Bedeutung der Stringtheorien

[gravi]

Hallo Tom,

auch von mir ein herzliches Willkommen!

Wow, was für ein Einführungsposting! Alle Achtung!

Bedauerlich finde ich nur, dass es bisher weder für die SST noch die LQG irgendeine nachprüfbare Vorhersage gibt. Vielleicht wird das aber noch.

Auf Dein posting geht aber besser Wilfried ein - der versteht das sicherlich besser als ich

Auf jeden Fall aber viel Spaß hier!

Gruß
gravi

[wilfried]

Lieber tomS

Deine Antwort auf die Fragen der Stringtheorie ist sehr interessant:

Gerade Deine einführende Bemerkung erfordert Aufmerksamkeit:

Mir ist aufgefallen, dass viel für und wieder Strings und Loops diskutiert wird, dass aber wenig über grundsätzlich verschiedene Ansätze und Ziele gechrieben wird:

Prinzipiell ist das eine der Grundschwierigkeiten eines Forums, die ich auch in meiner Anfangszeit hier gelernt habe:

Ein Forum ist kein Lehrstuhl und keine Weiterbildungsveranstaltung, sondern ein Ort der Diskussionen.

Deinen Punkt teile ich. Nur ist es dann so, dass dies allzuleicht "schulmeisternd" verstanden wird. Auf der anderen Seite jedoch verliert ein Diskussionspodium schnell das Fundament, wenn dieses nicht seitens des Originators eines Beitrags erst einmal aufgezeigt wird.

Ich denke, dass dies ein Punkt ist, den wir in diesem Forum durchaus ernsthaft angehen sollten:

Wie steht ihr dazu einen neuen Ordner zu erstellen, indem eben solche Grundlagen dargestellt werden? Freilich nicht im Sinne einer Vorlesung, sondern im Sinne einer Samlung an Daten. Meine Idee: wir alle haben unsere diversen Literaturstellen und wenn wir diese per link als Internetadresse angeben bzw. bei einigen eigenerstellten Beiträgen in Form von Abhandlungen diese dem gravi zusenden, er selbige im Forum verlinkt. Dann sind diese Abhandlungen nicht mehr, wie bisher innerhalb eier Diskussionsserie, sondern stehen zentral und können damit quasi als Datenbank leicht abgerufen/eingesehen werden.

Das macht auch Neueinsteigern wie im Falle tomS diesen Einstieg leichter, die Übersicht was wir haben ist erleichtert.


Zurück zu Deinem Beitrag:

Die SST (Superstringtheorie) möchte alle bekannten Wechselwirkungen in einer Beschreibung vereinheitlichen <die>Quantenelektrodynamik) mit der speziellen unitären Gruppe SU(2) der schwachen WW mit der speziellen unitären Gruppe SU(3) der starken WW => Quantenchromodynamik baut die Quantenmechanik ihre Gebäude. Es wurde dann verknüpft mit der ART, welche die 4. Grundkraft, die Gravitation beschreibt. Diese wird als Eigenschaft der metrik dargestellt, welche aber als glatt angenommen wird.
Die Vereinigung dieser beiden Theorien stellte eine sehr hohe Motivation dar.

Wie oben gezeigt ergeben sich aus dem magnetischen Monopol Konsequenzen:
Wir haben die Lorenztgruppe mit den Drehungen im 3-D Raum, damit die untere Drehgruppe SO sowie die Faktorengruppe SU. Die MWGs sind gegenüber der vollen Lorentzgruppe O(1,3) invariant. Damit manifestiert die Elektrodynamik hinsichtlch ihrer tensoriellen Darstellung stets kovariant und ist im Raum mit ihrer Signatur (1,3) erkennbar. Das entspricht der Minkowski Nomenklatur. Die Gruppe O(1,3) kann zerlegt werden in:
SO(1,3), als eine Untergruppe mit der Determinate +1. Diese Untergruppe enthält als weitere Untergruppierung die orthochrone Lorentzgruppe.
Diese erste Untergruppe zeigt den Bezugssystemwechsel auf: Vom Inertialsystem in ein Drehsystem. Durch die räumlichen Drehungen und die Lorentzboosts (6-parametrige gruppe) wird dies dargestellt. Dabei bleibt die Richtung der Zeit invariant.
Diese zwite zugehörige Untergruppe enthält die antichronen Lorentztransformationen. Aus dieser lassen sich die auch in diesem Forum bereits sehr intensiv (mit Al durchgeführt) diskutierte Zeitumkehr und Rauminversion erklären.
Naja um genau zu sein es gibt noch einen Untergruppenzerfall bekannt als uneigentlich orthochrone (diese erklärt "nur" die Rauminversion) und die uneigentlich antichrone Lorentztransformation.

Zur Vollständigkeit sei noch angemerkt, dass hier die Parität (PCT Theorem) auch aus den diskreten Symmetrien ableitbar ist.

tomS schrieb abschliessend:

Einige Antworten auf Fragen der letzten Beiträge:
Wilfried 1) Die erwähnten Zwangsbedingungen garantieren, dass nur zwei physikalische Freiheitsgrade übrig bleiben, das ist ganz analog zur Quantisierung von QED Und QCD im kanonischen Formalismus.
Wilfried 2) die Ashtekar-Variablen sagen nichts neues über die Kerr-Metrik; sie gelten für beliebige Raum-Zeiten, es ist keine Linearisierung o.ä. notwendig.
Wilfried 3) es gibt einige zentrale Kritikpunkte an der LQG, aber der Barbero-Immirize Parameter gehört nicht dazu; es gibt einen ähnlichen Parameter auch in der QCD (Theta-Winkel).

Zu wilfried 1) ist meinerseits nichts hinzuzufügen.
Zu Wilfried_2:
Die Kerr Metrik wird hier mit den Boyer_Lindquist-Koordinaten verwendet. Interssanterweise verschwindet im Gegensatz zur Schwarzschildmetrik dabei die extrinsiche Krümmung der Kerr-Metrik in diesen Boyer-Lindquist-Koordinaten nicht! Berechnen läßt sich das mit mittels der Christoffelsymbolik durch Inversion der Grundmatrix. Alles weitere ist eine sehr langwierige, wenn auch vergleichsweise einfache Prozedur.

Im Endeffekt zeigt sich eben, dass bei den Ashtekar Formulierungen im Gegensatz zur Schwarzschildlösung diese extrinsische Krümmung zu berücksichtigen ist. Hier hilft die Robertson-Walker-Metrik weiter, auf die ebenfalls die Ashtekarvariablen angewendet werden.

Ich schreib das mal hin (ohne Herleitung etc. nur zum zeigen, wie nett einfach das alles aussieht):

\fedonds^2 = -dt^2 + R^2(t) * (dr^2/(1-kr^2) + r^2 * d \Phi^2 + r^2 * sin^2 ( \Theta d \Phi^2))
\fedoff

Dann erfolgt wiederum nach langwieriger Berechnung (in Fachkreisen gerne dargelegt mit: "wie leicht zu zeigen ist folgt...) der Zusammenhang der Ashtekaranschrift mit der Krümmung. Es wird dafür auch der Begriff Zusammenhangsvariable verwendet.
Auf alle Fälle -bitte erlaubt mir, dass ich hier auf diese Details nicht mehr eingehe, dass ist echt harter Tobak und ich muss sagen für einen Beitrag weitaus zu viel!!) können dann die "Constraints", also die Beziehungen für Lagrange, Hamilton in Ashtekarform überführt werden.

Es läßt sich damit das Wirkungsprinzip der Gravitation durch die Hamilton Formulierung erläutern. Die Yang-Mills Theorien spielen dabei eine wichtige Rolle zur geometrischen Darstellung (Ashtekar verwendet das Dreibein bzw. das Vierbein in seiner Differentialgeometrischen Darstellung). Die dynamische Theorie der Gravitation wird durch Arnowitt, Deser, Misner (ADM Zerlegung) sehr schön eingeführt. Vorausgesetzt wird hier eine globale Hyperbolizität der Raumzeit. Angenommen wird darin, mathematisch die Raumzeit durch eine Blätterung (leaves) von raumartigen Untermannigfaltigkeiten (siehe was ich oben schrieb über die Weltlinien des Pols: ein magnetischer Monopol kann durch ein Blatt (leave) im dreidimensionalen Minkowskiraum beschrieben werden. Die Strings sind zeitartig. Aus jedem Punkt der Weltlinie entspringt ein String. Diese Strings bilden ein Blatt, In der physikalischen Raumzeit entspricht dem Blatt eine dreidimnensionale Hyperfläche.). Hier wird die Darstellung des Krümmungsskalars (Ricci) anholonomisch durchgeführt.

Anmerkung:
Holonomie: aus dem Griechisch und bedeutet "ganz gesetzlich" Es wird verstanden als Eigenschaft mechanischer Systeme.

Anholonomie: : Eingeschränkte Unabhängigkeit -zurückzuführen auf nicht integrable Bedingungen

zu Wilfried_3 habe ich keine weiteren Anmerkungen

Die meisten mir bekannten Kritikpunkte an der LQG sind sehr formal / mathematisch:
1) die Quantisierung ist "ungewöhnlich"; nicht der kanonische bzw. Hamilton-Formalismus an sich, sondern der dabei notwendige nicht-separable Hilbertraum (in anderen Theorien immer separabel).
2) die unterschiedliche mathematische Behandlung der drei Constraints Gauss, Diffeomorphismus und Hamiltonian
3) Quantisierungs-Mehrdeutigkeiten (die es jedoch auch für viele andere Theorien gibt)
4) nicht gesicherte Existenz eines semiklassischen Zustandes, der dem uns bekannten Minkowski-Vakuum entspricht

Was Du hier schreibst ist n einigen Punkten oben bereits erwähnt. Gerade diese Constarints:

Der Gauss Constraint

Gauss: Vermutung: Die Näherungsmethode für die Metrik hat eine Vereinfachung der Zwangsbedingungen (Constraint) zur Folge. Siehe auch meine Anmerkungen zu Yang-Mills oben.
Was ist der Vorteil der Ashtekarvariablen?

Die Möglichkeit im Rahmen der Yang-Mills theorie diese einzubringen und die Gravitationstheorie somit den Theorien der anderen Grundkräfte anzugleichen.


Der Gauss Constraint beschreibt eine Eichtransformation für das elektrische Feld E und dem Vektorpotenzial A.
Es wird damit gezeigt, das die variablen dieser beiden den Phasenraum einer SO(3)-Yang-Mills-Theorie über einer dreidimensionalen Hyperfläche bilden.

Der Diffeomorphismus Constraint

Wir haben hier mit einer differentierbaren auch umkehrbar differentierbaren Abbildung zu tun. Diese Umkehrbarkeit der differentierbaren Abbildung beschreibt dieser Constraint.

Der Hamilton Constraint

Dieser beschreibt die Zwangsbedingungen der gravitation unter berücksichtung des Krümmungsverhaltens der Raumzeit.

Es ist zu früh die weiteren Punkte von Dir zu kommentieren. So diese Quantisierungs Mehrdeutigkeiten. Das Problem steckt darin, wie es ja auch von Al oder von Ray hier immer wieder gesagt wird in der Beweisführung. Es läßt sich zur Zeit nur mathematisch bewesien, dass die Differntialgeometrien Ashtekars mathematisch korrekt sind. Physikalisch sind die Ansätze deshalb interessant, da hier erstmals die Gravitation isch in ihrer Niederschrift mit den anderen Grundkräften vereinen läßt.

Lieber tomS, mir hat es Freude bereitet Dir zu antworten, obwohl es nicht so ganz einfach war. Ich hoffe zu Deinem Beitrag ein klein wenig beigesteuert zu haben.

Netten Gruß

Wilfried

[gravi]

Boooh eh,

wie man so im Ruhrpott sagt, habt Ihr hier ein Niveau eröffnet, auf dem die Diskussionen stattfinden! Da kann ich mich nur ganz verstohlen zurück ziehen

Deinen Vorschlag, lieber Wilfried, eine Art von Datensammlung zu eröffnen, finde ich recht gut. Wenn das andere auch möchten, stelle ich gerne ein eigenes Thema dafür zur Verfügung.

Gruß
gravi

[tomS]

Hallo Wilfried,

zunächst Danke für die ausführliche Antwort. Du hast einiges beigesteuert. Ich werde mir u.A. mal die Ashtekar-Variablen in der ART genauer anschauen - bisher kenne ich sie nur die Anwendung der LQG.

Deinen Beitrag über die Monopole verstehe ich in diesem Zusammenhang nicht so ganz, muss ich nochmal drüber nachdenken.

Zu der Kerr-Metrik und den von dir erwähnten Boyer-Lindquist Koordinaten:
Letztere kenne ich nicht. Du schreibst

... bei den Ashtekar Formulierungen im Gegensatz zur Schwarzschildlösung

Das verstehe ich nicht:
Die Ashtekar-Formulierung ist noch keine Lösung der ART und auch noch kein ausgezeichnetes Koordinatensystem, sondern nur ein Formalismus. Die Schwarzsschildlösung oder die Kerr-Lösung sind jedoch spezielle Lösungen, die man aber doch auch in der Ashtekar-Formulierung schreiben kann (hat das schon mal jemand getan?).
D.h. doch, man sollte A und E aus g (für Boyer-Lindquist Koordinaten) oder aus dem Vierbein e berechnen können und umgekehrt. Also sollten doch alle Eigenschaften der Lösung (echte Singularitäten, Koordinatensingularitäten, Eigenschaften der Krümmung usw.) in beiden Formalismen auftreten. Gibt es dazu irgendeine explizite Formel für die Krümmung R, also z.B. einmal für die Metrik => R[g] und und einmal für A und E => R[A, E]?

Zu den Constraints:

2) die unterschiedliche mathematische ...

Ich habe mich unklar ausgedrückt. Die Bedeutung der Constraints für die klassische Theorie in Ashtekar-Formulierung ist klar. Der Gauss-Constraint ist eine Eichtransformation in A und E. Der Diffeomorphismus-Constraint beschreibt die Invarianz unter dreidimensionalen Diffeomorphismen. Und der Hamiltonian beschreibt die "Zeitunabhängigkeit" der Theorie (d.h. auch die Zeitunabhängigkeit der beiden anderen Constraints = er garantiert, dass eine Lösung der Constraints auch unter Zeitentwicklung eine Lösung bleibt). Ich glaube, da sind wir uns alle einig.

Bei der Quantisierung sieht das evtl. anders aus:
Der Gauss-Constraint G wird dabei als Forderung an physikalische Zustände |phys> in einem geeigneten Hilbertraum gestellt: G|phys> = 0.
Das gibt es auch in der ganz normalen Quantenmechanik. z.B. kann man für ein Zweiteilchensystem (Wasserstoffatom) eine Koordinatentransformation von (r_1, r_2) nach (r, R) mit der Schwerpunktskoordinate R durchführen und eine Zwangsbedingung P|phys> = 0 aufstellen. Das entspricht der Forderung nach verschwindendem Gesamtimpuls. Dier Lösung der Schrödingergleichung ist dann f(r,R) = f(r) * F(R). F(R) ist eine ebene Welle für Impuls P=0, also eine Konstante. D.h. die Zwangsbedingung selektiert bestimmte Zustände aus dem Hilbertraum, eben die mit P=0. (beim Wasserstoffatom wären auch andere Schwerpunktsimpulse zulässig, da der Constraint künstlich ist und nicht automatisch aus der Theorie folgt; aber die Implementierung ist für das Wasserstoffatom und für den Gauss-Constraint analog).
Für den Diffeomorphismus-Constraint D muss man jetzt aber den mathematischen Formalismus ändern. Zunächst muss man ein anderes Skalarprodukt wählen und den Diffeomorphismus-Constraint im dualen Hilbertraum formulieren (d.h. man nutzt den Abschluss des ursprünglichen Hilbertraumes; so wie etwa bei der Einführung ebener Wellen, die ja auch nicht im Standardsinne normierbar sind). Auf diesem neuen Hilbertraum gilt nun auch eine andere Topologie. Soweit ich das verstanden habe, hängt das auch damit zusammen, dass der benutzte Hilbertraum nicht separabel ist.
Für den Hamiltonian-Constraint H wird das ganze nun noch komplizierter. Ohne auf die Details einzugehen ergeben sich folgende Probleme:
Die Reihenfolge der Faktoren mit A und E in H spielt klassisch keine Rolle, ist in der Quantenmechanik wegen der Nichtvertauschbarkeit von Bedeutung. Die Quantisierung selbst legt die Reihenfolge aber nicht fest, sondern man bestätigt normalerweise eine bestimmte Reihenfolge durch Invarianzargumente und durch den korrekten semiklassischen Limes. Letzterer ist aber mathematisch noch nicht konstruierbar und kann damit nicht zur Konsistenzprüfung herangezogen werden.
Außerdem wird bei der Definition des Hamiltonians eine SU(2) Holonomie eingeführt, allerdings legt die Theorie die Darstellung nicht fest. Man wählt üblicherweise die einfachste j=1/2, aber dies ist nicht zwingend.

Insgs. sind die Constraints G, D und H alle unterschiedlich gelöst, das ist ein zentraler Kritikpunkt.
Das Ergebnis ist eine Theorie, die zwar vielversprechend aussieht und in sich mathematisch konsistent ist, für die es jedoch bisher keine Tests gibt, dass sie in physikalisch sinnvollen Bereichen zur klassischen Theorie führt bzw. diese als Grenzfall enthält. Dies wäre aber nötig, um die neuartige Quantisierung zu rechtfertigen.
Was fehlt:
1) ein eindeutig definierter Hamiltonoperator ohne Mehrdeutigkeiten
2) semiklassische Zustände mit bekanntem klassischen Verhalten
3) der Zustand für das Minkowski-Vakuum |0>
Bekannt (und trivial) ist der Zustand |vac> ohne Raum, d.h. mit Volumen = 0!

Noch eine Frage. Du schreibst

Gauss: Vermutung: Die Näherungsmethode für die Metrik hat eine Vereinfachung der Zwangsbedingungen ... Was ist der Vorteil der Ashtekarvariablen

Was meinst du mit Näherungsmethode?
Es gibt keine Näherungsmethode für die Metrik, es ist alles exakt. Die Metrik tritt in der Formulierung nicht auf, kann jedoch aus E rekonstruiert werden (für ein Vierbein e ist die Metrik einfach g = e*e - Indizes hab' ich weggelassen)
Zum Vorteil der Ashtekar-Variablen:
Ob sie in der klassischen ART von Vorteil sind / sein können, weiß ich nicht. (Ich hab ja schon gesagt, dass ich sie mir da nie angeschaut habe) Für die Quantisierung ist der Vorteil, dass sie einen kanonischen Formalismus ermöglichen, den man von anderen Quantenfeldtheorien (QED, QCD, ...) her kennt. Man ist in der Lage, wohldefinierte mathematische Größen einzuführen und mathematisch mit großer Strenge zu arbeiten. Das war mit der Formulierung von ADM und Wheeler-DeWitt nicht möglich (Formales Pfadintegral jedoch mit undefiniertem Maß und nicht-definiertem Konvergenzverhalten; mathematisch undefinierte / divergente Ausdrücke für H).

Zum Beitrag von gravi:

Bedauerlich finde ich nur, dass es bisher weder für die SST noch die LQG irgendeine nachprüfbare Vorhersage gibt

Siehe dazu meine kurze Notiz:

einige neue Phänomene, die evtl. experimentell zugänglich sind;
z.B. eine nicht-lineare Dispersionsrelation für Licht im Vakuum, d.h. die Lichtgeschwindigkeit wird frequenzabhängig (keine Angst, die Theorie verletzt trotzdem nicht die lokale Kausalität)
und z.B. die Veränderung der Streuung von Protonen an der Hintergrundstrahlung, die die Reichweite hochenergetischer Protonen beeinflusst

Die nicht-lineare Dispersionsrelation besagt, dass die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum von der Frequenz abhängig wird (das liegt daran, dass die Raum-Zeit quasi eine körnige Struktur erhält). Ein physikalischer Effekt ist, dass Photonen aus einem Lichtpuls (z.B. aus einer Supernova) unterschiedlich schnell propagieren und der Lichtpuls gestreckt wird. Man würde dann Licht bzw. Photonen bestimmter Frequenzen früher als andere nachweisen. Kennt man Ursprung und Entfernung des Lichtpulses aus einer normalen astronomischen Beobachtung, so kann man die Abweichung der Laufzeit für die unterschiedlichen Frequenzen messen.
Die Streuung hochenergetischer Protonen (z.B. aus Supernovae oder Pulsaren) an der kosmischen Hintegrundstrahklung kann man mit Standardmitteln berechnen. Das Ergebnis ist, dass die Protonen eine begrenzte Reichweite haben. Man dürfte dann auf der Erde derartige Protonen nicht nachweisen können, da innerhalb ihrer Reichweite keine bekannten Quellen vorhanden sind. Man hat aber derartige Protonen nachgewiesen! Die LQG sagt nun voraus, dass die Streuung dieser hochenergetischen Protonen sich ändert und deren Reichweite vergrößert wird - was zu dem evtl. bereits gemessenen Effekt passen würde.

So - das war's für heute.

[wilfried]

Lieber Tom

Dein Beitrag zeigt, Du bist vom Fach. Ist das so?

Mein kleiner Exkurs mit dem magn. Monopol sollte nur zeigen, wie diese theorien entstehen, nämlich durch Symmetrierung der MWGs. Die Strings sind darauf aufgebaut, deshalb habe ich das erwähnt.

Zu den BLK sei folgende Abhandlung genannt:

http://www.mpe.mpg.de/~amueller/lexdt_b06.html#boy

Unser Kollege ray hat auf seinen Seiten eine Menge Infos dito unser toller Admin

Puuh und dann soll ich auf diesen Punkt antworten???

Das verstehe ich nicht:
Die Ashtekar-Formulierung ist noch keine Lösung der ART und auch noch kein ausgezeichnetes Koordinatensystem, sondern nur ein Formalismus. Die Schwarzsschildlösung oder die Kerr-Lösung sind jedoch spezielle Lösungen, die man aber doch auch in der Ashtekar-Formulierung schreiben kann (hat das schon mal jemand getan?).

Naja ich versuchs mal...

Die Kerr Metrik in BLK wurde veröffentlicht von:

Kelly, Bernhard "Extract Solutions" Split 1 & 3, 2005

Die Schwazschild Metrik wurde diesbezüglich behandelt in:

Chang, Lay-Nam, Cho-Pin Soo "Einstein manifolds in Ashtekar variables Explicit Examples", 1992 ...ich weiss allerdings nicht wo diese Arbeit veröffentlicht wurde. Ich habe ein Exemplar, dessen Kopf unlesbar ist.

Darin wird die Gravitationsbeschleunigung wiefolgt angegeben:

\fedon\mixong = -(1 - (r-2*M*r)/\Sigma)dt^2 - (4*M*r*a*sin^2 \Theta)/\Sigma dt d \Phi + \Sigma/\Delta dr^2 + \Sigma d \Theta^2 + \Omega/ \Sigma sin^2 \Theta d \Phi^2
\fedoff

Die Ashtekar Variablen sind:

\fedon\mixon\Sigma = r^2 + a^2 cos^2 \Theta
\Delta = \Lambda - 2 * M * r
\Omega = \Lambda * \Sigma + 2 * M * a^2 * r * sin^2 \Theata
\fedoff\Lambda = r^2 + a^2

M: Masse
r = Radius wobei bei r = 2M eine Koordinatensingularität in Kauf genommen wird, wenn man die BLK Gleichung für g niederschreibt und in Diagonalgestalt löst.

\fedon\mixon\Sigma wird mit dem Begriff Hyperfläche belegt ..siehe Riemann Metrik.
\fedoff
Damit verbunden übrigens auch die Wheeler-De-Witt Gleichung, die erst kürzlich lösbar wurde!!
a ist eine Fläche

Die klassische Schwarzschildmetrik für die Gravibeschleunigung lautet:

\fedon\mixong = -(1 - (r-2*M)/r)dt^2 + ( r / (r - 2 * M)) d r^2 + r^2 d \Theta^2 + r^2 sin^2 \Theta d \Phi^2
\fedoff

Die Krümmung, nach deren expliziten Formel Du fragst ergibt sich aus

\fedon\mixonK_ab = -g (\Nabla_b \delta_a, n ^>)
Nach Baez J., Muniain J.P "Gauge fields, knots and gravity" Singapore World Scientific, 1994, pp 465 folgt die extrinsische Krümmung in Christoffelkoordinaten:

K_ab = \G_(ab)^0/N (-N^2 +N^c N_c)- \G_ab ^0/N N^c N_c = -\G_ab ^0 N
\fedoff

Das kann dann weitergeführt werden und durch den Hamilton Constraint ausgedrückt werden. Diese extrinsische Krümmung ist unbedingt als Tensor der oben erwähnten Hyperfläche aufzufassen. verbunden damit ist das Ziehem der Indizes.

Hat man dies, so sind die Christoffelsymbole für g zu bestimmen:

\fedon\mixonChristoffelsymbole für g^ (\alpha \beta)

A = matrix(g_00 g_03; g_30 g_33) und die zugehörige Inverse:
A^ (-1) = matrix(g^00 g^03; g^30 g^33)
Nach langer langer langer ... langer rechnung folgt dann (wie man natürlich leicht zeigen kann):

K_(r \Phi) = ((r \delta_r \Omega - \Omega)*M*a*sin^2 \Theta/(\Sigma^3 * \Omega \Delta))

K_(\Theta \Phi) = (\delta_\Theta \Omega * M * a * r * sin^2 \Theta) /(sqrt(\Sigma^3 * \Omega * \Delta))
\fedoff

Das sind die Variablen der extrinsischen Krümmung. Alle anderen Komponenten sind weggekürzt.

Für den Diffeomorphismus-Constraint D muss man jetzt aber den mathematischen Formalismus ändern. Zunächst muss man ein anderes Skalarprodukt wählen und den Diffeomorphismus-Constraint im dualen Hilbertraum formulieren (d.h. man nutzt den Abschluss des ursprünglichen Hilbertraumes; so wie etwa bei der Einführung ebener Wellen, die ja auch nicht im Standardsinne normierbar sind). Auf diesem neuen Hilbertraum gilt nun auch eine andere Topologie. Soweit ich das verstanden habe, hängt das auch damit zusammen, dass der benutzte Hilbertraum nicht separabel ist.

Ich denke mal hier verlassen wir nun vollends den Boden des Forums.

Ich habe jetzt schon Befürchtungen, dass wir uns so stark "neben dem Forum" befinden, daß keiner mehr mit uns diskutieren will...

Ich vergraule Euch trotzdem noch ein Stückchen:

nsgs. sind die Constraints G, D und H alle unterschiedlich gelöst, das ist ein zentraler Kritikpunkt.

Ich bin mir selber icht so ganz sicher mit meiner Antwort, aber die kann ja ruhig korrigiert werden:

Ich denke die Ashtekar Lösungen sind kpnstliche mathematisch besser differentialgeometrische Darstellungen und entbehren der Physik. Die Physik wird damit beschrieben, aber nicht neu formuliert.

Noch eine Frage. Du schreibst
Zitat:

Gauss: Vermutung: Die Näherungsmethode für die Metrik hat eine Vereinfachung der Zwangsbedingungen ... Was ist der Vorteil der Ashtekarvariablen

Was meinst du mit Näherungsmethode?

Oh ja, das kannst Du nicht wissen, denn ich sagte nichts über die Herleitung:

Die linearisierte Theorie nutzt eine Metrik, welche eine marginale Abweichung von der des flachen raums hat:

\fedon\mixong_(\alpha \beta) = \eta_(\alpha \beta) + h_(\alpha \beta) mit h_(\alpha \beta) <<1
\fedoff

Wiederum schauen wir auf die extrinsische Krümmung. Dazu wird eben diese Metrik invertiert und auch herauf die Ashtekarzusammenhänge angewandt. Dies ist die Näherung von der ich sprach: die Krümmung ganz nah an der Flachheit.
Mit Deiner Bemerkung:

Es gibt keine Näherungsmethode für die Metrik, es ist alles exakt.

hast Du somit nicht ganz Recht, wobei Du auch wiederum Recht hast
denn im strengen ansatz einer Metrik ist diese ja inhärent festgelegt, also warum soll sie denn genährt sein?

In der Weiterführung Deine Beitrags schreibst Du, dass die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum von der Frequenz abhängig wird.

Damit sprichst Du einen ganz interessanten Punkt an, denn hier werden wir c mit komplexen Größen belegen.

Darf ich Dich bitten, diesen Punkt etwas auszubauen und den dann als eigenen Beitrag zu formulieren. Dieses Thema ist es wirklich wert separat behandelt zu werden.

Lieber Tom Du bist ja ein sehr interessanter Diskussionsteilnehmer. Junge junge, da muss ich ja ganz tief in die Kiste greifen.

Anmerkungen:

Ich möchte an dieser Stelle für unsere Forenteilnehmer und auch Gäste folgendes dazu anmerken:

Beiträge dieses Tiefgangs sind selten aber sehr wertvoll. Alle, die das mathematische Rüstzeug nicht haben bzw. die physikalischen Hintergründe nicht kennen möchte ich aber hier ermutigen ruhig nachzufragen.
Es ist sicherlich viel viel schwerer diese Dinge auf "Normalniveau" zu beantworten als auf diesem sehr abstarkten Niveau. Wir haben hier bei uns ausgezeichnete Fachleute, die auch diese Themen beispielhaft einfach erklären können. Da tue ich mich schwer aber das ist das schöne bei uns: jeder auf seine Weise und alle zusammen ergeben erst die Qualität unseres Forums

Ganz netten Gruß und tensor: schau mal was Du mit dem Beginn dieser Serie mal wieder gestartet hats. Das ist doch toll oder?

Wilfried

[tomS]

Hallo Wilfried,

ich antworte erstmal nur kurz, denn über die Formeln muss ich längern nachdenken.

Auf deine Frage, ob ich vom Fach bin: ja - ich habe theoretiche Physik studiert und mich mit kanonischer Quantisierung von Eichtheorien beschäftigt. Seit 10 Jahren lese ich aber nur noch Artikel und bin selbst nicht mehr aktiv.

Die Bemerkung, dass das evtl. zu kompliziert wird, nehme ich ernst, ich will hier niemanden vergraulen.

Zu meiner Anmerkung:

Das verstehe ich nicht:
Die Ashtekar-Formulierung ist noch keine Lösung der ART und auch noch kein ausgezeichnetes Koordinatensystem, sondern nur ein Formalismus. Die Schwarzsschildlösung oder die Kerr-Lösung sind jedoch spezielle Lösungen, die man aber doch auch in der Ashtekar-Formulierung schreiben kann (hat das schon mal jemand getan?).

Ich hatte deine Frage bzgl. der extrinsischen Krümmung nicht verstanden. Ich glaube nicht, dass das Auftreten der Krümmung hier etwas mit den Ashtekarvariablen zu tun hat, sondern nur mit der Geometrie selbst. Ob man diese im Metrik- oder im Ashtekar-Formalismus schreibt, macht keinen prinzipiellen Unterschied (soweit ich das sehe).

Danke für die ausführlichen Gleichungen, die schau ich mir nochmal gesondert an, das geht nicht so schnell :-)

Ich hab' die Diplomarbeit zu den Ashtekarvariablen mal quergelesen - und war ziemlich beeindruckt! Trotzdem: ich glaube, dass die Variablen in der klassischen Theorie (ART) tatsächlich nichts inhaltlich neues bringen, sondern nur einen anderen Formalismus darstellen. In der ART werden bestimmte Problemstellungen mit diesen Variablen vielleicht einfacher lösbar (andere schwerer) aber das war es dann auch schon. Ob es derartige Vorteile gibt, erkennt man erst, wenn man das selbst "zu Fuß" rechnet und nicht nur liest. Dazu müsste man mal den Autor selbst fragen :-)
Für die Quantisierung sind die Ashtekarvariablen jedenfalls ein echter Durchbruch gewesen.

Zu meiner Bemerkung

... sind die Constraints G, D und H alle unterschiedlich gelöst, das ist ein zentraler Kritikpunkt.

und deiner Antwort

Ich denke die Ashtekar Lösungen sind künstliche mathematisch besser differentialgeometrische Darstellungen und entbehren der Physik. Die Physik wird damit beschrieben, aber nicht neu formuliert.

Ich bin ehrlich, ich habe mich nie intensiv mit klassischen Lösungen der ART beschäftigt. Daher ist die "alte" Formulierung mit irgendwelchen exotischen Koordinatensystemen und dem "bekannten" Krümmungstensor genauso für mich genauso gut oder schlecht wie die "neue". Die "neue" hat eben den Vorteil, dass man bestimmte Probleme (hier: die Quantisierung) lösen kann, während das mit anderen Formulierungen eben nicht klappt. Also meine Schlussfolgerung: Ja, die Theorie wird neu formuliert - Nein, die Darstellung entbehrt nicht der Physik.

Nochmal zu meiner Bemerkung

Es gibt keine Näherungsmethode für die Metrik, es ist alles exakt.

Für die Herleitung der Ashtekar-Fomulierung benötigt man keine Näherungsmethode. Die daraus folgenden Constraints G, D und H gelten für Geometrien mit beliebig großer Krümmung. Du kannst natürlich eine näherungsweise flache Metrik einführen und dann die Ashtekarvariablen einführen, aber das ist nicht zwingend notwendig.

Viele Grüße

[wilfried]

Lieber Tom

das Du vom Fach ist habe ich mir gedacht. Meine Bemerkung mit dem "zu kompliziert" werden ist manchmal eine schwierige Hürde.

Ich meinte das mit dem "zu kompliziert" dahingehend, dass es meist für den Forennutzer sehr wenig aussagend ist langweirige Herleitungen zu bringen.

Ich gebe mal einen Tipp aus meiner Forumserfahrung dazu:
Wenn ich meine, dass meine mathematischen/ physikalischen Forumilierungen zu lang werden, bringe ich diese auf einen Zettel und scanne selbige ein bzw. formuliere sie in MAPLE und mach ein hübshes file daraus mit Erklärungen etc. Dann schicke ich dies als pdf (ich habe einen tollen pdf Macher für MAPLE!!) dem gravi, unserem ADMIN, und bitte ihn diese an die angegebne Stelle einzulinken.
Damit erreichen wir 2 Dinge:
1. Übersichtlichkeit in den Beiträgen (dieser ist sehr übersichtlich)
2. Keine Überfrachtung mit mathematischen Formulierungen

Deshalb habe ich das so ausgedrückt. Also im Falle detaillreicher Ausführungen ist das ein sehr probater Weg.

Das mit der Frage der extrinsischen Krümmung bzgl der Ashtekarvariablen ist von Dir schon richtig formuliert. Die Geometrie ist es, die diese Krümmung beschreibt, die Physik ist es, die diese Krümmung erzeugt. Ergo ist hier die Geometrie, nur muss diese sich ja in den Ashtekarvariablken wieder niederschlagen.

Ja, diese Arbeit ist wirklich toll. Ich möchte nur mal wissen, ob der Junge die tatsächlich allein gemacht hat. Ich habe da so meine Zweifel, darin sind manche Formulierungen schon sehr sehr fein ausgearbeitet.

Die ART muß herangezogen, wenn denn die Gravitation in diese 4 Grundkräfte einbezogen werden soll, und das ist ja das erklärte Ziel. Die weitere Einbeziehung der Quantenaspekte macht diese Ansätze weitaus komplexer und unüberschaubarer, insbesonders für Leute wie mich, die sich ja nur aus Hobbygründen mit diesem Thema beschäftigen.

Deine weitere Anmerkung zu den Näherungen ist sachlich völlig richtig. Was ich auch so sehe, ist dass die Einführung einer "nahzu" flachen Metrik eventuell nicht notwendig ist. Das werden die weiteren Arbeiten daran dann zeigen. Ich denke, dass wir hier noch Revolutionen erleben. Das Thema ist noch in den Kinderschuhen.

Netten Gruß

Wilfried