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Formeln der ART direkt aus der Wellengleichung hergeleitet

Jenseits des etablierten Standardmodells der Elementarteilchenphysik und der Allgemeinen Relativitätstheorie, d.h. Quantengravitation, Supersymmetrie und Supergravitation, Stringtheorien...
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Formeln der ART direkt aus der Wellengleichung hergeleitet

Beitrag von Gepakulix » 25. Mai 2014, 20:32

Die ART "deutet die Gravitation als geometrische Eigenschaft der gekrümmten vierdimensionalen Raumzeit" (Wikipedia).
Daraus abgeleitet ergeben sich Formeln und Vorhersagen. Diese Formeln &Vorhersagen sind via Experimente und Beobachtungen recht gut bestätigt worden.

Das ist aber erst dann auch eine Bestätigung der ART selber (also nicht nur deren Formeln/Vorhersagen), wenn die ART die einzige Theorie wäre, welche diese Formeln herleiten lässt.
Es gibt aber zumindest eine mir bekannte weitere Theorie, welche ebenfalls exakt dieselben Formeln ergibt wie die ART (Formel für Zeitdilatation etc).

Diese 2te Theorie leitet die Formeln direkt aus der Wellengleichung ab, und benoetigt nur sehr wenige Voraussetzungen (welche auch im Standardmodell nicht bestritten sind).
Sie beruht auf einem kartesischen Koordinatensystem, und die mathematische Herleitung ist recht einfach.

Ich finde: Gerade weil die mathematische Herleitung via Wellengleichung so einfach ist, versteht man nachher wesentlich besser
- weshalb das Licht im Gravitationsfeld gebogen wird,
- weshalb alle Körper gleich stark im Gravitationsfeld beschleunigt werden,
- weshalb die Zeit in einem Gravitationsfeld langsamer abläuft

Falls jemand Lust und Zeit hat sich damit auseinanderzusetzen, dann kann ich diese Herleitung hier mal hineinschreiben.

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Re: Formeln der ART direkt aus der Wellengleichung hergeleit

Beitrag von breaker » 25. Mai 2014, 21:29

Das erscheint mir höchst suspekt.
Schreib mal hin.

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Re: Formeln der ART direkt aus der Wellengleichung hergeleit

Beitrag von tomS » 25. Mai 2014, 22:34

Nun, es gibt einige äquivalente Formulierungen der ART
- Einsteins Formulierung auf Basis der Riemannschen Geometrie (mit Krümmung und verschwindender Torsion)
- Teleparallelism auf Basis der Weitzenböck-Geometrie (mit verschwindender Krümmung, jedoch Torsion)
- Die Einstein-Cartan-Theorie auf Basis der Riemann-Cartan Theorie (mit Krümmung und Torsion)
(wobei letztere nur im Vakuum äquivalent ist zur ART, jedoch experimentell praktisch nicht unterscheidbar)

Um welche Theorie handelt es sich denn?
Gruß
Tom

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Re: Formeln der ART direkt aus der Wellengleichung hergeleit

Beitrag von Gepakulix » 25. Mai 2014, 23:09

@tomS
Ich kenne diese erwähnten Theorien nicht. Anhand der kurzen Beschreibung denke ich aber, dass es sich nicht um die mir bekannte handelt.

@breaker
o.k., ich werde es mal hinschreiben.
Es wird aber 2-3 Tage dauern.

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Re: Formeln der ART direkt aus der Wellengleichung hergeleit

Beitrag von Hawkwind » 26. Mai 2014, 11:02

Gepakulix hat geschrieben:Die ART "deutet die Gravitation als geometrische Eigenschaft der gekrümmten vierdimensionalen Raumzeit" (Wikipedia).
Daraus abgeleitet ergeben sich Formeln und Vorhersagen. Diese Formeln &Vorhersagen sind via Experimente und Beobachtungen recht gut bestätigt worden.

Das ist aber erst dann auch eine Bestätigung der ART selber (also nicht nur deren Formeln/Vorhersagen), wenn die ART die einzige Theorie wäre, welche diese Formeln herleiten lässt.
Nein, das stimmt nicht: man kann sowieso nie ausschliessen, dass es alternative Modelle geben könnte, welche identische Vrohersagen liefern.
Falls man mehrere - in diesem Sinne äquivalente - Modellkandidaten hat, so bevorzugt man das einfachste Modell (mit den wenigsten Annahmen z.B.).

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Re: Formeln der ART direkt aus der Wellengleichung hergeleit

Beitrag von Gepakulix » 27. Mai 2014, 22:36

breaker hat geschrieben:Das erscheint mir höchst suspekt.
Schreib mal hin.
Skeptisch? :D
Gut, schauen wir mal ob die Skeptik berechtigt ist oder nicht :-)

Ich werde die Herleitung in 3 Teile brechen. Ich möchte mir nämlich den ganzen Aufwand sparen für den Fall, dass schon der erste Teil als falsch/unsinnig betrachtet wird.

  1. a) Voraussetzungen: Das ist der Teil der Herleitung, der einen Bezug zur Physik hat (im Gegensatz zu den restlichen beiden Teilen, welche sich auf Mathematik beschränken). Es sind primär Formeln, welche ich als bekannt voraussetze, sowie ein paar weitere Bedingungen. Daraus sollten dann die erwähnten Formeln der ART hergeleitet werden können.

  • b) Prosa: Erklärung der geplanten mathematischen Herleitung. Hier werde ich beschreiben, wie und weshalb die aufgelisteten Formeln zu einander in Beziehung gesetzt werden.

  • c) mathematische Herleitung


a) Voraussetzungen

1) Wellengleichung
Die Herleitung beruht auf Materiewellen, wonach jedem Teilchen eine Welle zugeordnet werden kann.
Die entscheidenden Paramter dabei sind die Kreisfrequenz sowie die Wellenzahl


2) Wellengleichung sei in jedem Punkt stetig. Eine Welle im Raum zeigt nirgendwo einen Sprung: weder in einer der 3 x/y/z Achsen, noch in der Zeit.


3) Phasengeschwindigkeit von Materiewellen:
Die Formel bedeutet, dass bei bekannter Phasengeschwindigkeit immer auch die Gruppengeschwindigkeit der Materiewelle (und somit des Teilchens) berechnet werden kann.


4)
Ich nehme an, dass diese Formel bekannt ist. Sie kann direkt aus der Relativitätstheorie hergeleitet werden.
Sie beschreibt die Kreisfrequenz eines Teilchens als Funktion seiner Wellenzahl und somit von seiner Geschwindigkeit relativ zum Beobachter:
  • - Wenn der Beobachter in Ruhe ist zu dem Partikel, dann ist die Wellenlänge des Partikels in der Wellengleichung bekannterweise unendlich (k=0).
    Eine Messung der Kreisfrequenz ergibt dann den Wert .
    Sobald aber das Bezugssystem vom Beobachter sich relativ zum Teilchen bewegt, dann sind in den beiden Systemen (Teilchen, Beobachter) unterschiedliche 'Gleichzeitigkeiten' definiert, so dass der Beobachter eine Wellenlänge bzw. k>0 misst.

  • - oder anders ausgedrückt: Einem ruhenden Teilchen kann durch Messung eine Frequenz zugeordnet werden(Kreisfrequenz ). Wenn dasselbe Teilchen sich aber relativ zum Beobachter bewegt, dann verändert sich seine Wellenlänge und seine Kreiszahl. Wenn die Frequenz des Teilchens jetzt gemessen wird ergibt sich die Kreisfrequenz .


5) Der Raum sei ein kartesisches Koordinaten-System (also frei von Verzerrungen)

6) Die wahrscheinlich schwierigste Voraussetzung ist folgende: Für den Begriff Zeit soll die Definition verwendet werden, wie sie normal in der Physik definiert wird: Also über das Messverfahren (welches z.B. eine Funktion von Teilchenfrequenzen in einer Atomuhr ist). Das ist wichtig, weil alle Bestätigungen der ART schlussendlich immer auf Messverfahren beruhen, die sich genau an diese Definition halten.
In diversen Diskussionen hier im Forum wurde dieser Begriff "Zeit" aber irgendwie viel allgemeiner gedeutet: Ich hatte eine Diskussion verfolgt, wo auf alle möglichen Eigenschaften der Zeit diskutiert wurden, ohne auch nur zu erwähnen dass der Begriff in der Physik eigentlich eindeutig definiert ist.
Ich bezweifle, dass man die weitere Herleitung verstehen kann, wenn man sich beim Begriff Zeit nicht hart an dessen Definition orientiert.

7) Es kommt noch eine weitere Bedingung dazu, die ich hier aber noch nicht auflisten kann. Sie ist von der Form: "Eine Gleichung ergibt 2 Loesungen. Welche soll gewählt werden". Auf diese Voraussetzung kann ich erst in Teil b) eingehen.

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Re: Formeln der ART direkt aus der Wellengleichung hergeleit

Beitrag von breaker » 28. Mai 2014, 00:04

1) Wellengleichung
Das nennt man in der Regel nicht Wellengleichung sondern ebene Welle. Die Wellengleichung ist .
Die Herleitung beruht auf Materiewellen, wonach jedem Teilchen eine Welle zugeordnet werden kann.
Welche Herleitung ist gemeint? Wahrscheinlich die freie Schrödingergleichung? Das bedeutet, wir legen die Quantenmechanik zugrunde?
3) Phasengeschwindigkeit von Materiewellen:(...)
Die Formel bedeutet, dass bei bekannter Phasengeschwindigkeit (...) immer auch die Gruppengeschwindigkeit (...) der Materiewelle (und somit des Teilchens) berechnet werden kann.
Oben war nur die Rede von einer ebenen Welle. Die Gruppengeschwindigkeit ist eigentlich nur interessant, wenn man Wellenpakete betrachtet.

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Re: Formeln der ART direkt aus der Wellengleichung hergeleit

Beitrag von tomS » 28. Mai 2014, 07:00

Ich bin sehr gespannt ...
Gruß
Tom

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Re: Formeln der ART direkt aus der Wellengleichung hergeleit

Beitrag von Gepakulix » 28. Mai 2014, 22:33

@breaker
Einverstanden, es sind hier einige Begriffs-Ungenauigkeiten. Ich denke aber, dass es noch kein NoGo ist.
tomS hat geschrieben:Ich bin sehr gespannt ...
Dann kann eigentlich nur eine Enttäuschung folgen. Andererseits bedeutet 'Mensch sein' auch 'Optimist sein' :)


Für die Herleitung der Formel benötige ich das Bild eines Wellenpackets.
Aber die charakteristische Ummantelung des Wellenpackets ist dabei eigentlich unwichtig.
Bild

Ich fokussiere deshalb auf einen kleinen Ausschnitt des Packets (blaue Kurve im folgenden Bild).
Bild

Definition:
Ein Beobachter soll nun die Bewegung dieser Welle (als Teil des Wellenpackets) betrachten. Neben dem Beobachter steht eine Atom-Uhr und ist seinem Bezugssystem zugeordnet.
Wenn ich im folgenden von einer Zeit_B oder delta-Zeit_B oder kurzzeitig_B spreche (also mit Appendix _B), dann meine ich immer die Zeit gemessen durch den Beobachter.

Herleitung als Prosa
Der Beobachter betrachtet nun ein unbeschleunigtes Wellenpacket (blaue Welle).
Er könnte die Frequenz im Punkt A1 oder A2 messen: Beide Messungen ergäben dieselbe Kreis-Freqenz entsprechend der Voraussetzung [4] (also abhängig von der Ruhe-Kreisfrequenz des Teilchens, und von seiner Wellenlänge bzw Kreiszahl k).
Angenommen, das Wellenpacket wird kurzzeitig_B beschleunigt und hat nachher entsprechend eine andere Gruppengeschwindigkeit .
Ensprechend der Voraussetzung [3] bewirkt dies eine andere Phasengeschwindigkeit und somit eine andere Wellenlänge.
Im Bild ist eine entsprechende Welle (dasselbe Teilchen, andere Gruppengeschwindigkeit) orange eingezeichnet.
(Dass sich die Wellenlänge durch die Beschleunigung verändern muss wird am deutlichsten, wenn man mit einem ruhenden (relativ zum Beobachter) Teilchen beginnt, denn seine Wellenlänge ist unendlich. Jedes nicht ruhende Teilchen hat aber eine Wellenlänge kleiner als unendlich)


Durch die kurzzeitige_B Beschleunigung muss sich also die blaue Kurve irgendwie in die orange Kurve verändert haben.
Und diese Transformation ist der entscheidende Teil in der Herleitung hier.

Denn es sind noch die beiden Voraussetzungen [2] und [5] zu beachten:
- die Wellen sind immer stetig, und zwar in X-Achse wie auch über die Zeit_B
- es handelt sich um ein kartesisches Koordinaten System, ist also frei von Verzerrungen

Es ist zwar vielleicht kein sauberer Beweis und mehr eine Annahme:
Aber ich sehe mathematisch + geometrisch nur eine einzige Moeglichkeit, wie eine Welle unter diesen Voraussetzungen seine Wellenlänge verändern kann (und somit des entsprechenden Teilchens verändert: es wird beschleunigt):
Die Kreisfrequenz im Punkt A1 muss eine zeitlang_B unterschiedlich sein von der Kreisfrequenz im Punkt A2 (Die Kreisfrequenz sei jeweils gemessen durch den Beobachter).

Mit anderen Worten: Mikroskopisch gesehen muss die Welle an unterschiedlichen Punkten im Koordinatensystem eine unterschiedliche Kreisfrequenz haben.
Das ist voellig unabhaengig vom Grund der Beschleunigung (Gravitation, elektrostatische Anziehung): Es ist mathematisch zwingend (nicht physikalisch).

Die Rechnung in der Uebersicht:
- Während einer delta_Zeit_B ist die Kreisfrequenz in den Punkten A1 und A2 unterschiedlich (z.B. ein Faktor 1.00000000001)
- Die Phasendifferenz zwischen den beiden Punkten A1 und A2 wird somit stetig grösser (direkt proportioinal zur delta_Zeit_B, der Kreisfrequenz und diesem Faktor)
- Das erlaubt es einfach zu berechnen, wie sich die Wellenlänge (bzw Wellenzahl k) ueber die Zeit verändert.
- Die veränderte Wellenlänge (bzw Wellenzahl k) bewirkt direkt eine andere Phasengeschwindigkeit:
- Die veränderte Phasengeschwindigkeit ergibt via Voraussetzung [3] direkt eine andere Gruppengeschwindigkeit
- diese veränderung der Gruppengeschwindigkeit ist die Beschleunigung a.

Wenn man das ausrechnet, ergibt sich eine sehr einfache Formel:


wobei:
a = Beschleunigung des Wellenpackets
Z = ist in prosa etwas kompliziert zu erklären (wird im folgenden 3ten Teil natürlich genau definiert). Diese Grösse ist der erwähnte Faktor oben (aber normiert auf 1m).

Entscheidend an dieser Formel ist: Die Kreisfrequenz des Teilchens geht nicht in die Beschleunigung ein !
Wenn im Punkt A1 eine Kreisfrequenz der Welle um einen Faktor unterschiedlich ist als im Punkt A2, dann wird jede Welle (egal welche Kreisfrequenz sie hat) immer dieselbe Beschleunigung erfahren.

Entsprechend der Voraussetzung [6] definieren wir aber die Zeit über die Messung. Und die Messungen (Atomuhr etc) beruhen schlussendlich auf der Kreisfrequenz von einem Teilchen (z.B. Cäsium Atom), welches wie erwähnt in Punkten A1 und A2 unterschiedliche Frequenzen haben kann (angenommen, dass dort ein Beschleunigungsfeld existiert).
Das bedeutet, dass nach unserer Definition von Zeit folgendes gilt: Die Zeit im Punkt A1 geht schneller/langsamer als im Punkt A2.

Ich muss hier nicht darauf eingehen, was der unterliegende Grund ist (Struktur des Raumes, oder was auch immer), weshalb ein Teilchen seine Kreisfrequenz ändert, wenn es im Punkt A1 respektiv A2 ist.
Entscheidend ist nur: Wenn sie unterschiedlich ist, dann ergibt sich zwingend eine Beschleunigung und zwar fuer alle Teilchen (die auf diese Struktur -oder was auch immer- empfindlich sind).

Ich sehe, dass ich diese Beschreibung etwas unterschätzt habe: Ich muss diesen 2ten Teil aufbrechen und auf einen weiteren Tag verschieben.

Aber man kann es bereits absehen:
  • Wenn die Beschleunigung a fuer ein Raum Gebiet definiert ist (z.B. durch Gravitationsfeld), dann kann direkt fuer jeden Punkt diesen Faktor Z berechnet werden. Integriert bis ins Unendliche ergibt es, um wieviel die Zeit auf der Erdoberfläche langsamer läuft als im Unendlichen.

  • aehnlich lässt sich berechnen, wann die Kreisfrequenz auf Null fällt: es ergibt sich die Formel vom Ereignishorizont.

Aber das dann das naechste Mal (wenn ueberhaupt noch Interesse besteht).

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Re: Formeln der ART direkt aus der Wellengleichung hergeleit

Beitrag von breaker » 29. Mai 2014, 12:20

Gepakulix hat geschrieben:Die Herleitung beruht auf Materiewellen, wonach jedem Teilchen eine Welle zugeordnet werden kann.
Nochmal: WIE wird einem Teilchen eine Welle zugeordnet??

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Re: Formeln der ART direkt aus der Wellengleichung hergeleit

Beitrag von tomS » 29. Mai 2014, 13:03

Unabhängig davon, dass ich natürlich gern eine mathematische Ableitung sehen würde: wo ist denn nun diese "weitere Theorie, welche ebenfalls exakt dieselben Formeln ergibt wie die ART"?
Gruß
Tom

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Re: Formeln der ART direkt aus der Wellengleichung hergeleit

Beitrag von Gepakulix » 29. Mai 2014, 21:29

breaker hat geschrieben:Welche Herleitung ist gemeint? Wahrscheinlich die freie Schrödingergleichung? Das bedeutet, wir legen die Quantenmechanik zugrunde?
o.k., ich sehe dass die Frage offenbar wichtig ist.

Ja, es geht um die Schrödingergleichung. Aber eigentlich geht es schlussendlich die "zeitunabhängige Schrödingergleichung mit Potential", also um die Formel


Warum schlussendlich?
Der hier beschriebenen Gedankengang (Herleitung) ist abgeleitet von weiter oben aufgelisteten Voraussetzungen (Kartesisches Koordinatensystem, etc).
Bei dieser Liste von Voraussetzungen steht aber kein Begriff "Potential".
Der Begriff "Potential" ist bei meinen Voraussetzungen noch sinnfrei. Ich kann deshalb die Herleitung nicht mit der "zeitunabhängigen Schrödingergleichung mit Potential" beginnen.

Trotzdem komme ich schlussendlich auch auf denselben Summanden U (das "Potential"). Andernfalls bekäme ich ja eine andere "Schrödingergleichung", was die Theorie gleich killen würde.
- Man kann nämlich zeigen, dass (unter den getroffenen Voraussetzungen) jegliche Art von Beschleunigung nur existieren kann, wenn gilt: Der Raum hat die Eigenschaft, lokal die Kreisfrequenz von Teilchen graduell zu verändern.
- Die graduelle Aenderung der Kreisfrequenz ergibt (integriert über die Zeit) einen Phasenunterschied zwischen benachbarten Raumpunkten.
- Die Aenderung des Phasenunterschiedes entspricht einer Aenderung der Wellenlänge.
- Dies bedeutet eine Aenderung der Gruppengeschwindigkeit (=Beschleunigung)
- Die veränderte Wellenlänge beeinflusst (via Voraussetzung 4) sofort wieder die tatsaechliche Kreisfrequenz, welche makroskopisch gesehen deshalb im ganzen Gebiet konstant bleibt (Trotz "Potential Unterschieden).
- Es zeigt sich, dass der Begriff "Potential" dabei folgende physikalische Bedeutung hat: Es ist qualitativ der Faktor, um den die Kreisfrequenz durch lokale Raumeigenschaften gesenkt/verändert ist.
tomS hat geschrieben:Unabhängig davon, dass ich natürlich gern eine mathematische Ableitung sehen würde: wo ist denn nun diese "weitere Theorie, welche ebenfalls exakt dieselben Formeln ergibt wie die ART"?
Ja, ich sehe jetzt auch, wie langsam ich vorwärts komme.
Es ist ein grosser Unterschied, ob man
- eine selber geschriebene Herleitung zusammen mit Berechnungen und Beweisen versteht
- oder ob man ein Herleitung, Berechnungen und Beweisen so schreibt dass auch andere es verstehen

Wenn dann noch eine gesunde Menge Skepsis dazu kommt, dann ist ein Forum nicht unbedingt geeignet dafür.
Dazu kommt noch, dass ich nächstens in die Ferien gehe: Da habe ich den Zeitbedarf für eine Erläuterung hier massiv unterschätzt.
Somit breche ich die Uebung ab.

Trotzdem Danke für den Feedback.

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Re: Formeln der ART direkt aus der Wellengleichung hergeleit

Beitrag von Skeltek » 30. Mai 2014, 09:25

Mal kleine Spekulation meinerseits:
Bei Beschleunigung wird zunächst nur die Frequenz in Beschleunigungsrichtung verändert. Damit das Teilchen rund bleibt wird der Modifikationsfaktor auf alle Richtungen verteilt. Das passiert dynamisch und die Anpassungsrate hängt glaube ich vom Kreisumfang und c ab.
Am EH bricht das Equilibrium der transversalen und radialen Frequenzen zusammen, das Teilchen erfährt in Beschleunigunsrichtung keine Zeit mehr, nur noch transversal.
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Re: Formeln der ART direkt aus der Wellengleichung hergeleit

Beitrag von deltaxp » 2. Jun 2014, 12:12

ich hab vor kurzem gelesen, dass es eine Ableitung der ART-Gleichungen über den Zugang einer Wellenausbreitung gibt (Leonard Susskind: "Cosmic Landscape, String Theory and the Illusion of intelligent design") . Wenn man das betrachtet kommt es zu mathematischen Inkonsistenten, wenn Wechselwirkung mit Materie berücksichtig wird. Dies erfordert eine Korrektur, worauf eine neue Inkosistenz erzeugt wird, die ein neue (kleinere) Korrektur erfordert usw. usf. Erst in einer unendlichen Reihe verschwinden dann die Korrekturen (gehen gegen 0) und der mathematisch konsistente Limis ergibt die einsteinschen Feldgleichungen. Soll sehr formal sein das ganze. Ich sehe das eher als Zeichen einer inneren mathematischen konsistenz wenn alternative logisch richtige Ansätze zum gleichen Ergebnis kommen. Sowas gibt es häufiger.

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Re: Formeln der ART direkt aus der Wellengleichung hergeleit

Beitrag von tomS » 2. Jun 2014, 14:25

Ich denke, dabei geht es um die Anomalienfreiheit der Stringtheorie. Diese ist klassisch skaleninvariant, hat jedoch eine quantenmechanische Weyl-Anomalie. Diese Anomalie muss aus Konsistenzgründen verschwinden. In erster Ordnung gilt für die Betafunktionen ß[down]ab[/down] ~ Ricc[down]ab[/down], wobei Ricc der Ricci-Tensor ist. D.h. aus der Forderung nach dem Verschwinden der Anomalie ß = 0 folgt die Einsteinsche Feldgleichung im Vakuum Ricc = 0, d.h. die Ricci-Flachheit der Raumzeit.
Gruß
Tom

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Re: Formeln der ART direkt aus der Wellengleichung hergeleit

Beitrag von deltaxp » 3. Jun 2014, 14:05

Ich denke, das wird er sicher gemeint ahben. so detailliert war es aber nicht beschrieben.

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