@breaker
Einverstanden, es sind hier einige Begriffs-Ungenauigkeiten. Ich denke aber, dass es noch kein NoGo ist.
tomS hat geschrieben:Ich bin sehr gespannt ...
Dann kann eigentlich nur eine Enttäuschung folgen. Andererseits bedeutet 'Mensch sein' auch 'Optimist sein'
Für die Herleitung der Formel benötige ich das Bild eines Wellenpackets.
Aber die charakteristische Ummantelung des Wellenpackets ist dabei eigentlich unwichtig.
Ich fokussiere deshalb auf einen kleinen Ausschnitt des Packets (blaue Kurve im folgenden Bild).
Definition:
Ein Beobachter soll nun die Bewegung dieser Welle (als Teil des Wellenpackets) betrachten. Neben dem Beobachter steht eine Atom-Uhr und ist seinem Bezugssystem zugeordnet.
Wenn ich im folgenden von einer Zeit_B oder delta-Zeit_B oder kurzzeitig_B spreche (also mit Appendix _B), dann meine ich immer die Zeit gemessen durch den Beobachter.
Herleitung als Prosa
Der Beobachter betrachtet nun ein unbeschleunigtes Wellenpacket (blaue Welle).
Er könnte die Frequenz im Punkt A1 oder A2 messen: Beide Messungen ergäben dieselbe Kreis-Freqenz
entsprechend der Voraussetzung [4] (also abhängig von der Ruhe-Kreisfrequenz des Teilchens, und von seiner Wellenlänge bzw Kreiszahl k).
Angenommen, das Wellenpacket wird kurzzeitig_B beschleunigt und hat nachher entsprechend eine andere Gruppengeschwindigkeit
.
Ensprechend der Voraussetzung [3] bewirkt dies eine andere Phasengeschwindigkeit und somit eine andere Wellenlänge.
Im Bild ist eine entsprechende Welle (dasselbe Teilchen, andere Gruppengeschwindigkeit) orange eingezeichnet.
(Dass sich die Wellenlänge durch die Beschleunigung verändern muss wird am deutlichsten, wenn man mit einem ruhenden (relativ zum Beobachter) Teilchen beginnt, denn seine Wellenlänge ist unendlich. Jedes nicht ruhende Teilchen hat aber eine Wellenlänge kleiner als unendlich)
Durch die kurzzeitige_B Beschleunigung muss sich also die blaue Kurve irgendwie in die orange Kurve verändert haben.
Und diese Transformation ist der entscheidende Teil in der Herleitung hier.
Denn es sind noch die beiden Voraussetzungen [2] und [5] zu beachten:
- die Wellen sind immer stetig, und zwar in X-Achse wie auch über die Zeit_B
- es handelt sich um ein kartesisches Koordinaten System, ist also frei von Verzerrungen
Es ist zwar vielleicht kein sauberer Beweis und mehr eine Annahme:
Aber ich sehe mathematisch + geometrisch
nur eine einzige Moeglichkeit, wie eine Welle unter diesen Voraussetzungen seine Wellenlänge
verändern kann (und somit
des entsprechenden Teilchens verändert: es wird beschleunigt):
Die Kreisfrequenz im Punkt A1 muss eine zeitlang_B unterschiedlich sein von der Kreisfrequenz im Punkt A2 (Die Kreisfrequenz
sei jeweils gemessen durch den Beobachter).
Mit anderen Worten: Mikroskopisch gesehen muss die Welle an unterschiedlichen Punkten im Koordinatensystem eine unterschiedliche Kreisfrequenz haben.
Das ist voellig unabhaengig vom Grund der Beschleunigung (Gravitation, elektrostatische Anziehung): Es ist mathematisch zwingend (nicht physikalisch).
Die Rechnung in der Uebersicht:
- Während einer delta_Zeit_B ist die Kreisfrequenz in den Punkten A1 und A2 unterschiedlich (z.B. ein
Faktor 1.00000000001)
- Die Phasendifferenz zwischen den beiden Punkten A1 und A2 wird somit stetig grösser (direkt proportioinal zur delta_Zeit_B, der Kreisfrequenz
und diesem
Faktor)
- Das erlaubt es einfach zu berechnen, wie sich die Wellenlänge (bzw Wellenzahl k) ueber die Zeit verändert.
- Die veränderte Wellenlänge (bzw Wellenzahl k) bewirkt direkt eine andere Phasengeschwindigkeit:
- Die veränderte Phasengeschwindigkeit ergibt via Voraussetzung [3] direkt eine andere Gruppengeschwindigkeit
- diese veränderung der Gruppengeschwindigkeit ist die Beschleunigung a.
Wenn man das ausrechnet, ergibt sich eine sehr einfache Formel:
wobei:
a = Beschleunigung des Wellenpackets
Z = ist in prosa etwas kompliziert zu erklären (wird im folgenden 3ten Teil natürlich genau definiert). Diese Grösse ist der erwähnte
Faktor oben (aber normiert auf 1m).
Entscheidend an dieser Formel ist: Die Kreisfrequenz des Teilchens geht nicht in die Beschleunigung ein !
Wenn im Punkt A1 eine Kreisfrequenz der Welle um einen
Faktor unterschiedlich ist als im Punkt A2, dann wird jede Welle (egal welche Kreisfrequenz sie hat) immer dieselbe Beschleunigung erfahren.
Entsprechend der Voraussetzung [6] definieren wir aber die Zeit über die Messung. Und die Messungen (Atomuhr etc) beruhen schlussendlich auf der Kreisfrequenz von einem Teilchen (z.B. Cäsium Atom), welches wie erwähnt in Punkten A1 und A2 unterschiedliche Frequenzen haben kann (angenommen, dass dort ein Beschleunigungsfeld existiert).
Das bedeutet, dass nach unserer Definition von Zeit folgendes gilt: Die Zeit im Punkt A1 geht schneller/langsamer als im Punkt A2.
Ich muss hier nicht darauf eingehen, was der unterliegende Grund ist (Struktur des Raumes, oder was auch immer), weshalb ein Teilchen seine Kreisfrequenz ändert, wenn es im Punkt A1 respektiv A2 ist.
Entscheidend ist nur: Wenn sie unterschiedlich ist, dann ergibt sich zwingend eine Beschleunigung und zwar fuer alle Teilchen (die auf diese Struktur -oder was auch immer- empfindlich sind).
Ich sehe, dass ich diese Beschreibung etwas unterschätzt habe: Ich muss diesen 2ten Teil aufbrechen und auf einen weiteren Tag verschieben.
Aber man kann es bereits absehen:
- Wenn die Beschleunigung a fuer ein Raum Gebiet definiert ist (z.B. durch Gravitationsfeld), dann kann direkt fuer jeden Punkt diesen Faktor Z berechnet werden. Integriert bis ins Unendliche ergibt es, um wieviel die Zeit auf der Erdoberfläche langsamer läuft als im Unendlichen.
- aehnlich lässt sich berechnen, wann die Kreisfrequenz auf Null fällt: es ergibt sich die Formel vom Ereignishorizont.
Aber das dann das naechste Mal (wenn ueberhaupt noch Interesse besteht).