anbei ein kleiner Exkurs zur Constraint-Quantisierung der Gravitation - anlässlich dieses Beitrages:
Das ist so nicht ganz richtig; die verschiedenen Zerlegungen (engl. foliations) bleiben auch bei der Quantisierung äquivalent. Ausdruck dessen ist die Constraint-Algebra der kanonischen Quantisierung, nämlich G[up]a[/up], D[up]a[/up] und H, wobei G[up]a[/up] lokale Lorentztransformationen im Tangentialraum, D[up]a[/up] raumartige Diffeomorphismen und H zeitartige Diffeomorphismen generiert (und diese eben die Äquivalenz der Zerlegungen beinhalten). Die Tatsache, dass die Constraints als Bedingungen an physikalische Zustände Null sind (insbs. der Hamiltonoperator H) zeigt, dass der Hilbertraum die volle Symmetrie der ART trägt. Zur Implementierung der Constraints ein Beispiel aus der Quantenmechanik (ohne Rechnung, aber evtl. kriegst du die selbst hin).Sculletto hat geschrieben:Ich will bei der Gelegenheit auch schon mal so viel verraten: Grundlage ist dabei die kanonische Quantengravitation. Bei der kommt heraus, dass die von uns wahrgenommene 4-dim. Raumzeit einem Pfad auf einem Superraum entspricht, von dem jeder Punkt für eine raumartige Hyperfläche mit einer Dreiergeometrie und einem Satz von nichtgravitativen Feldern steht. Das kann man so deuten, dass nicht die Raumzeit das fundamentale Objekt ist, sondern die Hyperflächen erst die Bausteine der Raumzeit bilden. Damit ist dann auch automatisch eine absolute Gleichzeitigkeit gegeben: zwei Ereignisse sind gleichzeitig, wenn sie der gleichen Hyperfläche, d.h. dem gleichen Punkt im Superraum angehören. Die Raumzeit in Hyperfläche zerlegen kann man zwar schon in der ART, dort ist die Zerlegung aber willkürlich. Die kanonische Quantengravitation aber lässt sich so verstehen, dass die Zerlegung eben nicht willkürlich ist, da sich nicht die Hyperflächen aus der Zerlegung der Raumzeit ergeben (wie im ART-Bild), sondern umgekehrt, die Raumzeit aus der Abfolge der Hyperflächen (ein Ei-Henne-Problem, wenn man so will).
Betrachte ein Zweiteilchensystem mit dem üblichen kinetsichen Term im Hamiltonoperator sowie einem Wechselwirkungsterm der Form V(|r[down]1[/down]-r[down]2[/down]|)
Üblicherweise transformiert man zuerst auf Schwerpunktskoordinaten r und R, setzt P=0 und quantisiert dann in r und p, was auf ein Zentralpotential mit reduzierter Masse hinausläuft
Man kann aber auch in den ursprünglichen Koordinaten quantisieren und eine unitäre Transformation durchführen, die (r[down]1[/down],r[down]2[/down],p[down]1[/down],p[down]2[/down]) nach (r,R,p,P) überführt
Die unitäre Trf. in der QM entspricht exakt der kanonischen Trf. in der klassischen Mechanik
Damit hat man nun aber noch den ursprünglichen Hilbertraum; wie wird man nun R und P los?
Ganz einfach: wenn man die Trf. so wählt, dass eben genau Relativkoordinate r und -impuls p entstehen, dann hat der transformierte Hamiltonoperator die Struktur H[r,p,P], wobei der R-Term wegen der Form des Potentials V(|r[down]1[/down]-r[down]2[/down]|) = V(|r|) wegfällt.
Damit ist eine Lösung in P extrem einfach, es handelt sich nämlich um ein "freies Teilchen" der Masse M mit Impuls P, also um ebene Wellen für den Schwerpunkt R.
Erst jetzt führt man den "Constraint" P=0 als Bedingung an physikalische Zustände ein, also P|phys> = 0, was der Wahl eines bestimmten Unterraumes entspricht
(der Operator P ist nicht Null, da er immer noch die kanonischen Vertauschungsrelationen mit R erfüllen muss!)
Da P mit H vertauscht, bleibt dieser Constraint unter Zeitentwicklung erhalten
Ähnlich funktioniert die kanonische Quantisierung in QED, QCD und QG, jedoch mit einigen bedeutsamen Unterschieden:
Die Constraints folgen zwingend aus der lokalen Eichsymmetrie bzw. der Diffeomorphismen-Invarianz und werden nicht per Hand eingeführt
Die Implementierung der Constraints ist wesentlich komplizierter (in der QED einieg Seitenm Rechnung, wer Gupta-Bleuler versteh, hat damit keine Probleme; in der QCD eine Veröffentlichung von 50 Seiten mit einigen Mannjahren Arbeit dahinter; in der LQG ein Zeitraum von 1987 bis heute - da die genaue Form von H immer noch diskutiert wird)
Der Witz in der QG ist, dass H die Zeitentwicklung in einer lokal zur Hyperfläche orthogonalen Richtung generiert, also einer Koordinatenzeit. Diese ist jedoch unphysikalisch (willkürlich bis auf Symmetrietransformationen). Daher ist H|phys> = 0 und somit die Zeitentwicklung U = expi(-iht), U|phys> = Id|phys>. Damit ist gesagt, dass der physikalische Sektor des Hilbertraumes für eine einmal gewählte Foliation unter dieser Zeitentwicklung invariant ist. Alle unterschiedlichen Foliationen generieren zunächst unterschiedliche Hilberträume, diese sind jedoch unitär äquivalent.
Der Hintergrund ist die Diffeomorphismeninvarianz der ART. Man erkennt dies in einem weiteren ToySpielzeugmodell, dem freien relativistischen Teilchen.
Man geht aus von der üblichen Wirkung als Integral über ds, und schreibt diese wie gewöhnlich um mittels der Vierervektoren x[up]a[/up] und einem Parameter, der die Weltlinie parametrisiert
Dannn berechnet man auf dem Standardweg die kanonisch konjugierten Impulse p[up]a[/up] durch Legendre-Transformation (entspricht der Impulsen zu diesem Parameter)
Man beachte, dass man vier Impulse bekommt, obwohl man ja nur drei Freiheitsgrade erwartet; ein Impuls ist sozusagen zeitartig
Um den überzähligen Impulslsozuwerden, benötigt man einen Constraint
Diesen liefert aber genau der Hamiltonoperator, der in deen Viereimpulsen p dir Form H=p²-m² annimmt, was natürlich wiederum Null ergeben muss
Die Reparametrisierunsginvarianz der Weltlinie des freien Teilchens ist das Analogon zu den zeitartigen Diffeomorphismen in der Quantengravitation und führt in beiden Fällen auf einen Hamiltonschen Constraint.