breaker hat geschrieben:Ich fang einfach mal an:
Was mir bei der Sache mit der Lichtgeschwindigkeit alles etwas suspekt war:
1. Was ist denn der Unterschied zwischen Polarkoordinaten und Zylinderkoordinaten?
2. Wie, bzw. nach was hast du den Vektor differenziert?
3. Wie kommst du von dem Schritt hier:
r² ω² dt² [ sin² (ω·t) + cos²(ω·t) ] + c² dt²
auf den:
(r² ω²) / c² dt² + c² dt²
Das wars fürs Erste. Ich hab mir erlaubt, das Ganze etwas schöner und übersichtlicher zu gestalten
Lieber Breaker,
1. Polar- Zylinder Koords
Koordinaten sind navigierende Hilfsmittel und es ist dem Nutzer überlassen was er einsetzt. So ist das bekannteste das rechtwinklige oeder karthesische. Dari muß, damit ein Raumpunkt bestimmt wird die Koordinate auf allen Achsen verschoben werden.
Im Falle von Kresibewegungen ist das lästig. Eine Kreisbewegung besitzt die Eigenschaft, daß der Punkt auf einen festen Mittelpunkt, dem
Pol, , bezogen ist. Der jeweilige oder zeitliche Ortspunkt betimmt sich damit nur über den Winkel bezogen auf eine definierte Startbedingung: Winkel = 0. Diese definierte Startbedingung ist zunächst völlig frei wählbar. Es gibt in einem Kreis keine Vorzugslage. Die Bequemlichkeit hat sich "eingebürgert", daß 0 Grad Winkel entweder die Lage des Punktes auf der senkrechten Linie vom Mittelpunkt nach oben (das ist ebenfalls "eingebürgert" die positive Richtung) oder auf der vom Mittelpounkt waagrecht nach rechts gehenden Linie .. ebenfalls positiv und "eingebürgert". Damit rotiert ein Punkt. Der Ortspunkt, also die Winkelabweichung von der Nullage ist jetzt die erste Koordinate. Eine zweite fehlt u.U. noch. Denn wenn das keine exakte Kreisbahn mit fest vorgegebenen Radius ist, ergibt zwar der Winkel eine Strecke vom Mittelpunkt, auf der der Ortspunkt sich befindet, aber ALLE Punkte dieser Geraden können der Orstpunkt sein. Das nennt man Mannigfaltigkeit. Nun muß ein zweiter Wert her, nämlich der lineare Abstand zum Pol.
Fertig. Das ist das polare Koordsystem.
Jetzt kann dies natürlich achsenmäßig weiter ausgebaut werden. Eine Kreisbewegung setzt sich aus enem sinus und einem cosinus Term zusammen.
Anmerkung: das ist eine Drehung und führt zur Drehmatrix
Dies wird im Polarkoord System so dargestellt, daß die eine Achse (wieder beliegig ...eingebürgert: x = cos Achse) den cosinus und die andere den sinuns als Funktion abbildet. Damit wird die Achsenlänge max. 1. Nennt man Einheitskreis.
Nun rotiiert der zeiger.
Anwendung: in allen Systemen, wo orthogonale Signale vorkommen. Schönes Beispiel Modulation Demodulation. Die Orthogonalität nennt sich dort: Quadratur. Ein Q. stehendes Signal ist um Pi/4 versetzt und der Q.fehler ist sofort ablesbar und korrigierbar.
Zylinder Koord
Ein Zylinder besitzt einen Kreis gleichen Radius als Fuß und als Kopf. Dazwischen werden in der Ausdehnungsrichtung von Fuß nach Kopf die "Wände" des Zylinders als geraden "gemalt".
Damit haben wir folgende Anschrift:
x = r cos alpha \
y = r sin alpha / Polarsystem
z = z zusatzkoord, nämlich die Zylinderwand.
Trafogleichungen:
r = sqrt (x^2 + y^2)
tan alpha = y/x
z = z
fertig.
So weit klar?
Wie bzw. nach was wurde der Vektor differenziert
Der Vektor des 4 D Zylindersystems sieht für jede Koord so aus
mit vec bezeichne ich den Vektor (zur Identifikation und besserem Verständnis)
vec (x ) = vec (r) cos (omega t)
vec (y ) = vec (r) sin (omega t)
vec (z) =vec( z)
vec (c) t =vec (c) t
Differenziert wird nach der Variablen. Die Variable ist die Zeit, den die tickt so vor sich hin
d vec (x) = - vec (r) omega sin (omega t) dt
d vec (y) = vec (r) omega cos (omega t) dt
d vec (z) = 0 dt
vec (c) dt = vec (c) dt
Das System ist bereits als DGL niedergeschrieben, was u.U. die Frage auslöste.
Denn: dx/dt = A schreibe ich gleich hin als dx = A dt. Das heißt Separation der variablen.. Damit wird das System zur Lösung vorbereitet.
Wie kommst du von dem Schritt hier...
Ausgehend vom Set der gerade angeschrieben DGL Matrix wird diese quadriert, und es wird die Metrik erfasst:
Metrik heißt:
ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 + c^2 dt^2
Vorzeichen schreibe ich grundsätzlich nie. Begründung: Ich würde, wenn ich in einem allgemeinen Ansatz ein Vorzeichen einbringe bereits eine Vorzugsaussage machen. Das Vorzeichen ergibt sich später.
Nicht verwirren lassen, das sind z.T. auch persönliche Vorlieben. Darf und kann man sich erlauben, wenn genügend Erfahrung und auch Stanbdard im Umgehen mit solchen Dingen da ist. Schülner und Studenten einschließlich Diplom rate ich davon ab.
Dann werden wir diese Metrik ausdrücken: (ich verzichte jetze auf das "vec"
r^2 omega^2 sin^2(omega t) dt^2 +
r^2 omega^2 cos^2(omega t) dt^2 +
0 +
c^2 dt^2
Dann fassen wir zusammen:
r^2 omega^2 dt^2 * ( sin^2 (omega t) + cos^2(omega t) ) + c^2 dt^2
Da sin^2 a + cos^2 a = 1 ist ... Phytagoras im Einheitskreis
folgt
r^2 omega^2 dt^2 + c^2 dt^2 = (Ausklammern con c^2)
(1 + (r^2 omega^2) / c^2) c^2 dt^2
oder:
(r omega^2 + c^2/r) r dt^2 Auklammern von r
Beim letzen Ausdruck ist: r omega^2 die Kreisbeschleunigung und c^2/r die die ZentipetalBeschleunigung = g oder a
Jetzt sollte das klar sein oder?
Netter Gruß
Wilfried
