Einstein, Dirac, …) formulieren, eigentlich der richtige – bzw. der einzig mögliche???

Hintergrund:
Man weiß natürlich schon lange, dass es andere Topologien gibt, d.h. dass mathematisch z.B. Räume mit Löchern, Wurmlöcher und ähnliche Dinge möglich sind. Aber für das folgende wollen wir uns mal auf einen konservativen Standpunkt zurückziehen und Physik nur in einem Raum betreiben, der zunächst aussieht wie der gewöhnliche R^4 – der also zu diesem topologisch äquivalenten ist.
Aber was ist denn der normale R^4?

Kurze Erklärung:
Wir wissen, dass man für jeden vierdimensionalen Raum, wie er z.B., in der SRT oder ART auftritt, einen Satz von Koordinatensystemen angeben kann, so dass der gesamte Raum durch diesen Satz von Koordinatensystemen abgedeckt wird. Für den Minkowskiraum genügt ein Koordinatensystem, für ein schwarzes Loch (d.h. für die Schwarzschildgeometrie) nimmt man üblicherweise zwei, ein Koordinatensystem für den Außenraum, eines für den Innenraum.
Wir wissen auch, dass für eine fest vorgegeben Topologie verschiedene Koordinatensysteme möglich sind (kartesische Koordinaten, Polarkoordinaten, ...), und wir glauben zu wissen, dass diese verschiedenen Koordinatensysteme keinen Einfluss auf die Physik haben; d.h. die Physik soll invariant unter Koordinatentransformationen sein (es gibt natürlich immer wieder ein unpassendes Koordinatensystem, aber das macht das Rechnen eben nur schwieriger, dadurch ergibt sich keine neue Physik)

Nun gibt es eine erstaunliche mathematische Erkenntnis (beweisbar – keine Vermutung): man kann für den R^4 verschiedene Sätze von Koordinatensysteme konstruieren, so dass folgendes passiert:
- die resultierenden vierdimensionalen Räume haben alle dieselbe Topologie
- man kann auf jedem Satz von Koordinatensystemen Differentialrechnung betreiben (gut!)
- es gibt zwischen diesen Sätzen von Koordinatensystemen keine glatten Koordinatentransformationen

D.h. diese Räume sind äquivalent bzgl. ihrer Topologie (da sehen sie alle aus wie der R^4), aber nicht bzgl. der geltenden Regeln für Differentialrechnung. Da nun aber sämtliche Feldtheorien heute über Differentialrechnung auf dem R^4 definiert werden, bedeutet dies, dass es unterschiedliche Versionen davon gibt, also z.B. unterschiedliche Versionen der ART (eine für jeden dieser Räume) und dass sich diese unterschiedlichen Versionen (der Differentialrechnung und der dadurch definierten Theorien) nicht aufeinander abbilden lassen und somit unterschiedliche Physik definieren (klingt ziemlich abgefahren – ist es auch)

Vielleicht gibt es für einige dieser exotischen Räume das FRW-Universum nicht???

Die so konstruierten R^4 heißen exotische R^4.

Wieviele davon gibt es? Überabzählbar unendlich viele!

Was bedeutet das? Dass man überabzählbar unendlich viele verschiedene Differentialrechnungen definieren kann, die alle nicht ineinander transformierbar sind! Lokal sieht natürlich alles wie der bekannte R^4 aus, aber global hat man evtl. verschiedene Universen definiert! Den Unterschied sieht man erst, wenn man anfängt, Differentialrechnung zu betreiben.
Man darf das jetzt nicht Kugelkoordinaten, kartesischen Koordinaten u.ä. verwechseln; die ergeben natürlich immer dieselbe Physik und sind prima ineinander transformierbar; die exotischen Koordinatensysteme kann so einfach niemand hinschreiben – ich schon gleich gar nicht.

Ich hab’ mal gegoogelt („exotic spaces“, „exotic R^4“, „fakeR^4“), aber praktisch nichts für die Physik interessantes gefunden. Ausgangspunkt waren einige mathematische Arbeiten von Freedman und Donaldson, aber die Physiker kümmern sich offensichtlich nicht groß darum. Dummerweise kann man das auch nicht gut anschaulich erklären, da dieses Ergebnis nur für 4 Dimensionen gilt.

[SchrödingersCAT]

*Schluck*

ich habe leider keine Antwort auf deine Frage, Tom.

Liebe Grüße CAT

[AlTheKingBundy]

es gibt ja derzeit auch keine beweisbare antwort auf seine frage. wir könnten höchstens ein wenig spekulieren, da bin ich gerne dabei

[derNeugierige]

Hallo,

eine wirklich interessante Frage, welche auch mal die grauen Zellen auf einer anderen Ebene anspricht. Aber ich denke, das die Gedanken logisch sind, wenn man das Univerum verstehen will. Wenn ich das richtig verstanden habe, gibt es unendlich (?) viele Möglichkeiten das Universum zu beschreiben? Könnte man nicht theoretisch alle Möglichkeiten durchrechnen und dann eine Art Mittelwert daraus bilden, der das Universum am besten beschreibt? (Ich weiß klingt verrückt, aber wer sagt, dass das Universum normal ist? ). Vielleicht noch einen Schritt weiter: Das Universum in Beziehung zu seinen möglichen Extradimensionen. Am besten sollte gleich eine neue Mathematik erfunden werden.
Na der Quantencomputer wird jede Menge zu tun haben .

[gravi]

Also diese exotischen R^4- Universen klingen in der Tat schon recht exotisch. Mit gutem Recht gehen wir bei unserem Universum von einer 4-dimensionalen Topologie aus (wir leben in einer Hypersphäre).

Manchmal komme ich mir vor wie eines dieser zweidimensionalen Wesen, die auf einem Blatt Papier leben und dort niemals auf die andere Seite gelangen geschweige denn den Kopf erheben können.

Also mehr als unsere 4 Dim. sind uns nicht zugänglich, was aber, wenn das All sogar 5 oder noch mehr Dimensionen hat? Damit meine ich nicht die Winzlinge der Stringtheorien, sondern makroskopische. Nur wir können sie überhaupt nicht erfassen - eben wie die Papierwesen.

Wie würden dann wohl die Physik/Mathematik aussehen? Reichlich kompliziert schätze ich

Gruß
gravi

[Maclane]

Also mehr als unsere 4 Dim. sind uns nicht zugänglich, was aber, wenn das All sogar 5 oder noch mehr Dimensionen hat? Damit meine ich nicht die Winzlinge der Stringtheorien, sondern makroskopische. Nur wir können sie überhaupt nicht erfassen - eben wie die Papierwesen.

Wie würden dann wohl die Physik/Mathematik aussehen? Reichlich kompliziert schätze ich

Ich glaube, wenn das so wäre, wär unser Universum nicht so wie es ist. Dann wären z.B. die Planetenbahnen nicht so, wie sie sind. Ach was, dann gäb's womöglich gar keine Planeten, oder?

Gruss Mac

[Stephen]

Hallo,

der 5- oder "Noch-Mehr-Dimensionalität" kann ich mich geistig auch nicht anschließen, ich habe an der vierten schon genug zu knabbern.

Wenn man Kepler und Newton an die Brust nimmt und mit Einstein verfeinert, kann man jedes Ziel auf der Erde bis auf wenige Zentimeter ansteuern. Und die beiden ersteren haben nur mit drei Dimensionen gerechnet

Gruß, Steffen

[tomS]

Hallo Leute,

ich versuch mal etwas zusammenzufassen - es scheint euch ja zu interessieren, sonst würdet ihr nicht antworten :-)

Zunächst nur (ganz kurz!) zu den Extradimensionen. Da möchte ich hier nicht viel darüber sagen, denn das wird ja schon an anderer Stelle diskutiert.
Nur so viel: Die Effekte (oder mathematischen Kuriositäten) die ich beschrieben habe, gibt es in anderen Dimensionen auch, allerdings nicht so ausgeprägt wie in vier:

- in weniger als vier Dimensionen gibt es diese Merkwürdigkeiten nicht
- in genau vier Dimensionen gibt es unendlich viele Möglichkeiten
- in mehr als vier Dimensionen gibt es wohl immer nur endlich viele Möglichkeiten

Zuerst hat man dies für die 7-dimensionale Kugel gefunden; neben der normalen 7-Sphäre gibt es noch 27 andere Strukturen; siehe
http://en.wikipedia.org/wiki/Exotic_sphere, später dann für den "gewöhnlichen" R^4: http://en.wikipedia.org/wiki/Exotic_R4

Dann zu einzelnen Anmerkungen:
derNeugierige schreibt

Wenn ich das richtig verstanden habe, gibt es unendlich (?) viele Möglichkeiten das Universum zu beschreiben

Ja, das hat der Neugiereige richtig verstanden! Dann geht's weiter mit

Könnte man nicht theoretisch alle Möglichkeiten durchrechnen und dann eine Art Mittelwert daraus bilden, der das Universum am besten beschreibt?

Na ja, man tut sich ja mit einer einzigen Möglichkeit schon schwer genug. Alle Diskussionen bzgl. dunkler Materie und Energie, Quantengravitation, schwarzen Löchern usw. beruhen ja auf genau einer dieser unendlich vielen Möglichkeiten.

Gravi schreibt

Mit gutem Recht gehen wir bei unserem Universum von einer 4-dimensionalen Topologie aus (wir leben in einer Hypersphäre).

Ich wollte nur nochmal sicher gehen, dass ich das richtig formuliert habe: die unendlich vielen Möglichkeiten beziehen sich alle auf die selbe Topologie!!! Man startet mit dem gewöhnlichen R^4 (das ist topologisch eindeutig) und findet dann unendlich viele Möglichkeiten, Differentialrechnung(en) zu formulieren; diese sind zunächst (d.h. solange man nichts anderes bewiesen hat) nicht äquivalent.

Das Problem unserer "heutigen" Formulierung der Naturgesetzte dabei ist Folgendes: Egal, welche Theorie man sich anschaut (Elektromagnetismus, ART, Quantengravitation, Strings, ...), sie sind grundsätzlich immer gleich aufgebaut:
1) man entscheidet sich für eine oder mehrere Topologien inkl. Anzahl der Dimensionen;
2) man führt eine Struktur ein, so dass man Differentialrechnung betreiben kann (für Experten: Tangentialraum, Differentialformen usw.).
3) bei der Einführung des Tangentialraumes nutzt man für eine Theorie mit n Dimensionen immer den "gewöhnlichen" R^n und dessen Differentialrechnung (auch wenn die Topologie / Geometrie des zugrundeliegenden Universums anders sein sollte - der Tangentialraum ist immer der R^n !!!).
Die exotischen R^4 könnten nun bedeuten, dass sich aus der Wahl eines exotischen Tangentialraumes auch eine andere Physik ergibt.

Ob das so ist, weiß ich nicht!

[derNeugierige]

DAs hört sich ja alles sehr sciencefictionmäßig an. Es ist irgendwie immer lustig, was es so alles gibt, man lernt immer wieder etwas neues Erstaunliches. Aber ich denke es wird mir sicherlich keiner übel nehmen, wenn ich manchmal etwas über den "normalen" Horizont hinausgreife, und etwas andere Gedanken mir vorzustellen versuche.
Ich frage mich gerade, ob es nicht einige Menschen gibt, die ein andere Physik entwickeln für andere Univeresen, indem sie "einfach" eine Topologie nehmen und führen einen Tangentialraum mit entsprechenden Dimensionen ein und versuchen dann für dieses "System" z.B. die ART "nachzubauen".

[Maclane]

Öhm... also eine Sache hab ich noch nicht so ganz kapiert.
Man kann ja schön unendlich viele verschiedene Gleichungen hinschreiben und so. Aber eine Beschreibung muss ja die richtige sein (oder auch gar keine, wer weiß?).

Kann man da denn nicht irgendwie einen Teil der Möglichkeiten anhand von bestimmten Kriterien ausschließen? Wenn man wasweißich nur noch ein Dutzend Möglichkeiten hat, ist das doch besser als unendlich viele, oder?
Hier steh ich grad auf'm Schlauch, glaub ich. Was ist denn so toll an unendlich vielen Möglichkeiten für exotische Räume, dass ihr so begeistert davon seid? :
Ist doch eher zum heulen, oder nicht? ...öhm... *kopfkratz*

Gruss Mac

Achso, eine Frage noch am Rande (Off-Topic): Weiß einer, wo unser tensor abgeblieben ist? Hab ja schon ewig nix gehört.

[gravi]

Das klingt wirklich alles reichlich exotisch!
Rechnerisch kann man sicherlich unendlich viele Möglichkeiten in Betracht ziehen, allerdings glaube ich auch, dass die Natur relativ einfach "gestrickt" ist. Wir sehen das ja am Beispiel der SL's, die durch ganz wenige Parameter zu beschreiben sind (wenn sie auch "innen" für unsere Begriffe höchst exotisch sein können).

Aber es macht natürlich auch Spaß, mal über den Rand zu schauen!

Zu unserem Tensor:
Er baut sich wohl im Moment eine neue Existenz auf, hat derzeit leider noch keinen Internetanschluss. Aber das wird schon wieder! Ich bleibe mit ihm in Verbindung...

Gruß
gravi

[tomS]

Hallo,

einige Anmerkungen - und dann doch noch wenigstens eine Referenz

Ja, eine mögliche Gleichung / Formulierung / ... sollte schon die richtige sein. Wenn wir daran nicht glauben würden, dann würden wir ja an der Wissenschaft selbst zweifeln.

Gravi hat recht, das Prinzip der "Maximalen Einfachheit" hat schon was für sich; also hilft es vielleicht auch hier.

Zu Macs Idee, einige (unendlich viele) der Möglichkeiten auszuschließen: das Problem ist, dass man erst mal eine Formulierung finden muss, um echt Physik zu betreiben und zu verstehen. Siehe dazu den Link unten.

derNeugierige hat's wieder auf den Punkt gebracht: man muss die Physik in diesen exotischen Räumen "bauen"; das ist genau das, was in dem folgenden Papier geschehen ist: http://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/9903/9903086v2.pdf

Das Papier gibt zunächst einen kurzen Einblick in das Thema der "exotischen Räume". Man sollte allerdings etwas von Differentialgeometrie verstehen, um das zu würdigen.
Dann wird eine bestimmte Klasse von Räumen (Wallach-Spaces) für die 7-dimensionale Sphäre S^7 konstruiert. Für die S^7 wurde zum erstenmal die Existenz "exotischer Sphären" bewiesen.
Dann wird gezeigt (bzw. ein Theorem zitiert), a) welche dieser Räume zueinander topologisch äquivalent, d.h. homöomorph sind, und b) welche diffeomorph sind, also identisch bzgl. der auf ihnen definierten Differentialrechnung. Dann wird gezeigt, dass es tatsächlich Räume gibt, die tatsächlich topologisch identisch aber nicht diffeomorph sind.
Danach werden Einstein-Metriken auf diesen Räumen konstruiert bzw. die Gleichungen der ART in 7 Dimensionen numerisch gelöst. Dabei zeigt sich, dass es je Raum genau zwei Einstein-Metriken gibt, die die Gleichungen der ART lösen. Außerdem betrachtet man zwei verschiedene "exotische Räume", hat also insgs. vier Metriken, die man vergleichen muss.
Nun betrachten die Autoren eine semiklassische Näherung einer Quantengravitationstheorie bzw. den Beitrag jeder Metrik zu dieser Näherung. Dabei zeigt sich, dass alle Metriken einen vergleichbaren Beitrag leisten sind, d.h. dass es kein Argument gibt, die exotischen Räume auszuschließen. Sie müssen vielmehr als gleichberechtigt betrachtet werden.

Leider kann man daraus für unsere vier Dimensionen recht wenig ableiten: zunächst handelt es sich bei der Betrachtung um siebendimensionale Sphären mit euklidischer Metrik, d.h. es gibt keine global ausgezeichnete Zeitrichtung und keinen Lichtkegel. Dann kann die Technik, die man zur Konstruktion der exotischen Räume nutzt, nicht auf den vierdimensionalen Fall übertragen werden. Und zuletzt haben die Autoren ein Papier versprochen, das sich um genau diese Themen kümmert, das aber seit 1999 noch nicht erschienen ist - warum nur?